2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ.

2.1 Бинарные операции.

Определение 2.1:
Бинарной операцией на множестве $M$ называется отображение $f:M\times{M}\to{M}$.
При этом если $a,b\in{M}$, то обозначают $afb:=f(a,b)$.
Например для операции сложения действительных чисел $+:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ обычно пишут $a+b$, что формально означает $+(a,b)$.
В данном курсе изучаются только бинарные операции, поэтому везде далее вместо "бинарная операция" может употреблятся просто "операция".

Определение 2.2:
Алгебраической структурой или алгеброй называется не пустое множество с заданными на нем бинарными операциями.
Если соответствующее множество и операции обозначены $M$ и $*,\circ,\cdot,\diamond,\ldots$, то алгебра обозначается $(M;*,\circ,\cdot,\diamond,\ldots)$
Алгебра с одной операцией $(M;*)$ называется группоидом.

Премер 2.1:
Примеры группоидов

1. $(\mathbb{N};+)$, $(\mathbb{N}_0;+)$, $(\mathbb{Z};+)$, $(\mathbb{Z};-)$, $(\mathbb{Z};\cdot)$.
2. Если $M:=\overline{1,n}$, $*:M\times{M}\to{M}$, для любых $a,b\in\overline{1,n}$ $a*b=\max{a,b}$, то $(M;*)$ - группоид.
3. Если $\tilde{M}:=\{B\mid{B}\subset{M}\}$ - множество всех подмножеств некоторого множества $M$, то $\tilde{M}$ замкнуто относительно операций $\cup,\cap,\backslash$ (в отличии, например, от операции декартова произведения $\times$), следовательно можно определить группоиды $(\tilde{M};\cup)$, $(\tilde{M};\cap)$, $(\tilde{M};\backslash)$.
4. Множество всех функций $\Pi(M):=\{f\mid{f}:M\to{M}\}$ определенных на произвольном множестве $M$ образует с операцией композиции функций $\circ$ группоид $(\Pi(M);\circ)$.

Определение 2.3:
Бинарную операцию $*$ заданную на множестве $M$ называют

1. ассоциативной, если $$\forall{a},b,c\in{M}(a*(b*c)=(a*b)*c).$$
2. коммутативной, если $$\forall{a},b\in{M}(a*b=b*a).$$

Премер 2.2:

1. Операция композиции функций $\circ$ на множестве $\Pi(M)$ ассоциативна для любого множества $M$, но коммутативна тогда и только тогда, когда $|M|=1$.
   Действительно, если $|M|=1$, то $|\Pi(M)|=1$ и операция $\circ$ коммутативна.
   Если $|M|>1$, то $$\exists{a},b\in{M}:a\neq{b}\Rightarrow\exists{f},g\in\Pi(M):\forall{x}\in{M}(f(x)=a\wedge{g}(x)=b)\Rightarrow \forall{x}\in{M}((f\circ{g})(x)=f(g(x))=a\neq(g\circ{f})(x)=g(f(x))=b)$$
2. Определим на множестве $\mathbb{R}$ операцию $*$ такую, что для любых $a,b\in\mathbb{R}$ $a*b:=\frac{a+b}{2}$.
   Операция $*$, очевидно, коммутативна, но не ассоциативна. Например, при $a=4$, $b=c=8$ $a*(b*c)=\frac12\left(a+\frac12(b+c)\right)=\frac{a}{2}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}=6$, а $(a*b)*c=\frac12\left(\frac12(a+b)+c\right)=\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}=7$.
   Вообще, не сложно видеть, что равенство $a*(b*c)=(a*b)*c$ выполняется только при $a=c$, действительно $$a*(b*c)=(a*b)*c\Rightarrow\frac12\left(a+\frac12(b+c)\right)=\frac12\left(\frac12(a+b)+c\right)\Rightarrow {a}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{c}{2}\Rightarrow{a}=c.$$

Определение 2.2:
Пусть $*,\circ$ - операции на множестве $M$ говорят, что операция $*$

1. леводистрибутивна относительно операции $\circ$, если $$\forall{a},b,c\in{M}(a*(b\circ{c})=(a*b)\circ(a*c)),$$
2. праводистрибутивна относительно операции $\circ$, если $$\forall{a},b,c\in{M}((b\circ{c})*a=(b*a)\circ(c*a)),$$
3. дистрибутивна относительно операции $\circ$, если она и леводистрибутивна, и праводистрибутивна относительно операции $\circ$.

Премер 2.3:

1. Операция умножения $\cdot$ на множестве $\mathbb{R}$ дистрибутивна относительно операции сложения $+$.
   Операция сложения не дистрибутивна (ни лево-, ни право-) относительно операции умножения.
2. Пусть $\tilde{M}$ множество всех подмножеств множества $M$, тогда операции пересечения и объединения $\cap,\cup$ дистрибутивны друг относительно друга. Действительно, по правилам Де Моргана получаем левую дистрибутивность $$\forall{A},B,C\in\tilde{M}(A\cup(B\cap{C})=(A\cup{B})\cap(A\cup{C})\wedge{A}\cap(B\cup{C})=(A\cap{B})\cup(A\cap{C})).$$ Тогда правая дистрибутивность следует из коммутативности операций $\cap,\cup$.

Определение 2.5:
Элемент $e$ группоида $(G;*)$ называется нейтральным, если для любого $g\in{G}$ $e*g=g*e=g$.

Премер 2.4:

1. В группоиде $(\mathbb{N}_0;+)$ нейтральным элементом является $0$.
2. В группоиде $(\mathbb{N};+)$ нет нейтрального элемента.
3. В группоиде $(\tilde{M};\cup)$ нейтральным элементом является пустое множество $\varnothing$.
4. В группоиде $(\tilde{M};\cap)$ нейтральным элеметном является множество $M$.

Задача 2.1:
Как по таблице Кэли установить наличие нейтрального элемента? Как по таблице Кэли установить коммутативна ли операция или нет?
Решение:
Нейтральных элемент существует, тогда и только тогда, тогда в таблице Кэли есть строка и столбец с одинаковым порядковым номером, которые содержат элементы множества в порядке указанном в заголовке таблицы. Например в группоиде заданном таблицей Кэли

$*$	$m_1$	$\cdots$	$m_k$	$\cdots$	$m_n$
$m_1$	$m_1*m_1$	$\cdots$	$m_1$	$\cdots$	$m_1*m_n$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$m_k$	$m_1$	$\cdots$	$m_k$	$\cdots$	$m_n$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$m_n$	$m_n*m_1$	$\cdots$	$m_n$	$\cdots$	$m_n*m_n$

элемент $m_k$ является нейтральным.
Операция в группоиде является коммутативной, тогда и только тогда, когда таблица Кэли симметрична отностиельно главной диагонали.

Утверждение2.1
В любом группоиде $(G;*)$ существует не более одного нейтрального элемента.

Доказательство:

Пусть $e_1,e_2$ нейтральные элементы в $(G;*)$, тогда по определнию нейтрального элемента $e_1=e_1*e_2$ и $e_2=e_1*e_2$, то есть $e_1=e_2$.

Определение 2.6:
Пусть $(G;*)$ - группоид с нейтральным элементом $e$, $a,b\in{G}$, тогда элемент $a$ называется симметричным для элемента $b$ относительно операции $*$ если $a*b=b*a=e$.

Пример 2.5:

1. Для любого $a\in\mathbb{Z}$ элемент $-a$ является симметричным для $a$ в группоиде $(\mathbb{Z};+)$.
2. Для любого $a\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ элемент $\frac1{a}$ является симметричным для $a$ в группоиде $(\mathbb{R};\cdot)$.

Утверждение 2.2:
Пусть $(G;*)$ - группоид с нейтральным элементом $e$ и операция $*$ ассоциативна, тогда для любого $a\in{G}$ существует не более одного симметричного.

Доказательство:

Пусть $b,c\in{G}$ симметричны для $a\in{G}$, тогда $$b=b*(a*c)=(b*a)*c=c.$$

Задача 2.2:
Привести пример группоида с нейтральным элементом, в котором для какого-либо элемента существует несколько симметричных.
Решение:
В группоиде $(\{a,b,c\};*)$ заданном таблицей Кэли

$*$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$b$	$c$
$b$	$b$	$a$	$a$
$c$	$c$	$a$	$c$

элемент $a$ - нейтральный, а у элемента $b$ два симметричных - это элементы $b$ и $c$.

2.2 Кольца.

Определение 2.7:
Кольцом называется непустое множество $R$ с заданными на нем бинарными операциями $+$ и $\cdot$ удовлетворяющими условиям

1. операции $+$ и $\cdot$ - ассоциативны,
2. операция $+$ - коммутативна,
3. операция $\cdot$ - дистрибутивна относительно операции $+$,
4. существует нейтральный элемент относительно операции $+$,
5. для любого $a\in{R}$ существует элемент симметричный относительно операции $+$.

Определение 2.8:
Кольцо называется кольцом с единицей, если в нем существует нейтральный относительно операции $\cdot$ элемент. Этот элемент называется единицей и обозначается $e$.

Определение 2.9:
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция $\cdot$.
Если $R$ кольцо и $a,b\in{R}$, то далее везде выражение $a+(-b)$ будем записывать как $a-b$.

Пример 2.6:
Примеры колец

1. Алгебры $(\mathbb{R};+,\cdot),(\mathbb{Q};+,\cdot),(\mathbb{Z};+,\cdot)$ являются коммутативными кольцами с единицей.
2. Пусть $2\mathbb{Z}:=\{2a\mid{a}\in\mathbb{Z}\}$, тогда алгебра $(2\mathbb{Z};+,\cdot)$ - коммутативное кольцо.
3. Определим на множестве $\mathbb{R}^2$ операции $+$ и $\cdot$ $$\forall(a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2((a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\wedge(a,b)\cdot(c,d)=(ab,cd)),$$ тогда элемент $\theta=(0,0)\in\mathbb{R}^2$ нейтральный относительно операции $+$ и для любого $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ $-(a,b)=(-a,-b)$, следовательно $(\mathbb{R}^2;+,\cdot)$ - коммутативное кольцо с единицей $e=(1,1)$.
4. Пусть задан группоид $(G;+)$ такой, что
   • операция $+$ ассоциативна и коммутативна,
   • существует нейтральный относительно операции $+$ элемент - $0$,
   • для любого $g\in{G}$ существует симметричный для $g$ относительно операции $+$.
   Определим на $G$ операцию $\cdot$ так, что для любых $g,h\in{G}$ $g\cdot{h}=0$, тогда алгебра $(G;+,\cdot)$ является коммутативным кольцом. Действительно, $$\forall{a},b,c\in{G}(a\cdot(b\cdot{c})=(a\cdot{b})\cdot{c}=0\wedge{a}\cdot(c+d)=0=0+0=(a\cdot{b})+(a\cdot{c})).$$ Такое кольцо называют кольцом с нулевым умножением.
5. Пусть $\mathbb{Z}_4:=(\{0,1,2,3\};+,\cdot)$, где операции $+$, $\cdot$ определены следующим образом
   

   $+$ $0$ $1$ $2$ $3$ $0$ $0$ $1$ $2$ $3$ $1$ $1$ $2$ $3$ $0$ $2$ $2$ $3$ $0$ $1$ $3$ $3$ $0$ $1$ $2$	$\cdot$ $0$ $1$ $2$ $3$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $2$ $0$ $2$ $0$ $2$ $3$ $0$ $3$ $2$ $1$

   
   тогда $\mathbb{Z}_4$ - коммутативное кольцо с единицей $e=1$.
   Кольцо $\mathbb{Z}_4$ называют кольцом вычетов по модулю 4. Коммутативность операций $+$ и $\cdot$ следует из симметричности таблиц Кэли относительно главной диагонали. Наличие нейтрального элемента относительно операции $+$ и относительно операции $\cdot$ так же следует из структуры таблиц Кэли. Докажем ассоциативность операции $+$, т. е. что для любых $a,b,c\in\mathbb{Z}_4$ $a+(b+c)=(a+b)+c$. Если $0\in\{a,b,c\}$, то очевидно, если $a=c$, то равенство следует из коммутативности операции $+$. Проверим оставшиеся 18 вариантов
   1. $1+(1+2)=1+3=0$, $(1+1)+2=2+2=0$
   2. $1+(1+3)=1+0=1$, $(1+1)+3=2+3=1$
   3. $1+(2+2)=1+0=1$, $(1+2)+2=3+2=1$
   4. $1+(2+3)=1+1=2$, $(1+2)+3=3+3=2$
   5. $1+(3+2)=1+1=2$, $(1+3)+2=0+2=2$
   6. $1+(3+3)=1+2=3$, $(1+3)+3=0+3=3$
   7. $2+(1+1)=2+2=0$, $(2+1)+1=3+1=0$
   8. $2+(1+3)=2+0=2$, $(2+1)+3=3+3=2$
   9. $2+(2+1)=2+3=1$, $(2+2)+1=0+1=1$
   10. $2+(2+3)=2+1=3$, $(2+2)+3=0+3=3$
   11. $2+(3+1)=2+0=2$, $(2+3)+1=1+1=2$
   12. $2+(3+3)=2+2=0$, $(2+3)+3=1+3=0$
   13. $3+(1+2)=3+3=2$, $(3+1)+2=0+2=2$
   14. $3+(1+1)=3+2=1$, $(3+1)+1=0+1=1$
   15. $3+(2+2)=3+0=3$, $(3+2)+2=1+2=3$
   16. $3+(2+1)=3+3=2$, $(3+2)+1=1+1=2$
   17. $3+(3+2)=3+1=0$, $(3+3)+2=2+2=0$
   18. $3+(3+1)=3+0=3$, $(3+3)+1=2+1=3$
   При доказательстве ассоциативности операции $\cdot$ случаи $0\in\{a,b,c\}$ и $1\in\{a,b,c\}$ очевидны, случай $a=c$ следует из коммутативности операции $\cdot$, следовательно достаточно проверить четыре варианта
   1. $2\cdot(2\cdot{3})=2\cdot{2}=0$, $(2\cdot{2})\cdot{3}=0\cdot{3}=0$
   2. $2\cdot(3\cdot{3})=2\cdot{1}=2$, $(2\cdot{3})\cdot{3}=2\cdot{3}=2$
   3. $3\cdot(2\cdot{2})=3\cdot{0}=0$, $(3\cdot{2})\cdot{2}=2\cdot{2}=0$
   4. $3\cdot(3\cdot{2})=3\cdot{2}=2$, $(3\cdot{3})\cdot{2}=1\cdot{2}=2$
   Для того чтобы доказать дистрибутивности операции $\cdot$ относительно операции $+$ необходимо для любых $a,b,c\in\mathbb{Z}_4$ доказать равенство $a\cdot(b+c)=(a\cdot{b})+(a\cdot{c})$ (правая дистрибутивность следует из коммутативности операций $+$, $\cdot$). Cлучаи $0\in\{a,b,c\}$, $a=1$ очевидны. Проверим оставшиеся 18 вариантов
   1. $2\cdot(1+1)=2\cdot{2}=0$, $(2\cdot{1})+(2\cdot{1})=2+2=0$
   2. $2\cdot(1+2)=2\cdot{3}=2$, $(2\cdot{1})+(2\cdot{2})=2+0=2$
   3. $2\cdot(1+3)=2\cdot{0}=0$, $(2\cdot{1})+(2\cdot{3})=2+2=0$
   4. $2\cdot(2+1)=2\cdot{3}=2$, $(2\cdot{2})+(2\cdot{1})=0+2=2$
   5. $2\cdot(2+2)=2\cdot{0}=0$, $(2\cdot{2})+(2\cdot{2})=0+0=0$
   6. $2\cdot(2+3)=2\cdot{1}=2$, $(2\cdot{2})+(2\cdot{3})=0+2=2$
   7. $2\cdot(3+1)=2\cdot{0}=0$, $(2\cdot{3})+(2\cdot{1})=2+2=0$
   8. $2\cdot(3+2)=2\cdot{1}=2$, $(2\cdot{3})+(2\cdot{2})=2+0=2$
   9. $2\cdot(3+3)=2\cdot{2}=0$, $(2\cdot{3})+(2\cdot{3})=2+2=0$
   10. $3\cdot(1+1)=3\cdot{2}=2$, $(3\cdot{1})+(3\cdot{1})=3+3=2$
   11. $3\cdot(1+2)=3\cdot{3}=1$, $(3\cdot{1})+(3\cdot{2})=3+2=1$
   12. $3\cdot(1+3)=3\cdot{0}=0$, $(3\cdot{1})+(3\cdot{3})=3+1=0$
   13. $3\cdot(2+1)=3\cdot{3}=1$, $(3\cdot{2})+(3\cdot{1})=2+3=1$
   14. $3\cdot(2+2)=3\cdot{0}=0$, $(3\cdot{2})+(3\cdot{2})=2+2=0$
   15. $3\cdot(2+3)=3\cdot{1}=3$, $(3\cdot{2})+(3\cdot{3})=2+1=3$
   16. $3\cdot(3+1)=3\cdot{0}=0$, $(3\cdot{3})+(3\cdot{1})=1+3=0$
   17. $3\cdot(3+2)=3\cdot{1}=3$, $(3\cdot{3})+(3\cdot{2})=1+2=3$
   18. $3\cdot(3+3)=3\cdot{2}=2$, $(3\cdot{3})+(3\cdot{3})=1+1=2$
   И наконец, поскольку каждая из строк таблицы Кэли операции $+$ содержит $0$, то каждый элемент $\mathbb{Z}_4$ имеет симметричный элемент относительно операции $+$.
   Таким образом доказано, что $\mathbb{Z}_4$ кольцо.

Теорема 2.1: Основные тождества в кольце.
Пусть $R$ - кольцо, тогда для любых $a,b,c\in{R}$

1. $a\cdot{0}=0\cdot{a}=0$,
2. $-(-a)=a$,
3. $a\cdot(-b)=(-a)\cdot{b}=-(a\cdot{b})$,
4. $(-a)\cdot(-b)=a\cdot{b}$,
5. $a\cdot(b-c)=(a\cdot{b})-(a\cdot{c})$
   $(a-b)\cdot{c}=(a\cdot{c})-(b\cdot{c})$.

Доказательство:

1. $$0=a\cdot{0}+(-a\cdot{0})=a\cdot(0+0)+(-a\cdot{0})=(a\cdot{0}+a\cdot{0})+(-a\cdot{0})=a\cdot{0}+(a\cdot{0}+(-a\cdot{0}))=a\cdot{0}$$
2. Так как $-a$ симметричный к $a$, то $a+(-a)=(-a)+a=0$, но это означает, что $a$ симметричный к $-a$, тогда в силу единственности симметричного в кольце, элемент $a$ противоположен к элементу $-a$, то есть $a=-(-a)$.
3. Так как $$a\cdot(-b)+a\cdot{b}=a\cdot{b}+a\cdot(-b)=a\cdot(b+(-b))=a\cdot{0}=0,$$ значит $a\cdot(-b)$ противоположный к $a\cdot{b}$, то есть ${a}\cdot(-b)=-(a\cdot{b})$. Аналогично для $-a\cdot{b}=-(a\cdot{b})$.
4. По пунктам 3 и 2 имеем $-a\cdot(-b)=-(a\cdot(-b))=-(-(a\cdot{b}))=a\cdot{b}$.
5. По дистрибутивности операции $\cdot$ относительно операции $+$ и пункту 3 имеем $$a\cdot(b-c)=a\cdot(b+(-c))=a\cdot{b}+a\cdot(-c)=a\cdot{b}+(-(a\cdot{c}))=a\cdot{b}-a\cdot{c}.$$

Определение 2.10:
Пусть $R$ - кольцо с единицей, тогда элемент $a\in{R}$ называется обратимым, если для него сущесвует симметричный относительно операции $\cdot$.
Множество обратимых элементов кольца с единицей $R$ обозначают как $R^*:=\{a\in{R}\mid\exists{b}\in{R}:a\cdot{b}=b\cdot{a}=e\}$.
Элемент симметричный к элементу $a\in{R}$ относительно операции называют обратным к $a$ и обозначают как $a^{-1}$.

Замечание 2.1:
Из определения в частности следует, что если $a\in{R}^*$, то $a^{-1}\in{R}^*$. А так же если $a,b\in{R}^*$, то $a\cdot{b}\in{R}^*$ и $(a\cdot{b})^{-1}=b^{-1}\cdot{a}^{-1}$. Действительно $$(a\cdot{b})\cdot(b^{-1}\cdot{a}^{-1})=a\cdot(b\cdot{b}^{-1})\cdot{a}^{-1}=a\cdot{e}\cdot{a}^{-1}=a\cdot{a}^{-1}=e$$ Аналогично $(b^{-1}\cdot{a}^{-1})(a\cdot{b})=e$, следовательно, $b^{-1}\cdot{a}^{-1}$ обратный к $a\cdot{b}$.

Определение 2.11:
Ненулевой элемент $a$ кольца $R$ называется делителем нуля, если существует ненулевой элемент $r\in{R}$ такой, что $a\cdot{r}=0$ или $r\cdot{a}=0$.

Премер 2.7:

1. Кольца $\mathbb{Z},\mathbb{Q},2\mathbb{Z},\mathbb{R}$ не содержат делитетей нуля. При этом $\mathbb{Z}^*=\{1,-1\}$, $\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}\backslash\{0\}$, $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\backslash\{0\}$. А кольцо $2\mathbb{Z}$ не содержит единицы.
2. В кольце $(\mathbb{R}^2;+,\cdot)$ для любого $a\in\mathbb{R}$ элементы $(0,a)$, $(a,0)$ являются делителями нуля. При этом $(\mathbb{R}^2)^*=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2\mid{a}\neq0\wedge{b}\neq0\}$.
3. В кольце $\mathbb{Z}_4$ делителем нуля является элемент $2$ и $\mathbb{Z}^*_4=\{1,3\}$.

Утверждение 2.3:
Множества делителей нуля и обратимых элементов кольца с единицей не пересекаются.

Доказтельство:

Докажем от противного. Пусть $R$ кольцо с единицей ${a\in{R}^*}$ и $a$ делитель нуля. Тогда существует ненулевой элемент $b\in{R}$ такой, что $a\cdot{b}=0$ или $b\cdot{a}=0$ без ограничения общности будем считать, что $a\cdot{b}=0$. Из обратимости элемента $a$ в свою очередь следует, что сущесвует элемент $a^{-1}\in{R}$ обратный к $a$. Тогда $$b=e\cdot{b}=(a^{-1}\cdot{a})\cdot{b}=a^{-1}\cdot(a\cdot{b})=a^{-1}\cdot{0}=0$$ Но элемент $b$ должен быть не нулевой, следовательно получено противоречие.

Определение 2.12:
Пусть $R$ коммутативное кольцо, $a,b\in{R}$, тогда говорят, что $a$ делит $b$ ($b$ делится на $a$), если существует $c\in{R}$ такое, что $a\cdot{c}=b$.
Если $a$ делит $b$, то пишут $a|b$.

Из определения и п. 1 теоремы 2.1 следует, что для любого $a\in{R}$ $a|0$ и $0|a$ тогда и только тогда, когда $a=0$.

Утверждение 2.4:
Пусть $R$ коммутативное кольцо, $a,b,c\in{R}$, тогда

1. $(a|b\wedge{b}|c)\Rightarrow{a}|c$,
2. $(a|b\wedge{a}|c)\Rightarrow{a}|(b\pm{c})$,
3. $a|b\Rightarrow{a}|(b\cdot{c})$.

Доказательство:

1. $$(a|b\wedge{b}|c)\Rightarrow\exists{d},g\in{R}:(a\cdot{d}=b\wedge{b}\cdot{g}=c)\Rightarrow \exists{h}:=d\cdot{g}:a\cdot{h}=a\cdot(d\cdot{g})=(a\cdot{d})\cdot{g}=b\cdot{g}=c\Rightarrow{a}|c$$
2. $$(a|b\wedge{a}|c)\Rightarrow\exists{d},g\in{R}:(a\cdot{d}=b\wedge{a}\cdot{g}=b)\Rightarrow \exists{h}:=d\pm{g}:a\cdot{h}=a\cdot(d\pm{g})=a\cdot{d}\pm{a}\cdot{g}=b\pm{c}\Rightarrow{a}|(b\pm{c})$$
3. $$a|b\Rightarrow\exists{d}\in{R}:a\cdot{d}=b\Rightarrow\exists{h}:=d\cdot{c}:a\cdot{h}=a\cdot(d\cdot{c})=b\cdot{c}\Rightarrow{a}|(b\cdot{c})$$

Утверждение 2.5:
Пусть $R$ коммутативное кольцо с единицей, тогда

1. $\forall{a}\in{R}\,\forall{r}\in{R}^*(r|a\wedge(a\cdot{r})|a)$,
2. $\forall{a},b\in{R}\,\forall{r}_1,r_2\in{R}^*(a|b\Rightarrow(a\cdot{r}_1)|(b\cdot{r}_2))$.

Доказательство:

1. $$r\in{R}^*\Rightarrow\exists{h}:=r^{-1}\cdot{a}:r\cdot{h}=r\cdot({r}^{-1}\cdot{a})=(r\cdot{r}^{-1})\cdot{a}=a\Rightarrow{r}|a$$ $$r\in{R}^*\Rightarrow\exists{h}:=r^{-1}:(a\cdot{r})\cdot{h}=a\Rightarrow(a\cdot{r})|a$$
2. Если $a|b$, то по п. 3 утверждения 2.4 $a|(b\cdot{r}_2)$. С другой стороны, $r_1\in{R}^*$ следовательно по пункту 1 $(a\cdot{r}_1)|a$. Тогда по п. 1 утверждения 2.4 $(a\cdot{r}_1)|(b\cdot{r}_2)$.