9 Основы теории групп.

9.1 Гомоморфизмы множеств с операциями.

Определение 9.1:
Группоид $(G;*)$ называется полугруппой, если операция $*$ ассоциативна.

Определение 9.2:
Группа - это полугруппа с единицей, в которой для любого элемента существует симмеричный.
Таким образом группоид $(G;*)$ является группой, если операция $*$ ассоциативна, существует $e\in{G}$ такой, что для любого элемента $g\in{G}$ $eg=ge=g$ и для любого $g\in{G}$ существует $g'\in{G}$ такой, что $gg'=g'g=e$.

Определение 9.3:
Гомоморфизмом группоида $(G;*)$ в группоид $(H;\circ)$ называется отображение $\varphi:G\to{H}$ такое, что $$\forall{a},b\in{G}(\varphi(a*b)=\varphi(a)\circ\varphi(b)).$$ Если при этом

• отображение $\varphi$ сюръективно, то гомоморфизм называют эпиморфизмом,
• отображение $\varphi$ инъективно, то гомоморфизм называют мономорфизмом или изоморфным вложением,
• отображение $\varphi$ биективно, то гомоморфизм называют изоморфизмом.

Пример 9.1:
Рассмотрим отображение $\varphi:\mathbb{Z}/m\to\mathbb{C}$ такое, что для любого $[a]\in\mathbb{Z}/m$ $\varphi([a])=\cos{\frac{2\pi{a}}{m}}+i\sin{\frac{2\pi{a}}{m}}$.
Так как для любых $[a],[b]\in\mathbb{Z}/m$ $$ [a]=[b]\Leftrightarrow{a}\equiv{b}\pod{m}\Leftrightarrow\exists{t}\in\mathbb{Z}:a=b+mt\Leftrightarrow \cos{\frac{2\pi{a}}{m}}+i\sin{\frac{2\pi{a}}{m}}=\cos{\frac{2\pi{b}}{m}}+i\sin{\frac{2\pi{b}}{m}}\Leftrightarrow\varphi([a])=\varphi([b]), $$ то отображение $\varphi$ - инъективно.
Так как для любого $z\in\mathbb{C}$ (математический анализ определение 7.5.13) $$\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\,\cos{x}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},$$ то $$ 2\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}+e^{-i(\alpha-\beta)}+e^{i(\alpha-\beta)}+e^{-i(\alpha+\beta)}}{2}= \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}, $$ $$ 2\sin{\alpha}\sin{\beta} = \frac{-e^{i(\alpha+\beta)}+e^{-i(\alpha-\beta)}+e^{i(\alpha-\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}}{2}= -\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}. $$ Вычитая из первого равенства второе получим выражение для косинуса суммы $\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$.
Так как $$ 2\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}-e^{-i(\alpha-\beta)}+e^{i(\alpha-\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}}{2i}= \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}, $$ $$ 2\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}-e^{i(\alpha-\beta)}+e^{-i(\alpha-\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}}{2i}= \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}, $$ то складывая равенства получим $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$. Следовательно, $$ \varphi([a]+[b])=\cos{\frac{2\pi(a+b)}{m}}+i\sin{\frac{2\pi(a+b)}{m}}= \cos{\frac{2\pi{a}}{m}}\cos{\frac{2\pi{b}}{m}}-\sin{\frac{2\pi{a}}{m}}\sin{\frac{2\pi{b}}{m}}+ i\sin{\frac{2\pi{a}}{m}}\cos{\frac{2\pi{b}}{m}}+i\cos{\frac{2\pi{a}}{m}}\sin{\frac{2\pi{b}}{m}}=\\ =\left(\cos{\frac{2\pi{a}}{m}}+i\sin{\frac{2\pi{a}}{m}}\right)\left(\cos{\frac{2\pi{b}}{m}}+i\sin{\frac{2\pi{b}}{m}}\right)=\varphi([a])\varphi([b]). $$ Таким образом отображение $\varphi$ является эпиморфизмом группоида $(\mathbb{Z}/m;+)$ в группоид $(\mathbb{C};\cdot)$. Если сузить область значений отображения $\varphi$ до множества корней $m$-той степени из единицы $\Gamma_m$, то отображение $\varphi:\mathbb{Z}/m\to\Gamma_m$ будет изоморфизмом группоидов $(\mathbb{Z}/m;+)$ и $(\Gamma_m;\cdot)$. Запись $(\Gamma_m;\cdot)$ корректна, так как в задаче 6.2 было показано, что множество $\Gamma_m$ замкнуто относительно умножения.

Пример 9.2:
Пусть $R$ - коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим отображение $\varphi:R_{n,n}\to{R}$ такое, что для любого $A\in{R}_{n,n}$ $\varphi(A)=|A|$. Отображение $\varphi$ сюръективно, так как для любого $r\in{R}$ существует матрица $A=\left(\begin{smallmatrix} e & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & r \end{smallmatrix}\right)$ такая, что $|A|=r$. С другой стороны при $n\geq2$, отображение $\varphi$ не инъективно, так как для любого $r\in{R}\backslash\{e\}$ существует более одной матрицы таких, что $|A|=r$, например, $$ \begin{vmatrix} e & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & e & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & r \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} r & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & e & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & e \end{vmatrix}=r.$$ Следовательно, отображение $\varphi$ - эпиморфизм группоида $(R_{n,n};\cdot)$ в группоид $(R;\cdot)$, так как по теореме 3.6 $$\forall{A},B\in{R}_{n,n}(\varphi(AB)=|AB|=|A||B|=\varphi(A)\varphi(B)).$$

Пример 9.3:
В силу определения операций $+$ и $\cdot$ в кольце вычетов, отображение $\varphi:P[x]\to{P}[x]/f(x)$ такое, что для любого многочлена $a(x)\in{P}[x]$ $\varphi(a(x))=[a(x)]_{f(x)}$, является эпиморфизмом группоидов $(P[x];+)$ и $(P[x];\cdot)$ в группоиды $(P[x]/f(x);+)$ и $(P[x]/f(x);\cdot)$ соответственно.

Пример 9.4:
Пусть $P$ - поле. Рассмотрим отображение $\varphi:P[x]\to{P}$ такое, что для любого $r\in{R}$ $\varphi(a(x))=a(r)$. Так как в поле операция $\cdot$ коммутативна, то по лемме 7.1 отображение $\varphi$ является эпиморфизмом группоидов $(P[x];+)$ и $(P[x];\cdot)$ в группоиды $(P;+)$ и $(P;\cdot)$ соответственно.

Теорема 9.1:
Пусть отображение $\varphi:G\to{H}$ эпиморфизм группоида $(G;*)$ в группоид $(H;\circ)$, тогда

1. если операция $*$ ассоциативна, то операция $\circ$ ассоциативна;
2. если операция $*$ коммутативна, то операция $\circ$ коммутативна;
3. если элемент $e\in{G}$ нейтральный относительно операции $*$, то элемент $\varphi(e)\in{H}$ нейтральный относительно операции $\circ$;
4. если элемент $g'\in{G}$ симметричен для элемента $g\in{G}$, то элемент $\varphi(g')\in{H}$ симметричен относительно элемента $\varphi(g)\in{H}$.

Доказательство:

1. Пусть $h_1,h_2,h_3\in{H}$, тогда, так как отображение $\varphi$ сюръективно, то существуют $g_1,g_2,g_3\in{G}$ такие, что $h_1=\varphi(g_1)$, $h_2=\varphi(g_2)$, ${h_3=\varphi(g_3)}$. Тогда, так как отображение $\varphi$ - гомоморфизм и операция $*$ ассоциативна, то $$ (h_1\circ{h}_2)\circ{h}_3=(\varphi(g_1)\circ\varphi(g_2))\varphi(g_3)=\varphi(g_1*g_2)\circ\varphi(g_3)=\varphi((g_1*g_2)*g_3)= =\varphi(g_1*(g_2*g_3))=\varphi(g_1)\circ\varphi(g_2*g_3)=\varphi(g_1)\circ(\varphi(g_2)\circ\varphi(g_3))=h_1\circ(h_2\circ{h}_3) $$
2. Пусть $h_1,h_2\in{H}$, тогда существуют $g_1,g_2\in{G}$ такие, что $h_1=\varphi(g_1)$, $h_2=\varphi(g_2)$. Тогда, так как отображение $\varphi$ - гомоморфизм и операция $*$ коммутативна, то $$ h_1\circ{h}_2=\varphi(g_1)\circ\varphi(g_2)=\varphi(g_1*g_2)=\varphi(g_2*g_1)=\varphi(g_2)\circ\varphi(g_1)=h_2\circ{h_1} $$
3. Фиксируем $h\in{H}$, существует $g\in{G}$ такое, что $h=\varphi(g)$, тогда $$ h\circ\varphi(e)=\varphi(g)\circ\varphi(e)=\varphi(g*e)=\varphi(g)=h. $$ Аналогично показывается, что $\varphi(e)\circ{h}=h$. Таким образом, в силу произвола выбора $h$, элемент $\varphi(h)$ является нейтральным в $(H;\circ)$.
4. Так как $\varphi$ - гомоморфизм, то $$\varphi(g')\circ\varphi(g)=\varphi(g'*g)=\varphi(e).$$ Аналогично показывается, что $\varphi(g)\circ\varphi(g')=\varphi(e)$. Тогда, так как по пункту 3 $\varphi(e)$ нейтральный в $(H;\circ)$, то $\varphi(g')$ обратный для $\varphi(g)$.

Следствие 9.1:
Если существует эпиморфизм $\varphi:G\to{H}$ группоида $(G;*)$ в группоид $(H;\circ)$, то

1. если $(G;*)$ полугруппа, то $(H;\circ)$ полугруппа;
2. если $(G;*)$ коммутативный группоид, то $(H;\circ)$ коммутативный группоид;
3. если $(G;*)$ содержит нейтральный, то $(H;\circ)$ содержит нейтральный;
4. если $(G;*)$ группа, то $(H;\circ)$ группа.

Доказательство:

1. Если $(G;*)$ полугруппа, то операция $*$ ассоциативна, тогда по п. 1 теоремы 9.1 операция $\circ$ ассоциативна, следовательно, $(H;\circ)$ полугруппа.
2. Следует из п. 2 теоремы 9.1.
3. Из п. 3 теоремы 9.1 следует, что если $e\in{G}$ нейтральный относительно операции $*$, то $\varphi(e)\in{H}$ нейтральный относительно операции $\circ$.
4. Если $(G;*)$ группа с единицей $e$, то по пунктам 1, 3 $(H;\circ)$ полугруппа с единицей $\varphi(e)$. Докажем, что любой $h\in{H}$ имеет симметричный в $H$. Фиксируем $h\in{H}$, тогда $$ \exists{g},g'\in{G}:(h=\varphi(g)\,\wedge\,g'*g=g*g'=e)\Rightarrow{h}\circ\varphi(g')=\varphi(g)\circ\varphi(g')=\varphi(g*g')=\varphi(e). $$ Аналогично показывается, что $\varphi(g')\circ{h}=\varphi(e)$, то есть $\varphi(g')\in{H}$ симметричный к $h$.

Теорема 9.2:

1. Пусть отображение $\varphi:G\to{H}$ гомоморфизм группоида $(G;*)$ в группоид $(H;\vartriangle)$, отображение $\psi:H\to{K}$ гомоморфизм группоида $(H;\vartriangle)$ в группоид $(K;\cdot)$, тогда
   1. отображение $\psi\circ\varphi:G\to{K}$ гомоморфизм;
   2. если отображения $\varphi$, $\psi$ эпиморфизмы, то отображение $\varphi\circ\psi$ эпиморфизм;
   3. если отображения $\varphi$, $\psi$ мономорфизмы, то отображение $\varphi\circ\psi$ мономорфизм;
   4. если отображения $\varphi$, $\psi$ изоморфизмы, то отображение $\varphi\circ\psi$ изоморфизм.
2. Если отображение $\varphi$ изоморфизм, то отображение $\varphi^{-1}$ изоморфизм.
3. Тождественное отображение $\varepsilon:G\to{G}$ является изоморфизмом.

Доказательство:

1. 1. Пусть $g_1,g_2\in{G}$, тогда $$ \psi\circ\varphi(g_1*g_2)=\psi(\varphi(g_1*g_2))=\psi(\varphi(g_1)\vartriangle\varphi(g_2))= \psi(\varphi(g_1))\cdot\psi(\varphi(g_2))=\psi\circ\varphi(g_1)\cdot\psi\circ\varphi(g_2), $$ следовательно, отображение $\psi\circ\varphi$ гомоморфизм группоида $(G;*)$ в группоид $(K;\cdot)$.
      
   2. Если отображения $\varphi$, $\psi$ являются эпиморфизмами, то сюръективны, тогда $$ \forall{k}\in{K}\exists{h}\in{H}\,\exists{g}\in{G}:(k=\psi(h)\,\wedge\,h=\varphi(g))\Rightarrow \exists{g}\in{G}:k=\psi(\varphi(g))=\psi\circ\varphi(g), $$ следовательно, отображение $\varphi\circ\psi$ сюръективно и является эпиморфизмом по пункту 1a.
   3. Если отображения $\varphi$, $\psi$ являются мономорфизмами, то они инъективны, тогда $$ \forall{g}_1,g_2\in{G}(g_1=g_2\Rightarrow\varphi(g_1)=\varphi(g_2)\Rightarrow \psi(\varphi(g_1))=\psi(\varphi(g_2))\Rightarrow\psi\circ\varphi(g_1)=\psi\circ\varphi(g_2)), $$ следовательно, отображение $\psi\circ\varphi$ инъективно и является мономорфизмом по пункту 1a.
   4. Следует из пунктов 1b, 1c.
2. Пусть отображение $\varphi:G\to{H}$ изоморфизм группоидов $(G;*)$ и $(H;\circ)$, тогда отображение $\varphi$ биективно и как известно из курса математического анализа определение 2.2.3 отображение тоже $\varphi^{-1}$ биективно. Докажем, что отображение $\varphi^{-1}$ гомоморфизм, действительно $$ \forall{h}_1,h_2\in{H}\exists{g}_1,g_2\in{G}:(\varphi(g_1)=h_1\,\wedge\,\varphi(g_2)=h_2)\Rightarrow \forall{h}_1,h_2\in{H}\exists{g}_1,g_2\in{G}:\varphi^{-1}(h_1\circ{h_2})=\varphi^{-1}(\varphi(g_1)\circ\varphi(g_2))= \varphi^{-1}(\varphi(g_1*g_2))=g_1*g_2=\varphi^{-1}(g_1)*\varphi^{-1}(g_2) $$
3. Тождественно отображение $\varepsilon:G\to{G}$, очевидно, биективно и $$\forall{g}_1,g_2\in{G}(\varepsilon(g_1*g_2)=g_1*g_2=\varepsilon(g_1)*\varepsilon(g_2)),$$ то есть отображение $\varepsilon$ гомоморфизм.

Определение 9.4:
Если $(G;*)$ группоид и подмножество $G_1\subset{G}$ замкнуто относительно операции $*$, то группоид $(G_1;*)$ называется подгруппоидом группоида $(G;*)$.

Замечание 9.1:
Если отображение $\varphi:G\to{H}$ гомоморфизм группоида $(G;*)$ в группоид $(H;\circ)$, то множество $\varphi(G)$ замкнуто относительно операции $\circ$, действительно $$ \forall{h}_1,h_2\in\varphi(G)\exists{g}_1,g_2\in{G}:h_1\circ{h}_2=\varphi(g_1)\circ\varphi(g_2)=\varphi(g_1*g_2)\in\varphi(G). $$ Таким образом, отображение $(\varphi(G);\circ)$ является подгруппоидом группоида $(H;\circ)$ и отображение $\varphi:G\to\varphi(G)$ является эпиморфимзмом группоида $(G;*)$ в группоид $(\varphi(G);\circ)$.

Определение 9.5:
Гомоморфизмом алгебры $(R_1;+,\cdot)$ в алгебру $(R_2;\oplus,\odot)$ называется отображение $\varphi:R_1\to{R}_2$ такое, что для любых $a,b\in{R}_1$ $$\varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b),$$ $$\varphi(a\cdot{b})=\varphi(a)\odot\varphi(b).$$ Аналогично определению 9.3 вводятся понятия эпиморфизма, мономорфизма и изоморфизма алгебр с двумя операциями.

Теорема 9.3:
Пусть отображение $\varphi:R_1\to{R}_2$ эпиморфизм алгебры $(R_1;+,\cdot)$ в алгебру $(R_2;\oplus,\odot)$, тогда

1. если $R_1$ кольцо, то $R_2$ кольцо;
2. если $R_1$ коммутативное кольцо, то $R_2$ коммутативное кольцо;
3. если $R_1$ кольцо с единицей, то $R_2$ кольцо с единицей;
4. если $R_1$ поле, то $R_2$ поле.

Доказательство:

1. 1. Ассоциативность операций $\oplus$, $\odot$ следует из п. 1 теоремы 9.1.
   2. Коммутативность операции $\oplus$ следует из п. 2 теоремы 9.1.
   3. Так как $\varphi$ эпиморфизм, то для любых $a_1,a_2,a_3\in{R}_2$ существуют $b_1,b_2,b_3\in{R}_1$ такие, что $a_1=\varphi(b_1)$, $a_2=\varphi(b_2)$, $a_3=\varphi(b_3)$ и $$ a_1\odot(a_2\oplus{a}_3)=\varphi(b_1)\odot(\varphi(b_2)\oplus\varphi(b_3))=\varphi(b_1)\odot\varphi(b_2+b_3)= \varphi(b_1\cdot(b_2+b_3))=\varphi(b_1\cdot{b}_2+b_1\cdot{b}_3)=\varphi(b_1\cdot{b}_2)\oplus\varphi(b_1\cdot{b}_3)= \varphi(b_1)\odot\varphi(b_2)\oplus\varphi(b_1)\odot\varphi(b_3)=a_1\odot{a}_2\oplus{a}_1\odot{a}_3 $$
   4. Существование нейтрального относительно операции $\oplus$ следует из п. 3 теоремы 9.1.
   5. Существование для любого элемента $a\in{R}_2$ симметричного отностиельно операции $\oplus$ элемента следует из п. 4 теоремы 9.1.
2. Следует из пункта 1 и п. 2 теоремы 9.1.
3. Следует из пункта 1 и п. 3 теоремы 9.1.
4. Следует из пунктов 2, 3 и п. 4 теоремы 9.1.

Определение 9.6:
Отношение эквивалентности $\rho$ на группоиде $(G;*)$ называют конгруэнцией, если $$\forall{a},b,a_1,b_1\in{G}(a\rho{b}\,\wedge\,a_1\rho{b}_1)\Rightarrow(a*a_1)\rho(b*b_1).$$
Конгруэнцию называют также отношением эквивалентности согласованным с операцией.

Пример 9.5:

1. Пусть $R$ коммутативное кольцо с единицей. Введем на множестве $R_{n,n}$ матриц размера $n$ отношение $\rho$ такое, что $$\forall{A},B\in{R}_{n,n}(A\rho{B}\Leftrightarrow|A|=|B|).$$ Отношение $\rho$, очевидно, является отношением эквивалентности причем $$ \forall{A},B,A_1,B_1\in{R}_{n,n}((A\rho{B}\,\wedge\,A_1\rho{B}_1)\Rightarrow(|A|=|B|\,\wedge\,|A_1|=|B_1|)\Rightarrow |AA_1|=|A||A_1|=|B||B_1|=|BB_1|\Rightarrow{A}A_1\rho{B}B_1). $$ Таким образом, отношение $\rho$ конгруэнция на группоиде $(R_{n,n};\cdot)$.
2. Введем на множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$ отношение $\rho$ такое, что $$\forall{z},z_1\in\mathbb{C}(z\rho{z}_1\Leftrightarrow|z|=|z_1|).$$ Отношение $\rho$, очевидно, является отношением эквивалентности. В курсе математического анализа (п. 4 утверждение 7.5.1) было показано, что для любых $z,z_1\in\mathbb{C}$ $|zz_1|=|z||z_1|$, следовательно $$ \forall{z}_1,z_2,z'_1,z'_2\in\mathbb{C}((z_1\rho{z}'_1\,\wedge\,z_2\rho{z}'_2)\Rightarrow(|z_1|=|z_2|\,\wedge\,|z'_1|=|z'_2|)\Rightarrow |z_1z'_1|=|z_1||z'_1|=|z_2||z'_2|=|z_2z'_2|\Rightarrow{z}_1z'_1\rho{z}_2z'_2). $$ Таким образом, отношение $\rho$ является конгруэнцией на группоиде $(\mathbb{C};\cdot)$
3. Для любого группоида $(G;*)$ отношение равенства элементов очевидным образом является конгруэцией.
4. Пусть $P$ - поле, $R\in\{\mathbb{Z},P[x]\}$, $m\in{R}\backslash\{0\}$. Тогда по замечанию 8.2 отношение $\equiv\pod{m}$ сравнимости по модулю $m$ является отношением эквивалентности и по пп. 1, 2 теоремы 8.2 сравнения можно почленно умножать и складывать. Таким образом, отношение $\equiv\pod{m}$ является конгруэнцией на группоидах $(R;+)$, $(R;\cdot)$.

Определение 9.7:
Пусть $\rho$ конгруэнция на группоиде $(G;\cdot)$. Обозначим $G/\rho:=\{[a]_{\rho}\mid{a}\in{G}\}$ множество классов эквивалентности, на которые отношение $\rho$ разбивает множество $G$. Введем на множестве $G/\rho$ операцию $\cdot$ такую, что для любых $[a]_{\rho},[b]_{\rho}\in{G}/\rho$ $[a]_{\rho}\cdot[b]_{\rho}=[a\cdot{b}]_{\rho}$. Тогда группоид $(G/\rho;\cdot)$ называют факторгруппоидом группоида $(G;\cdot)$ по конгруэнции $\rho$.

Замечание 9.2:
Докажем корректность введения операции $\cdot$ на множестве $G/\rho$. Пусть $a_1,a_2\in[a]_{\rho}$, $b_1,b_2\in[b]_{\rho}$, тогда $$ \begin{cases} [a_1]_{\rho}=[a_2]_{\rho}\Rightarrow{a}_1\rho{a}_2\\ [b_1]_{\rho}=[b_2]_{\rho}\Rightarrow{b}_1\rho{b}_2 \end{cases}\Rightarrow(a_1b_1)\rho(a_2b_2)\Rightarrow[a_1b_1]_{\rho}=[a_2b_2]_{\rho} $$

Утверждение 9.1:
Пусть $\rho$ - конгруэнция на группоиде $(G;\cdot)$. Отображение $\varphi_{\rho}:G\to{G}/\rho$ такое, что для любого $g\in{G}$ $\varphi_{\rho}(g)=[g]_{\rho}$, тогда $\varphi_{\rho}$ - эпиморфизм группоида $(G;\cdot)$ на факторгруппоид $(G/\rho;\cdot)$.

Доказательство:
Отображение $\varphi_{\rho}$ сюръективно по опредедению множества $G/\rho$ при этом $$\varphi_{\rho}(ab)=[ab]_{\rho}=[a]_{\rho}[b]_{\rho}=\varphi_{\rho}(a)\varphi_{\rho}(b).$$

Следствие 9.2:
Пусть $\rho$ конгруэнция на группоиде $(G;\cdot)$, $(G/\rho;\cdot)$ факторгруппоид группоида $(G;\cdot)$ тогда

1. если $(G;\cdot)$ полугруппа, то $(G/\rho;\cdot)$ полугруппа;
2. если $(G;\cdot)$ коммутативный группоид, то $(G/\rho;\cdot)$ коммутативный группоид;
3. если $(G;\cdot)$ содержит единицу, то $(G/\rho;\cdot)$ содержит единицу;
4. если $(G;\cdot)$ группа, то $(G/\rho;\cdot)$ группа.

Доказательство:

Утверждение следует из следствия 9.1, так как по утверждению 9.1 существует эпиморфизм $\varphi_{\rho}:G\to{G}/\rho$ группоида $(G;\cdot)$ в группоид $(G/\rho;\cdot)$.

Если $\rho$ конгруэнция на группоиде $(G;\cdot)$, то эпиморфизм $\varphi_{\rho}$ группоида $(G;\cdot)$ в факторгруппоид называют каноническим или естественныи эпиморфизмом.

Теорема 9.4: Об эпиморфизме группоидов.
Пусть $\varphi:G\to{H}$ эпиморфизм группоида $(G;\cdot)$ в группоид $(H;*)$. Отношение $\rho$ такое, что $$\forall{a},b\in{G}(a\rho{b}\Leftrightarrow\varphi(a)=\varphi(b)),$$ тогда

1. отношение $\rho$ является конгруэнцией;
2. $G/\rho\cong{H}$;
3. существует единственный изоморфизм $\tau:G/\rho\to{H}$ такой, что $\varphi=\tau\circ\varphi_{\rho}$.

Доказательство:

1. Так как отношенние равенства является отношением эквивалентности, то $\rho$ тоже является отношением эквивалентности, при этом $$ \forall{a},a_1,b,b _1\in{G}((a\rho{b}\,\wedge\,a_1\rho{b}_1)\Rightarrow(\varphi(a)=\varphi(b)\,\wedge\,\varphi(a_1)=\varphi(b_1))\Rightarrow \varphi(a)*\varphi(b)=\varphi(a_1)*\varphi(b_1)\Rightarrow\varphi(aa_1)=\varphi(bb_1)\Rightarrow (aa_1)\rho(bb_1)), $$ то есть $\rho$ - конгруэнция.
2. Рассмотрим отображение $\tau:G/\rho\to{H}$ такое, что для любого ${[a]_{\rho}\in{G}/\rho}$ $\tau([a]_{\rho})=\varphi(a)$. Так как $$[a]_{\rho}=[b]_{\rho}\Leftrightarrow{a}\rho{b}\Leftrightarrow\varphi(a)=\varphi(b)\Leftrightarrow\tau([a]_{\rho})=\tau([b]_{\rho}),$$ то отображение $\tau$ определено корректно при этом оно инъективно. Так как $\varphi$ сюръективно, то $$\forall{b}\in{H}\exists{a}\in{G}:\tau([a]_{\rho})=\varphi(a)=b,$$ то есть отображение $\tau$ сюръективно, при этом $$ \tau([a]_{\rho}[b]_{\rho})=\tau([ab]_{\rho})=\varphi(ab)=\varphi(a)*\varphi(b)=\tau([a]_{\rho})*\tau([b]_{\rho}). $$ Таким образом, $\tau$ биективный гомоморфизм, то есть изоморфизм.
3. Пусть $\tau$ изоморфизм определенный в пункте 2, тогда $$\forall{a}\in{G}(\varphi(a)=\tau([a]_{\rho})=\tau(\varphi_{\rho}(a))=(\tau\circ\varphi_{\rho})(a)),$$ то есть $\varphi=\tau\circ\varphi_{\rho}(a)$. Докажем, что такой изоморфизм единственный. Пусть изоморфизм $\tau_1:G/\rho\to{H}$ такой, что $\tau_1\circ\varphi_{\rho}=\varphi$, тогда $$\forall{a}\in{G}(\tau_1([a]_{\rho})=\tau(\varphi_{\rho}(a))=(\tau_1\circ\varphi_{\rho})(a)=\varphi(a)=\tau([a]_{\rho})),$$ то есть $\tau_1=\tau$.