Текст набранный курсивом не содержится непосредственно в конспекте, как правило это решение задач и материал для самостоятельной проработки. Об обнаруженных ошибках можно сообщать на egorov_av@mail.ru или исправлять здесь.

Содержание.

• Математический язык. Математическая логика.
• Доказательство теорем.

1. МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.
2. ФУНКЦИЯ ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЕ

   • 2.1 Функции и отношения
   • 2.2 Простейшая классификация отображений.
3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА.

   • 3.1 Аксиоматика и некоторые общие свойства действительных чисел.
     • 3.1.1 Аксиомы множества действительных чисел.
     • 3.1.2 Некоторые алгебраические свойства вещественный чисел.
     • 3.1.3 Аксиома полноты и существование вержней (нижней) грани числового множества.
   • 3.2 Важнейшие классы действительных чисел. Основные понятия и обзор основных свойств.
   • 3.3 Принцип Архимеда.
   • 3.4 Некоторые топологические свойства множества вещественных чисел.
     • 3.4.1 Расширенное множество действительных чисел $\overline{\mathbb{R}}$.
     • 3.4.2 Окрестность точки.
     • 3.4.3 Модуль действительного числа.
   • 3.5 Мощность множеств. Счетные и несчетные множества.
     • 3.5.1 Понятие мощности множества. Кардинальные числа.
     • 3.5.2 Счетные и несчетные множества.
   • 3.6 Основные леммы связанные с полнотой множества $\mathbb{R}$.
     • 3.6.1 Принцип Коши - Кантора о вложенных отрезках.
     • 3.6.2 Принцип Бореля - Лебега о конечном подпокрытии.
     • 3.6.3 Принцип Больцано - Вейерштрасса о предельной точке.
4. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

   • 4.1 Определение и общие свойства предела.
     • 4.1.1 Определение и примеры.
     • 4.1.2 Общие свойства предела последовательности.
   • 4.2 Свойства предела последовательности.
     • 4.2.1 Бесконечно малые последовательности и их свойства.
     • 4.2.2 Предельный переход и арифметические операции.
     • 4.2.3 Предельный переход и неравенства.
   • 4.3 Вопросы существования предела последовательности.
     • 4.3.1 Критерий Коши существования предела последовательности.
     • 4.3.2 Критерий существования предела монотонной последовательности.
     • 4.3.3 Число $e$.
   • 4.4 Подпоследовательность и частичный предел последовательности.
     • 4.4.1 Подпоследовательность числовой последовательности.
     • 4.4.2 Частичный предел последовательности.
5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

   • 5.1 Определение и общие свойства предела функции.
     • 5.1.1 Определение предела функции.
     • 5.1.2 Общие свойства предела функции.
   • 5.2 Свойства предела функции.
     • 5.2.1 Предел функции и арифметические операции.
     • 5.2.2 Предел функции и неравенства.
   • 5.3 Вопросы существования предела функции.
     • 5.3.1 Критерий Коши существования предела функции.
     • 5.3.2 Предел композиции функций (сложной функции).
     • 5.3.3 Предел монотонной функции.
   • 5.4 Элементарные функции и их классификация.
     • 5.4.1 Основные элементарные функции.
     • 5.4.2 Сравнение функций, O-символика.
   • 5.5 Непрерывность функции.
     • 5.5.1 Определение и общие свойства непрерывной функции.
     • 5.5.2 Точки разрыва.
     • 5.5.3 Свойства непрерывных функций.
     • 5.5.4 Равномерно непрерывные функции.
     • 5.5.5 Непрерывность обратной функции.
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

   • 6.1 Дифференциал и производная.
     • 6.1.1 Некоторые характерные понятия и обозначения.
     • 6.1.2 Задача локальной линейной аппроксимации функции. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
   • 6.2 Основные правила дифференцирования.
     • 6.2.1 Дифференцируемость и арифметические операции.
     • 6.2.2 Дифференцируемость композиции функций.
   • 6.3 Производные и дифференциалы высших порядков.
     • 6.3.1 Производные высших порядков.
     • 6.3.2 Производные высших порядков для композиции функций.
     • 6.3.3 Дифференциалы высших порядков.
     • 6.3.4 Инвариантность формы записи дифференциала при замене переменной.
   • 6.4 Основные теоремы дифференциального исчисления.
     • 6.4.1 Лемма Ферма.
     • 6.4.2 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
     • 6.4.3 Правило Лопиталя.
   • 6.5 Многочлен Тэйлора и формула Тэйлора.
     • 6.5.1 Формула Тэйлора.
     • 6.5.2 Формула Тэйлора для некоторых элементарных функций: $e^x$, $\sin{x}$, $\cos{x}$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$.
     • 6.5.3 Локальная формула Тэйлора.
   • 6.6 Исследование функций методом дифференциального исчисления. Построение графиков функций.
     • 6.6.1 Условия монотонности функции и существования внутреннего локального экстремума.
     • 6.6.2 Условия выпуклости функции. Точки перегиба.
     • 6.6.3 Наклонные (не вертикальные) асимптоты.
7. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

   • 7.1 Основные понятия, общие свойства сходящихся рядов.
     • 7.1.1 Определения и примеры.
     • 7.1.2 Общие свойства сходящихся рядов.
   • 7.2 Сходимость знакопостоянных рядов.
     • 7.2.1 Знакопостоянные ряды.
     • 7.2.2 Асимптотические признаки сравнения для знакопостоянных рядов.
     • 7.2.3 Схема Куммера и следствия из нее: признаки Даламбера, Раабе, Бертрана, Гаусса.
   • 7.3 Абсолютно сходящиеся ряды.
     • 7.3.1 Определения и простейшие свойства абсолютно сходящихся рядов.
     • 7.3.2 Арифметические операции над абсолютно сходящимися рядами. Произведение рядов.
   • 7.4 Не абсолютно сходящиеся ряды.
     • 7.4.1 Преобразование Абеля.
     • 7.4.2 Основные признаки не абсолютной сходимости рядов.
     • 7.4.3 Теорема Римана.
   • 7.5 Комплексные последовательности и ряды.
     • 7.5.1 Комплексные числа.
     • 7.5.2 Основные понятия и результаты для рядов из комплексных чисел.
     • 7.5.3 Степенные ряды и их основные свойства.
     • 7.5.4 Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тэйлора.
8. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

   • 8.1 Первообразная или неопределенный интеграл.
     • 8.1.1 Определения и простейшие свойства.
     • 8.1.2 Основные свойства неопределенного интеграла.
     • 8.1.3 Интегрирование рациональных функций.
     • 8.1.4 Некоторые типы интегралов сводящиеся к интегралам от рациональных функций.
   • 8.2 Интеграл Римана-Стилтьеса.
     • 8.2.1 Определение интеграла Стилтьеса.
     • 8.2.2 Вопросы существования интеграла Стилтьеса.
     • 8.2.3 Интеграл как предел интегральных сумм (сумм Римана).
     • 8.2.4 Замкнутость класса R(α)[a,b] относительно основных операций.
     • 8.2.5 Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
   • 8.3 Основные свойства определенного интеграла Римана.
     • 8.3.1 Линейность, монотонность, аддитивность.
     • 8.3.2 Теоремы о среднем.
   • 8.4 Основные методы вычисления определенного интеграла Римана.
     • 8.4.1 Интеграл и первообразная.
     • 8.4.2 Замена переменной в определенном интеграле.
   • 8.5 Несобственный интеграл Римана.
     • 8.5.1 Основные определения и простейшие свойства.
     • 8.5.2 Исследование сходимости несобственного интеграла.
     • 8.5.3 Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
     • 8.5.4 Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
   • 8.6 Формула Валлиса.
9. ВЕКТОР ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.

    • 10.1 Поточечная сходимость последовательностей и рядов из функций.
    • 10.2 Равномерная сходимость последовательностей и рядов из функций.
      • 10.2.1 Определения и простейшие свойства.
      • 10.2.2 Некоторые признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
      • 10.2.3 Непрерывность и предельный переход.
      • 10.2.4 Интегрирование и предельный переход.
      • 10.2.5 Дифференцирование и предельный переход.
11. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ.

    • 11.1 Метрическое пространство.
    • 11.2 Непрерывные отображения.
      • 11.2.1 Определение и локальные свойства.
      • 11.2.2 Глобальные свойства непрерывных отображений.
12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

    • 12.1 Предел функции многих вещественных переменных.
      • 12.1.1 Определение и общие свойства.
      • 12.1.2 Свойства предела вещественнозначной функции.
    • 12.2 Непрерывность функций многих вещественных переменных.
      • 12.2.1 Определение и локальные свойства.
      • 12.2.2 Глобальные свойства непрерывных функций.
    • 12.3 Дифференциальное исчисление функций многих вещественных переменных.
      • 12.3.1 Линейные операторы над $\mathbb{R}^n$.
      • 12.3.2 Дифференциал функции в точке.
      • 12.3.3 Основные законы дифференцирования.
      • 12.3.4 Достаточные условия дифференцируемости.
      • 12.3.5 Частные производные высших порядков.
      • 12.3.6 Дифференциалы высших порядков.
    • 12.4 Экстремумы функций многих вещественных переменных.
      • 12.4.1 Условия существования внутреннего локального экстремума.
      • 12.4.2 Теорема о неявной функции.
      • 12.4.3 Теорема об обратной функции.
      • 12.4.4 Метод множителей Лагранжа поиска относительного экстремума.
13. ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

    • 13.1 Собственные интегралы зависящие от параметра.
      • 13.1.1 Предельный переход и непрерывность.
      • 13.1.2 Дифференцирование собственного интеграла по параметру.
      • 13.1.3 Интегрирование собственного интеграла по параметру.
    • 13.2 Несобственные интегралы зависящие от параметра.
      • 13.2.1 Свойство равномерной сходимости по параметру несобственного интеграла.
      • 13.2.2 Признаки равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру.
      • 13.2.3 Предельный переход по параметру в несобственном интеграле.
      • 13.2.4 Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
      • 13.2.5 Интегрируемость несобственного интеграла по параметру.
    • 13.3 Применение интегралов зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов.
      • 13.3.1 Интеграл Эйлера-Пуассона.
      • 13.3.2 Правила Фруллани.
      • 13.3.3 Эйлеровы интегралы.
14. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

    • 14.1 Классы множеств и функции множеств.
      • 14.1.1 Кольца и алгебры множеств.
      • 14.1.2 Борелевские кольца и алгебры,$\delta$-кольца.
      • 14.1.3 Предел последовательности множеств по Борелю.
      • 14.1.4 Функции множеств. Конечная и счетная аддитивность.
    • 14.2 Абстрактная мера: начальные сведения.
      • 14.2.1 Абстрактная мера и ее общие свойства.
      • 14.2.2 Продолжение меры.
      • 14.2.3 Внешняя мера индуцированная $\sigma$-аддитивной мерой заданной на полукольце с единицей.
      • 14.2.4 Понятие измеримости множества по Лебегу и Каратеодори. Класс $L(m,H)$.
      • 14.2.5 Продолжение меры по схеме Жордана. Класс $G(m,H)$.
      • 14.2.6 Мера Стилтьеса на полукольце числовых промежутков.
    • 14.3 Кратный интеграл Римана по множеству.
      • 14.3.1 Кратный интеграл Римана по $n$-мерному промежутку.
      • 14.3.2 Кратный интеграл Римана по множеству измеримому по Жордану.
      • 14.3.3 Общие свойства кратного интеграла Римана.
      • 14.3.4 Теорема Фубини.
      • 14.3.5 Следствия из теоремы Фубини.
      • 14.3.6 Замена переменной в кратном интеграле Римана.
15. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

    • 15.1 Абстрактный ряд Фурье.
      • 15.1.1 Ортогональные системы в евклидовых пространствах.
      • 15.1.2 Коэффициенты Фурье и их свойства.
      • 15.1.3 Полные ортогональные системы.
    • 15.2 Тригонометрические ряды Фурье.
      • 15.2.1 Определение тригонометрического ряд Фурье (ТРФ).
      • 15.2.2 Принцип локализации.
      • 15.2.3 Достаточные условия сходимости ТРФ в точке.