Математический анализ. Лекции.
Текст набранный курсивом не содержится непосредственно в конспектах, как правило это решения упражнений или необходимые замечания.
Литература: 1. Лекции.
2. В. А. Зорич проф. Мехмат МГУ "Математический анализ". (МЦНТО, Москва, 2002 г.)
3. Л. Д. Кудрявцев доктор физико-математических наук "Курс математического анализа". (Высшая школа, Москва, 1981 г.)
4. Г. М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчиления". (Физ. мат. лит., Москва, 1962-66 гг.)
5. Б. П. Демидович доктор физико-математических наук "Сборник задач и упражнений по математическому анализу".
6. Н. Я. Виленкин "Рассказы о множествах".
7. Н. Н. Шаров "Основные элементарные функции. Конспект лекций для слушателей первого курса".
Обозначения:
| $\vee$ | - | логическое "или", дизъюнкция |
| $\wedge$ | - | логическое "и", конъюнкция |
| $\Rightarrow$ | - | логическое "следует", импликация |
| $\Leftrightarrow$ | - | эквивалентность |
| $\neg$ | - | логическое "не", отрицание |
| $x$ | - | объект |
| $\mathcal{P}$ | - | свойство |
| $\mathcal{P}(x)$ | - | объект $x$ обладает свойством $\mathcal{P}$ |
| $\in$ | - | принадлежит |
| $\notin$ | - | не принадлежит |
| $\forall$ | - | любой |
| $\exists$ | - | существует |
| $\varnothing$ | - | пустое множество |
| $\subset$ | - | подмножество |
| $\subsetneq$ | - | строгое подмножество ($X\subsetneq{Y}\Leftrightarrow(X\subset{Y}\wedge{X}\neq{Y})$) |
| $\mathcal{P}(A)$ | - | совокупность всех подмножеств множества $A$ |
| $\exists!$ | - | существует единственный |
| $U(a)$ | - | окрестность точки $a$ |
| $\mathring{U}(a)$ | - | $U(a)\backslash\{a\}$, проколотая окрестность точки $a$ |
| $\mathring{X}$ | - | совокупность всех предельных точек множества $X$ |
| $U^\delta(a)$ | - | $(a-\delta,a+\delta)$, центральносимметричная окрестность точки $a$ |
| $C(E)$ | - | множество непрерывных функций заданных на множестве $E$ |
| $\cup$ | - | объединение множеств |
| $\cap$ | - | пересечение множеств |
| $U_E(a)$ | - | $U(a)\cap{E}$ |
| $C^\infty$ | - | класс бесконечно дифференцируемых функций |
| $\equiv$ | - | тождество (равенство верное на всей области определения) |
| $\{x|\mathcal{P}(x)\}$ | - | все объекты обладающие свойством $\mathcal{P}$ |
| $U^-(a)$ | - | $U(a)\cap\{x|x\lt{a}\}$ |
| $\Delta(a,b)$ | - | $(a,b)\vee(a,b]\vee[a,b)\vee[a,b]$, числовой промежуток |
| $\Rightarrow^{(*)}$ | - | данное следствие следует из утверждения доказанного выше и обозначенного символом стоящим в скобках |
| $A:=B$ | - | $A$ по определению равно или по определению означает $B$ |
| $f(x)|_a^b$ | - | $f(b)-f(a)$ |
| $|A|$ | - | определитель матрицы $A$ |
|
|
В курсе используются следующие логические утверждения справедливость, которых проверяется непосредственно перебором всех возможных значений переменных и проверки результата по таблицам приведенным выше: $(A\vee\neg{A})\Leftrightarrow{1}$ (закон исключенного третьего); $\neg(A\Rightarrow{B})\Leftrightarrow(A\wedge\neg{B})$; $\neg(A\vee{B})\Leftrightarrow(\neg{A}\wedge\neg{B})$; $\neg(A\wedge{B})\Leftrightarrow(\neg{A}\vee\neg{B})$; $(A\wedge(B\vee{C}))\Leftrightarrow((A\vee{B})\wedge(A\vee{C}))$; $((A\Rightarrow{B})\wedge(B\Rightarrow{C}))\Rightarrow(A\Rightarrow{C})$; $(A\Rightarrow{B})\Leftrightarrow(\neg{B}\Rightarrow\neg{A})$; $(A\Leftrightarrow{B})\Leftrightarrow(\neg{A}\Leftrightarrow\neg{B})$.
В большинстве теорем и прочих утверждений необходимо доказать верность импликации $A\Rightarrow{B}$, где $A$ заданные предпосылки и $B$ доказываемое утверждение. Для доказательства применяются три основные способа.
Множество, элемент множества - понятия изначальные.
Способы задания множества:
При этом не каждый набор свойств задаёт множество.
Пример 1.1. Парадокс Бента Рассела.
Пусть свойство $\mathcal{P}$ означает, что множество не содержит себя в качестве элемента. Тогда $K:=\{M\:|\:\mathcal{P}(M)\}$ совокупность всех множеств не содержащих себя в качестве элемента. Попробуем ответить на вопрос: содержит ли $K$ себя в качестве элемента? Если $K$ содержит себя в качестве элемента, то это значит, что оно не обладает свойством $\mathcal{P}$ и, следовательно, не может содержаться в $\{M\:|\:\mathcal{P}(M)\}=K$. Если $K$ не содержит себя в качестве элемента, то оно обладает свойством $\mathcal{P}$, и следовательно, содержится в $\{M\:|\:\mathcal{P}(M)\}=K$. В обоих случаях мы пришли к противоречию, т. е. неверно $(K\in{K}\vee{K}\notin{K})$, что противоречит закону исключенного третьего.
В данном курсе лекций используется наивный подход к теории множеств. При аксиоматическом подходе парадокс Рассела разрешается.
Например, в условиях аксиоматики Цермело-Френкеля для того чтобы класс элементов получаемый с помощью приведенных выше трех способов построения
можно было назвать множеством он должен удовлетворять следующей системе аксиом.
За подробностями можно обратится, например, в
википедию. Здесь же отмечу, одно важное следствие из аксиомы 9. Если положить $a:=\{x\}$ (совокупность множеств состоящая из одного элемента),
то получим
$\forall{x}\exists{b}:(b\in\{x\}\wedge\forall{c}(c\in{b}\Rightarrow{c}\notin\{x\})\Rightarrow\forall{x}\forall{c}(c\in{x}\Rightarrow{c}\notin\{x\})
\Rightarrow\forall{x}\forall{c}(c\in{x}\Rightarrow{c}\neq{x})\Rightarrow\forall{x}(x\in{x}\Rightarrow{x}\neq{x})\Rightarrow\forall{x}(x\notin{x})$
Таким образом никакое множество не может содержать себя в качестве элемента, и не существует так называемого "множества всех множеств".
Данный вывод говорит о некорректности формулировки парадокса Рассела с точки зрения теории множеств построенной на базе данной аксиоматики.
Отношение включения:
$(A=B):=(\forall{x}(x\in{A}\Leftrightarrow{x}\in{B}))$
$(A\subset{B}):= (\forall{x}(x\in{A}\Rightarrow{x}\in{B}))$ - множество $A$ является подмножеством множества $B$
$(A=B)\Leftrightarrow(A\subset{B}\wedge{B}\subset{A}))$
$M:=\{x|x\neq{x}\}\Rightarrow{M}=\varnothing$
Основные операции со множествами:
$A\cup{B}:=\{x|x\in{A}\vee{x}\in{B}\}$ - объединие множеств $A$ и $B$.
$A\cap{B}:=\{x|x\in{A}\wedge{x}\in{B}\}$ - пересечение множеств $A$ и $B$.
$A\backslash{B}:=\{x|x\in{A}\wedge{x}\notin{B}\}$ - разность множеств $A$ и $B$.
Если $A\subset{B}$, то множество $C_BA:=B\backslash{A}$ называют дополнением множества $A$ до множества $B$.
Утверждение 1.1: Правила Де Моргана.
Если $A$, $B$, $M$ множества такие, что $A\subset{M}$, $B\subset{M}$, то
Доказательство:
1. Доказательство основано на тождествах $\neg(A\wedge{B})\Leftrightarrow(\neg{A}\vee\neg{B})$; $\neg(A\vee{B})\Leftrightarrow(\neg{A}\wedge\neg{B})$
$x\in{C_M(A\cup{B})}\Rightarrow{x}\in{M}\wedge{x}\notin(A\cup{B})\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in(A\cup{B}))\Rightarrow
{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A}\vee{x}\in{B}))\Rightarrow$
$\Rightarrow{x}\in{M}\wedge{x}\notin{A}\wedge{x}\notin{B}\Rightarrow{x}\in{C_MA}\wedge{x}\in{C_MB}\Rightarrow
{x}\in{C_MA}\cap{C_MB}\Rightarrow{C_M}(A\cup{B})\subset{C_MA}\cap{C_MB}$;
$x\in{C_MA}\cap{C_MB}\Rightarrow{x}\in{C_MA}\wedge{x}\in{C_MB}\Rightarrow(x\in{M}\wedge{x}\notin{A})\wedge(x\in{M}\wedge{x}\notin{B})\Rightarrow
{x}\in{M}\wedge{x}\notin{A}\wedge{x}\notin{B}\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A})\wedge(x\in{B})\Rightarrow$
$\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A}\vee{x}\in{B})\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A}\cup{B})\Rightarrow{x}\in{M}\wedge{x}\notin{A}\cup{B}\Rightarrow
{x}\in{C_M}(A\cup{B})\Rightarrow{C_MA}\cap{C_MB}\subset{C_M}(A\cup{B})$;
$C_M(A\cup{B})\subset{C_MA}\cap{C_MB}\wedge{C_MA}\cap{C_MB}\subset{C_M}(A\cap{B})\Leftrightarrow{C_M}(A\cup{B})=C_MA\cap{C_MB}$.
2. Доказательство использует свойство дистрибутивности конъюнкции относительно дезъюнкции: $A\wedge(A\vee{C})\Leftrightarrow(A\wedge{B})\vee(A\wedge{C})$.
$x\in{C_M}(A\cap{B})\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in(A\cap{B}))\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A}\wedge{x}\in{B})\Rightarrow
{x}\in{M}\wedge(\neg(x\in{A})\vee\neg(x\in{B}))\Rightarrow(x\in{M}\wedge{x}\notin{A})\vee(x\in{M}\wedge{x}\notin{B})\Rightarrow$
$\Rightarrow{x}\in{C_MA}\vee{x}\in{C_MB}\Rightarrow{x}\in{C_MA}\cup{C_MB}\Rightarrow{C_M}(A\cap{B})\subset{C_MA}\cap{C_MB}$;
$x\in{C_MA}\cup{C_MB}\Rightarrow(x\in{M}\wedge{x}\notin{A})\vee(x\in{M}\wedge{x}\notin{B})\Rightarrow
{x}\in{M}\wedge(\neg(x\in{A})\wedge\neg(x\in{B}))\Rightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A}\wedge{x}\in{B})\Rightarrow$
$\Rightarrow{x}\in{M}\neg(x\in(A\cap{B}))\Rightarrow{x}\in{C_M}(A\cap{B})\Rightarrow{C_MA}\cap{C_MB}\subset{C_M}(A\cap{B})$;
$C_M(A\cap{B})\subset{C_MA}\cup{C_MB}\wedge{C_MA}\cup{C_MB}\subset{C_M}(A\cap{B})\Leftrightarrow{C_M}(A\cap{B})=C_MA\cup{C_MB}$.
Упрощенное доказательство правил Де Моргана с использованием эквивалентных переходов.
1. $x\in{C_M}(A\cup{B})\Leftrightarrow{x}\in{M}\wedge{x}\notin(A\cup{B})\Leftrightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in(A\cup{B}))\Leftrightarrow
{x}\in{M}\wedge\neg(x\in{A}\vee{x}\in{B})\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow{x}\in{M}\wedge{x}\notin{A}\wedge{x}\notin{B}\Leftrightarrow{x}\in{C_MA}\wedge{x}\in{C_MB}\Leftrightarrow
{x}\in{C_MA}\cap{C_MB}\Leftrightarrow{C_M}(A\cup{B})=C_MA\cap{C_MB}$;
2. $x\in{C_M}(A\cap{B})\Leftrightarrow{x}\in{M}\wedge\neg(x\in(A\cap{B}))\Leftrightarrow{x}\in{M}\neg(x\in{A}\wedge{x}\in{B})\Leftrightarrow
{x}\in{M}\wedge(\neg(x\in{A})\vee\neg(x\in{B}))\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow(x\in{M}\wedge{x}\notin{A})\vee(x\in{M}\wedge{x}\notin{B})\Leftrightarrow{x}\in{C_MA}\vee{x}\in{C_MB}\Leftrightarrow
{x}\in{C_MA}\cup{C_MB}\Leftrightarrow{C_M}(A\cap{B})=C_MA\cup{C_MB}$;
Определение 1.1: Если $I$ - множество (множество элементов индекса),то
$$\bigcup_{\alpha\in{I}}A_\alpha:=\{x|\exists\alpha=\alpha(x)\in{I}:x\in{A_\alpha}\};
\bigcap_{\alpha\in{I}}A_\alpha:=\{x|\forall\alpha\in{I}(x\in{A_\alpha})\}$$
Утверждение 1.2: Обобщение правил Де Моргана.
Пусть $I$ - множество элементов индекса, $E$ - множество такое, что для любого $\alpha\in{I}:A_\alpha\subset{E}$, тогда
Доказательство:
1. $x\in{C_E}(\bigcup_{\alpha\in{I}}A_\alpha)\Leftrightarrow{x}\in{E}\wedge{x}\notin\bigcup_{\alpha\in{I}}A_\alpha\Leftrightarrow
{x}\in{E}\wedge\forall\alpha\in{I}(x\notin{A_\alpha})\Leftrightarrow\forall\alpha\in{I}(x\in{E}\wedge{x}\notin{A_\alpha})\Leftrightarrow
\forall\alpha\in{I}(x\in{C_E}A_\alpha)\Leftrightarrow{x}\in\bigcap_{\alpha\in{I}}(C_EA_\alpha)$.
2. $x\in{C_E}(\bigcap_{\alpha\in{I}}A_\alpha)\Leftrightarrow{x}\in{E}\wedge{x}\notin\bigcap_{\alpha\in{I}}A_\alpha\Leftrightarrow
{x}\in{E}\wedge\exists\alpha\in{I}:x\notin{A_\alpha}\Leftrightarrow\exists\alpha\in{I}:x\in{C_E}A_\alpha\Leftrightarrow
{x}\in\bigcup_{\alpha\in{I}}(C_EA_\alpha)$.
Для любых двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество - пару $\{A, B\}=\{B, A\}$ - единственными элементами которого являются множества $A$ и $B$. Это множество состоит из двух элементов если $A\neq{B}$ и из одного если $A=B$.
Определение 1.2: Если $A$ и $B$ множества, то неупорядочнной парой множеств $A$ и $B$ называют множество $\{A, B\}=\{B, A\}$.
Определение 1.3:Если $A$ и $B$ множества, то упорядоченной парой множеств $A$ и $B$ называют множество $(A, B):=\{A, \{A, B\}\}$.
При этом множество $A$ называют первым элементом пары, а множество $B$ вторым элементом пары.
Таким образом в определении упорядоченной упорядочнной пары порядок вхождения множеств определен. Из определения упорядоченной пары непосредственно следует, что $$A\neq{B}\Rightarrow(A,B)\neq(B,A); (A,B)=(B,A)\Rightarrow{A}=B.$$
Определение 1.4: $(A,B)=(C,D):=(A=B)\wedge(C=D)$.
Определение 1.5: Если $X$ и $Y$ множества, то прямым декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называют множество $A\times{B}$,
которое состоит из всех упорядоченных пар $(x,y)$ таких, что $x\in{X}$ и $y\in{Y}$, то есть $$X\times{Y}:=\{(x,y)|x\in{X}\wedge{y}\in{Y}\}.$$
При этом декартовым произведение произвольного множества $X$ на себя называют декартвым квадратом множества $X$ и обозначают $X^2:=X\times{X}$.
Из определения декартова произведения непосредственно следует, что $X\times{Y}=Y\times{X}\Leftrightarrow{X}=Y$.
Задача 1.1: $A=\{1,2,3\},B=\{2,4\}$ найти $A\cup{B}, A\cap{B}, A\backslash{B}, B\backslash{A}, A\times{B}, B\times{A}$
Решение: $A\cup{B}=\{1,2,3,4\}; A\cap{B}=\{2\}; A\backslash{B}=\{1,3\}; B\backslash{A}=\{4\};$
$A\times{B}=\{(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)\}; B\times{A}=\{(2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3)\}$.
contents next