5.5.3 Свойства непрерывных функций.

Теорема 5.5.1: Основные локальные свойства непрерывных функций.
Пусть на множествах $E\subset\mathbb{R}$, $Y\subset\mathbb{R}$, заданы функции $f(x),g(x):E\to\mathbb{R}$, $F(y):Y\to\mathbb{R}$ такие, что $f(E)\subset{Y}$, $f(x),g(x)$ непрерывны в точке $a\in{E}$ по $E$, функция $F(y)$ непрерывна в точке $y=f(a)$ по $Y$, тогда

1. функция $f(x)$ локально ограничена при $E\ni{x}\to{a}$,
2. если $f(a)\neq0$, то $f(x)$ локально сохраняет знак при $E\ni{x}\to{a}$, то есть $$\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)f(a)>0),$$
3. функции $f(x)\pm{g}(x)$, $f(x)g(x)$ непрерывны в точке $a$ по $E$,
4. если для любого $x\in{E}$ $g(x)\neq0$, то функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $a$ по $E$, если $g(a)\neq0$, то функция $\frac{f(x)}{g(x)}:E'\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a$ по множеству $E':=\{x\in{E}\:|\:g(x)\neq0\}$,
5. функция $F(f(x)):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a$ по $E$, то есть композиция непрерывных функций - непрерывна.

Доказательство: Если $a$ изолированная точка, то существует окрестность $U(a)$ такая, что $U_E(a)=\{a\}$ и все пять пунктов теоремы выполняются для этой окрестности. Пусть далее точка $a$ не изолированная то есть $a\in{E}\cap\mathring{E}$, тогда по утверждению 5.5.3 существуют пределы $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a)$, $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=g(a)$. Тогда

1. следует из пункта 1 утверждения 5.1.3,
2. следует из пункта 2 теоремы 5.2.2,
3. следует из пунктов 1, 2 теоремы 5.2.1,
4. если $f(x)\neq0$ для любого $x\in{E}$, то утверждение следует из пункта 3 теоремы 5.2.1, если известно, что $f(a)\neq0$ то по пункту 2 теоремы существует окрестность $U(a)$ такая, что для любого $x\in{U}_E(a)$ $g(x)\neq0$, следовательно, $a\in\mathring{E}{}'$ и утверждение следует из пункта 3 утверждения 5.1.3.
5. Воспользуемся общим определением непрерывности. Фиксируем окрестность $V(F(f(a)))$.
   Функция $F(y)$ непрерывна в точке $f(a)$ значит $$\exists{U}'(f(a)):\forall{y}\in{U}'_Y(f(a))(F(y)\in{V}(F(f(a)))).$$ Функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ значит $$\exists{U}(a):\forall{x}\in{U}_E(a)(f(x)\in{U}'(f(a)))\Rightarrow\forall{x}\in{U}_E(a)(F(f(x))\in{V}(f(a))).$$

Таким образом любая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

Теорема 5.5.2: Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ непрерывна, не равна нулю на концах отрезка и принимает на них значения разных знаков, то существует точка $c\in(a,b)$ такая, что $f(c)=0$, то есть $$(f(x)\in{C}[a,b]\wedge{f}(a)f(b)<0)\Rightarrow\exists{c}\in(a,b):f(c)=0.$$

Доказательство:Без ограничения общности будем считать, что $f(a)<0$, $f(b)>0$.
Построим последовательность вложенных отрезков $\{I_n\}$.

• 1) $a_1:=a,b_1:=b$, $I_1:=[a_1,b_1]$
• 2) положим $c_1:=\frac{a_1+b_1}{2}$, тогда ${a}_1<{c}_1<b_1$
  если $f(c_1)=0$, то теорема доказана
  если $f(c_1)>0$, то $a_2:=a_1,b_2:=c_1$
  если $f(c_1)<0$, то $a_2:=c_1,b_2:=b_1$
  тогда $a_2\geq{a_1}$, $b_2\leq{b_1}$, $f(a_2)<0$, $f(b_2)>0$, и если положить $I_2:=[a_2,b_2]$, то $|I_2|=\frac{|I_1|}{2}$ и $I_2\subset{I_1}$.
...
• n) положим $c_{n-1}:=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}$, тогда ${a}_{n-1}<c_{n-1}<b_{n-1}$
  если $f(c_{n-1})=0$, то теорема доказана
  если $f(c_{n-1})>0$, то $a_n:=a_{n-1},b_n:=c_{n-1}$
  если $f(c_{n-1})<0$, то $a_n:=c_{n-1},b_n:=b_{n-1}$
  тогда $a_n\geq{a}_{n-1}$, $b_n\leq{b}_{n-1}$, $f(a_n)<0$, $f(b_n)>0$, и если положить $I_n:=[a_n,b_n]$, то $|I_n|=\frac{|I_{n-1}|}{2}$ и $I_n\subset{I}_{n-1}$
...

Задача 5.5.4: Привести пример функции определенной на отрезке не равной нулю на концах отрезка, принимающей на них значения разных знаков и не принимающей значение нуль ни в одной точке отрезка.

Решение: $[a,b]:=[-1,1]$, $f(x):=\begin{cases}-1, & x\in[-1,0)\\1, & x\in[0,1]\end{cases}$

Для функции непрерывной на интервале теорему о промежуточном значении можно сформулировать следующим образом.

Следствие 5.5.1: $$((a,b)\subset\overline{\mathbb{R}}\wedge{f}(x):(a,b)\to\mathbb{R}\in{C}(a,b)\wedge\exists{f}(a+0)\in\overline{\mathbb{R}}\wedge \exists{f}(b-0)\in\overline{\mathbb{R}}\wedge{f}(a+0)f(b-0)>0)\Rightarrow\exists{c}\in(a,b):f(c)=0.$$

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что $f(a+0)<0$, $f(b-0)>0$.
По теореме 5.2.2 функция локально сохраняет знак в точках $a$ и $b$, следовательно, $$f(a+0)<0\Rightarrow\exists{U}'(a):=(\alpha_1,\beta_1):(\beta_1\in\mathbb{R}\wedge\forall{x}\in{U}'_{(a,b)}(a)(f(x)<0))\Rightarrow \exists{a}_1\in\mathbb{R}:(a<a_1<\beta_1<b\wedge{f}(a_1)<0)$$ $$f(b-0)>0\Rightarrow\exists{U}''(a):=(\alpha_2,\beta_2):(\alpha_2\in\mathbb{R}\wedge\alpha_2>a_1\wedge\forall{x}\in{U}''_{(a,b)}(a)(f(x)>0) \Rightarrow\exists{b}_1\in\mathbb{R}:(a_1<\alpha_2<b_1<b\wedge{f}(b_1)>0)$$ Так как функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a,b)$, то она будет непрерывна и на отрезке $[a_1,b_1]\subset(a,b)$. Таким образом отрезок $[a_1,b_1]$ удовлетворяет условиям теоремы 5.5.2.

Следствие 5.5.2: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ непрерывна, то она принимает все промежуточные значения между $f(a)$ и $f(b)$ включительно, то есть $$(f(x)\in{C}[a,b]\wedge{f}(a)=A\wedge{f}(b)=B\Rightarrow\forall{y}\in(A,B)\:\exists{x}\in(a,b):f(x)=y$$

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что $A<B$. Фиксируем $y\in[A,B]$ и рассмотрим функцию $\varphi(x):=f(x)-y$. Функция $\varphi(x)$ непрерывна по пункту 3 теоремы 5.5.1, как сумма непрерывных функций, $\varphi(a)=A-y<0$, $\varphi(b)=B-y>0$, тогда по теореме Больцано - Коши о промежуточном значении существует $c\in(a,b)$ такая, что $\varphi(c)=f(с)-y=0$, следовательно, $f(c)=y$.

Теорема 5.5.3: Теорема Вейерштрасса об экстремальном значении.
Если $f(x)\in{C}[a,b]$, то

1. функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$
2. функция $f(x)$ достигает минимума и максимума на отрезке $[a,b]$, то есть $$\exists{x}_1\in[a,b]:f(x_1)=\max_{x\in[a,b]}f(x)\wedge\exists{x}_2\in[a,b]:f(x_2)=\min_{x\in[a,b]}f(x)$$

Доказательство:

1. Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она непрерывна в каждой его точке, а значит локально ограничена в каждой точке отрезка $[a,b]$ то есть $$\forall{x}\in[a,b]\:\exists{U}(x),\exists{M}_x>0:\forall{t}\in{U}_{[a,b]}(x)(|f(t)|\leq{M}_x)\Rightarrow[a,b]\subset\bigcup_{x\in[a,b]}U(x)$$ Тогда по принципу Бореля - Лебега о конечном подпокрытии $$\exists{m}\in\mathbb{N},\exists{x}_1,x_2,\dots{x}_m\in[a,b]:[a,b]\subset\bigcup_{i=1}^mU(x_i)\Rightarrow (\exists{M}:=\max_{i\in\overline{1,m}}{M}_{x_i}\wedge\forall{x}\in[a,b]\:\exists{i}\in\overline{1,m}:x\in{U}(x_i))\Rightarrow \forall{x}\in[a,b](|f(x)|\leq{M})$$ Таким образом функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$.
2. По пункту 1 функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$, следовательно, она ограничена сверху, тогда по принципу верхней грани существует число $\displaystyle{M}:=\sup_{x\in[a,b]}f(x)$. Покажем от противного, что $M$ максимум функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$. Предположим, что для любого $x\in[a,b]$ $f(x)<M$.
   Рассмотрим функцию $\varphi(x):=\frac1{M-f(x)}$. По пункту 4 теоремы 5.5.1 $$(f(x)\in{C}[a,b]\wedge\forall{x}\in[a,b](f(x)\neq{M}))\Rightarrow\varphi(x)\in{C}[a,b].$$ $$M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}\:\exists{x}_n\in[a,b]:f(x_n)>M-\frac1{n}\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\:\exists{x}_n\in[a,b]:M-f(x_n)<\frac1{n}\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\:\exists{x}_n\in[a,b]:\varphi(x_n)=\frac1{M-f(x_n)}>n.$$ То есть функция $\varphi(x)\in{C}[a,b]$ не ограничена на отрезке $[a,b]$, a это противоречит пункту 1.
   Следовательно, существует $x_0\in[a,b]$ такое, что $f(x_0)=M$, то есть $M$ - максимум функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$.
   Наличие минимума доказывается аналогично.

Следствие 5.5.3: Если $f(x)\in{C}[a,b]$, $\displaystyle{m}:=\min_{x\in[a,b]}f(x)$, $\displaystyle{M}:=\max_{x\in[a,b]}f(x)$, то $f([a,b])=[m,M]$.

Доказательство: $$\forall{x}\in[a,b](m\leq{f}(x)\leq{M})\Rightarrow{f}([a,b])\subset[m,M]$$ По теореме 5.5.3 существуют $x_1,x_2$ такие, что $f(x_1)=m$, $f(x_2)=M$. Без ограничения общности будем считать, что $x_1\leq{x}_2$, тогда $f(x)\in{C}[x_1,x_2]$ и по следствию 5.5.2 из теоремы 5.5.2 функция $f(x)$ принимает все промежуточные значения на отрезке $[x_1,x_2]$, то есть $$(f([x_1,x_2])=[m,M]\wedge[x_1,x_2]\subset[a,b])\Rightarrow[m,M]\subset{f}([a,b])\Rightarrow{f}([a,b])=[m,M]$$

Пример 5.5.4:

1. Если $f(x)=x$, $E=(0,1)$, то $f(x)\in{C}(E)$, но функция $f(x)$ не принимает на множестве $E$ ни максимального ни минимального значения так как множеством $f(E)$ будет интервал, а он не имеет ни минимума, ни максимума.
   Если $E=(0,1]$, то функция $f(x)$ достигает максимума, но не достигает минимума.


2. Если $f(x)=\frac1{x}$, $E=(0,1)$, то $f(x)\in{C}(E)$, но функция $f(x)$ даже не ограничена на $E$. Так как $E$ не отрезок, то теорема Вейерштрасса об экстремальном значении не применима.
   


3. Если $E=[a,b]$, но $f(x)\notin{C}[a,b]$ то теорема Вейерштрасса так же не применима. Например, если $E=[-1,1]$, $f(x)=\begin{cases}\frac1{x}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$, то $f(x)$ не ограничена так как $f(x)\notin{C}(E)$, потому что не существует предела при $E\ni{x}\to0$.

5.5.4 Равномерно непрерывные функции.

Определение 5.5.9: Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ равномерно непрерывна на множестве $E$, если $$\forall\varepsilon>0\:\exists\delta:\forall{x}',x''\in{E}(|x'-x''|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$

Из равномерной непрерывности функции на множестве следует ее непрерывность на этом множестве. Действительно, для любого $a\in{E}$ в определении равномерной непрерывности можно положить $x'':=a$ и получим определение непрерывности в точке $a$ по Коши.
Обратное не верно. Из непрерывности функции на множестве не следует ее равномерная непрерывность на этом множестве.

Утверждение 5.5.8: Признак отсутствия свойства равномерной непрерывности.
Если $f(x):E\to\mathbb{R}$ и существует $a\in\mathring{E}\cap\mathbb{R}$ такая, что функция $f(x)$ не является локально ограниченной в точке $a$, то $f(x)$ не является равномерно непрерывной.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как $a\in\mathring{E}$, то для любого $\delta>0$ существует $x'\in(a-\frac{\delta}{2},a+\frac{\delta}{2})$. Так как функция $f(x)$ не ограничена локально в точке $a$, то $$\forall{x}'\in\left(a-\frac{\delta}{2},a+\frac{\delta}{2}\right)\exists{x}''\in\left(a-\frac{\delta}{2},a+\frac{\delta}{2}\right):|f(x'')|\geq|f(x')|+\varepsilon \Rightarrow|f(x'')-f(x')|\geq|f(x'')|-|f(x')|\geq\varepsilon$$ Следовательно, $$\forall\delta>0\:\exists{x}',x''\in\left(a-\frac{\delta}{2},a+\frac{\delta}{2}\right):|f(x'')-f(x')|\geq\varepsilon\Rightarrow \forall\delta>0\:\exists{x}',x''\in{E}:(|x''-x'|<\delta\wedge|f(x'')-f(x')|\geq\varepsilon)$$ Таким образом реализовано логическое отрицание определения равномерной непрерывности функции $f(x)$ на множестве $E$.

Пример 5.5.5:

1. Функция $f(x)=\frac1{x}$ не является равномерно непрерывной на множестве $E:=(0,1)$ так как она не ограничена локально при ${E}\ni{x}\to0\in\mathring{E}$.


2. Функция $f(x)=\log_p{x}$ не является равномерно непрерывной на множестве $E:=(0,+\infty)$ так как она не ограничена локально при ${E}\ni{x}\to0\in\mathring{E}$

Задача 5.5.5: Реализовать логическое отрицание определения равномерной непрерывности на $\mathbb{R}$ для функций

1. $f(x)=\sin{x}^2$
2. $f(x)=a^x$,
3. $f(x)=x^2$.

Решение:

1. По свойству 2 тригонометрических функций множество значений функции $\sin{x}$, а значит и функции $\sin{x}^2$ равно $[-1,1]$, следовательно, она ограничена на $\mathbb{R}$ (т. е. $f(x)$ не удовлетворяет условиям утверждения 5.5.8). Функция $\sin{x}^2$ непрерывна по пункту 5 теоремы 5.5.1 как композиция непрерывных, однако не является равномерно непрерывной, докажем это.
   Рассмотрим последовательности $x'_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}(n+1)}$, $x''_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}n}$. $$\lim_{n\to\infty}|x'_n-x''|=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\lim_{n\to\infty}\left|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right|= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right|= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right|= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$$ Следовательно, для любого $\delta>0$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $|x'_n-x''_n|<\delta$ с другой стороны для любого $n\in\mathbb{N}$ $|f(x')-f(x'')|=\left|\sin{\frac{\pi(n+1)}{2}}-\sin{\frac{\pi{n}}{2}}\right|=1$, значит $$\exists\varepsilon=1>0:\forall\delta>0\:\exists{x}',x'':(|x'-x''|<\delta\wedge|f(x')-f(x'')|=1\geq\varepsilon)$$
2. Фиксируем $\varepsilon>0$. $$\forall\delta>0,\forall{x}\in\mathbb{R}\left(\left|x-\left(x-\frac{\delta}{2}\right)\right|= \frac{\delta}{2}<\delta\wedge\left|a^x-a^{x+\frac{\delta}{2}}\right|=a^x\left|1-a^{\frac{\delta}{2}}\right|\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall\delta>0\:\exists{x}=\log_a{\frac{\varepsilon}{\left|1-a^{\frac{\delta}{2}}\right|}},\exists{y}=x-\frac{\delta}{2}: (|x-y|<\delta\wedge\left|a^x-a^y\right|=a^x\left|1-a^{\frac{\delta}{2}}\right|= \frac{\varepsilon}{\left|1-a^{\frac{\delta}{2}}\right|}\left|1-a^{\frac{\delta}{2}}\right|=\varepsilon\leq\varepsilon)$$
3. Фиксируем $\varepsilon>0$. $$\forall\delta>0\:\exists{x}=\frac{\varepsilon}{\delta}+\frac{\delta}{4},\exists{y}=x-\frac{\delta}{2}:\left(|x-y|=\frac{\delta}{2}<\delta\wedge \left|x^2-y^2\right|=\left|x\delta-\frac{\delta^2}{4}\right|=\left|\left(\frac{\varepsilon}{\delta}+\frac{\delta}{4}\right)\delta-\frac{\delta^2}{4}\right|= \varepsilon\leq\varepsilon\right)$$

Теорема 5.5.4: Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$f(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow\forall{x}\in{E}\:\exists\delta_x>0:\forall{x}'\in{E}\left(|x'-x|<\delta_x\Rightarrow |f(x')-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ Обозначим для краткости $E:=[a,b]$. Для любого $x\in{E}$ обозначим $$V(x):=(x-\delta_x,x+\delta_x),\;W(x):=\left(x-\frac{\delta_x}{2},x+\frac{\delta_x}{2}\right)$$ По принципу Бореля - Лебега о конечном подпокрытии $$\exists{m}\in\mathbb{N},\exists{x}_1,x_2,...,x_m\in[a,b]:[a,b]\subset\bigcap_{i=1}^mW(x_i)\Rightarrow \exists\delta:=\min_{i\in\overline{1,m}}\frac{\delta_{x_i}}{2}>0$$ тогда $$\forall{x}\in{E}(\exists{i}\in\overline{1,m}:x\in{W}(x_i)\subset{V}(x_i))\Rightarrow \forall{x}',x''\in{E}\left(|x'-x''|<\delta\Rightarrow \exists{i}\in\overline{1,m}:\left(|x'-x_i|<\frac{\delta_{x_i}}{2}\wedge|x''-x_i|\leq|x'-x''|+|x'-x_i|<\delta+\frac{\delta_{x_i}}{2}<\delta_{x_i}\right)\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{x}',x''\in{E}\left(|x'-x''|<\delta\Rightarrow\exists{i}\in\overline{1,m}:x',x''\in{V}(x_i)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leq|f(x')-f(x_i)|+|f(x'')-f(x_i)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)$$ Таким образом предъявлено $\delta>0$ такое, что $$\forall{x}',x''\in{E}(|x'-x''|<\delta\Rightarrow\exists{i}\in\overline{1,m}:x',x''\in{V}(x_i)\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$ Реализовано определение равномерной непрерывности для функции $f(x)$ на множестве $E$.

previous contents next