4.4 Подпоследовательность и частичный предел последовательности.

4.4.1 Подпоследовательность числовой последовательности.

Определение 4.4.1: Пусть $\{x_n\}$ числовая последовательность, $\{n_k\}$ возрастающая последовательность из множества натуральных чисел $\mathbb{N}$, тогда последовательность $\{y_n\}$ такая, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $y_k=x_{n_k}$ называется подпоследовательностью последовательности $\{x_n\}$.

Пример 4.4.1: Пусть $\{x_n\}$ числовая последовательность такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n=-n$,
$\{n_k\}$ последовательность из $\mathbb{N}$ такая, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $n_k=2k-1$,
тогда числовая последовательность $\{y_n\}$ такая, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $y_k=x_{n_k}=x_{2k-1}$ будет подпоследовательностью последовательности $\{x_n\}$.
Последовательности $\{x_n\},\{n_k\},\{y_n\}$ в явном виде будут выглятеть так:

1. $\{x_n\}=\{-1,-2,-3,-4,-5,\dots,-n,\dots\}$
2. $\{n_k\}=\{1,3,5,\dots,2k-1,\dots\}$
3. $\{y_k\}=\{-1,-3,-5,\dots,-2k+1,\dots\}$

Лемма 4.4.1: Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Всякая ограниченая числовая последовательность $\{x_n\}$ допускает выделение сходящейся подпоследовательности.

Доказательство: Положим $E:=\{x_n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$ - множество значенией последовательности $\{x_n\}$. Так как в последовательности могут быть одинаковые элементы, то множество $\{E\}$ может быть конечно.

1. Пусть множество $E$ конечно, то есть существует $m\in\mathbb{N}$ такое, что $cardE=m$ и существуют $a_1,a_2,\dots,a_m\in\mathbb{R}$ такие, что $E=\{a_1,a_2,\dots,a_m\}$.
   Рассмотрим семейство множеств $M=\{M_k\:|\:k\in\mathbb{N}\}$ такое, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $M_k=\{n\in\mathbb{N}\:|\:x_n=a_k\}\subset\mathbb{N}$. Тогда: $$\bigcup_{k=1}^mM_k=\mathbb{N}\Rightarrow{c}ard\left(\bigcup_{k=1}^mM_k\right)=card\mathbb{N}\Rightarrow\exists{s}\in\overline{1,m}:cardM_s=card\mathbb{N}.$$ 1) $M_s\subset\mathbb{N}\Rightarrow\exists{n}_1:=\min{M}_s$,
   2) $\exists{n}_2:=\min{M}_s\backslash\{n_1\}\Rightarrow{n}_2>n_1$,
   3) $\exists{n}_3:=\min{M}_s\backslash\{n_1,n_2\}\Rightarrow{n}_3>n_2$,
   ...
   k) $\exists{n}_k:=\min{M}_s\backslash\{n_1,n_2,\dots,n_{k-1}\}\Rightarrow{n}_k>n_{k-1}$.
   ...
   Таким образом построена возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_k\}$ такая, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $x_{n_k}=a_k$. Следовательно, существует предел $\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a_k$.
2. Пусть множество $E$ бесконечно. Тогда можно применить принцип Больцано - Вейерштрасса о предельной точке. Следовательно, для множества $E$ существует конечная предельная точка $x\in\mathring{E}$. Докажем, что $x$ будет пределом некоторой подпоследовательности последовательности $\{x_n\}$. $$x\in\mathring{E}\Rightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{k}\in\mathbb{N}:x_k\in\mathring{U}{}^\varepsilon(x)\Rightarrow \forall\varepsilon>0\:\exists{k}\in\mathbb{N}:|x_k-x|<\varepsilon$$ 1) $\varepsilon:=1\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:|x_{n_k}-1|<1$,
   2) $\varepsilon=\frac1{2},E_1=E\backslash\{x_1,x_2,\dots,x_{n_1}\}\Rightarrow{x}\in\mathring{E}_1\Rightarrow \exists{n}_2\in\mathbb{N}:(n_2>n_1\wedge|x_{n_2}-x|<\frac1{2})$
   ...
   k) $\varepsilon:=\frac1{k},E_k:=E\backslash\{x_1,x_2,\dots,x_{n_1},\dots,x_{n_{k-1}}\}\Rightarrow \exists{k}\in\mathbb{N}:(n_k>n_{k-1}\wedge|x_{n_k}-x|<\frac1{k})$
   ...
   Процесс не оборвется на конечном шаге и мы получим подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ последовательности $\{x_n\}$ такую, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $|x_{n_k}-x|<\frac1{k}$. Тогда по теореме о двух милиционерах: $$\left(\lim_{k\to\infty}\frac1{k}=0\wedge\forall{k}\in\mathbb{N}\left(0\leq|x_{n_k}-x|<\frac1{k}\right)\right)\Rightarrow \lim_{k\to\infty}|x_{n_k}-x|=0\Rightarrow\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x.$$

Обсудим два обобщение леммы Больцано - Вейерштрасса на случай $\mathbb{R}$.

Утверждение 4.4.1: Если последовательность $\{x_n\}$ не ограничена снизу, то она имеет подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ такую, что $\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=-\infty$.

Доказательство:
1) Множество $E:=\{x_n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$ - не ограничено снизу, следовательно, существует $n_1\in\mathbb{N}$ такое, что $x_{n_1}<-1$,
2) множество $E_1:=E\backslash\{x_1,x_2,\dots,x_{n_1}\}$ - не ограничено снизу, следовательно, существует $n_2\in\mathbb{N}$ такое, что $n_2>n_1$ и $x_{n_2}<-2$,
3) множество $E_2:=E\backslash\{x_1,x_2,\dots,x_{n_2}\}$ - не ограничено снизу, следовательно, существует $n_3\in\mathbb{N}$ такое, что $n_3>n_2$ и $x_{n_3}<-3$,
...
k) множество $E_{k-1}:=E\backslash\{x_1,x_2,\dots,x_{n_{k-1}}\}$ - не ограничено снизу, следовательно, существует $n_k\in\mathbb{N}$ такое, что $n_k>n_{k-1}$ и $x_{n_k}<-k$.
...
Таким образом построена возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_k\}$ такая, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $x_{n_k}<-k$. Фиксируем окрестность $U(-\infty)$, тогда $$\exists{s}\in\mathbb{N}:-s\in{U}(-\infty)\Rightarrow\forall{k}<s(x_{n_k}\in{U}(-\infty))\Rightarrow\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=-\infty.$$

Утверждение 4.4.2: Если последовательность $\{x_n\}$ не ограничена сверху, то она имеет подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ такую, что $\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=+\infty$.

Доказательство:Доказывается аналогично утверждениию 4.4.1.

Из леммы Больцано - Вейерштрасса и утверждений 4.4.1, 4.4.2 следует, что всякая числовая последовательность допускает выделение подпоследовательности сходящейся в $\overline{\mathbb{R}}$.

Утверждение 4.4.3: Если последовательность сходится к $A\in\overline{\mathbb{R}}$, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Доказательство: Докажем, что если последовательность натуральных чисел $\{n_k\}$ возрастает, то она не ограничена сверху.
Действительно, индукцией по $k$ проверяется, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $k\leq{n}_k$ и тогда, из ограниченности последовательности $\{n_k\}$ следовала бы ограниченность множества натуральных чисел.
Фиксируем окрестность $U(A)$. По определению предела последовательности и неограниченности последовательности $\{n_k\}$: $$(\exists{t}\in\mathbb{N}:\forall{n}>t(x_n\in{U}(A))\wedge\exists{s}\in\mathbb{N}:\forall{k}>s(n_k>t))\Rightarrow \forall{k}>s(x_{n_k}\in{U}(A))\Rightarrow\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=A$$

Обратное не верно. Если какая-то подпоследовательность последовательности сходится, то это не гарантирует сходимости всей последовательности. Например последовательность $x_n=(-1)^n$ не сходится, но сходится ее подпоследовательность $x_{n_k}=x_{2k}$, тоже самое можно сказать про последовательность $x_n=n^{(-1)^n}$ и ее подпоследовательность $x_{n_k}=x_{2k-1}$.

Утверждение 4.4.4: Если числовая последовательность $\{x_n\}$ монотонна и существует ее подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ сходящаяся к $A\in\overline{\mathbb{R}}$, то последовательность $\{x_n\}$ сходится к тому же пределу.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что последовательность $\{x_n\}$ неубывает.
Фиксируем окрестность $U(A)$. По определению предела последовательности $$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=A\Leftrightarrow\exists{p}\in\mathbb{N}:\forall{k}>p(x_{n_k}\in{U}(A)).$$ Так как последовательность $\{n_k\}$ возрастает и не ограничена, то для любого $n\in\mathbb{N}$ существует $s\in\mathbb{N}$ такое, что $n_s>n$. И так как последовательность $\{x_n\}$ не убывает, то $$\forall{n}>n_{p+1}(\exists{s}\in\mathbb{N}:{x}_{n_{p+1}}\leq{x}_n\leq{x}_{n_s})\Rightarrow\forall{n}>n_{p+1}(x_n\in{U}(A))\Rightarrow \lim_{n\to\infty}x_n=A.$$

4.4.2 Частичный предел последовательности.

Определение 4.4.2: Частичный предел последовательности.
Частичным пределом последовательности называется предел любой ее подпоследовательности.

Из леммы Больцано - Вейерштрасса следует, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел.

Из обобщений леммы Больцано - Вейерштрасса следует, что всякая числовая последовательность имеет хотя бы один частичный предел в $\overline{\mathbb{R}}$.

Если множество $M$ не ограничено сверху, то для него выполняется $$\forall{x}\in{M}(x\leq+\infty)\wedge\forall{c}<+\infty(\exists{x}\in{M}:x>c).$$ Следовательно, элемент $+\infty\in\overline{\mathbb{R}}$ можно неформально считать супремумом множества $M$.
Аналогично элемент $-\infty\in\overline{\mathbb{R}}$ можно неформально считать инфинумом неограниченного снизу множества.
В приведенных ниже определениях используются эти допущения.

Определение 4.4.3: Нижний предел числовой последовательности.
Пусть $\{x_n\}$ произвольная числовая последовательность.
Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $E_n:=\{x_k\:|\:k\geq{n}\}$.

1. Если последовательность $\{x_n\}$ ограничена снизу, то для любого $n\in\mathbb{N}$ множество $E_n$ ограничено снизу. Тогда по принципу нижний грани для каждого $n\in\mathbb{N}$ существует единственное $i_n:=\inf{E}_n$. Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $E_{n+1}\subset{E}_n$, то последовательность $\{i_n\}$ неубывающая.
   • Если последовательность $\{i_n\}$ ограничена сверху, то по теореме Вейерштрасса существует конечный предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}i_n$.
   • Если последовательность $\{i_n\}$ не ограничена сверху, то в силу монотонности $\displaystyle\lim_{n\to\infty}i_n=+\infty$.
2. Если последовательность $\{x_n\}$ не ограничена снизу, то для любого $n\in\mathbb{N}$ $i_n=-\infty$ и тогда положим по определению $\displaystyle\lim_{n\to\infty}i_n:=-\infty$.

Определение 4.4.4: Верхний предел числовой последовательности.
Пусть $\{x_n\}$ произвольная числовая последовательность.
Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $E_n:=\{x_k\:|\:k\geq{n}\}$.

1. Если последовательность $\{x_n\}$ ограничена сверху, то для любого $n\in\mathbb{N}$ множество $E_n$ ограничено сверху. Тогда по принципу верхней грани для каждого $n\in\mathbb{N}$ существует единственное $s_n:=\sup{E}_n$. Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $E_{n+1}\subset{E}_n$, то последовательность $s_n$ невозрастающая.
   • Если последовательность $\{s_n\}$ ограничена снизу, то по теореме Вейерштрасса существует конечный предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n$.
   • Если последовательность $\{s_n\}$ не ограничена снизу, то в силу монотонности $\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=-\infty$.
2. Если последовательность $\{x_n\}$ не ограничени сверху, то для любого $n\in\mathbb{N}$ $s_n=+\infty$ и тогда положим по определению $\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=+\infty$.

Пример 4.4.2: $$\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n=(-1)^n)\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(E_n=\{-1,1\})\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}(i_n=-1,s_n=1)\Rightarrow\varliminf_{n\to\infty}x_n=-1,\varlimsup_{n\to\infty}x_n=1.$$

Пример 4.4.3: $$\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n=n^{(-1)^n})\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\left(E_{2n}=\left\{2n,\frac1{2n+1},2n+2,\frac1{2n+3},\dots\right\}, E_{2n-1}=\left\{\frac1{2n-1},2n,\frac1{2n+1},2n+2,\dots\right\}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(i_n=0,s_n=+\infty)\Rightarrow\varliminf_{n\to\infty}x_n=0,\varlimsup_{n\to\infty}=+\infty.$$

Пример 4.4.4: $$\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n=n)\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}(E_n=\{k\in\mathbb{N}\:|\:k\geq{n}\})\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(i_n=n,s_n=+\infty)\Rightarrow \varliminf_{n\to\infty}x_n=\varlimsup_{n\to\infty}x_n=+\infty.$$

Пример 4.4.5: $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(x_n=\frac{(-1)^n}{n}\right)\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\left(i_{2n}=-\frac1{2n+1},i_{2n-1}=-\frac1{2n-1},s_{2n}=\frac1{2n},s_{2n-1}=\frac1{2n}\right)\Rightarrow \varliminf_{n\to\infty}x_n=\varlimsup_{n\to\infty}x_n=0.$$

Пример 4.4.6: $$\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n=-n^2)\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(i_n=-\infty,s_n=-n^2)\Rightarrow \varliminf_{n\to\infty}x_n=\varlimsup_{n\to\infty}x_n=-\infty.$$

Пример 4.4.7: $$\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n=(-1)^nn)\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(i_n=-\infty,s_n=+\infty)\Rightarrow \varliminf_{n\to\infty}x_n=-\infty,\varlimsup_{n\to\infty}x_n=+\infty.$$

Теорема 4.4.1:Если числовая последовательность $\{x_n\}$ ограничена, то ее верхний предел конечен и равен наибольшему частичному пределу, а нижний предел конечен и равен наименьшему частичному пределу.

Доказательство:Докажем, что нижний предел последовательности $\{x_n\}$ равен минимальному частичному пределу.
Если последовательность $\{x_n\}$ ограничена, то ограничена и последовательность $\{i_n\}$. Так как последовательность $\{i_n\}$ еще и монотонна, то по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел $\displaystyle{i}:=\lim_{x\to\infty}i_n$. Докажем, что число $i\in\mathbb{R}$ является одним из частичных пределов последовательности $\{x_n\}$, то есть пределом некоторой ее подпоследовательности.
Опишем итерационный процесс:
1) $i_1:=\inf\{x_k\:|\:k\geq1\}\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:i_1\leq{x}_{n_1}<i_1+1$
2) $i_{n_1+1}:=\inf\{x_k\:|\:k\geq{n}_1+1\}\Rightarrow\exists{n}_2\geq{n}_1+1:i_{n_1+1}\leq{x}_{n_2}<i_{n_1+1}+\frac1{2}$
3) $i_{n_2+1}:=\inf\{x_k\:|\:k\geq{n}_2+1\}\Rightarrow\exists{n}_3\geq{n}_2+1:i_{n_2}+1\leq{x}_{n_3}<i_{n_2+1}+\frac1{3}$
...
s+1) $i_{n_s+1}:=\inf\{x_k\:|\:k\geq{n}_s+1\}\Rightarrow\exists{n}_{s+1}\geq{n}_s+1:i_{n_s+1}\leq{x}_{n_{s+1}}<i_{n_s+1}+\frac1{s+1}$
...
Для любого $s\in\mathbb{N}$ $n_{s+1}\geq{n}_s+1>n_s$, следовательно, $\{x_{n_s}\}$ подпоследовательность последовательности $\{x_n\}$, а $\{i_{n_s+1}\}$ подпоследовательность последовательности $\{i_n\}$. По утверждению 4.4.3: $$\lim_{n\to\infty}i_n=i\Rightarrow\lim_{s\to\infty}i_{n_s+1}=i\Rightarrow\lim_{s\to\infty}\left(i_{n_s+1}+\frac1{s+1}\right)= \lim_{s\to\infty}i_{n_s+1}+\lim_{s\to\infty}\frac1{s+1}=i$$ Так как для любого $s\in\mathbb{N}$ выполняется $i_{n_s+1}\leq{x}_{n_{s+1}}<i_{n_s+1}+\frac1{s+1}$, то по теореме о двух милиционерах последовательность $\{x_{n_{s+1}}\}$, а следовательно и последовательность $\{x_{n_s}\}$ сходится к $i$.
Покажем, что у последовательности $\{x_n\}$ нет частичных пределов меньших $i$.
Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как последовательность $\{i_n\}$ не убывает, то $$\lim_{n\to\infty}i_n=i\Rightarrow\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0(i\geq{i}_n>i-\varepsilon).$$ $$i_n=\inf\{x_k\:|\:k\geq{n}\}\Rightarrow\forall{k}\geq{n}(x_k\geq{i}_n)\Rightarrow\forall{n}>n_0(x_n>i-\varepsilon).$$ Следовательно, слева от точки $i-\varepsilon$ лежит конечное число (не более $n_0$) членов последовательности $\{x_n\}$. Для любой точки $a<i-\varepsilon$ по свойству отделимости существует окрестность $U(a)$ такая, что $U(a)\cap{U}^\varepsilon(i)=\varnothing$, так что окрестность $U(a)$ будет содержать конечное число членов последовательности $\{x_n\}$ и, следовательно, точка $a$ не может быть пределом никакой подпоследовательности последовательности $\{x_n\}$. Таким образом доказано, что для любого $\varepsilon>0$ интервал $(-\infty,i-\varepsilon)$ не содержит частичных пределов последовательности $\{x_n\}$ значит их нет и в интервале $(-\infty,i)$.
Равенство верхнего предела последовательности максимальному частичному пределу доказывается аналогично.

Из теоремы в частности следует, что $\displaystyle\varliminf_{n\to\infty}x_n\leq\varlimsup_{n\to\infty}x_n$.

Следствие 4.4.1: Обобщение теоремы на случай последовательности неограниченной снизу.
Если последовательность $\{x_n\}$ не ограничена снизу, то ее минимальный частичный предел равен нижнему пределу, который в данном случае по определению равен $-\infty$.

Доказательство: Так как последовательности не ограничена снизу, то по утверждению 4.4.1 она имеет подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ такую, что $\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=-\infty$.

Следствие 4.4.2: Обобщение теоремы на случай последовательности неограниченной сверху.
Если последовательность $\{x_n\}$ не ограничена сверху, то ее максимальный частичный предел равен верхнему пределу, который в данном случае по определению равен $+\infty$.

Доказательство:Утверждение следует из утверждения 4.4.2.

Следствие 4.4.3 Из основной теоремы и следствий 4.4.1, 4.4.2 следует, что для любой числовой последовательности ее верхний и нижний пределы равны соответственно минимальному и максимальному частичному пределу.

Следствие 4.4.4: Критерий существования предела последовательности в $\overline{\mathbb{R}}$.
Числовая последовательность $\{x_n\}$ имеет предел в $\overline{\mathbb{R}}$, тогда и только тогда, когда $\displaystyle\varliminf_{x\to\infty}x_n=\varlimsup_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_n$.

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Если последовательность $\{x_n\}$ сходится в $\overline{\mathbb{R}}$, то утверждению 4.4.3 любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу. То есть множество частичных пределов состоит из одного элемента, который является и минимальным и максимальным, тогда по теореме 4.4.1 и следствиям из нее $\displaystyle\varliminf_{n\to\infty}x_n=\varlimsup_{n\to\infty}x_n$
• $\Leftarrow)$
  Так как $\displaystyle\lim_{n\to\infty}i_n=\lim_{n\to\infty}s_n$, то по теореме о двух милиционерах $$(i_n:=\inf\{x_k\:|\:k\geq{n}\}\wedge{s}_n:=\sup\{x_k\:|\:k\geq{n}\})\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(i_n\leq{x}_n\leq{s}_n)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}i_n=\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}x_n$$

Следствие 4.4.5: Отметим еще раз.

1. Характеристические свойства нижнего предела $\displaystyle{i}:=\varliminf_{n\to\infty}x_n$
   • В любой окрестности $U(i)$ содержится бесконечно много членов последовательности $\{x_n\}$.
   • Для любого $\varepsilon>0$ интервал $(-\infty,i-\varepsilon)$ содержит конечное число членов последовательности $\{x_n\}$.
2. Характеристические свойства верхнего предела $\displaystyle{s}:=\varlimsup_{n\to\infty}x_n$
   • В любой окрестности $U(s)$ содержится бесконечное число членов последовательности $\{x_n\}$.
   • Для любого $\varepsilon>0$ интервал $(s+\varepsilon,+\infty)$ содержит конечное число членов последовательности $\{x_n\}$.

Освоение темы "Предел последовательности" позволяет, в частности, обосновать известный из школьной математики факт, что любое действительное число может быть представлено в виде последовательности десятичных цифр. Ознакомиться с данной темой можно, например, по Зорич т. 1, стр. 62.

Объект изучения в рамках последних лекций числовая последовательность $\{x_n\}$, то есть функция $f(n):\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ где $x_n:=f(n)$. Единственной предельной точкой множества $\mathbb{N}$ является $+\infty$, поэтому функция $f(n)$ может иметь только один предел, предел при $n$ стремящимся к бесконечности $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}x_n$.
Пусть теперь $f(x):E\to\mathbb{R}$, где $E$ произвольное бесконечное подмножество $\mathbb{R}$. По принципу Больцано - Вейерштрасса (и задаче 3.6.3) множество предельных точек $\mathring{E}$ не пусто. Выясним как ведет себя функции $f(x)$ при $x$ стремящемся к произвольной предельной точке $a\in\mathring{E}$ по множеству $E$.