ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

1. Вероятность.

1.1 Пространство элементарных событий.

Определение 1.1: Каждый возможный исход случайного эксперимента называется элементарным событием, а множество всех возможных исходов пространством элементарных событий (ПЭС).
Элементарное событие будем обозначать - $\omega$, простраство элементарных событий - $\Omega$.

Определение 1.2: Пространство элементарных событий называестя дискретным, если оно не более чем счетно.

Пример 1.1:

1. Бросание монеты.
   $\Omega=\{P,\Gamma\}$ - конечно.
2. Бросание кубика.
   $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ - конечно.
3. Бросание монеты до первого выпадения герба.
   $\Omega=\{\Gamma,P\Gamma,\ldots,P\ldots{P}\Gamma,\ldots\}$~- счетно.
4. Измерение времени безотказной работы устройства.
   $\Omega=\mathbb{R}^+$ - не дискретно.
5. Стрельба по круглой мишени радиуса $R$.
   $\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid{x}^2+y^2\leq{R}\}\cup\{\tilde{\omega}\}$ - не дискретно, где $\tilde{\omega}$ - промах по мишени.

Определение 1.3: Класс $\mathfrak{A}$ подмножеств ПЭС $\Omega$ называется алгеброй, если

1. $\Omega\in\mathfrak{A}$,
2. $A\in\mathfrak{A}\Rightarrow\overline{A}:=\Omega-A:=\Omega\backslash{A}\in\mathfrak{A}$,
3. $A,B\in\mathfrak{A}\Rightarrow{A}\cup{B}\in\mathfrak{A}$.

Определение 1.4: Класс $\mathfrak{A}$ подмножеств ПЭС $\Omega$ называется $\sigma$-алгеброй, если

1. $\Omega\in\mathfrak{A}$,
2. $A\in\mathfrak{A}\Rightarrow\Omega-A\in\mathfrak{A}$,
3. $\forall{k}\in\mathbb{N}(A_k\in\mathfrak{A})\Rightarrow\bigcup_{k=1}^\infty{A}_k\in\mathfrak{A}$.

Пример 1.2:

1. $\mathfrak{A}=\{\varnothing, \Omega\}$ - $\sigma$-алгебра (минимальная),
2. Для любого $A\in\Omega$ $\mathfrak{A}=\{\varnothing,\Omega,A,\overline{A}\}$ - $\sigma$-алгебра,
3. $\mathfrak{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ - $\sigma$-алгебра,
4. Класс числовых множеств $\mathfrak{A}$ состоящих из конечных объединений попарно не пересекающихся полуинтервалов является алгеброй, но не является $\sigma$-алгеброй, так как, например, $$\bigcup_{n=1}^\infty\left[\frac1{n+1},\frac1{n}\right)=(0,1)\notin\mathfrak{A}.$$

Определение 1.5: Пара $\{\Omega,\mathfrak{A}\}$, где $\Omega$ - ПЭС, а $\mathfrak{A}$ - алгебра подмножеств $\Omega$ называется измеримым пространством.
Элементы алгебры $\mathfrak{A}$ в теории вероятностей называются случайными событиями.

Пример 1.3: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
Событие $A=\{2,4,6\}$ - выпала четная грань.
Событие $B=\{3,4,5,6\}$ - номер грани больше двух.

Определение 1.6: Пусть $K$ непустой класс подмножеств $\Omega$. $\sigma$-алгебра $\mathfrak{A}(K)$ называется минимальной $\sigma$-алгеброй содержащей $K$ ($\sigma$-алгеброй порожденной $K$), если

1. $K\subset\mathfrak{A}(K)$,
2. для любой $\sigma$-алгебры $\mathfrak{A}$ содержащей $K$ $\mathfrak{A}(K)\subset\mathfrak{A}$.

Теорема 1.1: Для любого непустого класса $K$ подмножеств $\Omega$ существует единственная минимальная $\sigma$-алгебра $\mathfrak{A}(K)$.

Доказательство:
Как минимум одна $\sigma$-алгебра содержащая $K$ существует - это $\mathcal{P}(\Omega)$. Так как пересечение $\sigma$-алгебр является $\sigma$-алгеброй.
То пересечение всех $\sigma$-алгебр содержащих $K$ есть $\mathfrak{A}(K)$.

Определение 1.7: Пусть $K:=\{[a,b)\mid{a},b\in\mathbb{R},a<b\}$, тогда $\sigma$-алгебру $\mathfrak{A}(K)$ называют $\sigma$-алгеброй борелевских множеств, а её элементы борелевскими множествами.
$\sigma$-алгебру борелевских множеств обозначают $\mathcal{B}:=\mathfrak{A}(K)$.

Пример 1.4: Для любых $a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$ полуинтеравал $[a,b)$ является борелевским множеством. Следовательно, для любого $a\in\mathbb{R}$ $\{a\}=\bigcap_{n=1}^\infty\left[a,a+\frac1{n}\right)$ - борелевское множество. Следовательно, $[a,b]=[a,b)\cup\{b\}$ - борелевское множество,
аналогично все виды числовых промежутков являются борелевскими множествами. Все открытые и замкнутые множества на прямой являются борелевскими множествами.
Существуют и не борелевские множества, но строить их сложно.

Определение 1.8: Пусть $$K:=\{[a_1,b_1),[a_2,b_2),\ldots,[a_n,b_n)|\forall{k}\in\overline{1,n}(a_k,b_k\in\mathbb{R}\wedge{a}_k<b_k)\},$$ тогда $\sigma$-алгебру $\mathfrak{A}(K)$ называют $\sigma$-алгеброй борелевских множеств в $\mathbb{R}^n$.
$\sigma$-алгебру борелевских множеств в $\mathbb{R}^n$ обозначают $\mathcal{B}^n:=\mathfrak{A}(K)$.

1.2 Случайные события и действия с ними.

Определение 1.9: Говорят, что в результате эксперемента произошло или наступило случайное событие $A\in\mathfrak{A}$, если эксперемент закончился элементарным событием $\omega$ таким, что $\omega\in{A}$. В противном случае говорят, что событие $A$ не наступило.
Если $\omega\in{A}$ говорят, что что $\omega$ - благоприятствующий случай для события $A$.

Замечание 1.1:

1. Случайное событие $\Omega$ называется достоверным, оно осуществляется всегда.
2. Случайное событие $\varnothing$ называется невозможным, оно не наступает ни при каком исходе эксперемента.

Определение 1.10: Если события $A,B\in\mathfrak{A}$ такие, что $A\subset{B}$, то говорят, что событие $A$ влечет за собой событие $B$.
Если при этом $B\subset{A}$, то события $A$ и $B$ называются эквивалентными.

Определение 1.11: Если $A\in\mathfrak{A}$, то событие $\overline{A}=\Omega\backslash{A}\in\mathfrak{A}$ называется противоположным событию $A$.

Определение 1.12: Если $A,B\in\mathfrak{A}$, то
событие $A\cup{B}\in\mathfrak{A}$ называется суммой или объединением событий $A$ и $B$,
событие $AB:=A\cap{B}\in\mathfrak{A}$ пересечением или произведением событий $A$ и $B$,
событие $A\backslash{B}$ разностью событий $A$ и $B$.

Определение 1.13: События $A,B\in\mathfrak{A}$ называются несовместными, если $AB=\varnothing$.

1.3 Случайные события и действия с ними.

Определение 1.14: Функция $P:\mathfrak{A}\to[0,1]$ называется вероятностной мерой на пространстве $\{\Omega,\mathfrak{A}\}$, если

1. $P(\Omega)=1$,
2. для любой последовательности $\{A_k\}\in\mathfrak{A}$ попарно несовместных событий выполняется $P\left(\bigcup_{k=1}^\infty{A}_k\right)=\sum_{k=1}^\infty{P}(A_k)$.

Замечание 1.2: Если $\mathfrak{A}$ является $\sigma$-алгеброй, то при задании вероятностной меры достаточно показать, что для любого конечного набора $A_1,\ldots,A_n\in\mathfrak{A}$ попарно несовместных событий выполняется $P\left(\bigcup_{k=1}^n{A}_k\right)=\sum_{k=1}^n{P}(A_k)$. То есть если $\mathfrak{A}$ - $\sigma$-алгебра, то из конечной аддитивности функции $P(A)$ следует её счетная аддитивность.

Определение 1.15: Тройка $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, где $\{\Omega,\mathfrak{A}\}$ - измеримое пространство, а $P$ - вероятностная мера на этом пространстве, называется вероятностным пространством.

Теория вероятностей изучает вероятностные пространства, которые являются математичесткими моделями случайного эксперемента.

Пример 1.5: На одном и том же измеримом пространстве можно задать несколько различных вероятностных мер. Например, пусть $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathfrak{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
Если мы хотим с помощью вероятностного пространства $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ смоделировать бросание игрального кубика, то естественно в качестве вероятностной меры выбрать функцию $P:\mathfrak{A}\to[0,1]$ такую, что $$\forall{i}\in\overline{1,6}\left(P(\omega_i)=\frac1{6}\right)\wedge\forall{A}\in\mathfrak{A}\left(P(A)=\sum_{\omega\in{A}}P(\omega)=\frac{|A|}{|\Omega|}\right).$$ Однако, на пространстве $\{\Omega,\mathfrak{A}\}$ можно задать и другие вероятностные меры, например функция $P:\mathfrak{A}\to[0,1]$ такая, что $$\forall{i}\in\overline{1,6}\left(P(\omega_i)=\frac{i}{21}\right)\wedge\forall{A}\in\mathfrak{A}\left(P(A)=\sum_{\omega\in{A}}P(\omega)\right)$$ так же удовлетворяет условиям определения 1.14.

Пример 1.6: Эмперическое определение вероятности.
Пусть некоторый случайный эксперемент повторен $n$ раз в неизменных условиях. При каждом повторении может произойти или не произойти событие $A$. Пусть $m$ - число эксперементов, при которых произошло событие $A$. Тогда число $\frac{m}{n}$ называют относительной частотой события $A$. Нетрудно видеть, что функция $P(A)=\frac{m}{n}$ удовлетворяет определению вероятностной меры, так как

1. $0\leq\frac{m}{n}\leq{1}$,
2. $P(\Omega)=\frac{m(\Omega)}{n}=\frac{n}{n}=1$,
3. $A_1\cap{A}_2=\varnothing\Rightarrow{P}(A_1\cup{A}_2)=\frac{m(A_1\cup{A}_2)}{n}=\frac{m(A_1)}{n}+\frac{m(A_2)}{n}=P(A_1)+P(A_2)$.

1.4 Простейшие свойства вероятностей.

Утверждение 1.1: Пусть $A,B\in\mathfrak{A}$, тогда

1. $P(\overline{A})=1-P(A)$,
2. $P(\varnothing)=0$,
3. $A\subset{B}\Rightarrow{P}(B\backslash{A})=P(B)-P(A))$,
4. $A\subset{B}\Rightarrow{P}(A)\leq{P}(B))$,
5. $P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})$

Доказательство:

1. $(A\cup\overline{A}=\Omega\wedge{A}\cap\overline{A}=\varnothing)\Rightarrow{P}(A)+P(\overline{A})=P(A\cup\overline{A})=P(\Omega)=1.$
2. Так как $\varnothing=\overline\Omega$, то по п. 1 $P(\varnothing)=1-P(\Omega)=0$.
3. $(B=A\cup(B\backslash{A})\wedge{A}\cap(B\backslash{A})=\varnothing)\Rightarrow{P}(B)=P(A)+P(B\backslash{A})).$
4. Следует из п. 3 и неотрицательности вероятностной меры.
5. Везде далее для краткости будем обозначать $AB:=A\cap{B}$. Тогда по п. 3 $$ P(A\cup{B})=P(A\backslash{B})+P(B\backslash{A})+P(AB)=P(A\backslash{A}B)+P(B\backslash{A}B)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). $$

Утверждение 1.2: Фомула включения исключения. $$ P\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum_{k=1}^nP(A_k)-\sum_{1\leq{i}_1<i_2\leq{n}}P(A_{i_1}A_{i_2})+ \sum_{1\leq{i}_1<i_2<i_3\leq{n}}P(A_{i_1}A_{i_2}A_{i_3})-\cdots+(-1)^{n-1}P(A_1,\ldots,A_n). $$

Доказательство: Докажем индукцией по $n$.

1. База индукции при $n=2$ следует из п. 5 утверждения 1.1.
2. Пусть утверждение верно при $m=n-1$ докажем, что оно верно при $m=n$
   $ \begin{multline*} P\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\cup{A}_n\right)=P\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\right)+P(A_n)-P\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\cap{A}_n\right)=\\ =\sum_{k=1}^{n-1}P(A_k)-\sum_{1\leq{i}_1<i_2\leq{n-1}}P(A_{i_1}A_{i_2})+\sum_{1\leq{i}_1<i_2<i_3\leq{n-1}}P(A_{i_1}A_{i_2}A_{i_3})-\cdots+(-1)^{n-2}P(A_1,\ldots,A_{n-1})+\\ +P(A_n)-\sum_{k=1}^{n-1}P(A_kA_n)+\sum_{1\leq{i}_1<i_2\leq{n-1}}P(A_{i_1}A_{i_2}A_n)-\cdots-(-1)^{n-2}P(A_1,\ldots,A_{n-1},A_n) \end{multline*} $ Несложно видеть, что во второй и третей строках содержаться все слагаемые (и только они) искомой суммы не зависящие $A_n$, а в четвертй и пятой строках стоят все слагаемые (и только они) искомой суммы зависящие от $A_n$.

Пример 1.7: Задача о совпадении.
В корзине находятся $N$ карточек пронумерованных числами от $1$ до $N$, которые извлекаются одна за другой. Какова вероятность того, что номер хотябы одной карточки совпадет с порядковым номером ее извлечения.
Элементарным событием данного случайного эксперимента является перестановка $\omega=(i_1,\ldots,i_N)\in{S}_n$, следовательно, $|\Omega|=N!$. Пусть событие $A$ наступает тогда и только тогда, когда номер хотябы одной карточки совпадает с номером ее извлечения. Пусть для любого $k\in\overline{1,N}$ событие $A_k$ наступает тогда и только, когда на $k$-том шаге извлекается карточка с номером $k$, тогда $A=\bigcup_{k=1}^NA_k$. Применим для подсчета $P(A)$ утверждение 1.2 $$\forall{k}\in\overline{1,N}\left(P(A_k)=\frac{|A_k|}{|\Omega|}=\frac{(N-1)!}{N!}=\frac1{N}\right)\Rightarrow\sum_{k=1}^NP(A_k)=1.$$ $$ \forall{i}_2,i_2\in\overline{1,N}\left(i_1\neq{i}_2\Rightarrow{P}(A_{i_1}A_{i_2})=\frac1{N(N-1)}\right)\Rightarrow \sum_{1\leq{i}_1<i_2\leq{N}}P(A_{i_1}A_{i_2})=\binom{N}{2}\frac1{N(N-1)}=\frac{N(N-1)}{2}\frac1{N(N-1)}=\frac1{2}. $$ Аналогично $$\sum_{1\leq{i}_1<i_2<i_3\leq{N}}P(A_{i_1}A_{i_2}A_{i_3})=\binom{N}{3}\frac1{N(N-1)(N-2)}=\frac1{3!}$$ и т. д.
Следовательно, по утверждению 1.2 $$P(A)=1-\frac1{2!}+\frac1{3!}-\cdots+(-1)^{N-1}\frac1{N!}=\sum_{k=1}^N\frac{(-1)^{k-1}}{k!}.$$ Используя ассимптотическое разложение функции $e^x$ можно найти предел вероятности $P(A)$ при $N\to\infty$. $$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\Rightarrow{e}^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\Rightarrow\lim_{N\to\infty}P(A)=1-e^{-1}\approx0,63.$$

1.5 Вероятностная мера в случае дискретного ПЭС.

1. $\forall{i}\in\mathbb{N}(P(\omega_i):=p_i>0)$,
2. $\sum_{i=1}^\infty{p}_i=1$,
3. $\forall{A}\in\mathfrak{A}\left(P(A):=\sum_{\omega\in{A}}P(\omega)\right)$

1. $\sum_{i=1}^\infty{p}_i=1\Rightarrow{P}(\Omega)=1$,
2. если ${A_k}$ - последовательность попарно несовместных событий из $\mathfrak{A}$, то $$P\left(\bigcup_{k=1}^\infty{A}_k\right)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{\omega\in{A}_k}p(\omega)=\sum_{k=1}^\infty{P}(A_k).$$

Пример 1.8: Классическое определение вероятности в случае конечного ПЭС.
В классическом случае $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$, для любого $i\in\overline{1,n}$ $p_i:=\frac1{n}$. Тогда для любого $A\in\mathfrak{A}$ $P(A)=\sum_{\omega\in{A}}P(\omega)=|A|\frac1{n}=\frac{|A|}{|\Omega|}$.

Пример 1.9: Бросание монеты.
$\Omega=\{0,1\}$.
Если считать монету симметричной, то можно использовать классическую модель: $p(0)=p(1)=\frac1{2}$. Если монета не симметрична, то $p(0)\neq{p}(1)$, например, $p(0)=\frac1{3}$, $p(1)=\frac2{3}$ и классическая модель уже не применима.

contents next