Определение 3.6:
Определителем квадратной матрицы $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ порядка $n$ над кольцом $R$ называется элемент $|A|\in{R}$ такой, что
$$|A|:=\sum_{(i_1,\ldots,i_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})}\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{n,i_n}.$$
Суммирование в последнем выражении ведется по всем перестановкам (см. определение 1.2)
элементов множества $\overline{1,n}$. Таким образом всего слагаемых в сумме $n!$ (см. теорему 1.2).
Выражение $\delta(i_1,\ldots,i_n)$ обозначает функцию четности (см. определение 1.4)
перестановки $(i_1,\ldots,i_n)$.
Пример 3.2:
Чтобы найти определитель квадратной матрицы порядка 2 $A=\begin{pmatrix}a_{1,1} & b_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix}$
выпишем все перестановки множества $\{1,2\}$ и соответствующие им слагаемые
| № | $(i_1,i_2)$ | $\delta(i_1,i_2)$ | $a_{1,i_1}a_{2,i_2}$ |
| 1 | $(1,2)$ | $1$ | $a_{1,1}a_{2,2}$ |
| 2 | $(2,1)$ | $-1$ | $a_{1,2}a_{2,1}$ |
Пример 3.3:
Чтобы найти определитель квадратной матрицы порядка 3 $A=(a_{i,j})_{3\times3}$ выпишем все перестановки множества $\{1,2,3\}$
и соответствующие им слагаемые
| № | $(i_1,i_2,i_3)$ | $J(i_1,i_2,i_3)$ | $\delta(i_1,i_2,i_3)$ | $a_{1,i_1}a_{2,i_2}a_{3,i_3}$ |
| 1 | $(1,2,3)$ | $0$ | $1$ | $a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$ |
| 2 | $(1,3,2)$ | $1$ | $-1$ | $a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}$ |
| 3 | $(2,1,3)$ | $1$ | $-1$ | $a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}$ |
| 4 | $(2,3,1)$ | $2$ | $1$ | $a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}$ |
| 5 | $(3,1,2)$ | $2$ | $1$ | $a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}$ |
| 6 | $(3,2,1)$ | $3$ | $-1$ | $a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}$ |
Пример 3.4:
Пусть матрица $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ такая, что для любых $i,j\in\overline{1,n}$ таких, что $j<i$ $a_{i,j}=0$. То есть матрица $A$ такая,
что все ее элементы стоящие ниже главной диагонали равны 0.
$$A=
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n-2} & a_{1,n-1} & a_{1,n}\\
0 & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n-2} & a_{2,n-1} & a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{n-2,n-2} & a_{n-2,n-1} & a_{n-2,n}\\
0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a_{n,n}
\end{pmatrix}$$
Тогда
$$a_{1,i_1}a_{2,i_2}\cdots{a}_{n,i_n}\neq0\Leftrightarrow\begin{cases}a_{1,i_1}\neq0 \\ a_{2,i_2}\neq0 \\ \cdots \\ a_{n-2,i_{n-2}}\neq0 \\
a_{n-1,i_{n-1}}\neq0 \\ a_{n,i_n}\neq0\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}i_1\in\overline{1,n} \\ i_2\in\overline{2,n} \\ \cdots \\ i_{n-2}\in\{n-2,n-1,n\} \\ i_{n-1}\in\{n-1,n\} \\ i_n=n\end{cases}.$$
Так как $\{i_1,\ldots,i_n\}=\{1,\ldots,n\}$, то для любых $s\neq{t}$ $i_s\neq{i}_t$ тогда из последней системы включений следует цепочка импликаций
$$i_n=n\Rightarrow{i}_{n-1}=n-1\Rightarrow\cdots\Rightarrow{i}_2=2\Rightarrow{i}_1=1.$$
Таким образом
$$a_{1,i_1}a_{1,i_2}\cdots{a}_{n,i_n}\neq0\Leftrightarrow(i_1,\ldots,i_n)=(1,\ldots,n),$$
следовательно $|A|=\delta(1,\ldots,n)a_{1,1}a_{2,2}\cdots{a}_{n,n}=a_{1,1}a_{2,2}\cdots{a}_{n,n}$.
Везде далее при вычислении определителя выражение $(i_1,\ldots,i_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})$ под знаком суммы опускается.
Утверждение 3.1: Свойство определителя №1.
Если матрица $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}$ получена из матрицы $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ умножением всех элементов некоторой строки на $r\in{R}$,
то $|B|=r|A|$.
Доказательство:
Пусть $\vec{B}_k=r\vec{A}_k$, тогда
$$
|B|=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)b_{1,i_1}\cdots,b_{k-1,i_{k-1}}b_{k,i_k}b_{k+1,i_{k+1}}\cdots{b}_{n,i_n}=
\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{k-1,i_{k-1}}ra_{k,i_k}a_{k+1,i_{k+1}}\cdots{a_{n,i_n}}=
r\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{n,i_n}=r|A|.$$
Утверждение 3.2: Свойство определеителя №2.
Пусть $s$-тая строка матрицы $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ представима в виде суммы двух строк $\vec{A}_s=\vec{A}'_s+\vec{A}''_s$.
Матрица $A'$ получена из матрицы $A$ заменой $s$-той строки на $\vec{A}'_s$.
Матрица $A''$ получена из матрицы $A$ заменой $s$-той строки на $\vec{A}''_s$.
То есть
$$A'=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_{s-1} \\ \vec{A}'_s \\ \vec{A}_{s+1} \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{pmatrix},\quad
A''=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_{s-1} \\ \vec{A}''_s \\ \vec{A}_{s+1} \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{pmatrix}.$$
Тогда $|A|=|A'|+|A''|$.
Доказательство:
Пусть $\vec{A}'_s:=(a'_{s,1},\ldots,a'_{s,n})$, $\vec{A}''_s:=(a''_{s,1},\ldots,a''_{s,n})$, тогда для любого
$j\in\overline{1,n}$ $a_{s,j}=a'_{s,j}+a''_{s,j}$. Тогда
$$
|A|=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{s-1,i_{s-1}}a_{s,i_s}a_{s+1,i_{s+1}}\cdots{a}_{n,i_n}=
\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{s-1,i_{s-1}}(a'_{s,i_s}+a''_{s,i_s})a_{s+1,i_{s+1}}\cdots{a}_{n,i_n}=$$
$$=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)(a_{1,i_1}\cdots{a}_{s-1,i_{s-1}}a'_{s,i_s}a_{s+1,i_{s+1}}\cdots{a}_{n,i_n}+
{a}_{1,i_1}\cdots{a}_{s-1,i_{s-1}}a''_{s,i_s}a_{s+1,i_{s+1}}\cdots{a}_{n,i_n})=$$
$$=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{s-1,i_{s-1}}a'_{s,i_s}a_{s+1,i_{s+1}}\cdots{a}_{n,i_n}+
\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{s-1,i_{s-1}}a''_{s,i_s}a_{s+1,i_{s+1}}\cdots{a}_{n,i_n}=|A'|+|A''|.
$$
Утверждение 3.3: Свойство определителя №3.
Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.
Доказательство:
Пусть $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$ и $\vec{A}_s=\vec{A}_t$, то есть для любого $i\in\overline{1,n}$ $a_{s,i}=a_{t,i}$. Тогда
$$
|A|=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{n,i_n}
=\sum_{(i_1,\ldots,i_n)\in\mathcal{P}_1}\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{n,i_n}+
\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathcal{P}_2}\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a_{n,i_n}},
$$
где $\mathcal{P}_1\subset\mathcal{P}(\overline{1,n})$ множество перестановок элементов множества $\overline{1,n}$ таких,
что $i_s<i_t$, $\mathcal{P}_2\subset\mathcal{P}(\overline{1,n})$ множество перестановок элементов множества
$\overline{1,n}$ таких, что $i_s>i_t$. Зададим отображение $\varphi\colon\mathcal{P}_1\to\mathcal{P}_2$ такое,
что $\varphi(i_1,\ldots,i_s,\ldots,i_t,\dots,i_n)=(i_1,\ldots,i_{s-1},i_t,i_{s+1},\ldots,i_{t-1},i_s,i_{t+1},\ldots,i_n)$.
Таким образом при отображении $\varphi$ элементы стоящие на местах $s$ и $t$ меняются местами. Отображение $\varphi$ - биекция,
оно естественным образом определяет взаимнооднозначное соответствие между слагаемыми двух сумм.
При таком соответствии слагаемому из первой суммы
$$\delta_1:=\delta(i_1,\ldots,i_s,\ldots,i_t,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{s,i_s}\cdots{a}_{t,i_t}\cdots{a}_{n,i_n}$$
соответствует слагаемое из второй суммы
$$\delta_2:=\delta(i_1,\ldots,i_t,\ldots,i_s,\ldots,i_n)a_{1,i_1}\cdots{a}_{s,i_t}\cdots{a}_{t,i_s}\cdots{a}_{n,i_n}.$$
Так как по условию $a_{s,i_t}=a_{t,i_t}$, $a_{s,i_s}=a_{t,i_s}$ и по определению $\delta$-функции
$\delta(i_1,\ldots,i_s,\ldots,i_t,\ldots,i_n)=-\delta(i_1,\dots,i_t,\ldots,i_s,\ldots,i_n)$, то $\delta_1=-\delta_2$.
Таким образом значение определителя равно 0.
Утверждение 3.4: Свойство определителя №4.
Если к какой либо строке матрицы прибавить другую строку умноженную на элемент кольца, то определитель матрицы не изменится.
Доказательство:
Пусть матрица $B$ получена из матрицы $A$ прибавлением к $s$-той строке $t$-той строки умноженной на $r$, то есть
$$A=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{pmatrix},\quad
{B}=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_s+r\vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{pmatrix}.$$
Тогда по свойствам 2, 1 и
3 определителя
$$|B|=\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ r\vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{vmatrix}=
|A|+r\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{vmatrix}=|A|$$
Утверждение 3.5: Свойство определителя №5.
Если матрица $B$ получена из матрицы $A$ перестановкой двух строк, то $|B|=-|A|$.
Доказательство:
Пусть
$$A=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{pmatrix},\quad
{B}=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{pmatrix}.$$
Тогда применив три раза свойство 4 и один раз свойство
1 определителя получим
$$|B|=\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_t+\vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_t+\vec{A}_s \\ \vdots \\ -\vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\vec{A}_1 \\ \vdots \\ \vec{A}_s \\ \vdots \\ -\vec{A}_t \\ \vdots \\ \vec{A}_n\end{vmatrix}=-|A|$$
Утверждение 3.6: Свойство определителя №6.
Если матрица $B$ получена из матрицы $A$ перестановкой произвольного числа строк,
то определитель матрицы $B$ равен определителю матрицы $A$ умноженному на четность перестановки.
Доказательство:
Пусть
$$A=\begin{pmatrix}\vec{A}_1 \\ \vec{A}_2 \\ \vdots \\ \vec{A}_n \end{pmatrix},\quad{B}=
\begin{pmatrix}\vec{A}_{i_1} \\ \vec{A}_{i_2} \\ \vdots \\ \vec{A}_{i_n}\end{pmatrix}.$$
Пусть перестановка $(1,\ldots,n)$ получается из перестановки $(i_1,\ldots,i_n)$ с помощью $t$ транспозиций.
Тогда матрица $B$ получается из матрицы $A$ с помощью $t$ перестановок двух строк и по теореме 1.3
$$\delta(i_1,\ldots,i_n)=(-1)^t\delta(1,\ldots,n)=(-1)^t$$
И так как при каждой перестановке двух строк определитель меняет знак, то $|B|=(-1)^t|A|=\delta(i_1,\ldots,i_n)|A|$.
Утверждение 3.7: Свойство определителя №7.
$$\forall{A}\in{R}_{n,n}(|A^T|=|A|).$$
Доказательство:
Пусть $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$, $A^T=(b_{i,j})_{n\times{n}}$, тогда для любых $i,j\in\overline{1,n}$ $b_{i,j}=a_{j,i}$ и
$$|A^T|=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)b_{1,i_1}\cdots{b}_{n,i_n}=\sum\delta(i_1,\ldots,i_n)a_{i_1,1}\cdots{a}_{i_n,n}.$$
Рассмотрим произведение $a_{i_1,1}\cdots{a}_{i_n,n}$. Так как $\{i_1,\ldots,i_n\}=\{1,\ldots,n\}$, то существует перестановка $(j_1,\ldots,j_n)$ такая,
что $a_{i_1,1}\cdots{a}_{i_n,n}=a_{1,j_1}\cdots{a}_{n,j_n}$. При этом таблица
$\begin{pmatrix}1, & \ldots, & n \\ j_1, & \ldots, & j_n\end{pmatrix}$ получается из таблицы
$\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_n \\ 1, & \ldots, & n\end{pmatrix}$ перестановкой столбцов, тогда по утверждению 1.1
$\delta(i_1,\ldots,i_n)=\delta(j_1,\ldots,j_n)$. Таким образом
$$|A^T|=\sum_{(j_1,\ldots,j_n)\in{P}}\delta(j_1,\ldots,j_n)a_{1,j_1}\cdots{a}_{n,j_n},$$
где $P\subset\mathcal{P}(\overline{1,n})$. Осталось проверить нет ли в сумме одинаковых слагаемых. Предположим,
что существуют две перестановки $(i_1,\ldots,i_n)$ и $(i'_1,\ldots,i'_n)$ такие, что упорядочивание чисел первой строки в таблицах
$\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_n \\ 1, & \ldots, & n\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}i'_1, & \ldots, & i'_n \\ 1, & \ldots, & n\end{pmatrix}$
дают одну и ту же таблицу $\begin{pmatrix}1, & \ldots, & n \\ j_1, & \ldots, & j_n\end{pmatrix}$. Зафиксируем $k\in\overline{1,n}$,
тогда в последней таблице под числом $i_k$ стоит число $k$ и под числом $i'_k$ тоже стоит число $k$,
но во второй строке таблицы число $k$ встречается только один раз, следовательно, $i_k=i'_k$.
Тогда в силу произвола выбора $k\in\overline{1,n}$ $(i_1,\ldots,i_n)=(i'_1,\ldots,i'_n)$. Таким образом $P=\mathcal{P}(\overline{1,n})$
Следствие 3.2:
Свойства 1-6 определителя матрицы справедливы и для столбцов.
Доказательство:
Утверждение спарведливо так как для любого $i\in\overline{1,n}$ $A_i^{\downarrow}=\overrightarrow{(A^T)}_i$ и $|A|=|A^T|$.
Теорема 3.6:
$$\forall{A},B\in{R}_{n,n}(|AB|=|A||B|).$$
Доказательство:
Пусть $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$, $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}$, $C=(c_{i,j})_{n\times{n}}:=AB$, тогда для любых
$i,j\in\overline{1,n}$ $c_{i,j}=\vec{A}_iB_j^{\downarrow}$, следовательно
$$
\vec{C}_i=\left(\vec{A}_iB_1^{\downarrow},\vec{A}_iB_2^{\downarrow},\ldots,\vec{A}_iB_n^{\downarrow}\right)=
\left(\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,1},\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,2},\ldots,\sum_{s=1}^na_{i,s}b_{s,n}\right)=
\sum_{s=1}^n(a_{i,s}b_{s,1},a_{i,s}b_{s,2},\ldots,a_{i,s}b_{s,n})=\sum_{s=1}^na_{i,s}(b_{s,1},\ldots,b_{s,n})=\sum_{s=1}^na_{i,s}\vec{B}_s.
$$
Таким образом
$$|C|=\begin{vmatrix}\vec{C}_1 \\ \vdots \\ \vec{C}_i \\ \vdots \\ \vec{C}_n \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\sum_{j_1=1}^{n}a_{i,j_1}\vec{B}_{j_1} \\ \vdots \\ \sum_{j_i=1}^{n}a_{i,j_i}\vec{B}_{j_i} \\ \vdots \\ \sum_{j_n=1}^na_{n,j_n}\vec{B}_{j_n}\end{vmatrix}.$$
Применив к последнему определителю $n$ раз свойство 2 и $n$ раз свойство 1 получим
$$
|C|=\sum_{j_1=1}^n\begin{vmatrix}a_{1,j_1}\vec{B}_{j_1} \\ \vdots \\ \sum_{j_i=1}^na_{i,j_i}\vec{B}_{j_i} \\ \vdots \\
\sum_{j_n=1}^na_{n,j_n}\vec{B}_{j_n}\end{vmatrix}=
\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\cdots\sum_{j_n=1}^n\begin{vmatrix}a_{1,j_1}\vec{B}_{j_1} \\ \vdots \\ a_{i,j_i}\vec{B}_{j_i} \\ \vdots
\\ a_{n,j_n}\vec{B}_{j_n}\end{vmatrix}=\\=
\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\cdots\sum_{j_n=1}^na_{1,j_1}\cdots{a}_{n,j_n}\begin{vmatrix}\vec{B}_{j_1} \\ \vdots \\ \vec{B}_{j_i} \\ \vdots
\\ \vec{B}_{j_n}\end{vmatrix}
$$
В последнем выражении суммирование ведется по всем возможным наборам $(j_1,\ldots,j_n)\in(\overline{1,n})^n$, однако, если для некоторых $k,s\in\overline{1,n}$ $j_k=j_s$, то определитель стоящий в соответствующем слагаемом берется от матрицы содержащей две одинаковые строки $\vec{B}_{j_k}$ и $\vec{B}_{j_s}$. Следовательно, по свойству 3 определитель в таком слагаемом равен нулю. Поэтому суммирование можно производить только по таким наборам $(j_1,\ldots,j_n)\in(\overline{1,n})^n$, в которых нет одинаковых чисел, то есть по множеству всех перестановок элементов множества $\overline{1,n}$. Тогда по свойству 6 определителя
$$
|C|=\sum_{(j_1,\ldots,j_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})}a_{1,j_1}\cdots{a}_{n,j_n}\begin{vmatrix}\vec{B}_{j_1} \\ \vdots \\ \vec{B}_{j_i} \\ \vdots
\\ \vec{B}_{j_n}\end{vmatrix}=
\sum_{(j_1,\ldots,j_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})}(a_{1,j_1}\cdots{a}_{n,j_n}\delta(j_1,\ldots,j_n)|B|)=
|B|\sum_{(j_1,\ldots,j_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})}\delta(j_1,\ldots,j_n)a_{1,j_1}\cdots{a}_{n,j_n}=|B||A|=|A||B|.
$$
previous contents next