3 Матрицы над кольцом.

3.1 Кольцо матриц над кольцом.

Определение 3.1:
Матрицей над кольцом $R$ размером $m\times{n}$ называется прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов заполненная элементами кольца $R$.
Матрицы обозначают заглавными буквами $A,B,\ldots$, если размер не ясен из контекста, то с указанием размера $A_{m\times{n}}$.
Множество матриц размера $m\times{n}$ над кольцом $R$ обозначают $R_{m,n}$.
Если дана матрица $$A:=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}:=(a_{i,j})_{m\times{n}}$$ то $i$-тая строка и $i$-тый столбец матрицы $A$ обозначают как $$\forall{i}\in\overline{1,m} \left(\vec{A}_i:=\begin{pmatrix}a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n}\end{pmatrix}\right), \forall{i}\in\overline{1,n}\left(A_i^{\downarrow}:=\begin{pmatrix}a_{1,i} \\ a_{2,i} \\ \vdots \\ a_{m,i}\end{pmatrix}\right).$$ Таким образом матрица $A$ может быть записана построчно или постолбцово $$A_{m\times{n}}=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vec{A}_2 \\ \vdots \\ \vec{A}_m\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_1^{\downarrow} & A_2^{\downarrow} & \cdots & A_n^{\downarrow}\end{pmatrix}$$ Матрицу $A_{1\times{n}}=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}$ размером $1\times{n}$ называют вектор-строкой длинны $n$. Матрицу $B=\left(\begin{smallmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_m\end{smallmatrix}\right)$ размера $m\times{1}$ называют вектор-столбец длины $m$. Mатрицу $A_{n\times{n}}$ размера $n\times{n}$ называют квадратной матрицей порядка $n$.

Определение 3.2:
Суммой матриц одинакового размера $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$ и $B=(b_{i,j})_{m\times{n}}$ на кольцом $R$ называется матрица $C=(c_{i,j})_{m\times{n}}$ такая, что для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,n}$ $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$
При этом пишут $C=A+B$.
Таким образом, на множестве матриц размера $m\times{n}$ над кольцом $R$ задан группоид $(R_{m,n};+)$.

Определение 3.3:
Произведением матриц $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$ и $B=(b_{i,j})_{n\times{k}}$ над кольцом $R$ называется матрица $C=(c_{i,j})_{m\times{k}}$ такая, что для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,k}$ $c_{i,j}=\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,j}$.
При этом обозначают $C=A\cdot{B}\sim{C}=AB$.

Таким образом, матрицу $A$ можно умножить на матрицу $B$ тогда и только тогда, когда количество столбцов в матрице $A$ равно количеству строк в матрице $B$. При этом для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,k}$ $$c_{i,j}:=\vec{A}_i\cdot{B}_j^{\downarrow}:=\begin{pmatrix}a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{1,j} \\ b_{2,j} \\ \vdots \\ b_{n,j}\end{pmatrix}:=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots+a_{i,n}b_{n,j}.$$ То есть $$C:=(c_{i,j})_{m\times{k}}:=\begin{pmatrix} \vec{A}_1B_1^{\downarrow} & \vec{A}_1B_2^{\downarrow} & \cdots & \vec{A}_1B_k^{\downarrow}\\ \vec{A}_2B_1^{\downarrow} & \vec{A}_2B_2^{\downarrow} & \cdots & \vec{A}_2B_k^{\downarrow}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vec{A}_mB_1^{\downarrow} & \vec{A}_mB_2^{\downarrow} & \cdots & \vec{A}_mB_k^{\downarrow}\\ \end{pmatrix}$$

Пример 3.1:
Пусть $A=\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right)\in{G}F(2)_{2\times2}$, $B=\left(\begin{smallmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right)\in{G}F(2)_{3\times2}$, тогда выражение $A\cdot{B}$ не имеет смысла, а $$B\cdot{A}=\begin{pmatrix}\vec{B}_1A_1^{\downarrow} & \vec{B}_1A_2^{\downarrow} \\ \vec{B}_2A_1^{\downarrow} & \vec{B}_2A_2^{\downarrow} \\ \vec{B}_3A_1^{\downarrow} & \vec{B}_3A_2^{\downarrow}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot0+1\cdot1 \\ 0\cdot1+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot1 \\ 1\cdot1+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\in{G}F(2)_{3\times2}.$$

Задача 3.1:
Пусть $\vec{A}$ вектор-строка длины $n$, $B^{\downarrow}$ вектор-столбец длины $m$. При каких $m$ и $n$ произведения $\vec{A}\cdot{B}^{\downarrow}$, $B^{\downarrow}\cdot\vec{A}$ имеют смысл и чему они равны?
Решение:
Вектор-строка длины $n$ содержит $n$ столбцов, а вектор-столбец длины $m$ содержит $m$ строк, следовательно произведение $\vec{A}\cdot{B}^{\downarrow}$ имеет смысл только при $m=n$, при этом $\vec{A}\cdot{B}^{\downarrow}=\sum_{i=1}^na_ib_i$.
Вектор-столбец любого размера содержит один столбец и вектор-строка любого размера содержит одну строку, следовательно произведение $B^{\downarrow}\vec{A}$ имеет смысл при любых $m$ и $n$, при этом $$B^{\downarrow}\cdot\vec{A}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1a_1 & b_1a_2 & \cdots & b_1a_n \\ b_2a_1 & b_2a_2 & \cdots & b_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_ma_1 & b_ma_2 & \cdots & b_ma_n \end{pmatrix}$$

Теорема 3.1:
Для любых матриц $A,B,C$ подходящих (для выполнения операций) размеров над кольцом $R$ справедливы равенства

1. $A+B=B+A$,
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$,
3. $A(BC)=(AB)C$,
4. $A(B+C)=AB+AC$,
5. $(A+B)C=AC+BC$.

Доказательство:

1. Следует из коммутативности операции $+$ в кольце.
2. Следует из ассоциативности операции $+$ в кольце.
3. Так как по условию матрицы имеют подходящий для выполнения операций размер, то $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{n\times{k}}$, $C=(c_{i,j})_{k\times{r}}$, тогда $U:=BC=(u_{i,j})_{n\times{r}}$, $V:=AU=(v_{i,j})_{m\times{r}}$, $X:=AB=(x_{i,j})_{m\times{k}}$, $Y:=XC=(y_{i,j})_{m\times{r}}$. Докажем, что для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,r}$ $v_{i,j}=y_{i,j}$ $$ v_{i,j}=\sum_{s=1}^na_{i,s}u_{s,j}=\sum_{s=1}^n\left(a_{i,s}\sum_{t=1}^kb_{s,t}c_{t,j}\right)=\sum_{s=1}^n\left(\sum_{t=1}^ka_{i,s}b_{s,t}c_{t,j}\right) =\sum_{t=1}^k\left(\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,t}c_{t,j}\right)= \sum_{t=1}^k\left(\left(\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,t}\right)c_{t,j}\right)=\sum_{t=1}^kx_{i,t}c_{t,j}=y_{i,j}. $$
4. Пусть $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{n\times{k}}$, $C=(c_{i,j})_{n\times{k}}$,
   $U:=B+C=(u_{i,j})_{n\times{k}}$, $V:=AU=(v_{i,j})_{m\times{k}}$, $X:=AB=(x_{i,j})_{m\times{k}}$, $Y:=AC=(y_{i,j})_{m\times{k}}$, $R:=X+Y=(r_{i,j})_{m\times{k}}$, тогда $$ v_{i,j}=\sum_{s=1}^na_{i,s}u_{s,j}=\sum_{s=1}^na_{i,s}(b_{s,j}+c_{s,j})=\sum_{s=1}^n(a_{i,s}b_{s,j}+a_{i,s}c_{s,j}) =\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,j}+\sum_{s=1}^na_{i,s}c_{s,j}=x_{i,j}+y_{i,j}=r_{i,j}. $$
5. Аналогично пункту 4.

Теорема 3.2:
Если $R$ кольцо, то для любого $n\in\mathbb{N}$ алгебра $(R_{n,n};+,\cdot)$ является кольцом.

Доказательство:

Так как при сложении и умножении двух квадратных матриц одного порядка получается квадратная матрица того же порядка, то множество $R_{n,n}$ замкнуто относительно операций $+$, $\cdot$. При этом

1. операции $+$ и $\cdot$ ассоциативны по п. п. 2, 3 теоремы 3.1,
2. операция $+$ коммутативна по п. 1 теоремы 3.1,
3. операция $\cdot$ дистрибутивна относительно операции $+$ по п. п. 4, 5 теоремы 3.1,
4. существует нейтральный относительно операции $+$ элемент равный $0=(0)_{n\times{n}}$,
5. для любой матрицы $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ существует симметричный относительно сложения элемент равный $-A=(-a_{i,j})_{n\times{n}}$.

Теорема 3.3:

1. Кольцо $(R_{n,n};+,\cdot)$ является кольцом с единицей тогда и только тогда, когда $R$ кольцо с единицей.
2. Кольцо $(R_{n,n};+,\cdot)$ коммутативно тогда и только тогда, когда $n=1$ и кольцо $R$ коммутативно или $n>1$ и $R$ кольцо с нулевым умножением.

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$ Пусть матрица $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ единица кольца $R_{n,n}$, тогда для любой матрицы $B\in{R}_{n\times{n}}$ $AB=BA=B$. Для любого $b\in{R}$ рассмотрим матрицу $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}$ такую, что $b_{1,1}=b$, а при всех остальных $i,j$ $b_{i,j}=0$. Тогда так как $B=AB$, то $$b=b_{1,1}=\vec{A}_1B_1^{\downarrow}=\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}=a_{1,1}b.$$ С другой стороны, так как $B=BA$, то $$b=b_{1,1}=\vec{B}_1A_1^{\downarrow}= \begin{pmatrix}b & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_{1,1} \\ a_{2,1} \\ \vdots \\a_{n,1}\end{pmatrix}=ba_{1,1}.$$ Таким образом для любого $b\in{R}$ $a_{1,1}b=ba_{1,1}=b$, то есть $a_{1,1}$ единица кольца $R$.
   $\Leftarrow)$ Пусть $e$ - единица кольца $R$, докажем, что в этом случае матрица $E_{n\times{n}}:= \left(\begin{smallmatrix}e & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & e \end{smallmatrix}\right)$ является единицей кольца $(R_{n,n};+,\cdot)$. Действительно, пусть $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}:=AE$, тогда $b_{i,j}=\vec{A}_iE_j^{\downarrow}=a_{i,j}$, следовательно, $AE=A$. Аналогично $EA=A$.
2. При $n=1$ очевидно, так как $R_{1,1}=R$.
   Пусть $n>1$ и кольцо $(R_{n,n};+,\cdot)$ коммутативно. Для любых $a,b\in{R}$ рассмотрим матрицу $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ такую, что $a_{1,1}=a$, а остальные элементы равны 0 и матрицу $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}$ такую, что $b_{1,2}=b$, а остальные элементы равны 0. Обозначим $C=(c_{i,j})_{n\times{n}}=AB=BA$, тогда $$c_{1,2}=\vec{A}_1B_2^{\downarrow}=\begin{pmatrix}a & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}=ab.$$ С другой стороны, $$b_{1,2}=\vec{B}_1A_2^{\downarrow}=\begin{pmatrix}0 & b & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}=0.$$ Таким образом для любых $a,b\in{R}$ $ab=0$.
   Если $R$ кольцо с нулевым умножением, то для любых двух матриц $A,B\in{R}_{n\times{n}}$ $AB=BA=0$, следовательно, кольцо $R_{n,n}$ коммутативно при любом $n\in\mathbb{N}$.

Следствие 3.1:

1. $R_{n,n}$ кольцо без делителей нуля тогда и только тогда, когда $n=1$ и $R$ кольцо без делителей нуля или $n>1$ и $R=\{0\}$,
2. $R_{n,n}$ - поле тогда и только тогда, когда $n=1$ и $R$ - поле.

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$ Если $n=1$, то $R_{n,n}=R$.
   Пусть $n>1$ и кольцо $R_{n,n}$ не содержит делителей нуля. Предположим, что $R\neq\{0\}$, тогда существует $a\in{R}$ такой, что $a\neq0$. Рассмотрим матрицу $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ такую, что $a_{1,1}=a$, а все остальные элементы равны 0, и матрицу $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}$ такую, что $b_{1,2}=a$, а все остальные элементы равны 0. Тогда $$A\cdot{B}=\begin{pmatrix}a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0 & a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}=0,$$ то есть матрицы $A$ и $B$ делители нуля, что противоречит условию.
   $\Leftarrow)$ При $n=1$ $R_{n,n}=R$.
   При $n>1$ и $R=\{0\}$ $R_{n,n}=\{(0)_{n\times{n}}\}=\{0\}$, следовательно, $R_{n,n}$ без делителей нуля, так как делитель нуля по определению не равен 0.
2. $\Rightarrow)$ Если кольцо $R_{n,n}$ является полем, то оно не содержит делителей нуля, тогда по пункту 1 либо $n=1$ либо $n>1$ и $R=\{0\}$. Так как в случае $R=\{0\}$ множество $R_{n,n}$ состоит из одного элемента, а поле не может состоять из одного элемента, следовательно, $n=1$. Тогда $R=R_{n,n}$ и, следовательно, $R$ - поле.
   $\Leftarrow)$ При $n=1$ $R_{n,n}=R$, следовательно, $R_{n,n}$ тоже поле.

Определение 3.4:
Матрицей транспонированной к матрице $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$ называется матрица $A^{T}=(b_{i,j})_{n\times{m}}$ такая, что для любого $i\in\overline{1,n}$, $j\in\overline{1,m}$ $b_{i,j}=a_{j,i}$.

Теорема 3.4:
Для любых двух матриц $A$ и $B$ подходящих размеров над кольцом $R$ справедливы равенства

1. $(A^{T})^T=A$,
2. $(A+B)^T=A^T+B^T$,
3. если $R$ коммутативно, то $(AB)^T=B^TA^T$.

Доказательство:

1. Пусть $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, тогда $A^{T}=(b_{i,j})_{n\times{m}}$ такая, что для любых $i\in\overline{1,n}$, $j\in\overline{1,m}$ $b_{i,j}=a_{j,i}$. Тогда $(A^T)^T=(c_{i,j})_{m\times{n}}$ такая, что для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,n}$ $c_{i,j}=b_{j,i}=a_{i,j}$, то есть $A=C$.
2. Пусть $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{m\times{n}}$, $C=(A+B)^T=(c_{i,j})_{n\times{m}}$. Тогда для любых $i\in\overline{1,n}$, $j\in\overline{1,m}$ $c_{i,j}=a_{j,i}+b_{j,i}$, то есть $C=A^T+B^T$.
3. Пусть $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{n\times{k}}$, $C=AB=(c_{i,j})_{m\times{k}}$,
   $C^T=(c_{i,j}^T)_{k\times{m}}$, $A^T=(a_{i,j}^T)_{n\times{m}}$, $B^T=(b_{i,j}^T)_{k\times{n}}$, $D=B^TA^T=(d_{i,j})_{k\times{m}}$, тогда для любых $i\in\overline{1,k}$, $j\in\overline{1,m}$ $$ (c_{i,j}^T)=c_{j,i}=\vec{A}_jB_i^{\downarrow}=\sum_{s=1}^na_{j,s}b_{s,i}=\sum_{s=1}^na_{s,j}^Tb_{i,s}^T= \sum_{s=1}^nb_{i,s}^Ta_{s,j}^T=(B^T)_i^{\downarrow}\overrightarrow{(A^T)}_j=d_{i,j}. $$

Определение 3.5:
Произведением матрицы $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}\in{R}_{m,n}$ на элемент кольца $r\in{R}$ называется матрица $B=(b_{i,j})_{m\times{n}}\in{R}_{m,n}$ такая, что для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,n}$ $b_{i,j}=a_{i,j}r$. При этом пишут $B=Ar$.
Аналогично определяется произведение элемента кольца $r$ на матрицу $A$, как матрица $C=(c_{i,j})_{m\times{n}}:=rA$ такая, что для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,n}$ $c_{i,j}=ra_{i,j}$

Теорема 3.5:
Пусть $\theta\in{R}_{m,n}$ матрица, все элементы которой равны $0\in{R}$.
Для любых элементов кольца $r_1,r_2\in{R}$, для любых матриц $A,B$ подходящих размеров над кольцом $R$ справедливы равенства

1. $r_1(r_2A)=(r_1r_2)A$,
2. $(r_1A)r_2=r_1(Ar_2)$,
3. $(Ar_1)r_2=A(r_1r_2)$,
4. $r_1\theta=\theta{r}_1=\theta$,
5. $0A=A0=\theta$,
6. $(r_1+r_2)A=r_1A+r_2A$,
7. $A(r_1+r_2)=Ar_1+Ar_2$,
8. $(A+B)r_1=Ar_1+Br_1$,
9. $r_1(A+B)=r_1A+r_1B$,
10. $r_1(AB)=(r_1A)B$,
11. $(AB)r_1=A(Br_1)$,
12. $(Ar_1)B=A(r_1B)$,
13. $(r_1A)^T=r_1A^T$,
14. $(Ar_1)^T=A^Tr_1$.

Доказательство:

1. Так как умножение слева матрицы на элемент кольца не меняет размер матрицы, то размеры матриц стоящих в левой и правой частях равенства 1 равны. При этом элементы их равны так как $r_1(r_2a_{i,j})=(r_1r_2)a_{i,j}$ в силу ассоциативности операции $\cdot$ в кольце.
2. Аналогично пункту 1.
3. Аналогично пункту 1.
4. Следует из определения нуля в кольце.
5. Следует из определения нуля в кольце.
6. Так как умножение слева матрицы на элемент кольца не меняет размер матрицы, то размер матриц стоящих в левой и правой частях равенства 1 равны. При этом элементы их равны, так как $(r_1+r_2)a_{i,j}=r_1a_{i,j}+r_2a_{i,j}$ в силу дистрибутивности операции $\cdot$ относительно операции $+$ в кольце.
7. Аналогично пункту 6.
8. Аналогично пункту 6.
9. Аналогично пункту 6.
10. Пусть $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{n\times{k}}$ Так как умножение слева матрицы на элемент кольца не меняет размер матрицы, то размер матрицы $r_1A$ равен размеру матрицы $A$, следовательно, размер матрицы $(r_1A)B$ равен размеру матрицы $AB$ равному размеру матрицы $r_1(AB)$. При этом элементы матриц стоящих в левой и правой частях равенства равны так как в силу дистрибутивности операции $\cdot$ относительно операции $+$ и ассоциативности операции $\cdot$ в кольце $$r_1(\vec{A}_iB_j^{\downarrow})=r_1\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,j}=\sum_{s=1}^nr_1(a_{i,s}b_{s,j})=\sum_{s=1}^n(r_1a_{i,s})b_{s,j}= \overrightarrow{(r_1A)}_iB_j^{\downarrow}.$$
11. Аналогично пункту 10.
12. Пусть $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{n\times{k}}$ Так как умножение матрицы на элемет кольца не меняет ее размеров, то размер матрицы $Ar_1$ равен размеру матрицы $A$, а размер матрицы $r_1B$ равен размеру матрицы $B$ следовательно размеры матриц стоящих в левой и правой частях равенства равны. При этом элементы их равны, так как в силу ассоциативности операции $\cdot$ в кольце $$\overrightarrow{(Ar_1)}_iB_j^{\downarrow}=\sum_{s=1}^n(a_{i,s}r_1)b_{s,j}=\sum_{s=1}^na_{i,j}(r_1b_{s,j})=\vec{A}_i(r_1B_j)^{\downarrow}.$$
13. Так как умножение слева матрицы на элемент кольца не меняет размер матрицы, то размер матрицы $(r_1A)^T$ равен размеру матрицы $A^T$ равному размеру матрицы $r_1A^T$. Равенство элементов матриц стоящих в левой и правой частях равенства следует из определений умножения матрицы на элемент кольца и транспонированной матрицы.
14. Аналогично пункту 13.