7.4 Многочлены над полем.

Определение 7.7:
Пусть $S$ - коммутативное кольцо с единицей, тогда элементы $a,b\in{S}$ называются ассоциированными, если существует $u\in{S}^*$ такой, что $a=ub$.

Замечание 7.1:

1. Отношение ассоциированности является отношение эквивалентности. Действительно,
   • Рефлексивность: Для любого $a\in{S}$ $a=ea$, где $e$ - единица кольца $S$ обратимый элемент.
   • Симметричность: Если существует $u\in{S}^*$ такой, что $a=ub$, то существует $v:=u^{-1}\in{S}^*$ такой, что $b=va$.
   • Транзитивность: Если существуют $u,v\in{S}^*$ такие, что $a=ub$ и $b=vc$, то $a=u(vc)=(uv)c$, где $uv\in{S}^*$.
2. Так как $\mathbb{Z}^*=\{-1,1\}$, то для любых $a,b\in\mathbb{Z}$ $a$ ассоциирован с $b$ тогда и только тогда, когда $|a|=|b|$.

Утверждение 7.2:
Если $P$ - поле, то для любых $a(x),b(x)\in{P}[x]$ следующие утверждения эквивалентны

1. многочлены $a(x)$, $b(x)$ ассоциированны,
2. $a(x)|b(x)\,\wedge\,b(x)|a(x)$,
3. $a(x)|b(x)\,\wedge\,\deg{a(x)}=\deg{(b(x))}$.

Доказательство:
$1)\Rightarrow2)$ Если $a(x),b(x)$ ассоциированы, то существует $u(x)\in{P}[x]^*$ такой, что $a(x)=u(x)b(x)$, $b(x)=u^{-1}(x)a(x)$, следовательно, $b(x)|a(x)$ и $a(x)|b(x)$.
$2)\Rightarrow3)$ Так как нулевой многочлен делит только нулевой, то $a(x)=0$ тогда и только тогда, когда $b(x)=0$. Так что $\deg{(a(x))}=-\infty$ тогда и только тогда, когда $\deg{(b(x))}=-\infty$.
Пусть $a(x)\neq0$, $b(x)\neq0$, тогда $\deg{(a(x))},\deg{(b(x))}\in\mathbb{N}_0$ и по следствию 7.1 $$ \exists{c}(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}:(b(x)=a(x)c(x))\Rightarrow\deg{(b(x))}=\deg{(a(x))}+\deg{(c(x))} $$ $$ \exists{d}(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}:(a(x)=b(x)d(x))\Rightarrow\deg{(a(x))}=\deg{(b(x))}+\deg{(d(x))} $$ Складывая полученные равенства получим $$ \deg{(c(x))}+\deg{(d(x))}=0\Rightarrow\deg{(c(x))}=\deg{(d(x))=0}\Rightarrow\deg{(a(x))}=\deg{(d(x))}. $$ $3)\Rightarrow1)$ Так как $\deg{(a(x))}=\deg{(b(x))}$, то $a(x)=0$ тогда и только тогда, когда $b(x)=0$. Если $a(x)=b(x)=0$, то $a(x)$, $b(x)$ ассоциированы так как $1\in{P}[x]^*$ $0=1\cdot0$.
Пусть $a(x)\neq0$, $b(x)\neq0$, тогда $$ a(x)|b(x)\Rightarrow\exists{c}(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}:a(x)=c(x)b(x)\Rightarrow\deg{(b(x))}=\deg{(a(x))}+\deg{(c(x))}\Rightarrow \deg{(c(x))}=0\Rightarrow{c}(x)=c\in{P}^*\Rightarrow{a}(x)=cb(x) $$ Последнее равенство означает, что $a(x),b(x)$ ассоциированы, так как $c\in{P}[x]^*$, обратным к многочлену $c$ является многочлен $c^{-1}$.

Задача 7.3:
Доказать, что $P[x]^*=P^*$.
Решение: Нулевой многочлен очевидно не является обратимым.
Многочлен $c(x)=c\in{P}$ такой, что $\deg{c(x)}=0$ является обратимым, так как многочлен $d(x):=c^{-1}\in{P}$ является для него обратным.
Предположим, что существует многочлен $b(x)\in{P}[x]^*$ такой, что ${\deg{(b(x))}>0}$, тогда существует многочлен $d(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}$ такой, что $b(x)d(x)=e$, тогда по следствию 7.1 $\deg{b(x)}+\deg{(d(x))}=0$, следовательно, $\deg{(b(x))}=0$, что противоречит предположению.

Определение 7.8:
Ненулевой многочлен называется унитарным, если его старший коэффициент равен единице.

Утверждение 7.3:
Любой ненулевой многочлен $a(x)\in{P}[x]$ имеет единственный ассоциированный с ним унитарный многочлен.

Доказательство:
$$ a(x)\neq0\Rightarrow\deg{(a(x))}=n\in\mathbb{N}_0\Rightarrow({a}(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\,\wedge\,a_n\neq0) $$ Так как $a_n\neq0$, то $a_n\in{P}^*$, тогда многочлен $$a^*(x):=a_n^{-1}a(x)=x^n+a_n^{-1}a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_n^{-1}a_1x+a_n^{-1}a_0$$ является унитарным ассоциированным с $a(x)$.
Пусть многочлен $b(x)$ унитарный и ассоциированный с $a(x)$. Тогда в силу транзитивности отношений ассоциированности $b(x)$ ассоциирован с $a^*(x)$. Тогда существует $u\in{P}^*$ такой, что $ua^*(x)=b(x)$. Тогда старший коэффициент многочлена $ua^*(x)$ равен $u$, а старший коэффициент многочлена $b(x)$ равен $e$, следовательно, $u=e$ и $b(x)=a^*(x)$.

Определение 7.9:
Наибольшим общим делителем (НОД) многочленов $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]$ называется многочлен $d(x)\in{P}[x]$ такой, что

1. $d(x)|a_1(x),d(x)|a_2(x),\ldots,d(x)|a_n(x)$,
2. для любого $d_1(x)\in{P}[x]$, если $d_1(x)|a_1(x),d_1(x)|a_2(x),\ldots,d_1(x)|a_n(x)$, то $d_1(x)|d(x)$.

Утверждение 7.4:

1. $\gcd\{0,\ldots,0\}=\{0\}$.
2. Если многочлены $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]$ не все равны нулю и
   $b(x)\in\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$, тогда $b(x)\neq0$ и $$\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}=\{ub(x)\mid{u}\in{P}^*\}.$$

Доказательство:

1. Пусть $d(x)\in\gcd\{0,\ldots,0\}$, тогда $$0|0\Rightarrow0|d(x)\Rightarrow{d}(x)=0\Rightarrow\gcd\{0,\ldots,0\}\subset\{0\}.$$ С другой стороны, $0|0$ и для любого $d_1(x)\in{P}[x]$ $$d_1(x)|0\Rightarrow{d}_1(x)|0\Rightarrow{0}\in\gcd\{0,\ldots,0\}.$$ То есть $\gcd\{0,\ldots,0\}=\{0\}$.
2. Пусть $d(x)\in\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$, тогда $$ \begin{cases}b(x)|d(x) \\ d(x)|b(x) \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\exists{u}(x)\in{P}[x]:b(x)=d(x)u(x) \\ \exists{v}(x)\in{P}[x]:d(x)=b(x)v(x)\end{cases}\Rightarrow {b}(x)=(b(x)v(x))u(x)=b(x)(v(x)u(x))\Rightarrow{v}(x)u(x)=e\Rightarrow{u}(x)=v^{-1}(x)\Rightarrow{v}(x)\in{P}[x]^* $$ Таким образом $$\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\subset\{b(x)v(x)\mid{v}(x)\in{P}[x]^*\}=\{vb(x)\mid{v}\in{P}^*\}.$$ С другой стороны, $$ \forall{v}\in{P}^*(b(x)|a(x)\Rightarrow\exists{c}(x)\in{P}[x]:a(x)=b(x)c(x)\Rightarrow\exists{c_1}(x):=v^{-1}c(x):a(x)=vb(x)c_1(x)\Rightarrow{v}b(x)|a(x)). $$ $$ \forall{v}\in{P}^*(d(x)|b(x)\Rightarrow\exists{c}(x)\in{P}[x]:b(x)=d(x)c(x)\Rightarrow\exists{c}_1(x):=vc(x):vb(x)=d(x)vc(x)\Rightarrow{d}(x)|vb(x)). $$ Таким образом $$ \forall{v}\in{P}^*(vb(x)\in\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\Rightarrow\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}=\{vb(x)\mid{v}\in{P}^*\}). $$

Лемма 7.2:
Если $a(x),b(x)\in{P}[x]$, $b(x)\neq0$, $r(x)$ - остаток от деления $a(x)$ на $b(x)$, то из существования НОД $(b(x),r(x))$ следует существование НОД $(a(x),b(x))$, и в случае существования $(a(x),b(x))=(b(x),r(x))$.

Доказательство:
Так как в кольце многочленов над полем любой многочлен делится на любой не нулевой, то существуют $q(x),r(x)\in{P}[x]$ такие, что $a(x)=b(x)q(x)+r(x)$ и $\deg{(r(x))}<\deg{(b(x))}$. Пусть существует $d(x):=(b(x),r(x))$, тогда $$(d(x)|b(x)\,\wedge\,d(x)|r(x)\Rightarrow{d}(x)|a(x).$$ Если $d_1(x)|b(x)$, $d_1(x)|a(x)$, то так как $r(x)=a(x)-b(x)q(x)$, то $d_1|r(x)$. Тогда так как $d(x)=(b(x),r(x))$, то $d_1(x)|d(x)$, то есть $d(x)\in\gcd\{a(x),b(x)\}$. И так как $d(x)$ унитарный или нулевой, то $d(x)=(a(x),b(x))$.

Лемма 7.3:
$$\forall{a}(x),b(x)\in{P}[x](\gcd\{a(x),b(x)\}\neq\varnothing).$$

Доказательство:

1. Если $a(x)|b(x)$, тогда
   • $a(x)|a(x)$, $a(x)|b(x)$
   • $\forall{d}(x)\in{P}[x]((d(x)|a(x)\,\wedge{d}(x)|b(x))\Rightarrow{d}(x)|a(x))$
   Таким образом $a(x)\in\gcd\{a(x),b(x)\}$.
2. Если $b(x)|a(x)$, то аналогично доказывается, что $b(x)\in\gcd\{a(x),b(x)\}$.
3. Если $a(x)\nmid{b}(x)$, $b(x)\nmid{a}(x)$, то $b(x)\neq0$, тогда поделим $a(x)$ на $b(x)$ с остатком, потом поделим делитель на остаток, и т. д. пока остаток не будет равен нулю
   $a(x)=b(x)q_1(x)+r_1(x),\,\deg{(r_1(x))}<\deg{(b(x))}$,
   $b(x)=r_1(x)q_2(x)+r_2(x),\,\deg{(r_2(x))}<\deg{(r_1(x))}$,
   $r_1(x)=r_2(x)q_3(x)+r_3(x),\,\deg{(r_3(x))}<\deg{(r_2(x))}$,
   $\cdots$
   $r_{n-1}(x)=r_n(x)q_{n+1}(x)+r_{n+1}(x),\,\deg{(r_{n+1}(x))}=0$.
   Тогда если $r_n^{(m)}\in{P}^*$ старший коэффициент многочлена $r_n(x)$, то по лемме 7.2 $$ (r_n^{(m)})^{-1}r_n(x)=(r_n(x),0)=(r_{n-1}(x), r_n(x))=\cdots=(r_1(x),r_2(x))=(b(x),r_1(x))=(a(x),b(x)). $$

Теорема 7.5:
Для любых $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]$ $\gcd\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\neq\varnothing$ при этом $(a_1(x),\ldots,a_n(x))=(\ldots((a_1(x),a_2(x)),a_3(x)),\ldots{a}_n(x))$.

Доказательство:
Докажем индукцией по $n$.

1. При $n=2$ утверждение следует из леммы 7.2.
2. Пусть для любого $t\geq2$ утверждение верно при $n\in\overline{2,t}$ докажем, что оно верно при $n=t+1$.
   По предположению индукции $\gcd\{a_1(x),\ldots,a_t(x)\}\neq\varnothing$, тогда существует $d_0:=(a_1(x),\ldots,a_t(x))$. Обозначим $d(x):=(d_0(x),a_{t+1}(x))=((a_1(x),\ldots,a_t(x)),a_{t+1}(x))$, тогда $$ (d(x)|d_0\,\wedge\,d(x)|a_{t+1}(x))\Rightarrow(\forall{i}\in\overline{1,t}(d(x)|a_i(x)\,\wedge\,d(x)|a_{t+1}(x))\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,t+1}(d(x)|a_i(x)). $$ И для любого $d_1(x)\in{P}[x]$ $$\forall{i}\in\overline{1,t+1}(d_1(x)|a_i(x))\Rightarrow{d}_1(x)|d_0(x)\,\wedge\,d_1(x)|a_{t+1}(x)\Rightarrow{d}_1(x)|d(x).$$ Таким образом $d(x)=(a_1(x),\ldots,a_{t+1}(x))$. Так как по предположению индукции $(a_1(x),\ldots,a_t(x))=(\ldots((a_1(x),a_2(x)),a_3(x)),\ldots,a_t(x))$, то $$ (a_1(x),\ldots,a_{t+1}(x))=d(x)=((a_1(x),\ldots,a_t(x)),a_{t+1}(x))=\\=(\ldots((a_1(x),a_2(x)),a_3(x)),\ldots{a}_{t+1}(x)). $$

Лемма 7.4:
$$\forall{a}(x),b(x)\in{P}[x]\,\exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:(a(x),b(x))=u(x)a(x)+v(x)b(x).$$

Доказательство:

Докажем индукцией по $n$ числу шагов в алгоритме Евклида для многочленов $a(x), b(x)$.

1. При $n=1$ существуют многочлены $q_1(x),q_2(x),r(x)\in{P}[x]$ такие, что $a(x)=b(x)q_1(x)+r(x)$, $b(x)=r(x)q_2(x)$. Тогда если обозначить как $r_m\in{P}^*$ старший коэффициент многочлена $r(x)$, то $$ (a(x),b(x))=(b(x),r(x))=r_m^{-1}r(x)=r_m^{-1}(a(x)-b(x)q_1(x))=r_m^{-1}a(x)-(r_m^{-1}q_1(x))b(x). $$ Таким образом $u(x)=r_m^{-1}$, $v(x)=r_m^{-1}q_1(x)$.
2. Пусть при любом $k\geq1$ для любых многочленов, у которых алгоритм Евклида состоит не более чем из $k$ шагов, утверждение верно, докажем, что оно верно для многочленов $a(x),b(x)$, алгоритм Евклида которых состоит из $k+1$ шагов. Тогда если $a(x)=b(x)q(x)+r(x)$ первый шаг алгоритма Евклида для многочленов $a(x),b(x)$, то алгоритм Евклида для многочленов $b(x),r(x)$ состоит из $k$ шагов. Тогда по предположению индукции существуют многочлены $u'(x),v'(x)\in{P}[x]$ такие, что $$ (a(x),b(x))=(b(x),r(x))=u'(x)b(x)+v'(x)r(x)=u'(x)b(x)+v'(x)(a(x)-b(x)q(x))=v'(x)a(x)+(u'(x)-v'(x)q(x)). $$ Таким образом $u(x)=v'(x)$, $v(x)=u'(x)-v'(x)q(x)$.

Теорема 7.6:
$$ \forall{a}_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]\,\exists{u}_1(x),\ldots,u_n(x)\in{P}[x]:(a_1(x),\ldots,a_n(x))=u_1(x)a_1(x)+\cdots+u_n(x)a_n(x). $$

Доказательство:

Докажем индукцией по $n$.

1. При $n=2$ утверждение следует из леммы 7.4.
2. Пусть при любом $t\geq2$ утверждение верно при $n\in\overline{2,t}$, докажем, что оно верно при $n=t+1$.
   По предположению индукции $$\exists{u}'_1(x),\ldots,u'_t(x)\in{P}[x]:(a_1(x),\ldots,a_t(x))=u'_1(x)a_1(x)+\cdots+u'_t(x)a_t(x).$$ По лемме 7.4 существуют $u(x),v(x)\in{P}[x]$ $$((a_1(x),\ldots,a_t(x)),a_{t+1})=u(x)(a_1(x),\ldots,a_t(x))+v(x)a_{t+1}(x).$$ Тогда по теореме 7.5 $$ (a_1(x),\ldots,a_{t+1}(x))=((a_1(x),\ldots,a_t(x)),a_{t+1}(x))=u(x)(a_1(x),\ldots,a_t(x))+v(x)a_{t+1}(x)= (u(x)u'_1(x))a_1(x)+\cdots+(u(x)u'_t(x))a_t(x)+v(x)a_{t+1}(x). $$ Таким образом для любого $i\in\overline{1,t}$ $u_i(x)=u(x)u'_i(x)$ и $u_{t+1}(x)=v(x)$.

Лемма 7.5:
$$\forall{a}(x)\in{P}[x]\,\forall{b}(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}(a(x)|b(x)\Rightarrow\deg{(a(x))}\leq\deg{(b(x))}).$$

Доказательство:

Так как $$b(x)\neq0\Rightarrow{a}(x)\neq0\Rightarrow\deg{(a(x))},\deg{(b(x))}\in\mathbb{N}_0,$$ то по определению делимости и п.1 следствия 7.1 $$ \exists{q}(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}:a(x)=q(x)b(x)\Rightarrow\deg{(b(x))}=\deg{(a(x))}+\deg{(q(x))}\Rightarrow\deg{(b(x))}\geq\deg{(a(x))} $$

Определение 7.10:
Многочлены $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}(x)$ называются взаимнопростыми в совокупности, если $(a_1(x),\ldots,a_n(x))=e$.

Теорема 7.7:
$$(a_1(x),\ldots,a_n(x))=e\Leftrightarrow\exists{u}_1,\ldots,u_n(x)\in{P}[x]:u_1(x)a_1+\cdots+u_n(x)a_n(x)=e.$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Следует из теоремы 7.6.
$\Leftarrow)$ Обозначим $d(x):=(a_1(x),\ldots,a_n(x))$, тогда $$ \forall{i}\in\overline{1,n}(d(x)|a_i(x))\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(d(x)|(u_i(x)a_i(x)))\Rightarrow {d}(x)|(u_1(x)a_1(x)+\cdots+u_n(x)a_n(x))\Rightarrow{d}(x)|e\Rightarrow(d(x)\neq0\,\wedge\,\deg{(d(x))}\leq\deg{(e)}=0)\Rightarrow\deg{(d(x))}=0 $$ Так как многочлен $d(x)$ по определению НОД $(a_1(x),\ldots,a_n(x))$ является унитарным, то $d(x)=e$.

Лемма 7.6:
$$\forall{a}(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}(\forall{b}(x),c(x)\in{P}[x](a(x)b(x)=a(x)c(x)\Rightarrow{b}(x)=c(x)))$$

Доказательство:

Так как по п. 2 следствия 7.1 в кольце $P[x]$ нет делителей нуля, то $$a(x)b(x)=a(x)c(x)\Rightarrow{a}(x)(b(x)-c(x))=0\Rightarrow{b}(x)-c(x)=0\Rightarrow{b}(x)=c(x).$$

Замечание 7.2:
Заметим, что так как по теореме 7.1 кольцо $P[x]$ коммутативно и по п.2 следствия 7.1 не содержит делителей нуля, то $$\forall{a}(x),b(x),c(x)\in{P}[x](a(x)c(x)|b(x)c(x)\Rightarrow{a}(x)|b(x)).$$ Действительно, $$a(x)c(x)|b(x)c(x)\Rightarrow\exists{q}(x)\in{P}[x]:b(x)c(x)=(a(x)c(x))q(x)=(a(x)q(x))c(x)$$ тогда по лемме 7.6 $b(x)=a(x)q(x)$, то есть $a(x)|b(x)$.

Теорема 7.8:
Для любых $a(x),b(x),c(x)\in{P}[x]$

1. $(a(x),b(x))=(a(x),c(x))=e\Rightarrow(a(x),b(x)c(x))=e$,
2. $((a(x),b(x))=e\,\wedge\,a(x)|(b(x)c(x)))\Rightarrow{a}(x)|c(x)$,
3. $((a(x),b(x))=e\,\wedge\,a(x)|c(x)\,\wedge\,b(x)|c(x))\Rightarrow(a(x)b(x))|c(x)$,
4. $(a(x),b(x))=c(x)\Rightarrow\left(\frac{a(x)}{c(x)},\frac{b(x)}{c(x)}\right)=e$.

Доказательство:

1. По теореме 7.7 $$(a(x),b(x))=e\Rightarrow\exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:u(x)a(x)+v(x)b(x)=e,$$ $$(a(x),c(x))=e\Rightarrow\exists{u}'(x),v'(x)\in{P}[x]:u'(x)a(x)+v'(x)c(x)=e.$$ Перемножая равенства получим $$ e=u'(x)u(x)(a(x))^2+u'(x)a(x)v(x)b(x)+v'(x)c(x)u(x)a(x)+v'(x)c(x)v(x)b(x)=a(x)[u'(x)u(x)a(x)+u'(x)v(x)b(x)+v'(x)c(x)u(x)]+v'(x)v(x)b(x)c(x) $$ Таким образом по теореме 7.7 $(a(x),b(x)c(x))=e$.
2. По определению делимости $$a(x)|(b(x)c(x))\Rightarrow\exists{q}(x)\in{P}[x]:(b(x)c(x)=a(x)q(x).$$ По теореме 7.7 $$(a(x),b(x))=e\Rightarrow\exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:u(x)a(x)+v(x)b(x)=e).$$ Тогда $$ ({u}(x)b(x)c(x)+v(x)a(x)c(x)=c(x)\,\wedge\,b(x)c(x)=a(x)q(x))\Rightarrow{u}(x)a(x)q(x)+v(x)a(x)c(x)=c(x)\Rightarrow {a}(x)(u(x)q(x)+v(x)c(x))=c(x)\Rightarrow{a}(x)|c(x) $$
3. По определению делимости $$(a(x)|c(x)\,\wedge\,{b}(x)|c(x))\Rightarrow\exists{p}(x),p(x)\in{P}[x]:c(x)=p(x)a(x)=q(x)b(x).$$ По теореме 7.7 $$(a(x),b(x))=e\Rightarrow\exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:u(x)a(x)+v(x)b(x)=e.$$ Тогда $$ {u}(x)a(x)c(x)+v(x)b(x)c(x)=c(x)\Rightarrow{u}(x)a(x)p(x)b(x)+v(x)b(x)a(x)p(x)=c(x)\Rightarrow{a}(x)b(x)(u(x)q(x)+v(x)p(x))=c(x)\Rightarrow(a(x)b(x))|c(x) $$
4. По лемме 7.4 $$(a(x),b(x))=c(x)\Rightarrow\exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:u(x)a(x)+v(x)b(x)=c(x),$$ тогда $$ u(x)\frac{a(x)}{c(x)}c(x)+v(x)\frac{b(x)}{c(x)}c(x)=c(x)\Rightarrow{c}(x)\left(u(x)\frac{a(x)}{c(x)}+v(x)\frac{b(x)}{c(x)}\right)=c(x)\Rightarrow {u}(x)\frac{a(x)}{c(x)}+v(x)\frac{b(x)}{c(x)}=e\Rightarrow\left(\frac{a(x)}{c(x)},\frac{b(x)}{c(x)}\right)=e $$

Определение 7.11:
Многочлен $k(x)\in{P}[x]$ называется наименьшим общим кратным многочленов $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]$, если

1. $a_1(x)|k(x),\ldots,a_n(x)|k(x)$
2. $\forall{k}_1(x)\in{P}(x)((a_1(x)|k_1(x),\ldots,a_n(x)|k_1(x))\Rightarrow{k}(x)|k_1(x))$

Утверждение 7.5:
Пусть $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]$, тогда

1. $\exists{i}\in\overline{1,n}:a_i=0\Rightarrow\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}=\{0\}$,
2. $(\forall{i}\in\overline{1,n}(a_i\neq0)\,\wedge\,b(x)\in\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\})\Rightarrow(b(x)\neq0\,\wedge\,\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}= \{ub(x)\mid{u}\in{P}^*\})$.

Доказательство:

1. Если $d(x)\in\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$, то $a_i(x)|d(x)$, то есть $0|d(x)$. Так как нулевой многочлен делит, лишь нулевой, то ${\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\subset\{0\}}$.
   С другой стороны, любой многочлен делит нулевой, следовательно, для любого $i\in\overline{1,n}$ $a_i(x)|0$. И если $d_1(x)\in{P}[x]$ такой, что $a_i(x)|d_1(x)$, то $d_1(x)=0$, то есть $0|d_1(x)$. Таким образом, $$0\in\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\Rightarrow\{0\}=\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}.$$
2. Если для любого $i\in\overline{1,n}$ $a_i(x)\neq0$, то многочлен $p(x)=\prod_{i=1}^na_i(x)\neq0$. И так как для любого $i\in\overline{1,n}$ $a_i(x)|p(x)$, то $b(x)|p(x)$, следовательно, $b(x)\neq0$.
   Для любого $u\in{P}^*$, очевидно, $ub(x)\in\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$, значит $\{ub(x)\mid{u}\in{P}^*\}\subset\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$.
   Пусть $d(x)\in\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$, тогда $b(x)|d(x)$ и $d(x)|b(x)$, следовательно, $d(x)=b(x)q(x)$ и по лемме 7.5 $\deg{(d(x))}=\deg{(b(x))}$, то есть $\deg{(q(x))}=0$. Таким образом $q(x)=u\in{P}^*$, следовательно, $\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\subset\{ub(x)\mid{u}\in{P}^*\}$ и в итоге получаем $\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}=\{ub(x)\mid{u}\in{P}^*\}$.

Теорема 7.9:

1. Если $a(x),b(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}$, то $\lcm\{a(x),b(x)\}\neq\varnothing$ и $$[a(x),b(x)]=\frac{a^*(x)b^*(x)}{(a(x),b(x))}.$$ Где $a^*(x)$ и $b^*(x)$ унитарные многочлены ассоциированные с $a(x)$ и $b(x)$ соответственно.
3. Для любых $a_1(x),\ldots,a_n(x)\in{P}[x]$ $\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}\neq\varnothing$, при этом $[a_1(x),\ldots,a_n(x)]=[\ldots[[a_1(x),a_2(x)],a_3(x)],\ldots{a}_n(x)]$.

Доказательство:

1. Заметим, что в силу пп. 1, 2 утверждения 7.2 и транзитивности отношиния делимости с точки зрения отношения делимости любой многочлен эквивалентен ассоцированному с ним. То есть $$\forall{c}(x)\in{P}[x]((c(x)|a(x)\Leftrightarrow{c}(x)|a^*(x))\,\wedge(a(x)|c(x)\Leftrightarrow{a}^*(x)|c(x))).$$ Обозначим $d(x):=(a(x),b(x))$ и многочлен $\displaystyle{k}(x):=\frac{a^*(x)b^*(x)}{d(x)}$ такой, что $a^*(x)b^*(x)=d(x)k(x)$, тогда $$ d(x)|b(x)\Rightarrow{d}(x)|b^*(x)\Rightarrow\exists{q}(x)\in{P}[x]:b^*(x)=d(x)q(x)\Rightarrow {a}^*(x)d(x)q(x)=d(x)k(x)\Rightarrow{k}(x)=a^*(x)q(x)\Rightarrow{a}(x)|k(x), $$ где предпоследняя импликация по лемме 7.6. Аналогично показывается, что $b(x)|k(x)$.
   Пусть $k_1(x)\in{P}(x)$ такой, что $a(x)|k_1(x)$ и $b(x)|k_1(x)$, тогда $$ (a^*(x)|k_1(x)\,\wedge\,b^*(x)|k_1(x))\Rightarrow(a^*(x)b^*(x))|k_1(x)\Rightarrow{k}(x)|k_1(x) $$ Таким образом $k\in\lcm\{a_1(x),\ldots,a_n(x)\}$. Унитарность многочлена $k(x)$ следует из унитарности многочленов $a^*(x)b^*(x)$ и $(a(x),b(x))$, следовательно, $k(x)=[a(x),b(x)]$.
2. Докажем утврерждение индукцией по $n$.
   1. При $n=2$ утверждение следует из пункта 1.
   2. Пусть для любого $t\geq2$ утверждение верно при $n\in\overline{2,t}$, докажем, что оно верно при $n=t+1$.
      Обозначим $k(x)=[[a_1(x),\ldots,a_t(x)],a_{t+1}(x)]$, тогда $$ ([a_1(x),\ldots,a_t(x)]|k(x)\,\wedge\,a_{t+1}(x)|k(x))\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t+1}(a_i(x)|k(x)). $$ С другой стороны, для любого $k_1(x)\in{P}(x)$ $$ \forall{i}\in\overline{1,t+1}(a_i(x)|k_1(x))\Rightarrow([a_1(x),\ldots,a_t(x)]|k_1(x)\,\wedge\,a_{t+1}(x)|k_1(x))\Rightarrow{k}(x)|k_1(x) $$ Таким образом $k(x)=[a_1(x),\ldots,a_{t+1}(x)]$. Тогда по предположению индукции $$ [a_1(x),\ldots,a_{t+1}(x)]=k(x)=[[a_1(x),\ldots,a_t(x)],a_{t+1}(x)]=[\ldots[[a_1(x),a_2(x)],a_3(x)],\ldots,a_{t+1}(x)]. $$