3.2 Важнейшие классы действительных чисел. Основные понятия и обзор основных свойств.

Определение 3.2.1: Индуктивное множество.
Числовое множество $M$ назовем индуктивным, если $$\forall{x}\in\mathbb{R}(x\in{M}\Rightarrow{x}+1\in{M}).$$ Например индуктивными множествами являются множества $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^+:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:0\leq{x}\}$ и вообще для любого $a\in\mathbb{R}$ множество $\{x\in\mathbb{R}\:|\:a\leq{x}\}$ индуктивно.

Утверждение 3.2.1: Пусть $I$ - множество индексов такое, что для любого $\alpha\in{I}$ множество $M_\alpha$ индуктивно, тогда множество $\bigcap_{\alpha\in{I}}M_\alpha$ тоже будет индуктивно.

Доказательство: $$x\in\bigcap_{\alpha\in{I}}M_\alpha\Rightarrow\forall\alpha\in{I}(x\in{M}_\alpha)\Rightarrow\forall\alpha\in{I}(x+1\in{M}_\alpha) \Rightarrow{x}+1\in\bigcap_{\alpha\in{I}}M_\alpha$$

Определение 3.2.2: Множество натуральных чисел.
Множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ назовем пересечение всех индуктивных числовых множеств содержащих единицу.

Другими словами множеством натуральных чисел называется наименьшее по включению индуктивное множество содержащее единицу.
Минимальное по включению множество обладающее некоторым свойством - это множество, которое содержится в любом другом множестве обладающим тем же свойством. Таким образом, из определения следует, что для любого индуктивного числового множества $E$ содержащего единицу $\mathbb{N}\subset{E}$.

Утверждение 3.2.2: Принцип математической индукции.
Если $E\subset\mathbb{N}$, $1\in{E}$ и $E$ индуктивно, то $E=\mathbb{N}$.

Доказательство: Так как $E\subset\mathbb{N}$ по условию и $\mathbb{N}\subset{E}$ по определению $\mathbb{N}$, то $E=\mathbb{N}$.

На принципе математической индукции основан метод математической индукции метод доказательства утверждений зависящих от натурального параметра.
Пусть $A(n)$ некоторое утверждение зависящее от натурального параметра. Множество $E\subset\mathbb{N}$ такое, что для любого $k\in{E}$ утверждение $A(k)$ истинно, тогда для того чтобы доказать, что утверждение $A(n)$ истинно для любого $n\in\mathbb{N}$, то есть что $E=\mathbb{N}$, надо доказать, что

1. $1\in{E}$
2. $n\in{E}\Rightarrow{n}+1\in{E}$

Утверждение 3.2.3: Основные характерные свойства множества $\mathbb{N}$.

1. $m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow{m}+n\in\mathbb{N}$
2. $m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow{m}*n\in\mathbb{N}$
3. $(n\in\mathbb{N}\wedge{n}\neq1)\Rightarrow{n}-1\in\mathbb{N}$
4. $(m,n\in\mathbb{N}\wedge{n}>m)\Rightarrow{n}-m\in\mathbb{N}$
5. $n\in\mathbb{N}\Rightarrow1\leq{n}$
6. $T_n:=\{x\in\mathbb{N}\:|\:x>n\}\Rightarrow\exists\min{T}_n=n+1$
7. $(m,n\in\mathbb{N}\wedge{m}>n)\Rightarrow{m}\geq{n}+1$
8. $\forall{n}\in\mathbb{N}(\nexists{x}\in\mathbb{N}:n<x<n+1)$

Доказательство:

1. Доказываем индукцией по $n$. Пусть $E:=\{n\in\mathbb{N}\:|\:\forall{m}\in\mathbb{N}(m+n\in\mathbb{N})\}$ докажем, что $E=\mathbb{N}$.
   1. $\forall{m}\in\mathbb{N}(m+1\in\mathbb{N})\Rightarrow1\in{E}$
   2. $k\in{E}\Rightarrow\forall{m}\in\mathbb{N}(m+k\in\mathbb{N})\Rightarrow\forall{m}\in\mathbb{N}((m+k)+1\in\mathbb{N})\Rightarrow \forall{m}\in\mathbb{N}(m+(k+1)\in\mathbb{N})\Rightarrow{k}+1\in{E}$
2. Доказываем индукцией по $n$. Пусть $E:=\{n\in\mathbb{N}\:|\:\forall{m}\in\mathbb{N}(m*n\in\mathbb{N})\}$ докажем, что $E=\mathbb{N}$.
   1. $\forall{m}\in\mathbb{N}(m*1=m\in\mathbb{N})\Rightarrow1\in{E}$
   2. $k\in{E}\Rightarrow\forall{m}\in\mathbb{N}(m*k\in\mathbb{N})\Rightarrow^{(1)}\forall{m}\in\mathbb{N}(m*k+m\in\mathbb{N})\Rightarrow \forall{m}\in\mathbb{N}(m*(k+1)\in\mathbb{N})\Rightarrow{k}+1\in{E}$
3. Доказываем индукцией по $n$. Пусть $E:=\{n\in\mathbb{N}\:|\:n\neq1\Rightarrow{n}-1\in\mathbb{N}\}$ докажем, что $E=\mathbb{N}$.
   1. $(1\neq1\Rightarrow1-1\in\mathbb{N})\Rightarrow1\in{E}$
   2. $k\in{E}\Rightarrow{k}\in\mathbb{N}\Rightarrow(k+1\neq1\Rightarrow(k+1)-1=k\in\mathbb{N})\Rightarrow{k}+1\in{E}$
   При доказательстве пункта 1 используется тот факт, что если первый аргумент импликации равен $0$, то она истинна вне зависимости от второго аргумента. При доказательстве пункта 2 используется тот факт, что если второй аргумент импликации равен $1$, то она истинна вне зависимости от первого аргумента.
4. Доказываем индукцией по $m$. Пусть $E:=\{m\in\mathbb{N}\:|\:\forall{n}\in\mathbb{N}(n>m\Rightarrow{n}-m\in\mathbb{N}\}$ докажем, что $E=\mathbb{N}$.
   1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(n>1\Rightarrow{n}\neq1\Rightarrow^{(3)}n-1\in\mathbb{N})\Rightarrow1\in{E}$
   2. $k\in{E}\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(n>k\Rightarrow{n}-k\in\mathbb{N})$ $\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(n>k+1\Rightarrow{n}>k\wedge{n}-k>1\Rightarrow{n}-k\in\mathbb{N}\wedge{n}-k\neq1\Rightarrow^{(3)} (n-k)-1\in\mathbb{N}\Rightarrow{n}-(k+1)\in\mathbb{N})$ $\Rightarrow{k}+1\in\mathbb{N}$
5. Докажем от противного, допустим существует $n\in\mathbb{N}$ такой что $n<1$ (по лемме 3.1.1 $\neg(1\leq{n})\Leftrightarrow{n}<1$).
   Рассмотрим множество $E:=\{k\in\mathbb{N}\:|\:n<k\}\subset\mathbb{N}$.
   1. $n<1\Rightarrow1\in{E}$
   2. $k\in{E}\Rightarrow{n}<k\Rightarrow{n}<k+1\Rightarrow{k}+1\in{E}$
   Таким образом множество $E$ индуктивно и содержит единицу, следовательно, $$\mathbb{N}\subset{E}\Rightarrow{E}=\mathbb{N}\Rightarrow{n}\in{E}\Rightarrow{n}<n$$
6. Докажем от противного, что $\min{T}_n=n+1$
   Предположим, что существует $k\in{T}_n$ такой, что $k<n+1$, тогда $$k<n+1\Rightarrow^{(4)}n+1-k\in\mathbb{N}\Rightarrow^{(5)}1\leq{n}+1-k\Rightarrow0\leq{n}-k\Rightarrow{k}\leq{n}\Rightarrow{k}\notin{T}_n$$
7. $m>n\Rightarrow{m}\in{T}_n\Rightarrow\min{T}_n\leq{m}\Rightarrow^{(6)}n+1\leq{m}$
8. $\forall{x}\in\mathbb{N}(x>n\Rightarrow^{(7)}x\geq{n}+1)$

Таким образом:

1. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операций "$+$", "$*$"
2. Множество натуральных чисел линейно упорядочено.
3. Множество натуральных чисел не является группой ни по сложению, ни по умножению, так как не содержит противоположных и обратных элементов.

Определение 3.2.3: Множество целых чисел.
$-\mathbb{N}:=\{-n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$
Множество $\mathbb{Z}:=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup-\mathbb{N}$ называют множеством целых чисел.

Позитивные свойства целых чисел $\mathbb{Z}$:

1. Множество $\mathbb{Z}$ замкнуто относиетльно операций "$+$", "$*$".
2. Множество $\mathbb{Z}$ линейно упорядочено.
3. Множество $\mathbb{Z}$ абелева группа по сложению.
4. Множество $\mathbb{Z}$ кольцо относительно операций "$+$", "$*$"

1. Множество $\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ не является группой по умножению, так как не содержит обратных элементов.
2. Множество $\mathbb{Z}$ не является полем.
3. Множество $\mathbb{Z}$ не обладает полнотой.

Утверждение 3.2.4: $\forall{m}\in\mathbb{Z}(m>1\Rightarrow{m}^{-1}\notin\mathbb{Z})$

Доказательство:
$m>1\Rightarrow{m}*m^{-1}>{m}^{-1}\Rightarrow1>m^{-1}\Rightarrow{m}^{-1}\notin\mathbb{N}$
$m>1\Rightarrow(m>0\wedge{m}*m^{-1}=1>0)\Rightarrow{m}^{-1}>0\Rightarrow(m^{-1}\neq0\wedge{m}^{-1}\notin-\mathbb{N})$
$m\notin\mathbb{N}\wedge{m}\neq0\wedge{m}\notin-\mathbb{N}\Rightarrow{m}\notin\mathbb{Z}.$

Определение 3.2.4: Множество рациональных чисел.
Множество $\mathbb{Q}:=\{m*n^{-1}\:|\:m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}\}$ называют множеством рациональных чисел.

Любая пара $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$, такая что $n\neq0$ задает рациональное число. При этом разные пары могут задавать одно и тоже число, например, пары $(4,8)$ и $(2,4)$ задают число $4*8^{-1}=2*4^{-1}=2^{-1}$ $$\forall{r}\in\mathbb{Q}(\exists{m}\in\mathbb{Z}, \exists{n}\in\mathbb{N}:(r=m*n^{-1}\wedge(m,n)=1), \frac{m}{n}:=m*n^{-1}.$$

Здесь через $(m,n)$ обозначен наибольший общий делитель (НОД) чисел $m$ и $n$, то есть $(m,n)=1$ означает, что числа $m$ и $n$ взаимно просты. Другими словами любое рациональное число может быть представлено в виде не сократимой дроби.
Из определение очевидно следует, что $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$.

Везде далее знак умножения "$*$" для краткости опускается, то есть $a*b\sim{a}b$.

Утверждение 3.2.5: Свойства множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$:

1. Множество $\mathbb{Q}$ алгебраическое поле.
2. Множестов $\mathbb{Q}$ линейно упорядочено в смысле отношения "меньше или равно".
3. Множество $\mathbb{Q}$ не обладает свойсвом полноты.

Доказательство:

1. Следует из замкнутости множества $\mathbb{Q}$ относительно операций сложения и умножения. Так как любое замкнутое относительно операций подмножество алгебраического поля является его подполем. Доказательство в курсе алгебры (п. 3 следствия 18.1 DM).
2. Следует из аксиом действительных чисел.
3. $X:=\{r\in\mathbb{R}\:|\:r>0\wedge{r}^2<2\}$, $Y:=\{r\in\mathbb{R}\:|\:r^2>2\}$
   Множества $X$ и $Y$ не пусты так как $1\in{X}$, $2\in{Y}$.
   $$\forall{x}>0,\forall{y}>0(x^2<y^2\Leftrightarrow{x}^2-y^2<0\Leftrightarrow(x-y)(x+y)<0\Leftrightarrow{x}-y<0\Leftrightarrow{x}<y) \Rightarrow\forall{x}\in{X},\forall{y}\in{Y}(x<y)$$ Следовательно, по аксиоме полноты $$\exists{c}\in\mathbb{R}:\forall{x}\in{X},\forall{y}\in{Y}(x\leq{c}\leq{y})$$ По пункту 1 следствий из аксиом порядка либо $c^2<2$, либо $c^2>2$, либо $c^2=2$.
   1. Докажем, что $c^2<2$ невозможно.
      Предположим, что $c^2<2$, обозначим: $\Delta:=2-c^2>0$, $c_1:=c+\frac\Delta{3{c}}>c$, тогда $$1\in{X}\Rightarrow1\leq{c}\Rightarrow{c}\leq{c}^2\Rightarrow\begin{cases}1\leq{c}^2 \\ 0<\Delta\leq1 \end{cases}\Rightarrow \frac\Delta{3c^2}\leq\frac{1}{3}<1$$ $$c_1^2=\left(c+\frac\Delta{3c}\right)\left(c+\frac\Delta{3c}\right)=c^2+\frac{2\Delta}{3}+\left(\frac\Delta{3c}\right)^2= c^2+\frac\Delta{3}\left(2+\frac\Delta{3c^2}\right)<c^2+\frac\Delta{3}3=2$$ Таким образом приходим к противоречию $(c_1^2<2\wedge{c}_1>c)\Rightarrow(c_1\in{X}\wedge{c}_1\not\in{X})$
   2. Докажем, что $c^2>2$ невозможно.
      Предположим $c^2>2$, обозначим: $\Delta:=c^2-2>0$, $c_1:=c-\frac\Delta{3c}<c$, тогда $$c_1^2=\left(c-\frac\Delta{3c}\right)\left(c-\frac\Delta{3c}\right)=c^2-\frac{2\Delta}{3}+\left(\frac\Delta{3c}\right)^2>c^2-\frac{2\Delta}{3}>c^2-\Delta=2$$ Таким образом приходим к противоречию и в этом случае $(c_1^2>2\wedge{c}_1<c)\Rightarrow(c_1\in{Y}\wedge{c}_1\not\in{Y})$
   Следовательно, $c^2=2$. Докажем от противного, что $c$ не является рациональным числом.
   Предположим, что существуют $m\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$ такие, что $(m,n)=1$ и $c=\frac{m}{n}$, тогда $$c^2=\frac{m^2}{n^2}=2\Rightarrow{m}^2=2n^2\Rightarrow\exists{k}\in\mathbb{Z}:m=2k\Rightarrow{m}^2=4k^2=2n^2\Rightarrow{n}^2=2k^2$$ Таким образом $m$ и $n$ четные и, следовательно, $(m,n)\neq1$, то есть число $c$ не рационально. Рассмотрим множества $A:=\{a\in\mathbb{Q}\:|\:a<c\}$, $B:=\{b\in\mathbb{Q}\:|\:b>c\}$, тогда $$\forall{a}\in{A},\forall{b}\in{B}(a\leq{b}).$$ Предположим, что существует $d\in\mathbb{Q}$ такое, что $$\forall{a}\in{A},\forall{b}\in{B}(a\leq{d}\leq{b}).$$ Тогда в силу того, что $c\notin\mathbb{Q}$, $d\in{A}$ или $d\in{B}$. Если $d\in{A}$, то существует $e\in\mathbb{Q}$ такое, что $d<{e}<{c}$, то есть $e\in{A}$ и $e>{d}$. Получено противоречие, то есть $d\notin{A}$, Аналогично показывается, что $d\notin{B}$, что приводит к противоречию с $c\notin\mathbb{Q}$. Cледовательно, множество рациональных чисел не удовлетворяет аксиоме полноты.

Определение 3.2.5: Алгебраические числа.
Действительное число назовем алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравнения. Алгебраическое уравнение - это уравнение вида: $$a_0x^n+a_1n^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0,\quad\forall{k}\in\overline{0,n}(a_k\in\mathbb{Z}\wedge{a_0\neq0})$$

Любое рациональное число $c=\frac{m}{n}$ алгебраическое, так как оно является корнем уравнения $nx-m=0$

Определение 3.2.6: Трансцендентные числа.
Действительные числа не являющееся алгебраическими называют трансцендентными.

Множество трансцендентных чисел не пусто, так как в 1882 году было доказано, что число $\pi$ (пи, отношение длинны окружности к длине ее диаметра) не является алгебраическим.

previous contents next