Текст набранный курсивом не содержится непосредственно в конспекте, как правило это решение задач и материал для самостоятельной проработки. Об обнаруженных ошибках можно сообщать на egorov_av@mail.ru или исправлять здесь.

Содержание.

1. ВВЕДЕНИЕ.

   • 1.1 О методах математических доказательств.
   • 1.2 Бином Ньютона.
   • 1.3 Сочетания, размещения и перестановки элементов конечных множеств.
   • 1.4 Перестановки и их классификация.
2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ.

   • 2.1 Бинарные операции.
   • 2.2 Кольца.
   • 2.3 Поля.
   • 2.4 Отношение эквивалентности.
3. МАТРИЦЫ НАД КОЛЬЦОМ.

   • 3.1 Кольцо матриц над кольцом.
   • 3.2 Определитель матрицы над коммутативным кольцом.
   • 3.3 Теорема Лапласа.
   • 3.4 Обратимые матрицы.
   • 3.5 Элементарные преобразования матриц.
4. МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ.

   • 4.1 Ранг матрицы.
   • 4.2 Каноническая форма матрицы.
   • 4.3 Линейная зависимость векторов.
   • 4.4 Подпространства арифмитических пространств.
5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

   • 5.1 Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом с единицей.
   • 5.2 Системы линейных уравнений над полем.
   • 5.3 Системы однородных линейных уравнений.
6. ЧИСЛОВЫЕ КОЛЬЦА И ПОЛЯ.

   • 6.1 Делимость в кольце целых чисел.
   • 6.2 Наибольший общий делитель.
   • 6.3 Взаимнопростые числа.
   • 6.4 Наименьшее общее кратное.
   • 6.5 Простые числа.
   • 6.6 Поле комплексных чисел.
7. МНОГОЧЛЕНЫ.

   • 7.1 Многочлены над кольцом с единиецей.
   • 7.2 Делимость многочленов.
   • 7.3 Значение и корень многочлена. Теорема Безу.
   • 7.4 Многочлены над полем.
   • 7.5 Каноническое разложение многочлена.
   • 7.6 Корни многочлена над полем. Производная многочлена.
   • 7.7 Неприводимые многочлены над числовыми полями.
8. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ.

   • 8.1 Сравнения по модулю.
   • 8.2 Классы вычетов.
   • 8.3 Сравнения первой степени.
9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП.

   • 9.1 Гомоморфизмы множеств с операциями.
   • 9.2 Группы.
   • 9.3 Группы подстановок.
   • 9.4 Подгруппы групп.
   • 9.5 Порождение группы множеством.
   • 9.6 Порядок элемента и экспонента группы.
   • 9.7 Смежные классы по подгруппе.
   • 9.8 Классы сопряженных элементов.
   • 9.9 Конгруэнции на группе.
   • 9.10 Теорема об изоморфизме.
   • 9.11 Простые группы.
   • 9.12 Силовские подгруппы.
   • 9.13 Прямое произведение групп.
10. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ.

    • 10.1 Циклические группы.
    • 10.2 Силовские подгруппы конечных абелевых групп.
    • 10.3 Строение конечной абелевой группы.
11. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

    • 11.1 Введение.
    • 11.2 Подпространства векторых пространств.
    • 11.3 Изоморфизм векторных пространств.
    • 11.4 Конечномерные векторные пространства.
    • 11.5 Подпространства конечномерных векторных пространств.
    • 11.6 Фактор пространства.
12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ.

    • 12.1 Введение.
    • 12.2 Собственные векторы линейного преобразования.
    • 12.3 Многочлены аннулирующие преобразования.
    • 12.4 Инвариантные подпространства.
13. ПОДОБИЕ МАТРИЦ НАД ПОЛЕМ.

    • 13.1 Критерий подобия матриц над полем.
    • 13.2 Каноническая форма полиномиальной матрицы.
    • 13.3 Жорданова форма матрицы.
14. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

    • 14.1 Введение.
    • 14.2 Ортогональные системы векторов.
    • 14.3 Матрица Грамма.
    • 14.4 Изометричность евклидовых пространств.
    • 14.5 Ортогональные дополнения.
    • 14.6 Геометрия евклидовых пространств.
15. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

    • 15.1 Сопряженные преобразования.
    • 15.2 Нормальные преобразования.
    • 15.3 Самосопряженные преобразования.
    • 15.4 Изометрические преобразования.
16. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

    • 16.1 Многочлены от нескольких переменных.
    • 16.2 Общие свойства квадратичной формы.
    • 16.3 Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел.
17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ.

    • 17.1 Подкольца и операции над ними.
    • 17.2 Характеристика кольца.
    • 17.3 Идеалы и операции над ними.
    • 17.4 Конгруэнции колец.
    • 17.5 Гомоморфизмы колец.
    • 17.6 Разложение кольца в прямую сумму подколец.
18. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ.

    • 18.1 Подполя. Расширения полей.
    • 18.2 Поля частных.
    • 18.3 Простые поля.
    • 18.4 Простые расширения полей.
    • 18.5 Поле разложение многочлена.
19. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ.

    • 19.1 Основные свойства конечных полей.
    • 19.2 Неприводимые многочлены над конечными полями.
    • 19.3 Критерий неприводимости многочленов над конечным полем.
    • 19.4 Число неприводимых многочленов.
20. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК.

    • 20.1 Орбиты и стабилизаторы. Лемма Бернсайда.
    • 20.2 Регулярные группы подстановок.
    • 20.3 Кратнотранзитивные группы подстановок.
    • 20.4 Примитивные группы.
21. ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

    • 21.1 Модули над кольцом.
    • 21.2 Семейства линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП).
    • 21.3 Модуль последовательностей над кольцом многочленов.
    • 21.4 Минимальный многочлен и аннулятор.
    • 21.5 Биномиальное представление ЛРП.
    • 21.6 Представление ЛРП над конечным полем функцией след.
    • 21.7 Периодические последовательности.
    • 21.8 Периодические многочлены.
    • 21.9 Периодические ЛРП над конечным полем.
    • 21.10 ЛРП максимального периода над конечным полем.
    • 21.11 ЛРП максимального периода над примарными кольцами вычетов.
22. ГРАФ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА.