Home.

Содержание.

Часть I. Теория вероятностей.
1. Вероятность.

   • 1.1 Пространство элементарных событий.
   • 1.2 Случайные события и действия с ними.
   • 1.3 Аксиомы теории вероятностей.
   • 1.4 Простейшие свойства вероятностей.
   • 1.5 Вероятностная мера в случае дискретного ПЭС.
   • 1.6 Предел последовательности событий.
   • 1.7 Теорема о непрерывности вероятностной меры.
   • 1.8 Условные вероятности.
   • 1.9 Геометрические вероятности.
2. Функция распределения вероятностной меры заданной на измеримом пространстве $(\mathbb{R},\mathcal{B})$.

   • 2.1 Свойства функции распределения.
   • 2.2 Взаимнооднозначное соответствие между $F(x)$ и $P$.
   • 2.3 Основные абсолютно непрерывные распределения.
   • 2.4 Основные дискретные распределения.
   • 2.5 Понятие о сингулярных распределениях.
   • 2.6 Вероятностные меры на $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)$.
3. Случайные величины.

   • 3.1 Основные свойства случайной величины.
   • 3.2 Функция распределения случайной величины.
   • 3.3 Случайные векторы и их распределения.
   • 3.4 Алгебра порождаемая случайной величиной.
   • 3.5 Независимость классов событий.
   • 3.6 Независимые случайные величины.
4. Числовые характеристики случайной величины.

   • 4.1 Математическое ожидание случайной величины.
   • 4.2 Математическое ожидание произведения случайных величин.
   • 4.3 Распределение функциональной случайной величины.
   • 4.4 Вычисление математического ожидания.
   • 4.5 Неравенства связанные с математическим ожиданием.
   • 4.6 Дисперсия случайной величины.
   • 4.7 Коэффициент корреляции.
5. Независимые испытания.

   • 5.1 Схема независимых испытаний Бернулли.
   • 5.2 Полиномиальная схема независимых испытаний.
6. Характеристические функции.

   • 6.1 Определение и простейшие свойства характеристической функции.
   • 6.2 Формула Тэйлора для характеристической функции.
   • 6.3 Формула обращения для характеристической функции.
   • 6.4 Теорема непрерывности для характеристических функций.
7. Предельные теоремы.

   • 7.1 Сходимость последовательности случайных величин.
   • 7.2 Закон больших чисел.
   • 7.3 Центральная предельная теорема (ЦПТ).
   • 7.4 ЦПТ в стандартной схеме серий.
   • 7.5 Локальная предельная теорема.
8. Многомерное нормальное распределение.

   • 8.1 Плотность многомерного нормального распределения.
   • 8.2 Независимость подвекторов нормального вектора.
   • 8.3 Частные распределения нормального вектора.
   • 8.4 Условное распределение нормального вектора.
9. Цепи Маркова.

   • 9.1 Классификация состояний.
   • 9.2 Эргодическая теорема.
   • 9.3 Симметричное случайное блуждание.
   • 9.4 Стационарное распределение цепи Маркова.
   • 9.5 Основные понятия теории случайных процессов.
   • 9.6 Система дифференциальных уравнений Колмогорова.
   • 9.7 Пуассоновский процесс.
   • 9.8 Траектория цепи Маркова.
   • 9.9 Процесс гибели и размножения.
10. Бесконечно делимые распределения.

    • 10.1 Основные свойства бесконечно делимых распределений.
    • 10.2 Характеристическая функция бесконечно делимого распределения.
Часть II. Математическая статистика.
11. Выборка.

    • 11.1 Выборочные моменты.
    • 11.2 Ассимптотическое поведение выборочных моментов.
12. Оценка параметров распределения.

    • 12.1 Постановка задачи.
    • 12.2 Неравенство Рао-Крамера.
    • 12.3 Оптимальные оценки.
    • 12.4 Метод моментов оценки параметров.
    • 12.5 Метод максимального правдоподобия.
    • 12.6 Метод $\chi^2$ оценки параметров.
    • 12.7 Доверительные интервалы.
13. Статистические гипотезы и критерии.

    • 13.1 Выбор критерия значимости.
    • 13.2 Понятие о рандомизированном критерии.
    • 13.3 Проверка некоторых сложных гипотез о параметрах $N(\mu,\sigma^2)$.
    • 13.4 Проверка гипотез о независимости признаков.
    • 13.5 Критерий согласия.
    • 13.6 Критерий проверки однородности выборки.
    • 13.7 Критерий согласия Колмогорова.
    • 13.8 Последовательный анализ Вальда.
14. Достаточные статистики.

    • 14.1 Критерий факторизации.
    • 14.2 Полные достаточные статистики.
15. Метод наименьших квадратов.

    • 15.1 Оценки наименьших квадратов.
    • 15.2 Дисперсия ошибки измерений.
    • 15.3 Оптимальность оценок наименьших квадратов.
Часть III. Теория случайных процессов.
16. Классификация случайных процессов.

    • 16.1 Винеровский процесс.
    • 16.2 Основные типы случайных процессов.
    • 16.3 Теорема Бохнера-Хинчина.
17. Среднее квадратичное.

    • 17.1 Сходимость в среденем квадратичном.
    • 17.2 Непрерывность в среденем квадратичном.
    • 17.3 Дифференцируемость в среденем квадратичном.
    • 17.4 Интегрируемость в среденем квадратичном.
18. Теорема о спектральном представлении.

    • 18.1 Структурная функция дисперсии.
    • 18.2 Стохастический интеграл.
    • 18.3 Теорема о спектральном представлении.