Appendix 1

Основная теорема алгебры.
Каждый полином $$P(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n$$ степени $n\geq1$ с комплексными коэффициентами имеет в $\mathbb{C}$ корень

Доказательство: Б. о. о. утверждения теоремы, очевидно, можно считать, что $c_n=1$.

Пусть $\mu:=\inf_{z\in\mathbb{C}}|P(z)|$. Поскольку $$P(z)=n^z\left(1+\frac{c_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{c_0}{z^n}\right),$$ то $$|P(z)|\geq|z|^n\left(1-\frac{|c_{n-1}|}{|z|}-\cdots-\frac{c_0}{|z|^n}\right),$$ и, очевидно, $|P(z)|>\max{\{1,2\mu\}}$ при $|z|>R$, если $R$ достаочно великою Следовательно, точки последовательности $\{z_k\}$, в которых $0<|P(z_k)|-\mu<1/k$, лежат в круге $|z|\leq{R}$.

Проверим, что в $\mathbb{C}$ (и даже в этом круге) есть точка $z_0$, в которой $|P(z_0)|=\mu$. Для этого заметим, что если $z_k=x_k+iy_k$, то $\max{\{|x_k|,|y_k|\}}\leq|z_k|\leq{R}$ и, таким образом, последовательность действительных чисел $\{x_k\}$, $\{y_k\}$ оказываются ограниченными. Извлекая сначала сходящуюся подпоследовательность $\{x_{k_l}\}$ из $\{x_k\}$, а затем сходящуюся подпоследовательность $\{y_{k_{l_m}}\}$ из $\{y_{k_l}\}$ (для любого $l\in\mathbb{N}$), получим подпоследовательность $$z_{k_{l_m}}=x_{k_{l_m}}+iy_{k_{l_m}}$$ последовательности $\{z_k\}$, которая имеет предел $$\lim_{m\to\infty}z_{k_{l_m}}=\lim_{m\to\infty}x_{k_{l_m}}+i\lim_{m\to\infty}y_{k_{l_m}}=x_0+iy_0=z_0,$$ и поскольку $|z_k|\to|z_0|$ при $k\to\infty$, то $z_0\leq{R}$. Чтобы избежать громоздких обозначений и не переходить к подпоследовательностям, будем считать, что уже сам последовательность $\{z_k\}$ сходится. Из непрерываности $P(z)$ в $z_0\in\mathbb{C}$ следует, что $\lim_{k\to\infty}P(z_k)=P(z_0)$. Но тогда $|P(z_0)|=\lim_{k\to\infty}|P(z_k)|=\mu$.

Теперь предположим, что $\mu>0$, и приведем это предположение к противоречию. Если $P(z_0)\neq0$, то рассмотрим полином $$Q(z)=\frac{P(z+z_0)}{P(z_0)}.$$ По построению $Q(0)=1$ и $$|Q(z)|=\frac{|P(z+z_0)|}{|P(z_0)|}\geq1.$$

Поскольку $Q(0)=1$, полином $Q(z)$ имеет вид $$Q(z)=1+q_kz^k+q_{k+1}z^{k+1}+\cdots+q_nz^n,$$ где $|q_k|\neq0$ и $1\leq{k}\leq{n}$. Если $q_k=\rho{e}^{i\psi}$, то при $\phi=(\pi-\psi)/k$ будем иметь $$q_k(e^{i\phi})^k=\rho{e}^{i\psi}e^{i(\pi-\psi)}=\rho{e}^{i\pi}=i\rho=-|q_k|.$$ Таким образом, при $z=re^{i\phi}$ получим $$ |Q(re^{i\phi})|\leq|1+q_kz^k|+(|q_{k+1}z^{z+1}|+\cdots+|q_nz^n|)=|1-r^k|q_k||+r^{k+1}(|q_{k+1}|+\cdots+|q_n|r^{n-k-1})= 1-r^k(|q_k|-r|q_{k+1}|-\cdots-r^{n-k}|q_n|)<1 $$ если $r$ достаточно близко к нулю. Но $Q(z)\geq1$ при $z\in\mathbb{C}$. Полученное противоречие показывает, что $P(z_0)=0$

previous contents