6.5 Простые числа.

Определение 6.5:
Число $p\in\mathbb{N}$ такое, что $p\neq1$ и $p$ не имеет натуральных делителей отличных от $1$ и $p$ называется простым.
Если натуральное $p$ имеет натуральный делитель отличный от $1$ и $p$, то оно называется составным.

Утверждение 6.4:
Пусть $p$ - простое число, тогда

1. $\forall{a}\in\mathbb{Z}(p|a\,\vee\,(p,a)=1)$,
2. $\forall{a},b\in\mathbb{Z}(p|ab\Rightarrow(p|a\,\vee\,p|b))$,
3. если $q$ - простое число, то $q=p$ или $(p,q)=1$.

Доказательство:

1. Обозначим $d:=(p,a)$, тогда $$d|b\Rightarrow{d}\in\{1,p\}\Rightarrow(d=1\,\vee\,(p,a)=p)\Rightarrow((p,a)=1\,\vee\,p|a).$$
2. Пусть $p\nmid{a}$, тогда по пункту 1 $(p,a)=1$, тогда по п. 2 теоремы 6.7 $p|b$. Аналогично, если $p\nmid{b}$, то $p\nmid{a}$.
3. Пусть $p\neq{q}$, тогда по пункту 1, п. 3 утверждения 6.1 и определению простого числа $$(p|q\,\wedge\,q|p)\Rightarrow|p|=|q|\Rightarrow{p}=q.$$

Теорема 6.10: Основная теорема арифметики.
Любое натуральное $n$ большее $2$ либо простое число, либо раскладывается в произведение простых чисел, причем такое разложение единственно с точностью до перестановки множителей, то есть если существуют два таких разложения $n=p_1\cdots{p}_t=q_1\cdots{q}_s$, то $t=s$ и существует подстановка $(i_1,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s})$ такая, что для любого $j\in\overline{1,s}$ $q_j=p_{i_j}$.

Доказательство:

Докажем существование разложения индукцией по $n$.

1. При $n=2$ доказано, так как $2$ - простое число.
2. Пусть для любого $m\geq2$ любое $n\in\overline{2,m}$ раскладывается в произведение простых, докажем, что $m+1$ раскладывается в произведение простых.
   Если $m+1$ - простое, то доказано.
   Если $m+1$ составное, то по п. 2 утверждения 6.1 $$\exists{a}\in\overline{2,m}:a|(m+1)\Rightarrow\exists{b}\in\overline{2,m}:m+1=ab.$$ Тогда по предположению индукции $a=p_1\cdots{p}_r$, $b=p_{r+1}\cdots{p}_s$, где для любого $i\in\overline{1,s}$ $p_i$ - простое число. Тогда $m+1=p_1\cdots{p}_rp_{r+1}\cdots{p}_s$.

1. При $n=2$ доказано, так как $2$ - простое число.
2. Пусть для любого $m\geq2$ любое $n\in\overline{2,m}$ раскладывается в произведение простых единственным образом, докажем, что $m+1$ раскладывается в произведение простых единственным образом.
   Пусть $m+1=p_1\cdots{p}_s=q_1\cdots{q}_t$, где для любых $i\in\overline{1,s}$, $j\in\overline{1,t}$ $p_i,q_j$ - простые числа.
   Если $s=1$, то $m+1$ - простое число, тогда $t=1$ и $m+1=p_1=q_1$. Пусть $s>1$, $t>1$ тогда по п. 2 утверждения 6.4 и определению простого числа $$ p_1\cdots{p}_s=q_1\cdots{q}_t\Rightarrow{q}_1|p_1\cdots{p}_s\Rightarrow\exists{i}_1\in\overline{1,s}:q_1|p_{i_1}\Rightarrow {q}_1=p_{i_1}\neq0\Rightarrow{n}_1:=p_1\cdots{p}_{i_1-1}p_{i_1+1}\cdots{p}_s=q_2\cdots{q}_t. $$ Так как $2\leq{n}_1<m+1$, то по предположению индукции существует единственное разложиние числа $n_1$ в произведение простых, тогда $$ (s-1=t-1\,\wedge\,\exists(i_2,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s}\backslash\{i_1\}):\forall{j}\in\overline{2,s}(q_j=p_{i_j}))\Rightarrow (s=t\,\wedge\,\exists(i_1,i_2,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s}):\forall{j}\in\overline{1,s}(q_j=p_{i_j})). $$

Определение 6.6:
Каноническим разложением целого числа $n$ отличного от нуля, называется его представление в виде $$n=\varepsilon{p}_1^{\alpha_1}\cdots{p}_s^{\alpha_s},$$ где $\varepsilon\in\{-1,1\}$, $s\in\mathbb{N}_0$, $p_1<p_2<\cdots<p_s$ - простые числа, $\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in\mathbb{N}$.
Если $\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in\mathbb{N}_0$, то разложение называется обощенным каноническим.

Следствие 6.2:

1. Для любого $n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ существует единственное каноническое разложение.
2. Обощенное каноническое разложение числа $n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ не единственно.

Доказательство:

1. Из теоремы 6.10 следует, что для любого $n\in\mathbb{N}$ существует единственное c точностью до порядка сомножителей разложение в произведение простых чисел. Порядок же множителей однозначно задается определением канонического разложиения. Аналогично показывается единственность канонического разложения для $n\in-\mathbb{N}$.
2. Например, для числа $3\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ существует как минимум два обобщенных канонических разложения $3=3\cdot5^0$, $3=3\cdot7^0$.

Теорема 6.11:
Пусть $a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$, $\displaystyle{a}=\varepsilon_1p_1^{\alpha_1}\cdots{p}_s^{\alpha_s},\,b=\varepsilon_2p_1^{\beta_1}\cdots{p}_s^{\beta_s}$ - некоторые канонические разложения чисел $a$ и $b$, тогда $$(a,b)=\prod_{i=1}^{s}p_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}},\,[a,b]=\prod_{i=1}^sp_i^{\max\{\alpha_i,\beta_i\}}.$$

Доказательство:
Обозначим $\displaystyle{d}:=\prod_{i=1}^sp_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}}$, тогда $$\forall{i}\in\overline{1,s}(\min\{\alpha_i,\beta_i\}\leq\alpha_i)\Rightarrow{a}=d\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i-\min\{\alpha_i,\beta_i\}}\Rightarrow{d}|a.$$ Аналогично показывается, что $d|b$.
Пусть $d_1\in\mathbb{Z}$ такое, что $d_1|a$, $d_1|b$, тогда выражение вида $\displaystyle\varepsilon{p}_1^{\gamma_1},\ldots,p_s^{\gamma_s}$ такое, что для любого $i\in\overline{1,s}$ $\gamma_i\leq\min\{\alpha_i,\beta_i\}$ будет некоторым обобщенным каноническим разложением числа $d_1$. Тогда $$d=d_1\prod_{i=1}^sp_i^{\min\{\alpha_i,\beta_i\}-\gamma_i}\Rightarrow{d}_1|d.$$ Таким образом $d=(a,b)$. $$[a,b]=\frac{|ab|}{(a,b)}=\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i+\beta_i-\min\{\alpha_i,\beta_i\}}=\prod_{i=1}^sp_i^{\max\{\alpha_i,\beta_i\}}.$$

Теорема 6.12:
Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство:
Предположим противное, пусть множество простых чисел конечно. Тогда положим, что $p_1,\ldots,p_t$ все простые числа. Рассмотрим число $n:=p_1\cdots{p}_t+1$. Так как $n>\max\{p_1,\ldots,p_t\}$, то число $n$ не является простым, следовательно $$ \exists{i}\in\overline{1,t}:p_i|n\Rightarrow\exists{c}\in\mathbb{Z}:p_1\cdots{p}_t+1=p_ic\Rightarrow 1=p_i(c-p_1\cdots{p}_{i-1}p_{i+1}\cdots{p}_t)\Rightarrow{p}_i|1\Rightarrow|p_i|\leq1, $$ то есть $p_i$ не является простым числом. Получено противоречие.

6.6 Поле комплексных чисел.

Теорема 6.13:
Алгебра $(\mathbb{C};+,\cdot)$ является алгебраическим полем.

Доказательство:

Для любых $(a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{C}$

1. Операции $+$, $\cdot$ - ассоциативны: $$ ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)=\\=(a+(c+e),b+(d+f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)). $$ $$ ((a,b)(c,d))(e,f)=(ac-bd,ad+bc)(e,f)=((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)=(ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce)=\\ (a(ce-df)-b(de+cf),a(de+cf)+b(ce-df))=(a,b)(ce-df,de+cf)=(a,b)((c,d)(e,f)). $$
2. Операция $\cdot$ дистрибутивна относительно операции $+$: $$ (a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)(c+e,d+f)=(a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))=\\=(ac+ae-bd-bf,bc+be+ad+af)=(ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f). $$
3. Элемент $\theta:=(0,0)$ является нейтральным относительно операции $+$.
4. Противоположным к элементу $(a,b)$ является элемент $(-a,-b)$.
5. Элемент $e=(1,0)$ является нейтральным относительно операции $\cdot$, так как $(a,b)(1,0)=(a\cdot1-b\cdot0,a\cdot0+b\cdot1)=(a,b)$. Аналогично $e(a,b)=(a,b)$.
6. Обратным к элементу $(a,b)\neq\theta$ является элемент $\displaystyle(a,b)^{-1}:=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$, так как $$ (a,b)(a,b)^{-1}=(a,b)\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)= \left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2},\frac{ab}{a^2+b^2}-\frac{ab}{a^2+b^2}\right)=(1,0). $$ Аналогично, $(a,b)^{-1}(a,b)=e$

Если $z=(a,b)\in\mathbb{C}$, то комплексное число $\overline{z}:=(a,-b)$ называется комплексно сопряженным к числу $z$.

Задача 6.1:
Доказать, следующие свойства комплексно сопряженных чисел.
Для любых $z=(x,y),z_1=(x_1,y_1),z_2=(x_2,y_2)\in\mathbb{C}$ верно

1. $\overline{\overline{z}}=z$.
2. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$,
3. $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}$,
4. $\overline{z^{-1}}=(\overline{z})^{-1}$
5. $\forall{n}\in\mathbb{N}((\overline{z})^n=\overline{(z^n)})$,
6. $\displaystyle{z}_2\neq0\Rightarrow\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$,
7. $z\overline{z}=x^2+y^2\in\mathbb{R}$.

1. $\overline{\overline{z}}=\overline{(x,-y)}=(x,y)=z$.
2. $\overline{z_1+z_2}=\overline{(x_1,y_1)+(x_2,y_2)}=\overline{(x_1+y_1,x_2+y_2)}=(x_1+x_2,-y_1-y_2)=\\=(x_1,-y_1)+(x_2,-y_2)= \overline{z_1}+\overline{z_2}$.
3. $\overline{z_1z_2}=\overline{(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)}=(x_1x_2-y_1y_2,-x_1y_2-y_1x_2)=\\=(x_1,-y_1)(x_2,-y_2)= \overline{z_1}\,\overline{z_2}$.
4. $\overline{z}\overline{z^{-1}}=\overline{z^{-1}}\,\overline{z}=\overline{z^{-1}z}=\overline{(1,0)}=1\Rightarrow\overline{z^{-1}}= (\overline{z})^{-1}$.
5. Следует из пункта 3.
6. Следует из пункта 3.
7. $z\overline{z}=(x,y)(x,-y)=(xx+yy,-xy+yx)=x^2+y^2$.

Опеределение 6.8:
Представление произвольного комплексного числа в виде $z=\rho(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi})$, где $\rho\geq0$ называется тригонометрическим представлением комплексного числа $z$.
Число $z=(0,0)$ имеет бесконечно много тригонометрических представлений так как $(\rho\cos{\varphi}, \rho\sin{\varphi})=(0,0)$ при $\rho=0$ и любом $\varphi\in[0,2\pi)$. Любое другое комплексное число $z=(x,y)\neq(0,0)$ имеет как минимум одно тригонометрическое представление $(\rho\cos{\varphi},\rho\sin{\varphi})$, где $\rho=|z|:=\sqrt{x^2+y^2}$, $\varphi=\arccos\frac{x}{|z|}$.
Для любого $z=(x,y)\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$ действительное число $\arccos{\frac{x}{|z|}}$ обозначают $\arg{z}$.

Утверждение 6.5:
Для любых комплексных чисел $z_1:=\rho_1(\cos{\varphi_1}+i\sin{\varphi_1})$, $z_2:=\rho_2(\cos{\varphi_2}+i\sin{\varphi_2})$

1. $z_1z_2=\rho_1\rho_2(\cos{(\varphi_1+\varphi_2)}+i\sin{(\varphi_1+\varphi_2)})$.
2. $z_2\neq0\Rightarrow\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}(\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}+i\sin{(\varphi_1-\varphi_2)})$,
3. $(z_1\neq0\,\wedge\,n\in\mathbb{Z})\Rightarrow{z}_1^n=\rho_1^{n}(\cos({n\varphi_1})+i\sin{(n\varphi_1)})$.

Доказательство:

1. $$ z_1z_2=\rho_1(\cos{\varphi_1}+i\sin{\varphi_1})\rho_2(\cos{\varphi_2}+i\sin{\varphi_2})= \rho_1\rho_2((\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}-\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2})+i(\cos{\varphi_1}\sin{\varphi_2}+\sin{\varphi_1}\cos{\varphi_2}))= \rho_1\rho_2(\cos{(\varphi_1+\varphi_2)}+i\sin{(\varphi_1+\varphi_2)}). $$
2. Так как для любых $\varphi\in[0,2\pi)$ $\cos{\varphi}=\cos(-\varphi)$, $-\sin{\varphi}=\sin{(-\varphi)}$, то из пункта 1 следует $$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}= \frac{\rho_1(\cos{\varphi_1}+i\sin{\varphi_1})\rho_2(\cos{(-\varphi_2)}+i\sin{(-\varphi_2)})}{\rho_2(\cos^2{\varphi_2}+\sin^2{\varphi_2})}= \frac{\rho_1}{\rho_2}(\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}+i\sin{(\varphi_1-\varphi_2)}). $$
3. При $n\in\mathbb{N}$ доказывается индукцией по $n$ с помощью пункта 2.
   При $n=0$ $z_1^0=\rho_1^0(\cos{0}+i\sin{0})=1(1+i0)=1$.
   При $n\in\{-\mathbb{N}\}$ $-n\in\mathbb{N}$, тогда по пунктам 1 и 2 $$ z_1^n=\frac1{z_1^{-n}}=\frac1{\rho_1^{-n}}\frac{\cos{0}+i\sin{0}}{\cos{(-n\varphi_1)}+i\sin{(-n\varphi_1)}}= \rho_1^n(\cos{(n\varphi_1)+i\sin{(n\varphi_1)}}). $$

Утверждение 6.6:
Пусть $z\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$, тогда $$z=\rho(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi})\Leftrightarrow(\rho=|z|\,\wedge\,\varphi\in\{\arg{z}+2\pi{k}\mid{k}\in\mathbb{Z}\}).$$

Доказательство:
$\Rightarrow)$ $$ z=|z|(\cos{\arg{z}}+i\sin{\arg{z}})=\rho(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi})\Rightarrow \frac{\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}}{\cos{\arg{z}}+i\sin{\arg{z}}}=\cos{(\varphi-\arg{z})}+i\sin{(\varphi-\arg{z})}=(1,0)\Rightarrow\\ \Rightarrow\begin{cases}\cos{(\varphi-\arg{z})}=1 \\ \sin{(\varphi-\arg{z})}=0\end{cases}\Rightarrow\varphi-\arg{z}\in\{2\pi{k}\mid{k}\in\mathbb{Z}\}. $$ $\Leftarrow)$ Верно в силу $2\pi$-периодичности функций $\sin{x}$, $\cos{x}$.

Определение 6.9:
Для любого комплексного числа $z$ и $n\in\mathbb{N}$ множество $\sqrt[n]{z}:=\{a\in\mathbb{C}\mid{a}^n=z\}$ называется множеством корней $n$-той степени из $z$.

Исследуем структуру множества $\sqrt[n]{z}$. Из определения в частности следует, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $\sqrt[n]{0}=\{0\}$.

Теорема 6.14:
Для любого $n\in\mathbb{N}$ множество корней $n$-той степени из комплексного числа $z\neq0$ состоит из $n$ элементов, причем $$\sqrt[n]{z}=\left\{\sqrt[n]{|z|}\left(\left.\cos{\frac{\arg{z}+2\pi{k}}{n}}+i\sin{\frac{\arg{z}+2\pi{k}}{n}}\right)\right|k\in\overline{0,n-1}\right\}.$$

Доказательство:

По п. 3 утверждения 6.5 и утверждению 6.6 $$ a=\rho(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi})\in\sqrt[n]{z}\Leftrightarrow{z}=\rho^n(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi})\Leftrightarrow \begin{cases}|z|=\rho^n \\ n\varphi=\arg{z}+2\pi{k}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\rho=\sqrt[n]{|z|} \\ \varphi=\frac{\arg{z}+2\pi{k}}{n}\end{cases}. $$ Для любого $k\in\mathbb{Z}$ обозначим $a_k=\sqrt[n]{z}\left(\cos{\frac{\arg{z}+2\pi{k}}{n}}+i\sin{\frac{\arg{z}+2\pi{k}}{n}}\right)$, тогда $$ \forall{t},s\in\overline{0,n-1}\left(t\neq{s}\Rightarrow\right. \Rightarrow\left(\cos{\frac{\arg{z}+2\pi{s}}{n}}\neq\cos{\frac{\arg{z}+2\pi{t}}{n}}\,\vee\,\sin{\frac{\arg{z}+2\pi{s}}{n}}\neq\sin{\frac{\arg{z}+2\pi{t}}{n}}\right)\Rightarrow \left.\Rightarrow{a}_t\neq{a}_s\right) $$ С другой стороны, для любого $s\in\mathbb{Z}$ $$ s\notin\overline{0,n-1}\Rightarrow\exists{r}\in\overline{0,n-1}\,\exists{q}\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}:s=nq+r\Rightarrow \exists{r}\in\overline{0,n-1}\,\exists{q}\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}:\frac{\arg{z}+2\pi{t}}{n}=\frac{\arg{z}+2\pi{r}}{n}+2\pi{q}\Rightarrow{a}_s=a_r, $$ где последняя импликация в силу $2\pi$-периодичности функций $\cos{x}$, $\sin{x}$. Таким образом $\sqrt[n]{z}=\{a_k\mid{k}\in\overline{0,n-1}\}$.

Задача 6.2:
Доказать, что в поле $\mathbb{C}$ любое квадратное уравнение имеет корни. Вывести формулу для нахождения корней.
Решение:
Пусть дано квадратное уравнение $az^2+bz+c=0$, где $a,b,c\in\mathbb{Z}$, $a\neq0$. Тогда $$ z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}=0\Rightarrow\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0\Rightarrow {z}+\frac{b}{2a}\in\{s_0,s_1\}:=\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a^2}}=\\= \left\{\frac{\sqrt{|d|}}{2a}\left(\cos{\frac{\arg{d}}{2}}+i\sin{\frac{\arg{d}}{2}}\right),\frac{\sqrt{|d|}}{2a} \left(\cos{\left(\frac{\arg{d}}{2}+\pi\right)}+i\sin{\left(\frac{\arg{d}}{2}+\pi\right)}\right)\right\}, $$ где $d:=4ac-b^2$. Тогда $z\in\left\{s_0-\frac{b}{2a},s_1-\frac{b}{2a}\right\}$.

Множество корней $n$-той степени из единицы поля $\mathbb{C}$ обозначают $$\Gamma_n:=\left\{\left.\varepsilon_k:=\cos{\frac{2\pi{k}}{n}}+i\sin{\frac{2\pi{k}}{n}}\right|k\in\overline{0,n-1}\right\}.$$ Так как для любого $k\in\overline{0,n-1}$ $\varepsilon_k=\varepsilon_1^k$, то множество $\Gamma_n$ замкнуто относительно операции умножения.

Определение 6.10:
Корень $n$-той степени из единицы называется первообразным или примитивным, если он не является корнем $m$-той степени из единицы для любого $m<n$.

То есть множество примитивных корней $n$-той степени из единицы есть $\Gamma_n\backslash\bigcup_{m=1}^{n-1}\Gamma_m$.

Теорема 6.15:
Пусть $k\in\overline{0,n-1}$ $\varepsilon_k\in\Gamma_n$, тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. $\Gamma_n=\{\varepsilon_k^s\mid{s}\in\overline{0,n-1}\}$.
2. $\varepsilon_k$ - примитивный корень $n$-той степени из единицы.
3. $(k,n)=1$.

Доказательство:
$1)\Rightarrow2)$
Докажем от противного. Пусть $\varepsilon_k$ - не примитивный корень $n$-той степени из единицы, тогда $$ \exists{m}\in\overline{1,n-1}:\varepsilon_k^{m}=1=\varepsilon_k^0\Rightarrow\left|\{\varepsilon_k^s\mid{s}\in\overline{0,n-1}\}\right|<n= |\Gamma_n|\Rightarrow\{\varepsilon_k^s\mid{s}\in\overline{0,n-1}\}\neq\Gamma_n $$ Получено противоречие.
$2)\Rightarrow3)$
Докажем от противного. Пусть $(k,n)=d>1$, тогда $$ (d|n\,\wedge\,d|k)\Rightarrow\varepsilon_k^{\frac{n}{d}}=\left(\cos{\frac{2\pi{k}}{n}}+i\sin{\frac{2\pi{k}}{n}}\right)^{\frac{n}{d}}= \cos{\frac{2\pi{k}}{d}}+i\sin{\frac{2\pi{k}}{d}}=1\Rightarrow\varepsilon_k\in\Gamma_{\frac{n}{d}}. $$ Так как $\frac{n}{d}<n$, то $\varepsilon_k$ не является примитивным корнем $n$-той степени из единицы. Получено противоречие. $3)\Rightarrow1)$
По теореме 6.3 $$ (k,n)=1\Leftrightarrow\exists{u},v\in\mathbb{Z}(uk+vn=1)\Rightarrow\forall{s}\in\mathbb{Z}(s=suk+svn)\Rightarrow \forall{s}\in\overline{0,n-1}\left(\varepsilon_s=\varepsilon_1^s=\varepsilon_1^{suk+svn}=(\varepsilon_1^k)^{su}(\varepsilon_1^n)^{sv})= \varepsilon_k^{su}1^{sv}=\varepsilon_k^{su}\right)\Rightarrow\\\Rightarrow \forall\varepsilon_s\in\Gamma_n\left(\exists{q},u\in\mathbb{Z}\,\exists{r}\in\overline{0,n-1}:\varepsilon_s=\varepsilon_k^{su}= \varepsilon_k^{nq+r}=\varepsilon_k^{nq}\varepsilon_k^r=\varepsilon_k^r\right). $$ Таким образом $\Gamma_n\subset\{\varepsilon_k^s\mid{s}\in\overline{0,n-1}\}$. Обратное включение следует из замкнутости множества $\Gamma_n$ относительно умножения.

Утверждение 6.7:
$$a\in\sqrt[n]{z}\Rightarrow\sqrt[n]{z}=a\Gamma_n:=\{ac\mid{c}\in\Gamma_n\}.$$

Доказательство:
Фиксируем $b\in\sqrt[n]{z}$, тогда $$ \exists{k}\in\overline{0,n-1}:b=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\arg{b}+2\pi{k}}{n}}+i\sin{\frac{\arg{b}+2\pi{k}}{n}}\right). $$ Тогда для любого $a\in\sqrt[n]{z}$ такого, что $$ a=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\arg{z}+2\pi{s}}{n}}+i\sin{\frac{\arg{z}+2\pi{s}}{n}}\right). $$ Тогда если $s>k$, то $a\varepsilon_{n-s+k}=b$, если $s\leq{k}$, то $a\varepsilon_{k-s}=b$. Таким образом для любого $a\in\sqrt[n]{a}$ $\sqrt[n]{z}\subset{a}\Gamma_n$.
Пусть $a\in\sqrt[n]{z}$, $k\in\overline{0,n-1}$, тогда существует $s\in\overline{0,n-1}$ такое, что $$ a\varepsilon_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\arg{z}+2\pi{s}}{n}}+i\sin{\frac{\arg{z}+2\pi{s}}{n}}\right) \left(\cos{\frac{2\pi{k}}{n}}+i\sin{\frac{2\pi{k}}{n}}\right)= \sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\arg{z}+2\pi(s+k)}{n}+i\sin{\frac{\arg{z}+2\pi(s+k)}{n}}}\right)\in\sqrt[n]{z}. $$ Таким образом для любого $a\in\sqrt[n]{z}$ $a\Gamma_n\subset\sqrt[n]{z}$.

previous contents next