Определение 3.7:
Подматрицей матрицы $A\in{R}_{m,n}$ называется любая матрица полученная вычеркиванием из матрицы $A$ каких-либо строк и столбцов.
Подматрицу матрицы $A$ обозначают как
$A\begin{pmatrix}i_1, & \dots, & i_r \\ j_1, & \ldots, & j_s\end{pmatrix}$, где $i_1,\ldots,i_r\in\overline{1,m}$, $j_1,\ldots,j_s\in\overline{1,n}$
такие, что $i_1<i_2<\cdots<i_r$, $j_1<j_2<\cdots<j_s$ номера не вычеркиваемых строк и столбцов.
Определение 3.8:
Минором $k$-того порядка матрицы $A\in{R}_{m,n}$ называется определитель любой его квадратной подматрицы порядка $k$.
Минор $k$-того порядка матрицы $A$ обозначают как
$$M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}:=
\left|A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}\right|.$$
Утверждение 3.8:
Пусть $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}\in{R}_{n,n}$, $1\leq{i}_1<i_2<\cdots<i_k\leq{n}$, $1\leq{j}_1<j_2<\cdots<j_k\leq{n}$, тогда
$$M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}=
\sum_{(t_1,\ldots,t_k)\in\mathcal{P}(\{j_1,\ldots,j_k\})}\delta(t_1,\ldots,t_k)a_{1,t_1}\cdots{a}_{k,t_k}.$$
Доказательство:
Пусть $B=A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}=(b_{r,s})_{k\times{k}}$,
тогда для любых $r,s\in\overline{1,k}$ $b_{r,s}=a_{i_r,j_s}$ и
$$
M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix} = |B| =
\sum_{(l_1,\ldots,l_k)\in\mathcal{P}(\overline{1,k})}\delta(l_1,\ldots,l_k)b_{1,l_1}\cdots{b}_{k,l_k}=
\sum_{(l_1,\ldots,l_k)\in\mathcal{P}(\overline{1,k})}a_{i_1,j_{l_1}}\cdots{a_{i_k,j_{l_k}}}
$$
Так как набор $j_1,\ldots,j_k$ по определению подматрицы упорядочен, то
$$
\forall{a},b\in\overline{1,k}(a<b\Leftrightarrow{j}_a<j_b)\Rightarrow
{J}(l_1,\ldots,l_k)=J(j_{l_1},\ldots,j_{l_k})\Rightarrow\delta(l_1,\ldots,l_k)=\delta(j_{l_1},\ldots,j_{l_k}).
$$
Тогда
$$|B|=\sum_{(l_1,\ldots,l_k)\in\mathcal{P}(\overline{1,k})}\delta(j_{l_1},\ldots,j_{l_k})a_{i_1,j_{l_1}}\cdots{a}_{i_k,j_{l_k}}.$$
Рассмотрим отображение $\varphi:\mathcal{P}(\overline{1,k})\to\mathcal{P}(\{j_1,\ldots,j_k\})$ такое, что для любой перестановки
$(l_1,\ldots,l_k)\in\mathcal{P}(\overline{1,k})$ $\varphi(l_1,\ldots,l_k)=(j_{l_1},\ldots,j_{l_k})$.
Предположим, что отображение $\varphi$ не инъективно, то есть существуют две различные перестановки $(l_1,\ldots,l_k)$, $(l'_1,\ldots,l'_k)$ такие,
что
$$\varphi(l_1,\ldots,l_k)=\varphi(l'_1,\ldots,l'_k)=(j_{l_1},\ldots,j_{l_k}).$$
Тогда существует $u\in\overline{1,k}$ такое, что $l_u\neq{l}'_u$, тогда так как в наборе $j_{l_1},\dots,j_{l_k}$ нет одинаковых чисел,
то $j_{l_u}\neq{j}_{l'_u}$, но это невозможно по предположению $\varphi(l_1,\ldots,l_k)=\varphi(l'_1,\ldots,l'_k)$.
Следовательно, отображение $\varphi$ инъективно, а так как $|\mathcal{P}(\overline{1,k})|=|\mathcal{P}(\{j_1,\ldots,j_k\})|$,
то отображение $\varphi$ биективно. Таким образом в последнем выражении для $|B|$ можно соответствующим образом заменить суммирование по множеству
$\mathcal{P}(\overline{1,k})$ на суммирование по множеству $\mathcal{P}(\{j_1,\ldots,j_k\})$, тогда
$$|B|=\sum_{(t_1,\ldots,t_k)\in\mathcal{P}(\{j_1,\ldots,j_k\})}\delta(t_1,\ldots,t_k)a_{i_1,t_1}\cdots{a}_{i_k,t_k}.$$
Определение 3.9:
Дополнительным минором $CM_A\begin{pmatrix}i_1,& \ldots, & i_k \\ j_i, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}$ квадратной матрицы $A$ называется определитель
подматрицы матрицы $A$ полученный вычеркиванием из матрицы $A$ строк с номерами $i_1,\ldots,i_k$ и столбцов с номерами $j_1,\ldots,j_k$.
Определение 3.10:
Алгебраическим дополнением минора $M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}$ квадратной матрицы
$A\in{R}_{n,n}$ называется элемент кольца $R$
$$\overline{CM}_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}:=(-1)^{i_1+\cdots+i_k+j_1+\cdots+j_k}CM_A
\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}.$$
Теорема 3.7: Теорема Лапласа.
Пусть $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}\in{R}_{n,n}$, $1\leq{i}_1<i_2<\cdots<i_k\leq{n}$, тогда
$$|A|=\sum_{i\leq{j}_1<\cdots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}
\overline{CM}_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}.$$
Доказательство:
Пусть $i_1=1$, $i_2=2$, ..., $i_k=k$. Обозначим
$$
\Delta:=\sum_{1\leq{j}_1<\cdots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}
\overline{CM}_A\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k \end{pmatrix}=
\sum_{i\leq{j}_1<\cdots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}
(-1)^{1+\cdots+k+j_1+\cdots+j_k}M_A\begin{pmatrix}k+1, & \ldots, & n \\ j_{k+1}, & \ldots, & j_n\end{pmatrix},
$$
где ${j_{k+1},\ldots,j_n}=\overline{1,n}\backslash\{j_1,\ldots,j_k\}$. Обозначим $P_1:=\mathcal{P}(\{j_1,\ldots,j_k\})$,
$P_2:=\mathcal{P}(\{j_{k+1},\ldots{j}_n\})$, тогда
$$M_A\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}M_A\begin{pmatrix}k+1, & \ldots, & n \\ j_{k+1}, & \ldots, & j_n\end{pmatrix}=
\left(\sum_{(t_1,\ldots{t}_k)\in{P}_1}\delta(t_1,\ldots,t_k)a_{1,t_1}\cdots{a}_{k,t_k}\right)
\left(\sum_{(t_{k+1},\ldots,t_n)\in{P}_2}\delta(t_{k+1},\ldots,t_n)a_{k+1,t_{k+1}}\cdots{a}_{n,t_n}\right)=
$$
$$
\sum_{(t_1,\ldots,t_k)\in{P_1} \\ (t_{k+1},\ldots,t_n)\in{P}_1}\delta(t_1,\ldots,t_k)\delta(t_{k+1},\ldots,t_n)a_{1,t_1}\cdots
{a}_{k,t_k}a_{k+1,t_{k+1}}\ldots{a}_{n,t_n}.
$$
Если $(t_1,\ldots,t_k)\in{P}_1$, $(t_{k+1},\ldots,t_n)\in{P}_2$, то $(t_1,\ldots,t_k,t_{k+1},\ldots,t_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})$.
Тогда по утверждению 1.2
$$
\delta(t_1,\ldots,t_n)=\delta(t_1,\ldots,t_k,t_{k+1}\ldots,t_n)=(-1)^{t_1+\cdots+t_k-(1+\cdots+k)}\delta(t_1,\ldots,t_k)\delta(t_{k+1},\ldots,t_{n})
$$
Так как для любой перестановки $(t_1,\ldots,t_k)\in{P}_1$ $t_1+\cdots+t_k=j_1+\cdots+j_k$, то для любой перестановки $(t_1,\ldots,t_k)\in{P}_1$
$$(-1)^{1+\cdots+k+j_1+\cdots+j_k}(-1)^{t_1+\cdots+t_k-(1+\cdots+k)}=(-1)^{2(j_1+\cdots+j_k)}=1.$$
Тогда
$$\Delta=\sum_{1\leq{j}_1<\cdots<j_k\leq{n}}
\sum_{(t_1,\ldots,t_k)\in{P}_1 \\ (t_{k+1},\ldots,t_n)\in{P}_2}\delta(t_1,\ldots,t_n)a_{1,t_1}\cdots{a}_{n,t_n}$$
Число слагаемых во внешней сумме равно $C_n^k$, число слагаемых в каждой из внутренних сумм равно $k!(n-k)!$,
следовательно общее число слагаемых в последнем выражении равно $C_n^kk!(n-k)!=\frac{n!}{k!(n-k)!}k!(n-k)!=n!=P_n$. Различным парам перестановок
$(t_1,\ldots,t_k)\in{P}_1$, $(t_{k+1},\ldots,t_n)\in{P}_2$ соответствуют различные перестановки
$(t_1,\ldots,t_k,t_{k+1},\ldots,t_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})$. Таким образом повторную сумму в последнем выражении можно заменить на одну
сумму по множеству $\mathcal{P}(\overline{1,n})$, то есть
$$\Delta=\sum_{(t_1,\ldots,t_n)\in\mathcal{P}(\overline{1,n})}\delta(t_1,\ldots,t_n)a_{1,t_1}\cdots{a}_{n,t_n}=|A|.$$
Пусть теперь $i_1,\ldots,i_k$ произвольный упорядоченный набор из $\overline{1,n}$.
Совершив $i_1-1$ перестановок соседних строк, поставим строку $i_1$ на первое место. В получившейся матрице, совершив $i_2-2$ перестановок соседних строк,
поставим строку $i_2$ на второе место и так далее. В результате совершив
$(i_1-1)+(i_2-2)+\cdots+(i_k-k)$ перестановок получим матрицу $B$, в которой строки $i_1,\ldots,i_k$ матрицы $A$ стоят на первых $k$ местах.
При этом взаимный порядок всех остальных строк не изменился, тогда по доказанному выше
$$
|B|=\sum_{1\leq{j}_1<\ldots<j_k\leq{n}}M_B\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}\overline{CM}_A\begin{pmatrix}1, &
\ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}=
\sum_{1\leq{j}_1<\ldots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k\\j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}(-1)^{1+\cdots+k+j_1+\cdots+j_k}CM_B
\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}=$$
$$=\sum_{1\leq{j}_1<\ldots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k\\j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}(-1)^{1+\cdots+k+j_1+\cdots+j_k}CM_A
\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}.
$$
Тогда по свойству 5 определителя
$$
|A|=(-1)^{i_1+\cdots+i_k-(1+\cdots+k)}|B|=
\sum_{1\leq{j}_1<\ldots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}(-1)^{i_1+\cdots+i_k+j_1+\cdots+j_k}
CM_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}=\\=
\sum_{1\leq{j}_1<\ldots<j_k\leq{n}}M_A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}\overline{CM}_A
\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_k \\ j_1, & \ldots, & j_k\end{pmatrix}.
$$
Можно сформулировать и аналогично доказать теорему, в условии которой зафиксированы $k$ столбцов, а не строк.
Следствие 3.3:
Пусть $A\in{R}_{n,n}$, обозначим $A_{r,s}:=\overline{CM}_A\binom{r}s$, тогда
$$\forall{i},j\in\overline{1,n}\left(|A|=\sum_{t=1}^na_{i,t}A_{i,t}=\sum_{t=1}^na_{t,j}A_{t,j}\right)$$
Доказательство:
Фиксируем $i\in\overline{1,n}$, тогда по теореме Лапласа при $k=1$
$$|A|=\sum_{1\leq{t}\leq{n}}M_A\binom{i}t\overline{CM}_A\binom{i}t=\sum_{t=1}^n(-1)^{i+t}a_{i,t}CM_A\binom{i}t=\sum_{t=1}^na_{i,t}A_{i,t}.$$
Следствие 3.4:
Пусть $A\in{R}_{n,n}$, $i,j\in\overline{1,n}$, $i\neq{j}$, тогда
$$\sum_{t=1}^na_{i,t}A_{j,t}=\sum_{t=1}^na_{t,i}A_{t,j}=0.$$
Доказательсво:
Пусть матрица $B=(b_{i,j})_{n\times{n}}$ такая, что для любых ${k\neq{j}}$ $\vec{B}_k=\vec{A}_k$ и $\vec{B}_j=\vec{A}_i$.
Тогда матрица $B$ имеет две одинаковые строки, следовательно, по свойству 3 определителя
$$0=|B|=\sum_{t=1}^nb_{j,t}B_{j,t}=\sum_{t=1}^na_{i,t}A_{j,t}.$$
Теорема 3.8:
$$\forall{A}\in{R}_{n,n}(A\in(R_{n,n})^*\Leftrightarrow|A|\in{R}^*).$$
Доказательство:
$\Rightarrow)$
$$
A\in(R_{n,n})^*\Rightarrow\exists{B}\in{R}_{n,n}:AB=BA=E\Rightarrow|A||B|=|B||A|=|AB|=|E|=e.
$$
Тогда по теореме 3.6 $|A||B|=|B||A|=e$, следовательно, $|A|\in{R}^*$.
$\Leftarrow)$ Пусть $|A|\in{R}^*$, $A=(a_{i,j})_{n\times{n}}$. Рассмотрим матрицу $A^*=(c_{i,j})_{n\times{n}}$ такую, что для любых
$i,j\in\overline{1,n}$ $c_{i,j}=A_{j,i}$. Пусть $AA^*=(d_{i,j})_{n\times{n}}$, тогда
$$\forall{i},j\in\overline{1,n}\left(d_{i,j}=\vec{A}_i(A^*)_j^{\downarrow}=\sum_{t=1}^na_{t,i}c_{t,j}=\sum_{t=1}^na_{i,t}A_{j,t}\right).$$
Тогда по следствию 3.4 при $i\neq{j}$ $d_{i,j}=0$, a при $i=j$ $d_{i,j}=|A|$,
то есть $AA^*=|A|E$ и $A(|A|^{-1}A^*)=E$. Аналогично $A^*A=|A|E$ и $(|A|^{-1}A^*)A=E$. Таким образом существует $A^{-1}=|A|^{-1}A^*$
Матрица $A^*$ называется взаимной матрицей для матрицы $A$.
previous contents next