7. МНОГОЧЛЕНЫ.

7.1 Многочлены над кольцом.

Определение 7.1:
Многочленом над кольцом $R$ называется последовательность элементов кольца $(a_i)=(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots)$, в которой только конечное число членов не равно нулю.
Члены последовательности $a_i$ называются коэффициентами многочлена.
Многочлен $(0)=(0,\ldots,0,\ldots)$ называется нулевым многочленом.
Множество всех многочленов над кольцом $R$ обозначают $M(R)$.
На множестве $M(R)$ определены две операции $+$, $\cdot$ такие, что для любых ${(a_i),(b_i)\in{M}(R)}$ $$(a_i)+(b_i)=(c_i):\forall{i}\in\mathbb{N}_0(c_i=a_i+b_i),$$ $$(a_i)(b_i)=(d_i):\forall{i}\in\mathbb{N}_0\left(d_i=\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}\right).$$

Теорема 7.1:
Алгебра $(M(R);+,\cdot)$ является кольцом с единицей.
Кольцо $(M(R);+,\cdot)$ является коммутативным, тогда и только тогда, когда кольцо $R$ коммутативно.

Доказательство:

Докажем, что алгебра $(M(R);+,\cdot)$ удовлетворяет аксиомам кольца.

1. Ассоциотивность и коммутативность операций $+$ и $\cdot$ в алгебре $(M(R);+,\cdot)$ следует из аналогичных свойств одноименных операций кольца $R$.
2. Нейтральным относитльно операции $+$, или нулем, в алгебре $(M(R);+,\cdot)$ является нулевой многочлен $(0)=(0,\ldots,0,\ldots)$.
3. Противоположным элементу $(a_i)\in{M}(R)$ является элемент ${(b_i)\in{M}(R)}$ такой, что для любого $i\in\mathbb{N}_0$ $b_i=-a_i$.
4. Докажем ассоциативность операции $\cdot$. Пусть $(a_i),(b_i),(c_i)\in{M}(R)$, положим $(u_i):=(a_i)(b_i)$, $(v_i):=(u_i)(c_i)$, $(g_i)=:(b_i)(c_i)$, $(h_i)=(a_i)(g_i)$, тогда $$ v_i=\sum_{k=0}^iu_kc_{i-k}=\sum_{k=0}^i\left(\sum_{s=0}^ka_sb_{k-s}\right)c_{i-k}=\sum_{k=0}^i\sum_{s=0}^ka_sb_{k-s}c_{i-k} $$ $$ h_i=\sum_{k=0}^ia_kg_{i-k}=\sum_{k=0}^ia_k\sum_{s=0}^{i-k}b_sc_{i-k-s}=\sum_{k=0}^i\sum_{s=0}^{i-k}a_kb_sc_{i-k-s} $$ Сумма индексов во всех слагаемых обоих сумм равна $i$ и совпадающих наборов индексов в каждой из сумм нет. При этом количество слагаемых в обоих суммах равно $\sum_{k=0}^ik$. Число представлений числа $i$ в виде суммы трех слагаемых, тоже равно $\sum_{k=1}^ik$. Действительно, если первое слагаемое равно $m$, то второе слагаемое можно выбрать $i-m$ способами, а третье будет определено однозначно, то есть число представлений числа $i$ в виде трех слагаемых равно $\sum_{m=0}^i(i-m)=\sum_{m=0}^im$. Таким образом $$v_i=h_i=\sum_{k_1,k_2,k_3\in\mathbb{N}_0 \\ k_1+k_2+k_3=i}a_{k_1}b_{k_2}c_{k_3}.$$
5. Докажем дистрибутивность операции $\cdot$ относительно операции $+$. Обозначим $(h_i):=((a_i)+(b_i))(c_i)$, $(u_i):=(a_i)(c_i)$, $(v_i):=(b_i)(c_i)$, тогда $$ h_i=\sum_{k=0}^i(a_k+b_k)c_{i-k}=\sum_{k=0}^i(a_kc_{i-k}+b_kc_{i-k})=\sum_{k=0}^ia_kc_{i-k}+\sum_{k=0}^ib_kc_{i-k}=u_i+v_i $$
6. Нейтральным относительно операции $\cdot$, или единицей, является элемент $(e_i)=(e,0,\ldots,0,\ldots)$. Действительно, $$(a_i)(e_i)=\sum_{k=0}^ia_ke_{i-k}=\sum_{k=0}^{i-1}0+a_i=a_i.$$ $$(e_i)(a_i)=\sum_{k=0}^ie_ka_{i-k}=a_i+\sum_{k=1}^i0=a_i.$$

1. При $k=1$ верно по определению $x$.
2. Пусть для любого $s\in\mathbb{N}$ утверждение верно для всех $k\in\overline{1,s}$, докажем, что оно верно при $k=s+1$. Обозначим $(a_i):=x$, $(b_i):=x^s$, $(c_i):=x^{s+1}$. Тогда $(c_i)=(a_i)(b_i)$ и так как $a_i$ равно $0$ для всех $i\neq1$, то $$c_i=\sum_{m=0}^ia_mb_{i-m}=a_1b_{i-1}.$$ С другой стороны, $b_i$ по предположению индукции не равно нулю только при $i=s$, следовательно $c_i=a_1b_{i-1}$, не равно $0$ (а единице), только при $i=s+1$.

Определение 7.2:
Степенью ненулевого многочлена $a(x)$ называется число $\deg{(a(x))}=\max{\{i\in\mathbb{N}_0\mid{a}_i\neq0\}}$.
Если $\deg{(a(x))}=n\in\mathbb{N}_0$, то коэффициент $a_n$ называют старшим коэффициентом многочлена $a(x)$, a слагаемое $a_nx^n$ старшим членом многочлена $a(x)$.
Степенью нулевого многочлена считают $-\infty$.

Таким образом степень многочлена - это функция $$\deg(a(x)):R[x]\to\mathbb{N}_0\cup\{-\infty\}.$$

Утверждение 7.1:
Для любых $a(x),b(x)\in{R}[x]$ таких, что $\deg{(a(x))}=n$, $\deg{(b(x))}=m$

1. $\deg{(a(x)+b(x))}\leq\max{\{n,m\}}$,
2. $\deg{(a(x)+b(x))}<\max{\{n,m\}}\Leftrightarrow(n=m\in\mathbb{N}_0\,\wedge\,a_n=-b_n)$,
3. $\deg{(a(x)b(x))}\leq{n}+m$,
4. $\deg{(a(x)b(x))}<n+m\Leftrightarrow(m,n\in\mathbb{N}_0\,\wedge\,a_nb_m=0)$.

Доказательство:

1. Обозначим $c(x):=a(x)+b(x)$, тогда для любого $i\in\mathbb{N}_0$ $c_i=a_i+b_i$.
   Если $\max{\{n,m\}}=-\infty$, то $a(x)=b(x)=c(x)=0$, следовательно, $\deg{(c(x))}=\max{\{n,m\}}=-\infty$.
   Если $\max{\{n,m\}}=k\in\mathbb{N}_0$, то $$\forall{i}>k(a_i=b_i=0)\Rightarrow\forall{i}>k(c_i=a_i+b_i=0)\Rightarrow\deg{(c(x))}\leq{k}.$$
2. $\Rightarrow)$ Пусть $\deg{(c(x))}<\max{\{n,m\}}$. Докажем от противного, что $n=m$. Предположим, что $m<n$, тогда $n\neq-\infty$ и $$c(x)=a_nx^n+\cdots+a_{m+1}x^{m+1}+(a_m+b_m)x^m+\cdots+(a_0+b_0),$$ где $a_n\neq0$. Следовательно, $\deg{(c(x))}=n=\max{\{n,m\}}$, то есть получено противоречие. Аналогично показывается, что неверно утверждение $m>n$, следовательно, $m=n$.
   Докажем от противного, что $n,m\in\mathbb{N}_0$. Предположим, $m=n=-\infty$, тогда $a(x)=b(x)=c(x)=0$ и $\deg{(c(x))}=-\infty=\max{\{n,m\}}$, то есть получено противоречие.
   Таким образом $m=n\in\mathbb{N}_0$, тогда, $c(x)=(a_n+b_n)x^n+\cdots+(a_0+b_0)$ и так как $\deg{(c(x))}<n$, то $a_n+b_n=0$, то есть $a_n=-b_n$.
   $\Leftarrow)$ $$ (\deg{(a(x))}=\deg{(b(x))}=n\,\wedge\,a_n=-b_n)\Rightarrow(c_n=a_n+b_n\,\wedge\,a_n=-b_n)\Rightarrow{c}_n=0\Rightarrow\deg{(c(x))}<n. $$
3. Обозначим $d(x)=a(x)b(x)$, тогда для любого $i\in\mathbb{N}_0$ $d_i=\sum_{k=0}^ia_kb_{i-k}$.
   Если $m=-\infty$ или $n=-\infty$, то $d(x)=0$ и $\deg{(d(x))}=-\infty=n+m$.
   Если $m,n\in\mathbb{N}_0$, то для любого $i>n+m$ $$ \forall{k}\in\overline{0,i}(i-k>m\,\vee\,k>n)\Rightarrow\forall{k}\in\overline{0,i}(b_{i-k}=0\,\vee\,a_k=0)\Rightarrow \forall{k}\in\overline{0,i}(a_kb_{i-k}=0)\Rightarrow{d}_i=\sum_{k=0}^ia_kb_{i-k}=0, $$ следовательно, $\deg{(d(x))}\leq{n}+m$.
4. По доказанному в пункте 3 $m,n\in\mathbb{N}_0$, тогда $$\deg{(d(x))}<m+n\Leftrightarrow{d}_{n+m}=\sum_{k=0}^{m+n}a_kb_{m+n-k}=a_nb_m=0.$$ Предпоследнее равенство верно, так как в сумме $\sum_{k=0}^{m+n}a_kb_{m+n-k}$ все слагаемые кроме $a_nb_m$ равны $0$. Действительно, предположим, что $a_sb_t\neq0$ и $s\neq{n}$, $t\neq{m}$, тогда если $s>n$, то $a_s=0$, следовательно, $s\leq{n}$, тогда $t=m+n-s\geq{m}$ и по предположению $t>m$, то есть $b_t=0$, следовательно, $a_sb_t=0$, что противоречит предположению.

Следствие 7.1:

1. Если $R$ - кольцо без делителей нуля, то $$\forall{a}(x),b(x)\in{R}[x](\deg{(a(x)b(x))}=\deg{(a(x))}+\deg{(b(x))}).$$
2. Кольцо $R[x]$ не имеет делителей нуля, тогда и только тогда, когда $R$ без делителей нуля.

Доказательство:

1. Пусть $\deg{(a(x))}=n$, $\deg{(b(x))}=m$ и кольцо $R$ не содержит делителей нуля. Докажем от противного, что $\deg{(a(x)b(x))}=n+m$. Предположим, что $\deg{(a(x)+b(x))}\neq{n+m}$, тогда по п. 3 утверждения 7.1 $\deg{(a(x)b(x))}<n+m$. Тогда по п. 4 утверждения 7.1 $m,n\in\mathbb{N}_0$ и $a_nb_m=0$, при этом $a_n\neq0$, $b_m\neq0$, следовательно, $a_n$, $b_m$ делители нуля в $R$, что противоречить предположению.
2. $\Rightarrow)$ Пусть $R[x]$ без делителей нуля, докажем от противного, что $R$ тоже без делителей нуля. Предположим, что $a\in{R}$ делитель нуля, тогда существует $b\neq0$ такой, что $ab=0$, следовательно, существуют $\overline{a},\overline{b}\in{R}[x]$ такие, что $\overline{a}\overline{b}=(ab,0,\ldots,0,\ldots)=0$, то есть $\overline{a}$ делитель нуля в $R[x]$. Получено противоречие.
   $\Leftarrow)$ Пусть $R$ без делителей нуля. Докажем от противного, что $R[x]$ тоже без делителей нуля. Предположим, существуют $a(x),b(x)\in{R}[x]\backslash\{0\}$ такие, что $a(x)b(x)=0$ тогда, по пункту 1 $$ \deg{(a(x))}+\deg{(b(x))}=\deg{0}=-\infty\Rightarrow\deg{(a(x))}=\deg{(b(x))}=-\infty\Rightarrow{a}(x)=b(x)=0, $$ что противоречит предположению.