9.2 Группы.

Определение 9.8:
Группоид $(G;*)$ является группой тогда и только тогда, когда

1. операция $*$ ассоциативна;
2. существует элемент $e\in{G}$ нейтральный относительно операции $*$;
3. для любого элемента $G$ существует симметричный ему относительно операции $*$.

Определение 9.9:
Группа $(G;*)$ называется коммутативной или абелевой, если операция $*$ коммутативна.

Введем некоторые общеупотребительные обозначения

Общая форма		Аддитивная форма		Мультипликативная форма
Название	Обозначение	Название	Обозначение	Название	Обозначение
операция	$*,\circ,\vartriangle,\ldots$	сложение	$+$	умножение	$\cdot$
результат	$a*b$	сумма	$a+b$	произведение	$a\cdot{b}$
нейтральный	$e,\lambda$	нуль	$0,\theta$	единица	$1,e,\varepsilon$
симметричный	$a'$	противоположный	$-a$	симметричный	$a^{-1}$
$\underbrace{a*\cdots*a}_{k}$		$k$-тое кратное элемента $a$	$k\cdot{a}$	$k$-тая степень элемента $a$	$a^k$

Пример 9.6:

1. Пусть $(H;\cdot)$ - полугруппа с нейтральным элементом $e$, $H^*$ - множество всех обратимых элементов $H$, то есть $$H^*:=\{h\in{H}\mid\exists{h}'\in{H}:hh'=h'h=e\}.$$ В замечании 2.1 было показано, что множество обратимых элементов замкнуто относительно ассоциативной операции, при этом $e\in{H}^*$. Так им образом группоид $(H^*;\cdot)$ является группой.
2. Пусть $(R;+,\cdot)$ - кольцо, тогда группоид $(R;+)$ является коммутативной (абелевой) группой. Группа $(R;+)$ называется аддитивной группой кольца $(R;+,\cdot)$.
   Группоид $(R;\cdot)$ в общем случае является полугруппой. Если кольцо содержит единицу $e\in{R}$, то группоид $(R;\cdot)$ является полугруппой с единицей, а группоид $(R^*;\cdot)$ является группой. Группа $(R^*;\cdot)$ называется мультипликативной группой кольца $(R;+,\cdot)$.
3. В примере 9.1 было показано, что для любого $n\in\mathbb{N}$ группоид $(\Gamma_n;\cdot)$ изоморфен группоиду $(\mathbb{Z}/n;+)$, который является аддитивной группой кольца $\mathbb{Z}/n$. Таким образом по пп. 2, 4 следствия 9.1 $(\Gamma_n;\cdot)$ - абелева группа. Следовательно, для любого $n\in\mathbb{N}$ существует абелева группа порядка $n$.
4. Пусть $\Omega$ - некоторе множество, $S(\Omega)$ - множество биективных отбражений $\Omega$ в себя. Операция композиции $\circ$ заданная на $S(\Omega)$ является ассоциативной. Тождественно отображение является биективным и, следовательно, принадлежит $S(\Omega)$. Тогда для любого $\varphi\in{S}(\Omega)$ существует симмертичный $\varphi^{-1}\in{S}(\Omega)$. Таким образом группоид $(S(\Omega);\circ)$ является группой.

Теорема 9.5:
Пусть $S(\Omega)$ множество биективных отображений на множестве $\Omega$. Операция $\cdot$ такая, что для любых $\varphi,\psi\in\Omega$ $\varphi\cdot\psi=\psi\circ\varphi$, тогда

1. группоиды $(S(\Omega);\circ)$, $(S(\Omega);\cdot)$ - группы;
2. $(S(\Omega);\circ)\cong(S(\Omega;\cdot))$;
3. группоиды $(S(\Omega);\circ)$, $(S(\Omega);\cdot)$ коммутативны тогда и только тогда, когда $|\Omega|\leq2$.

Доказательство:

1. Группоид $(S(\Omega);\circ)$ является группой так как оперция $\circ$ ассоциативна, тождественное отображение $e$ биективно и нейтрально относительно операции $\circ$. Для любого отображения $\varphi\in{S}(\Omega)$ существует обратное ему $\varphi^{-1}\in{S}(\Omega)$ такое, что $\varphi\circ\varphi^{-1}=\varphi^{-1}\circ\varphi=e$.
   Для того, что бы доказать, что группоид $(S(\Omega);\cdot)$ - группа докажем, что он изоморфен $(S(\Omega);\circ)$.
2. Рассмотрим отображение $\tau:S(\Omega)\to{S}(\Omega)$ такое, что для любого $\varphi\in{S}(\Omega)$ $\tau(\varphi)=\varphi^{-1}$. Так как $(S(\Omega);\circ)$ - rруппа, то для любого $\varphi\in{S}(\Omega)$ обратный определен однозначно, следоваетльно, отображение $\tau$ биективно, при этом $$\tau(\varphi\circ\psi)=(\varphi\circ\psi)^{-1}=\psi^{-1}\circ\varphi^{-1}=\varphi^{-1}\cdot\psi^{-1}.$$ Таким образом отображение $\tau$ является изоморфизмом группоидов $(S(\Omega);\circ)$, $(S(\Omega);\cdot)$, следовательно, по п. 4 следствия 9.1 $(S(\Omega;\cdot))$ - группа.
3. 
   $\Rightarrow)$ Докажем от противного. Пусть $|\Omega|>2$, тогда существуют попарно различные $a,b,c\in\Omega$. Рассмотрим отображения $\varphi,\psi\in{S}(\Omega)$ такие, что $$ \varphi(x)=\begin{cases}b;x=a \\ a;x=b \\ x;x\notin\{a,b\}\end{cases}, \psi(x)=\begin{cases}c;x=a \\ a;x=c \\ x;x\notin\{a,c\}\end{cases}. $$ Тогда $$ (\varphi\cdot\psi)(a)=(\psi\circ\varphi)(a)=\psi(b)=b\neq{c}=\varphi(c)=(\varphi\circ\psi)(a)=(\psi\cdot\varphi)(a), $$ то есть $\varphi\cdot\psi\neq\psi\cdot\varphi$ и $\varphi\circ\psi\neq\psi\circ\varphi$, следовательно, группы $(S(\Omega);\circ)$, $(S(\Omega);\cdot)$ не абелевы.
   $\Leftarrow)$ Если $|\Omega|=1$, то $|S(\Omega)|=1$ и $S(\Omega)=\{e\}$. Таким образом группы $(S(\Omega);\circ)$, $(S(\Omega);\cdot)$, очевидно, абелевы.
   Если $|\Omega|=2$, то $|\Omega|=2!=2$ и $S(\Omega)=\{e, \varphi\}$. Так как по определению нейтрального элемента $\varphi\circ{e}=e\circ\varphi=\varphi$, то группы $(S(\Omega);\circ)$, $(S(\Omega);\cdot)$ абелевы.

Теорема 9.6:
Пусть множества $\Omega_1,\Omega_2$ такие, что $|\Omega_1|=|\Omega_2|$, тогда $(S(\Omega_1);\cdot)\cong(S(\Omega_2);\cdot)$.

Доказательство:

Так как $|\Omega_1|=|\Omega_2|$, то существует биективное обображение $a:\Omega_1\to\Omega_2$. Рассмотрим отображение $\tau:S(\Omega_1)\to{S}(\Omega_2)$ такое, что $$\forall\varphi\in{S}(\Omega_1)(\tau(\varphi)=a^{-1}\varphi{a}).$$ Отображение $\tau$ задано корректно, так как для любого $\varphi\in{S}(\Omega_1)$ $\tau(\varphi)$ биективно, как композиция биективных, следовательно, $\tau(\varphi)\in{S}(\Omega_2)$. Докажем, что отображение $\tau$ изоморфизм.

1. Так как $$\forall\psi\in{S}(\Omega_2)\,\exists\varphi:=a\psi{a}^{-1}:\tau(\varphi)=\tau(a\psi{a}^{-1})=a^{-1}a\psi{a}^{-1}a=\psi,$$ то отображение $\tau$ сюръективно.
2. Пусть $\varphi,\varphi_1\in{S}(\Omega_1)$, тогда $$\tau(\varphi)=\tau(\varphi_1)\Rightarrow\forall{x}\in\Omega_2((a^{-1}\varphi{a})(x)=(a^{-1}\varphi_1{a})(x)).$$ Так как отображение $a^{-1}:\Omega_2\to\Omega_1$ биективно, то $$\forall{y}\in\Omega_1(\varphi{a}(y)=\varphi_1{a}(y))\Rightarrow\forall{y}\in\Omega_1(\varphi(y)=\varphi_1(y))\Rightarrow\varphi=\varphi_1,$$ где первая импликация следует из биективности отображения $a$. Таким обрзаом, отображение $\tau$ инъективно.
3. Для любых $\varphi,\psi\in{S}(\Omega_1)$ $$\tau(\varphi\psi)=a^{-1}\varphi\psi{a}=a^{-1}\varphi{e}\psi{a}=(a^{-1}\varphi{a})({a}^{-1}\psi{a})=\tau(\varphi)\tau(\psi),$$ следовательно, $\tau$ - гомоморфизм

Теорема 9.7:
Пусть $(H;\cdot)$ полугруппа, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $(H;\cdot)$ - группа,
2. для любых $a,b\in{H}$ уравнения $ax=b$, $ya=b$ однозначно разрешимы,
3. для любых $a,b\in{H}$ уравнения $ax=b$, $ya=b$ разрешимы.

Доказательство:
$1)\Rightarrow2)$ Если $(H;\cdot)$ группа, то $$\forall{a},b\in{H}\,\exists{a}^{-1}\in{H}:a(a^{-1}b)=(aa^{-1})b=eb=b.$$ То есть элемент $a^{-1}b\in{H}$ является решением уравнения $ax=b$. Докажем, что это решение единственно. Пусть $x_1,x_2\in{H}$ удовлетворяют уравнению $ax=b$, тогда $$ (ax_1=b\,\wedge\,ax_2=b)\Rightarrow{a}x_1=ax_2\Rightarrow{a}^{-1}(ax_1)=a^{-1}(ax_2)\Rightarrow(a^{-1}a)x_1=(a^{-1}a)x_2\Rightarrow{x}_1=x_2. $$ Аналогично доказывается, что элемент $ba^{-1}\in{H}$ является единственным решением уравниния $ya=b$.
$2)\Rightarrow3)$ Очевидно.
$3)\Rightarrow1)$ Если $a\in{H}$, то уравнение $ax=a$ разрешимо, то есть существует $u\in{H}$ такое, что $au=a$. С другой стороны, из разрешимости для любого $b\in{H}$ уравнения $ya=b$ следует, что $$\exists{t}\in{H}:ta=b\Rightarrow{b}u=(ta)u=t(au)=ta=b.$$ Аналогичным образом показывается, что существует $v\in{H}$ такое, что для любого $b\in{H}$ $vb=b$. Таким образом $$\forall{b}\in{H}\begin{cases}bu=b \\ vb=b \end{cases}\Rightarrow\forall{b}\in{H}\begin{cases}buv=bv \\ uvb=ub\end{cases}\Rightarrow{u}v=u=v.$$ То есть элемент $u=v$ является нейтральным в $(H;\cdot)$.
Из разрешимости для любых $h_1,h_2\in{H}$ уравнения $h_1x=h_2$ следует, что $$ \forall{a}\in{H}\,\exists{b},c\in{H}:(ab=u\,\wedge\,bc=u)\Rightarrow(ab=u\,\wedge\,{b}a=b(au)=(ba)u=(ba)(bc)=b(ab)c=buc=bc=u), $$ то есть $b=a^{-1}$. Таким образом полугруппа $(H;\cdot)$ является группой.

previous contents next