Разделим куб тремя взаимно перпендикулярными плоскостями на два куба и шесть параллелепипедов. Что больше суммарный объем кубов или суммарный объем параллелепипедов?

Пусть $a$ и $b$ длины сторон кубов. Тогда суммарный объем кубов равен $a^3+b^3$, а суммарный объем параллелепипедов равен $(a+b)^3-a^3-b^3$.
Понятно, что при $a$ стремящемся к $b$ объем кубов меньше, а при $a$ стремящемся к нулю объем кубов больше.
Следовательно, имеет смысл искать точку равновесия как решение уравнения $a^3+b^3=(a+b)^3-a^3-b^3$ относительно $a/b$. Раскрыв скобки получем $$a^3-3a^2b-3ab^2+b^3=0$$ Поделив на $b^3$ и выполнив замену $x:=a/b$ получим $$x^3-3x^2-3x+1=0$$ Из соображений симметрии видно, что $-1$ является корнем уравнения, тогда поделив на $x+1$

получим $$x^2-4x+1=0$$ отсюда $x=2+\sqrt{3}$ или $x=2-\sqrt{3}$. Оба числа подходят в качестве решения задачи, так как являются взаинообратными.

В общем $n$-мерном случае задача сводится к решениею уравнения $$a^n+b^n=(a+b)^n-a^n-b^n$$ До $n=5$ включительно можно выразить решение в радикалах.