12.4.2 Теорема о неявной функции.

Постановка задачи. До сих пор объектом изучения являлись функции задаваемые в явном виде, но на практике часто встречаются не явные. Например, $x^3+xy^2+x^2-1=0$, $x^2+y^2-1$. Условию $x^2+y^2=1$ может удовлетворять гиперконтинуум функций вида $y=f(x)\colon[-1,1]\to[0,1]$, действительно для любого $X\subset[-1,1]$ можно положить $\displaystyle{f}(x):=\begin{cases}\sqrt{1-x^2}&,x\in{X}\\-\sqrt{1-x^2}&,x\in[-1,1]\backslash{X}\end{cases}$. Таким образом возникает задача: если задано соотношение вида $F(x,y)=0$, то можно ли хотя бы локально однозначно выразить $y$ относительно $x$ или наоборот. В данном конкретном случае если $x_0\in(-1,1)$,то в достаточно малой окрестности $x_0$ можно выразить $y$ через $x$, если $x_0\in\{-1,1\}$, то нельзя.
В общем случае - это зависит от значения частной производной $\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x_0,y_0)$, если она равна нулю, то выразить локально $y$ через $x$ нельзя, если не равно, то можно.
Таким образом, если задано соотношение $F(x,y)=0$, то

1. нет гарантий, что есть алгоритм разрешения относительно $x$ или $y$ на всей области определения;
2. может быть много способов такого определения;
3. следовательно, будем разрешать данное условие локально.

Теорема 12.4.3: Вариант теоремы при $n=1$.
Пусть $U:=U(x_0,y_0)\subset\mathbb{R}^{m+1}$, функция $F(x,y)=F(x_1,\ldots,x_m,y)\colon{U}(x_0,y_0)\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $\exists{p}\in\mathbb{N}\colon{F}(x,y)\in{C}^p(U,\mathbb{R})$,
2. $f(x_0,y_0)=0$,
3. $\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x_0,y_0)\neq0$,

1. $\forall(x,y)\in{I}:=I(x_0,y_0)(F(x,y)=0\Leftrightarrow{y}=f(x))$,
2. $\displaystyle\forall{i}\in\overline{1,m}\,\forall{x}\in{I}_x^m\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}_i}(x)=-\frac{\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x,f(x))}{\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,f(x))}\right)\qquad(3)$.

Комментарии к формулировке:

1. Теорема содержит два активных результата:
   1. $f(x)\in{C}^p(I_x^m;I_y^1)$
   2. уравнение $F(x,y)=0$ единственным образом разрешимо относительно $y$.
2. Суть утверждений теоремы в том, что при сделанных предпосылках, в какой-то достаточно малой окрестности $I_x^m$ точки $x_0$ можно построить график функции $f(x)\colon{I}_x^m\to{I}_y^1$ такой, что $f(x)\in{C}^p(I_x^m;I_y^1)$.
3. При этом эта функция однозначно определена на $I_x^m$.
4. Откуда в частности следует, что если функция $\tilde{f}(x)\colon{I}_x^m\to\mathbb{R}$ такая, что
   1. $\tilde{f}(x_0)=y_0=f(x_0)$,
   2. $\tilde{f}(x)$ непрерывна в точке $x_0$,
   тогда по непрерывности $\tilde{f}(x)$ в точке $x_0$ $$\exists\tilde{I}_x^m=\{x\mid|x-x_0|<\tilde\alpha\}\subset{I}_x^m\colon\forall{x}\in\tilde{I}_x^m(\tilde{f}(x)\in{I}_y^1)\Rightarrow \forall{x}\in\tilde{I}_x^m((x,\tilde{f}(x))\in{I}).$$ Но по условию теоремы существует единственная такая функция, следовательно для любого $x\in\tilde{I}_x^m$ $\tilde{f}(x)=f(x)$, Таким образом из условия теоремы следует, что любая непрерывная функция равная функции $f(x)$ в точке $x_0$ будет тождественна функции $f(x)$ в некоторой окрестности точки $x_0$.

Доказательство:

1. Построение окрестности $I$. Без ограничения общности будем считать, что $\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x_0,y_0)>0$, тогда $$f(x,y)\in{C}^p(U)\Rightarrow{f}(x,y)\in{C}^1(U)\Rightarrow\frac{\partial{F}}{\partial{y}}\in{C}(U)\Rightarrow \exists{U}'(x_0,y_0)\subset{U}\colon\forall(x,y)\in{U}'(x_0,y_0)\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,y)>0\right)$$ Так как $U'$ открыто, то $$\exists\beta\colon{B}((x_0,y_0),2\beta)\subset{U}'(x_0,y_0)\Rightarrow \forall(x,y)\in{B}((x_0,y_0),2\beta)\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,y)>0\right)\Rightarrow \forall(x,y)\in\{(x_0,y)\mid{y}\in[y_0-\beta,y_0+\beta]\}\subset{B}((x_0,y_0),2\beta)\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,y)>0\right).$$ Таким образом функция $F(x_0,y)\colon[y_0-\beta,y_0+\beta]\to\mathbb{R}$ возрастает на $[y_0-\beta,y_0+\beta]$ и равна нулю в точке $x_0\in(y_0-\beta,y_0+\beta)$. Так как функция $F(x,y)$ непрерывна в точке $(x_0,y_0)$, то она непрерывна в ней по переменной $x$ при фиксированном значении $y$, тогда существуют две окрестности типа параллелепипед точки $x_0$ содержащиеся в $B(x_0,2\beta)$ такие, что в одной из них $F(x,y_0-\beta)<0$, а в другой $F(x,y_0+\beta)>0$, тогда пересечение этих окрестностей будет окрестностью типа параллелепипед $I_x^m=\{x\mid|x-x_0|<\alpha\}$ такой, что
   1. $I_x^m\times{I}_y^1\subset{B}((x_0,y_0),2\beta)$ где $I_y^1:=\{y\mid|y-y_0|<\beta\}$,
   2. $\forall{x}\in{I}_x^m(F(x,y_0-\beta)<0<{F}(x,y_0+\beta))$.
2. Построение функции $f(x)$.
   Фиксируем $x\in{I}_x^m$, тогда
   1. $\forall{t}\in[y_0-\beta,y_0+\beta]((x,t)\in{B}((x_0,y_0),2\beta))\Rightarrow\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,t)>0$,
   2. $F(x,y_0-\beta)<0
   Функция $F(x,t)\colon[y_0-\beta,y_0+\beta]\to\mathbb{R}$ по переменной $t$ непрерывна, строго возрастает и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда по теореме о промежуточном значении существует единственное $y\in[y_0-\beta,y_0+\beta]$ такое, что $F(x,y)=0$. Единственность следует из строгой монотонности функции $F(x,y)$ по $y$. Таким образом можно определить функцию $f(x)\colon{I}_x^m\to{I}_y^1$ для которой $f(x)$ равно найденному $y$, тогда $$\forall(x,y)\in{I}_x^m\times{I}_y^1(F(x,y)=0\Leftrightarrow{f}(x)=y)$$
3. Обоснование свойств функции $f(x)$.
   1. Докажем, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$.
      Так как $F(x_0,y_0)=0$, то $f(x_0)=y_0$. Фиксируем $\varepsilon>0$, обозначим $\tilde{I}_y^1:=[y_0-\beta,y_0+\beta]\subset{B}((x_0,y_0),2\beta)$, тогда аналогично этапу II можно показать, что существует окрестность $\tilde{I}_x^m\subset{I}_x^m$ такая, что $$\exists\tilde{f}(x)\colon\tilde{I}_x^m\to\tilde{I}_y^1\colon\forall(x,y)\in{I}_x^m\times{I}_y^1\subset{I}(F(x,y)=0\Leftrightarrow\tilde{f}(x)=y)$$ Так как в окрестности I уравнение $F(x,y)=0$ разрешимо относительно $y$ единственным образом, то $$\forall{x}\in{I}_x^m(\tilde{f}(x)=f(x))\Rightarrow \exists{V}(x_0):=\tilde{I}_x^m\colon\forall{x}\in{V}(x_0)(\tilde{f}(x)=f(x))\wedge\tilde{f}(x)\in{I}_y^1\Rightarrow|f(x)-y_0|=|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$ Таким образом реализовано комбинированное определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$.
   2. Докажем, что функция $f(x)$ непрерывна на $I_x^m$.
      Фиксируем точку $x^*\in{I}_x^m$, тогда по построению окрестности $I_x^m$ $\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x^*,f(x^*))>0$ по построению функции $f(x)$ $F(x^*,f(x^*))=0$. Следовательно, функция $F(x,y)$ и точка $(x^*,f(x^*))$ удовлетворяют предпосылкам теоремы. Так что все приведенные выше рассуждения примененные к точке $(x_0,y_0)$ применимы и к точке $(x^*,f(x^*))$, следовательно, функция $f(x)$ непрерывна в точке $x^*$.
   3. Докажем пункт 2 теоремы (равенство (3)).
      Фиксируем $x\in{I}_x^m$ и $i\in\overline{1,m}$. Обозначим $\Delta{x}:=te_i$, где $t\in\mathbb{R}$ такое, что $x+\Delta{x}\in{I}_x^m$, $\Delta{y}:=f(x+\Delta{x})-f(x)$.
      Применим для функции $F(x,y)$ теорему о среднем на отрезке $[(x,y),(x+\Delta{x},y+\Delta{y})]$, тогда существует $\theta\in(0,1)$ такое, что $$F(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-F(x,y)=\sum_{j=1}^m\left(\frac{\partial{F}}{\partial{x}_j}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})\Delta{x}_i\right)+ \frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})\Delta{y}.$$ Под знаком суммы все слагаемые кроме $i$-того равны нулю, по определению $\Delta{x}$, следовательно $$F(x+\Delta{x},y+\Delta{y})-F(x,y)=\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})t+ \frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})\Delta{y}\Rightarrow\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{t}=\frac{\Delta{y}}{t}= -\frac{\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})} {\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})}\qquad(*)$$ Так как $F(x,y)\in{C}^1(U)$, то $\displaystyle\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x,y),\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,y)\in{C}(U)$.
      Так как $f(x)\in{C}(I_x^m)$, то существует предел $\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0}\Delta{y}=\lim_{\Delta{x}\to0}f(x+\Delta{x})-f(x)=0$, следовательно, применив достаточное количество раз теорему о пределе композиции функций можно заключить, что правая часть равенства (*) имеет предел при $t\to0$ значит имеет предел и левая часть, то есть $$\frac{\partial{f}}{\partial{x}_i}(x)=\lim_{t\to0}\frac{f(x+te_i)-f(x)}{t}=-\lim_{t\to0} \frac{\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})}{\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x+\theta\Delta{x},y+\theta\Delta{y})}= -\frac{\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x,f(x))}{\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,f(x))}$$
   4. Докажем индукцией по $p$, что $f(x)\in{C}^p(I_x^m;I_y^1)$.
      При $p=1$.
      В пункте III-ii было показано, что $f(x)\in{C}(I_x^m;I_y^1)$ и по пункту III-iii, для любого $i\in\overline{1,m}$ и $x\in{I}_x^m$ существуют частные производные $\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}_i}(x)$. Покажем, что они непрерывны, действительно $$F(x,y)\in{C}^1(U)\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,m}\left(\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x,y)\in{C}(U)\wedge\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,y)\in{C}(U)\right)\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x)=-\frac{\frac{\partial{F}}{\partial{x}_i}(x,f(x))}{\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x,f(x))}\in{C}(I_x^m).$$ Функция в последнем выражении непрерывна, как частное композиций непрерывных функций.
      При $p=2$.
      Так как $F(x,y)\in{C}^2(U)$, то числитель и знаменатель выражения для часной производной функции $f(x)$ один раз непрерывно дифференцируемы, тогда $$\frac{\partial^2f}{\partial{x}_i\partial{x}_j}= -\frac{\left(F_{x_jx_i}+F_{x_iy}\frac{\partial{f}}{\partial{x}_j}\right)F_y-F_{x_i}\left(F_{x_iy}+F_{yy}\frac{\partial{f}}{\partial{x}_j}\right)} {\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y}}\right)^2}$$ где все производные взяты в точке $(x,f(x))$. Числитель и знаменатель полученного выражения непрерывны, следовательно, для любых $i,j\in\overline{1,m}$ $\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial{x}_i\partial{x}_j}\in{C}(I_x^m\times{I}_y^1)$, тогда $f(x)\in{C}^2(I_x^m;I_y^1)$.
      Так как порядок производной функции $f(x)$ в правой части на единицу меньше, чем в левой. И порядок производных функции $F(x,y)$ равен порядку производных функции $f(x)$ в левой части, то по индукции получим $F(x,y)\in{C}^p(U)$, $f(x)\in{C}^p(I_x^m;I_y^1)$.

Пример 12.4.4: Пусть $m=1$, $n=1$, $F(x,y)=x^2+y^2-1\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $U:=\mathbb{R}^2$, фиксируем $(x_0,y_0)$ такую, что $y_0\neq0$ и $F(x_0,y_0)=0$, тогда для любого $p\in\mathbb{N}$ $F(x,y)\in{C}^p(U)$, $\frac{\partial{F}}{\partial{y}}(x_0,y_0)=2y_0\neq0$. Следовательно, функция $F(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции, тогда в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ существует функция $y=f(x)$ удовлетворяющая результату теоремы в том числе $\displaystyle{f}'(x_0)=-\frac{F'_x(x_0,y_0)}{F'_y(x_0,y_0)}=-\frac{2x_0}{2y_0}=-\frac{x_0}{y_0}$. Таким образом при выполнении предпосылок теоремы для вычисления производной в точке не обязательно знать вид функции $f(x)$, достаточно координат точки.

Теорема 12.4.4: Общий случай теоремы о неявной функции.
Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^{m+n}$, $U:=U(x_0,y_0)\subset\mathbb{R}^{m+n}$, $F\colon{U}\to\mathbb{R}^n$ такие, что

1. $\exists{p}\in\mathbb{N}\colon{F}\in{C}^p(U;\mathbb{R}^n)$,
2. $F(x_0,y_0)=0$,
3. матрица $\displaystyle{F}'_y(x_0,y_0)= \begin{pmatrix} \frac{\partial{F}_1}{\partial{y}_1}(x_0,y_0) & \cdots & \frac{\partial{F}_1}{\partial{y}_n}(x_0,y_0)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial{F}_n}{\partial{y}_1}(x_0,y_0) & \cdots & \frac{\partial{F}_n}{\partial{y}_n}(x_0,y_0) \end{pmatrix}$ обратима,

1. $\forall{x}\in{I}_x^m\,\forall{y}\in{I}_y^n(F(x,y)=0\Leftrightarrow{y}=f(x))$;
2. $\displaystyle\forall{x}\in{I}_x^m,y:=f(x)\left(f'(x)=-(F'_y(x,f(x)))^{-1}\circ{F}'_x(x,f(x))\right).$

Доказательство: При доказательстве методом математической индукции по $n$ имеет место определенная техническая возня.
См. Зорич т. 1, стр. 568.

12.4.3 Теорема об обратной функции.

Определение 12.4.7: Пусть $m\in\mathbb{N}$, $U$ и $V$ открытые множества в $\mathbb{R}^m$, $f(x)\colon{U}\to{V}$, $p\in\mathbb{N}_0$, тогда говорят, что функция $f(x)$ задает $C^p$-диффеоморфизм множеств $U$ и $V$, или является диффеоморфизмом гладкости $p$, если

1. функция $f(x)$ биективна,
2. $f(x)\in{C}^p(U;V)$,
3. $f^{-1}(x)\in{C}^p(V;U)$.

Теорема 12.4.5: Теорема об обратной функции.
Пусть $m\in\mathbb{N}$, $G$ открыто в $\mathbb{R}$, $f(x)\colon{G}\to\mathbb{R}^m$, $x_0\in{G}$, $y_0:=f(x_0)$ такие, что

1. $f(x)\in{C}^p(G;\mathbb{R}^m)$,
2. матрица $f'(x_0)$ обратима,

1. функция $f(x)$ задает $C^p$-диффеоморфизм множеств $U(x_0)$ и $V(x_0)$;
2. $\forall{x}\in{U}\,\forall{y}\in{V}\left(y=f(x)\Rightarrow(f^{-1}(y))'=(f'(x))^{-1}\right)$.

Доказательство: Рассмотрим функцию $F(x,y):=f(x)-y\colon{G}\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$. Так как $y_0:=f(x_0)$, то $F(x_0,y_0)=0$. Так как $f(x)\in{C}^p(U;V)$, то $F(x,y)\in{C}^p(G\times\mathbb{R}^m;\mathbb{R}^m)$. Множество $G$ окрестность точки $(x_0,y_0)$. Матрица $F'_x(x_0,y_0)=f'(x_0)$ обратима по условию. Таким образом функция $F(x,y)$ удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции, если считать $y$ независимой переменной. Следовательно, существует окрестность $I:=I_y^m\times{I}_x^m:=I_y\times{I}_x$ и функция $g(y)\colon{I}_y\to{I}_x$ такие, что $$g(y)\in{C}^p(I_y,I_x)\wedge(\forall(x,y)\in{I}_x\times{I}_y(y=f(x)\Leftrightarrow{F}(x,y)=0\Leftrightarrow{x}=g(y)))\qquad(*)$$ при этом $\forall{y}\in{I}_y(g'(y)=-(F'_x(x,y))^{-1}\circ{F}'_y(x,y)=-(f'(x))^{-1}\circ(-E)=(f'(x))^{-1})$.
Если бы отображение $g(y)$ было сюръективным, то доказательство было бы завершено, в качестве функции $f^{-1}(y)$ можно было бы рассматривать функцию $g(y)$. Однако, пока можно говорить только об инъективности $g(y)$ в силу непрерывности и ненулевой производной на $I_y$.
Положим $V(y_0):=I_y$, $U(y_0):=g(I_y)=g(V(x_0))$, тогда на $U$ и $V$ функция $g(y)$ биективна. Осталось доказать, что множество $U$ открыто в $G$.
Множество $V$ является окрестностью точки $y_0=f(x_0)$ и при выполнении условий теоремы $V\subset{f}(G)$, следовательно, точка $y_0=f(x_0)$ внутренняя для $f(G)$. В силу доказанного выше соотношения (*) матрица $g'(y_0)$ обратима, следовательно, функция $g(y)\colon{V}\to{U}$ удовлетворяет условиям теоремы в точке $y_0$, тогда аналогично доказанному выше, точка $x_0=g(y_0)$ является внутренней для $g(V)=U$. Поскольку условия теоремы выполняются для функции $g(y)$ в любой точке $y\in{V}$ и для любых $x\in{U}$ найдется $y\in{V}$ такое, что $x=g(y)$, то любая точка $x\in{U}$ является внутренней. Таким образом $U$ - открыто в $G$.

Пример 12.4.5: Полярные координаты.
Формулы преобразования полярных координат $(\rho,\varphi)$, $\rho>0$ в декартовы $(x,y)$ имеют вид: $\begin{cases}x=\rho\cos{\varphi}\colon\mathbb{R}_+^2\to\mathbb{R}\\y=\rho\sin{\varphi}\colon\mathbb{R}_+^2\to\mathbb{R}\end{cases}$. Проверим обратимость этого преобразования.
По теореме о неявной функции производная от обратного преобразования равна $f'(x,y)=-(F'_{\rho,\varphi})^{-1}\circ{F}'_{x,y}$, где $F(\rho,\varphi,x,y)=(x-\rho\cos{\varphi},y-\rho\sin{\varphi})$. То есть $$f'(x,y)=-\begin{pmatrix}-\cos{\varphi} & \rho\sin{\varphi}\\-\sin{\varphi} & \rho\cos{\varphi}\end{pmatrix}^{-1}\circ \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{\varphi} & -\rho\sin{\varphi}\\\sin{\varphi} & \rho\cos{\varphi}\end{pmatrix}^{-1}$$ И так как $\begin{vmatrix}\cos{\varphi} & -\rho\sin{\varphi}\\\sin{\varphi} & \rho\cos{\varphi}\end{vmatrix}=\rho\cos^2\varphi+\rho\sin^2\varphi=\rho>0$, то таким образом отображение $f(x,y)$ диффеоморфно на $\mathbb{R}\backslash\{0\}$, что позволяет в окрестности любой не нулевой точки перейти от декартовых координат к полярным.
Аналогично в трехмерном случае: $\begin{cases} x=r\cos{\varphi}\cos{\varphi}\\ y=r\sin{\varphi}\cos{\varphi}\\ z=r\sin{\psi} \end{cases}$ $$|f'(x,y,z)|=\begin{vmatrix} \cos{\varphi}\cos{\psi} & \sin{\varphi}\cos{\psi} & \sin{\psi}\\ -r\sin{\varphi}\cos{\psi} & r\cos{\varphi}\cos{\psi} & 0\\ -r\cos{\varphi}\sin{\psi} & -r\sin{\varphi}\sin{\psi} & r\cos{\psi} \end{vmatrix}=$$ $$=r^2\cos^2\varphi\cos^3\psi+r^2\sin^\varphi\cos^3\psi+r^2\sin^2\varphi\cos\psi\sin^2\psi+r^2\cos^2\varphi\cos{\psi}\sin^2\psi= r^2(\cos^3\psi+\cos{\psi}\sin^2\psi)=r^2\cos{\psi}$$ Таким образом, для любой точки, не лежащей на оси Oz ($r\neq0$ и $\cos{\psi}\neq0$), можно перейти от декартовых координат к полярным.



previous contents next