2. ФУНКЦИЯ ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЕ

2.1 Функции и отношения

Определение 2.1.1:Если $X$ и $Y$ множества, $f\subset{X}\times{Y}$, тогда говорят, что множество упорядоченных пар $f$ является функцией (отображением) определенной на множестве $X$ со значениями во множестве $Y$ если:

1. $\forall{x}\in{X}\:\exists{y}\in{Y}:(x,y)\in{f}$,
2. $((x',y')\in{f}\wedge(x'',y'')\in{f}\wedge{y'}\neq{y''})\Rightarrow(x'\neq{x''})$.

Условие 1 означает, что множество $X$ по определению - это область определения функции $f$ и что функция $f$ задана на множестве $X$. Условие 2 означает, что каждому $x\in{X}$ соответствует единственное $y\in{Y}$.

Обозначения:

• $X$ - область определения, $x$ - аргумент (независимая переменная)


• $y$ - значение функции (отображения) $f$ на аргументе $x$, $y=f(x)$.


• $f(X):=\{y\in{Y}\:|\:\exists{x}\in{X}:y=f(x)\}$ - область (множество) значений функции $f$.


• $f(x):X\to{Y}$ - функция $f$ определена на множестве $X$ со значениями в множестве $Y$.

Другими словами, если $X$ и $Y$ какие-то множества, то говорят, что имеется функция, определенная на множестве $X$ со значениями в множестве $Y$, если в силу некоторого закона $f$ каждому элементу $x\in{X}$ соответствует единственный элемент $y:=f(x)\in{Y}$.

Две функции $f_1$ и $f_2$ считаются совпадающими или равными, если они имеют одну и ту же область определения $X$ и для любого элемента $x\in{X}$ значения $f_1(x)$ и $f_2(x)$ этих функций совпадают. В этом случае пишут: $f_1=f_2$ или $f_1(x)\equiv{f_2}(x)$. В последнем случае используется знак $\equiv$, а не $=$ чтобы подчеркнуть, что равны функции, а не их значения на конкретном элементе $x$.

Определение 2.1.2: Отношением $\mathcal{R}$ на множествах $X$ и $Y$ будем называть произвольную совокупность упорядоченных пар элементов из $X$ и $Y$.То есть $$\mathcal{R}\subsetneq{X}\times{Y}$$ При этом совокупность всех первых элементов из множества $X$ называется областью определения отношения $\mathcal{R}$, а совокупность всех вторых элементов из множества $Y$ - областью значений отношения $\mathcal{R}$. Если $x\mathcal{R}y:=(x,y)\in\mathcal{R}$, то говорят, что $x$ связан с $y$ отношением $\mathcal{R}$. Если $X=Y$, то $\mathcal{R}\subsetneq{X^2}$ и говорят, что отношение $\mathcal{R}$ задано на множестве $X$.

Пример 2.1.1: $X\neq\varnothing, \Delta:=\{(x,y)\in{X^2}\:|\:x=y\}\subset{X^2}$
Отношение $\Delta$ задает диагональ на множестве $X^2$. Таким образом диагональ множества $X$ - это отношение равенства.

Пример 2.1.2: В качестве множества $X$ возьмем множество прямых на плоскости. Обозначим $R:=\{(a,b)\in{X^2}|a\parallel{b}\}$ как отношение параллельности, тогда отношение $R$ удовлетворяет следующим свойствам:

1.	$\forall{a}\in{X}$	$(aRa)$	- рефлексивность
2.	$\forall{a},b\in{X}$	$aRb\Rightarrow{b}Ra$	- симметричность
3.	$\forall{a},b,c\in{X}$	$aRb\wedge{b}Rc\Rightarrow{a}Rc$	- транзитивность

Определение 2.1.3: Отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности.

Пример 2.1.3: Пусть $M$ - множество, $X:=\mathcal{P}(M)$ - множество всех подмножеств множества $M$, $\mathcal{R}:=\{(a,b)\in{X^2}|a\subset{b}\}$, тогда отношение $\mathcal{R}$ удовлетворяет следующим свойствам:

1.	$\forall{a}\in{X}$	$(aRa)$	- рефлексивность
2.	$\forall{a},b\in{X}$	$aRb\wedge{b}Ra\Rightarrow{a}=b$	- антисимметричность
3.	$\forall{a},b,c\in{X}$	$aRb\wedge{b}Rc\Rightarrow{a}Rc$	- транзитивность

Определение 2.1.4: Отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, называется отношением частичного порядка на множестве.
Отношение частичного порядка обычно обозначают символом "$\preceq$".

Определение 2.1.5: Пусть на множестве $X$ заданно отношение частичного порядка $\mathcal{R}$ и дополнительно известно, что это отношение обладает свойством $$\forall{a},b\in{X}(a\mathcal{R}b\vee{b}\mathcal{R}a),$$ тогда отношение $\mathcal{R}$ называют отношением порядка (линейного порядка) на множестве $X$.
При этом множество $X$ называют линейно упорядоченным в смысле отношения $\mathcal{R}$.

Определение 2.1.6: Функция как отношение
Пусть на множествах $X$ и $Y$ задано отношение $\mathcal{R}\subset{X}\times{Y}$. Будем называть отношение $\mathcal{R}$ функциональным или функцией, если $$\forall{x}\in{X}, \forall{y_1},y_2\in{Y}(x\mathcal{R}y_1\wedge{x}\mathcal{R}y_2\Rightarrow{y_1}=y_2)$$

Легко видеть, что данное определение эквивалентно определению 2.1.1.

2.2 Простейшая классификация отображений.

Определение 2.2.1: $f(x):X\to{Y}, A\subset{X}, B\subset{Y}$

• Множество $f(A):=\{y\in{Y}\:|\:\exists{x}\in{A}:y=f(x)\}$ называется образом множества $A$ при отображении $f$. То есть образом множества $A\subset{X}$ при отображении $f(x):X\to{Y}$ называют множество тех элементов множества $Y$, которые являются образами элементов множества $A$.
• Множество $f^{-1}(B):=\{x\in{X}\:|\:f(x)\in{B}\}$ называют прообразом множества $B$ при отображении $f$. То есть прообразом (или полным прообразом) множества $B\subset{Y}$ при отображении $f(x):X\to{Y}$ называют множество тех элементов $X$, образы которых содержаться в $B$.

Определение 2.2.2: Будем говорить, что отображение $f(x):X\to{Y}$ является

1. сюръективным, если $f(X)=Y$,
2. инъективным, если для любых $x_1,x_2\in{X}$ верно $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow{x_1}=x_2$ (или $x_1\neq{x_2}\Rightarrow{f}(x_1)\neq{f}(x_2)$),
3. биективным, если оно сюръекивно и биективно.

Определение 2.2.3: Обратное отображение
Пусть отображение $f(x):X\to{Y}$ биективно, тогда

1. в силу сюръективности $f$ для любого $y\in{Y}$ существует $x\in{X}$ такое что $f(x)=y$
2. в силу инъективности $f$ для любых $x_1,x_2\in{X}$ верно $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow{x_1}=x_2$

Таким образом для любого $y\in{Y}$ существует единственный $x\in{X}$ такой, что $f(x)=y$, следовательно, можно определить отображение $f^{-1}(y):Y\to{X}$, такое что для любого $y\in{Y} (f^{-1}(y)=x):=(f(x)=y)$.
При этом отображение $f^{-1}$ называется отображением обратным к отображению $f$.

Из приведенного определения следует, что если обратное отображение существует, то оно биективно. Таким образом понятие обратного отображения является взаимным. Если отображение $f^{-1}$ обратно для отображения $f$, то обображение $f$ обратно для отображения $f^{-1}$.
Согласно определениям 2.2.1 и 2.2.3 обозначение "$f^{-1}$" несет две смысловые нагрузки:

1. $f^{-1}$ как прообраз можно употреблять для любого подмножества области значений любого отображения,
2. $f^{-1}$ как обратное отображение можно писать только при биективности отображения $f$.

Богатым источником построения новых отображений с одной стороны, и способом расчленения сложных отображений на более простые с другой, является понятие композиции отображений.

Определение 2.2.4: Композиция отображений
Композицией отображений $f(x):X\to{Y}$ и $g(x):Y\to{Z}$ называется отображение $g\circ{f}:X\to{Z}$, такое что для любого $x\in{X}$: $(g\circ{f})(x):=g(f(x))$.

Согласно данному определению для любых двух функций $f(x):X\to{Y}$ и $g(x):Y'\to{Z}$ таких, что $f(X)\subset{Y'}$ можно определить композицию $g\circ{f}$, так как функции $f(x):X\to{Y}$ и $f_1(x):X\to{Y'}$ такие что для любого $x\in{X}$: $f(x)=f_1(x)$ будут равны.
Отметим два характерных свойства понятия композиции отображений.

1. Композиция отображений является ассоциативной операцией, то есть если определены три функции $$f(x):X\to{Y}, g(x):Y\to{Z}, h(x):Z\to{W}$$ то существуют композиции $g\circ{f}$, $h\circ{g}$, $h\circ(g\circ{f})$ и $(h\circ{g})\circ{f}$ при этом $(h\circ{g})\circ{f}=h\circ(g\circ{f})$. Действительно, обе функции определены на множестве $X$ и для любого $x\in{X}$: $((h\circ{g})\circ{f})(x)=(h\circ{g})(f(x))=h(g(f(x)))=h((g\circ{f})(x))=(h\circ(g\circ{f}))(x)$. Таким образом порядок выполнения промежуточных действий не важен, поэтому скобки обычно опускаются: $h\circ{g}\circ{f}:=(h\circ{g})\circ{f}=h\circ(g\circ{f})$.
2. Операция композиции отображений вообще говоря не коммутативна, даже если функции $f$ и $g$ определены на одном и том же множестве, существуют отображения $f$ и $g$ такие, что $g\circ{f}\neq{f}\circ{g}$.

Пример 2.2.1: $a\neq{b}, X=\{a,b\}$, $f(x):X\to{X}: \forall{x}\in{X}(f(x)=a)$, $g(x):X\to{X}: \forall{x}\in{X}(g(x)=b)$, тогда $$\forall{x}\in{X}((g\circ{f})(x)=b\neq{a}=(f\circ{g})(x))$$

Обозначения: Для любого отображения $f$ область значений которого, является подмножеством области определения, то есть $f(x):X\to{X}$ можно определить композиции $f^2:=f\circ{f}$, $f^3:=f\circ{f}\circ{f}$ и так далее.
Если $X$ множество, то выражением $e_X$ обозначают тождественную (единичную) функцию на множестве $X$, то есть $e_X(x):X\to{X}$ такая что для любого $x\in{X}$: $e_X(x)=x$. Функцию $e_X$ называют единичной, потому что для любой функции $f(x):X\to{X}$: $f\circ{e_X}=e_X\circ{f}=f$.

Лемма 2.2.1: $f(x):X\to{Y}$, $g(x):Y\to{X}$
Если $g\circ{f}=e_X$, тогда $g$ - сюръективно и $f$ - инъективно.

Доказательство:

• Докажем сюръективность отображения $g$. Действительно:
  $f(X)\subset{Y}\Rightarrow{g}(f(X))\subset{g}(Y)\Rightarrow(g\circ{f})(X)\subset{g}(Y)\Rightarrow{e_X}(X)\subset{b}(Y)\Rightarrow{X}\subset{g}(Y)$,
  и так как по определению отображения для $g$: $g(Y)\subset{X}$, то $g(Y)=X$
• Докажем инъективность отображения $f$. Действительно:
  $\forall{x_1},x_2\in{X}(x_1\neq{x_2}\Rightarrow{e}(x_1)\neq{e}(x_2)\Rightarrow(g\circ{f})(x_1)\neq(g\circ{f})(x_2)\Rightarrow {g}(f(x_1))\neq{g}(f(x_2))\Rightarrow{f}(x_1)\neq{f}(x_2))$,
  где последняя импликация следует из определения отображения для $g$.

Задача 2.2.1 Доказать, что если $f(x):X\to{Y}$, $g(x):Y\to{X}$, то $(g\circ{f}=e_X\wedge{f}\circ{g}=e_Y)\Leftrightarrow{g}=f^{-1}$.

Решение:
$\Rightarrow)$
Так как $g\circ{f}=e_X$ и $g\circ{g}=e_Y$, то по лемме 2.2.1 отображения $f$ и $g$ биективны, следовательно, существует биективное отображение $f^{-1}$ обратное отображению $f$, тогда
$g\circ{f}=e_X\Rightarrow\forall{x}\in{X}(g(f(x))=x)$,
и так как отображение $f$ биективно, то
$(\forall{x}\in{X}(g(f(x))=x)\wedge\forall{y}\in{Y}\exists{x}\in{X}:f(x)=y)\Rightarrow\forall{y}\in{Y}(g(y)=f^{-1}(y))\Rightarrow{g}=f^{-1}$.
$\Leftarrow)$
$g=f^{-1}\Rightarrow\forall{x}\in{X}((g\circ{f})(x)=f^{-1}(f(x))=x)\Rightarrow{g}\circ{f}=e_X$.
$g=f^{-1}\Rightarrow\forall{y}\in{Y}((f\circ{g})(y)=f(f^{-1}(y))=y)\Rightarrow{f}\circ{g}=e_Y$.

previous contents next