7.5 Каноническое разложение многочлена.

Определение 7.12:
Многочлен $f(x)\in{P}[x]$ назыавется приводимым над полем $P$, если существует многочлен $a(x)\in{P}[x]$ такой, что

1. $a(x)|f(x)$
2. $0<\deg{(a(x))}<\deg{(f(x))}$.

Замечание 7.3:

1. Если $\deg{(f(x))}=0$, то $f(x)$ не является ни приводимым, ни неприводимым.
2. Если $\deg{(f(x))}=1$, то $f(x)$ неприводим.
3. Если многочлены $f(x)$ и $g(x)$ ассоциированы, то они либо оба приводимы, либо оба неприводимы.
4. Если $\deg{(f(x))}>0$ и существует $\alpha\in{P}$ такой, что $f(\alpha)=0$, то по теореме 7.3 $(x-\alpha)|f(x)$, следовательно, $f(x)$ - приводим.
5. Если $F$ - поле, $P\subset{F}$, $g(x)\in{P}[x]$ и $g(x)$ неприводим над полем $P$, то он может быть приводим над полем $F$. Например, многочлен $x^2+1$ неприводим над $\mathbb{R}$, но приводим над полем $\mathbb{C}$, так как $i\in\mathbb{C}$ является корнем многочлена $x^2+1$.

Утверждение 7.6:
Если $f(x)\in{P}[x]$ и $\deg{(f(x))}\in\{2,3\}$, то $f(x)$ - неприводим тогда и только тогда, когда существует $\alpha\in{P}$ такое, что $f(\alpha)=0$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Так как многочлен $f(x)$ приводим, то существует многочлен $a(x)\in{P}[x]$ такой, что $a(x)|f(x)$ и $\deg{(a(x))}\in\{1,2\}$, тогда $$ \exists{b}(x)\in{P}(x):f(x)=a(x)b(x)\Rightarrow\deg{(f(x))}=\deg{(a(x))}+\deg{(b(x))}\in\{2,3\}\Rightarrow(\deg{(a(x))}=1\,\vee\,\deg{(b(x))}=1) $$ Без ограничения общности будем считать, что $\deg{(a(x))}=1$, тогда существуют $u\in{P}^*$ и $v\in{P}$ такие, что $a(x)=ux+v$. Обозначим $\alpha:=-vu^{-1}$, тогда $$a(\alpha)=0\Rightarrow{f}(\alpha)=b(\alpha)a(\alpha)=0.$$ $\Leftarrow)$ Многочлен $f(x)$ приводим, так как по теореме 7.3 $(x-\alpha)|f(x)$.

Утверждение 7.7:
Если многочлен $f(x)\in{P}[x]$ неприводим, то

1. $\forall{a}(x)\in{P}[x](f(x)|a(x)\,\vee\,(f(x),a(x))=e)$,
2. $\forall{a}(x),b(x)\in{P}[x](f(x)|(a(x)b(x))\Rightarrow(f(x)|a(x)\,\vee\,f(x)|b(x)))$,
3. если многочлен $g(x)\in{P}[x]$ неприводим над полем $P$, то $f(x)$ и $g(x)$ либо взаимнопросты, либо ассоциированы.

Доказательство:

1. Предположим, что $(f(x),a(x))\neq{e}$, то есть $(f(x),a(x))=d(x)$ где $\deg{(d(x))}>0$. Тогда по определению НОД $d(x)|f(x)$, следовательно, по определению неприводимости $\deg{(d(x))}=\deg{(f(x))}$. Следовательно, по утверждению 7.2 многочлены $f(x)$ и $d(x)$ ассоциированы, тогда $f(x)|a(x)$ в силу того, что $d(x)|a(x)$.
2. Если $f(x)\nmid{a}(x)$, то по пункту 1 $(f(x),a(x))=e$, тогда по пункту 2 теоремы 7.8 $f(x)|a(x)$. Аналогично доказывается, что если $f(x)\nmid{b}(x)$, то $f(x)|a(x)$.
3. Если многочлены $f(x)$ и $g(x)$ неприводимы, тогда по пункту 1 либо $(f(x),g(x))=e$, либо $f(x)|g(x)$ и $g(x)|f(x)$. Следовательно, по утверждению 7.2 многочлены $f(x)$, $g(x)$ либо взаимнопросты, либо ассоциированы.

Теорема 7.10:
Пусть $a(x)\in{P}[x]$ унитарный многочлен и $\deg{(a(x))}>0$. Тогда $a(x)$ либо неприводим либо раскладывается в произведение унитарных неприводимых, причем такое разложение единственно с точностью до перестановки множителей. То есть если $f_1(x),\ldots,f_s(x),g_1(x),\ldots,g_t(x)$ унитарные неприводимые над $P$ многочлены, то $$ a(x)=f_1(x)\cdots{f}_s(x)=g_1(x)\cdots{g}_t(x)\Rightarrow (s=t\,\wedge\,\exists(i_1,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s}):\forall{j}\in\overline{1,t}(f_j(x)=g_{i_j}(x))) $$

Доказательство:
Докажем индукцией по $n$ степени многочлена $a(x)$.
Докажем существование разложения.

1. При $\deg{(a(x))}=n=1$ многочлен $a(x)$ неприводим в силу того, что не существует целых чисел больших нуля и меньших единицы.
2. Пусть для любого $k>1$ искомое разложение существует для любого многочлена, степень которого больше 1 и меньше $k+1$. Докажем, что искомое разложение существует для многочлена $a(x)$ такого, что $\deg{(a(x))}=k+1$. Если многочлен $a(x)$ неприводим, то доказано. Пусть многочлен $a(x)$ приводим, тогда $$ \exists{b}(x)\in{P}[x]:(b(x)|a(x)\,\wedge\,0<\deg{(b(x))}<k+1)\Rightarrow\exists{c}(x)\in{P}(x):(a(x)=b(x)c(x)\,\wedge\,0<\deg{(c(x))}<k+1) $$ Тогда по предположению индукции существуют унитарные неприводимые многочлены $f_1(x),\ldots,f_s(x)$ такие, что $f_1(x)\cdots{f}_r(x)=b(x)$ и $f_{r+1}\cdots{f}_s(x)=c(x)$, следовательно, $a(x)=f_1(x)\cdots{f}_r(x)f_{r+1}(x)\cdots{f}_s(x)$.

1. При $n=1$ доказано, так как многочлен первой степени неприводим.
2. Пусть для любого $k>1$ искомое разложение единственно для любого многочлена, сепень которого больше 1 и меньше $k+1$. Докажем, что искомое разложение единственно для многочлена $a(x)$ такого, что $\deg{(a(x))}=k+1$. Пусть $f_1(x),\ldots{f}_s(x),g_1(x),\ldots,g_t(x)\in{P}[x]$ унитарные неприводимые многочлены такие, что $$a(x)=f_1(x)\cdots{f}_s(x)=g_1(x)\cdots{g}_t(x).$$ Тогда по п. 2 утверждения 7.7 $$ f_1(x)|a(x)\Rightarrow{f}_1(x)|(g_1(x)\cdots{g}_t(x))\Rightarrow\exists{i_1}\in\overline{1,t}:f_1(x)|g_i(x)\Rightarrow(f_1(x),g_{i_1}(x))\neq{e}, $$ следовательно, по п. 3 утверждения 7.7 многочлены $f_1(x)$ и $g_{i_1}(x)$ ассоциированы. Тогда в силу унитарности многочленов $f_1(x)$ и $g_{i_1}(x)$ по утверждению 7.3 $f_1(x)=g_{i_1}(x)$. Обозначим $$a_1(x):=f_2(x)\cdots{f}_s(x)=g_1(x)\cdots{g}_{i_1-1}(x)g_{i_1+1}(x)\cdots{g}_t(x)$$ Так как по определению неприводимости многочлена $\deg{(f_1(x))}>0$, то $\deg{(a_1(x))}<k+1$, тогда по предположению индукции $$ (s-1=t-1\,\wedge\,\exists(i_2,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s}\backslash\{i_1\}):\forall{j}\in\overline{2,s}(f_j(x)=g_{i_j}(x)))\Rightarrow (s=t\,\wedge\,\exists(i_1,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s}):\forall{j}\in\overline{1,s}(f_j(x)=g_{i_j}(x))) $$

Определение 7.13:
Каноническим представлением многочлена $f(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}$ называют его представление в виде $$f(x)=up_1^{k_1}(x)p_2^{k_2}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x),$$ где $p_1(x),\ldots,p_s(x)$ попарноразличные унитарные неприводимые над $P$ многочлены, $u\in{P}^*$, $s\in\mathbb{N}_0$, $k_1,\ldots,k_s\in\mathbb{N}$.
Если $k_1,\ldots,k_s\in\mathbb{N}_0$, то такое представление называется обобщенным каноническим.

Следствие 7.4:
Для любого многочлена $a(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}$ существует единственное с точностью до перестановки множителей каноническое разложение, то есть если $s,t\in\mathbb{N}_0$, $p_1,\ldots,p_s,q_1,\ldots,q_t\in{P}[x]$ унитарные неприводимые над $P$ многочлены, $k_1,\ldots,k_s,r_1,\ldots,r_t\in\mathbb{N}$, $u,v\in{P}^*$ такие, что $$a(x)=up_1^{k_1}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x)=vq_1^{r_1}\cdots{q}_t^{r_t}(x),$$ то $s=t$ и существует подстановка $(i_1,\ldots,i_s)\in\mathcal{P}(\overline{1,s})$ такая, что для любого $j\in\overline{1,s}$ $k_j=r_{i_j}$ и $p_j=q_{i_j}$.

Доказательство:

Пусть $a^*(x)$ унитарный многочлен ассоциированный с многочленом $a(x)$. Тогда по теореме 7.10 существует единственное с точностью до перестановки множителей разложение $$a^*(x)=f_1(x)\cdots{f}_n(x)\quad(*)$$ многочлена $a^*(x)$ в произведение унитарных неприводимых. То есть множество многочленов $\{f_1(x),\ldots,f_s(x)\}$ входящих в разложение $(*)$ определено однозначно. Так же для любого $i\in\overline{1,s}$ однозначно определено колличество вхождений $k_i$ многочлена $f_i(x)$ в разложение $(*)$. Таким образом, предстваление $a^*(x)=f_1^{k_1}(x)\cdots{f}_s^{k_s}$ является каноническим разложением многочлена $a^*(x)$ и оно определено однозначно. При этом $a(x)=ua^*(x)$, где элемент $u\in{P}^*$ определен однозначно, так как является старшим коэффициентом многочлена $a(x)$. Таким образом каноническое разложение $a(x)=uf_1^{k_1}(x)\cdots{f}_s^{k_s}$ многочлена $a(x)$ определено однозначно.

Теоерма 7.11:
Если $f(x),g(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}$ и $f(x)=up_1^{k_1}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x),$ $g(x)=vp_1^{r_1}(x)\cdots{p}_s^{r_s}(x)$ обобщенные канонические разложения, то $$(f(x),g(x))=\prod_{i=1}^sp_i^{\min{\{k_i,r_i\}}}(x),$$ $$[f(x),g(x)]=\prod_{i=1}^sp_i^{\max{\{k_i,r_i\}}}(x).$$

Доказательство:

Обозначим $\displaystyle{d}(x):=\prod_{i=1}^sp_i^{\min{\{k_s,r_s\}}}(x)$, тогда так как для любого $i\in\overline{1,s}$ $k_i-\min{\{k_i,r_i\}}\geq0$ и $r_i-\min{\{k_i,r_i\}}\geq0$, то существуют $$q_1(x):=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i-\min{\{k_i,r_i\}}}(x)\in{P}[x],$$ $$q_2(x):=\prod_{i=1}^sp_i^{r_i-\min{\{k_i,r_i\}}}(x)\in{P}[x]$$ такие, что $f(x)=d(x)q_1(x)$, $g(x)=d(x)q_2(x)$, то есть $d(x)|f(x)$ и $d(x)|g(x)$.
Пусть $d_1(x)\in{P}[x]$ такой, что $d_1(x)|f(x)$ и $d_1(x)|g(x)$, тогда $$d_1(x)=wp_1^{t_1}(x)\cdots{p}_s^{t_s}(x)$$ обобщенное каноническое разложение многочлена $d_1(x)$. Никакие другие унитарные неприводимые многочлены в каноническое разложение многочлена $d_1(x)$ попасть не могут, в силу однозначности канонического разложения и того факта, что произведение двух любых неприводимых многочленов есть приводимый многочлен. Причем для любого $i\in\overline{1,s}$ выполняется $t_i\leq\min{\{k_i,r_i\}}$. Действительно, пусть без ограничения общности $t_1>k_1$, тогда существует $q(x)\in{P}[x]$ такой, что $$ up_1^{k_1}(x)p_2^{k_2}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x)=f(x)=d_1(x)q(x)=p_1^{t_1}(x)p_2^{t_2}(x)\cdots{p}_s^{t_s}(x)q(x)\Rightarrow {p}_1^{k_1}(x)(up_2^{k_2}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x)-p_1^{t_1-k_1}(x)p_2^{t_2}(x)\cdots{p}_s^{t_s}(x)q(x))=0\Rightarrow\\ \Rightarrow{u}p_2^{k_2}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x)=p_1^{t_1-k_1}(x)p_2^{t_2}(x)\cdots{p}_s^{k_s}(x)q(x). $$ Таким образом, может быть получено два различных канонических разложения, для одного и того же многочлена. В одном есть многочлен $p_1(x)$, а в другом его нет.
Таким образом для любого $i\in\overline{1,s}$ $t_1\leq\min{\{k_i,r_i\}}$, тогда существует многочлен $$q_3:=\prod_{i=1}^sp^{\min{\{k_i,r_i\}}-t_i}(x)$$ такой, что $d(x)=d_1(x)q_3(x)$, то есть $d_1(x)|d(x)$. Таким образом показано, что $d(x)\in\lcm{\{f(x),g(x)\}}$ и в силу унитарности произведения унитарных многочленов $d(x)=(f(x),g(x))$.
По теореме 7.7 $$ [f(x),g(x)]=\frac{f^*(x)g^*(x)}{(f(x),g(x))}=\frac{\prod_{i=1}^sp_i^{k_i}(x)\prod_{i=1}^sp_i^{r_i}(x)}{\prod_{i=1}^sp_i^{\min{\{k_i,r_i\}}}(x)}= \frac{\prod_{i=1}^sp_i^{k_i+r_i}(x)}{\prod_{i=1}^sp_i^{\min{\{k_i,r_i\}}}(x)}=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i+r_i-\min{\{k_i,r_i\}}}= \prod_{i=1}^sp_i^{\max{\{k_i,r_i\}}}. $$

Теорема 7.12:
Над любым полем существует бесконечно много неприводимых унитарных многочленов.

Доказательство:

Докажем от противного. Предположим, что существует поле $P$ с единицей $e$ такое, что множество неприводимых унитарных многочленов над ним конечно и $p_1,\ldots,p_n$ все такие многочлены. Рассмотрим многочлен $$p_1(x)\cdots{p}_n(x)+e=p_1^{k_1}(x)\cdots{p}_n^{k_n}(x),$$ где $k_i\in\mathbb{N}_0$ и существует $i\in\overline{1,n}$ такое, что $k_i\neq0$. Тогда $$ p_i(x)|f(x)\Rightarrow\exists{q}(x)\in{P}[x]:f(x)=p_i(x)q(x)\Rightarrow {e}=p_i(x)(q(x)-p_1(x)\cdots{p}_{i-1}(x)p_{i+1}(x)\cdots{p}_n(x))\Rightarrow{p}_i(x)|e, $$ следовательно, по лемме 7.5 $\deg{(p_i(x))}\leq\deg{(e)}=0$. Получено противоречие так как $p_i(x)$ неприводим, следовательно, $\deg{(p_i(x))}>0$.

Следствие 7.5:
Если поле $P$ конечно, то для любого $m\in\mathbb{N}$ существует $n\geq{m}$ такое, что существует неприводимый многочлен степени $n$.

Доказательство:

Докажем от противного. Предположим, что существует $m\in\mathbb{N}$ такое, что для любого неприводимного многочлена $f(x)\in{P}[x]$ $\deg{(f(x))}<m$. Но колличество всех различных многочленов степени $m-1$ над полем $P$ ограничено и не превышает $|P|^m$. Таким образом получено противоречие с теоремой 7.12.

previous contents next