13.2.5 Интегрируемость несобственного интеграла по параметру.

Теорема 13.2.4: Пусть $Y=[c,d]$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times{Y}\}$,
2. несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{Y}$,

1. $F(y):=\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx\in\mathcal{R}[c,d]$,
2. $\int_c^dF(y)\,dy=\int_c^d\left(\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_a^{\omega}\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)\,dx$

Доказательство:

1. Из теоремы 13.2.2 следует, что $F(y)\in{C}[c,d]$, следовательно, $F(y)\in\mathcal{R}[c,d]$.
2. Обозначим $\Phi(y,b):=\int_a^bf(x,y)\,dx\colon{Y}\times[a,\omega)\to\mathbb{R}$, тогда из условия 2 следует, что $\Phi(y,b)\FUniformConv{F}(y),y\in{Y}$.
   По утверждению 13.1.5 для любого $b\in[a,\omega)$ $\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)\,dx$. Переходя к пределу при $b\to-\omega$ получим $$\lim_{b\to-\omega}\int_c^d\Phi(y,b)\,dy=\lim_{b\to-\omega}\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)\,dy= \lim_{b\to-\omega}\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_a^{\omega}\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)\,dx\qquad(*)$$ В силу $\Phi(y,b)\FUniformConv{F}(y),y\in{Y}$ по утверждению 13.1.1 в левой части равенства можно внести знак предела под знак интеграла, тогда $$\int_c^d\left(\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_c^d\lim_{b\to-\omega}\Phi(y,b)\,dy=\lim_{b\to-\omega}\int_c^d\Phi(y,b)\,dy=^{(*)} \int_a^{\omega}\left(\int_c^df(x,y)\,dy\right)\,dx.$$

Пример 13.2.9: Контрпример ко второму условию теоремы 13.2.4.
Пусть $Y=[0,1]$, $f(x,y)=(2-xy)xye^{-xy}\colon[0,+\infty)\times{Y}\to\mathbb{R}$.
Вычислим повторные интегралы от функции $f(x,y)$. Для этого заметим, что $(x^2ye^{-xy})'_x=y(2xe^{-xy}-x^2ye^{-xy})=(2-xy)xye^{-xy}=f(x,y)$. Аналогично $(xy^2e^{-xy})'_y=f(x,y)$, тогда $$\int_0^1\left(\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_0^1(x^2ye^{-xy})|_0^{+\infty}\,dy=\int_0^10\,dy=0.$$ $$\int_0^{+\infty}\left(\int_0^1f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_0^{+\infty}(xy^2e^{-xy})|_0^1\,dx=\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,dx=1!=1$$ где предпоследнее равенство следует из примера 13.2.7.
Таким образом $\int_0^1\left(\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx\right)\,dy=0\neq1=\int_0^{+\infty}\left(\int_0^1f(x,y)\,dy\right)\,dx$. То есть теорема 13.2.4 не применима так как интеграл $\int_0^{+\infty}(2-xy)xye^{-xy}\,dx$ не сходится равномерно по $y\in{Y}$.
Пример из Зорич т. 2, стр. 505, доказательства отсутствия равномерной сходимости интеграла $\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx$ нет.

Теорема 13.2.5: Пусть $X=[a,\omega)$, $Y=[c,\tilde\omega)$, $f(x,y)\colon{X}\times{Y}\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x,y)\in{C}\{X\times{Y}\}$,
2. для любого $d\in{Y}$ несобственный интеграл $\displaystyle\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in[c,d]$,
   для любого $b\in{X}$ несобственный интеграл $\displaystyle\int_c^{\tilde\omega}f(x,y)\,dy$ сходится равномерно по $x\in[a,b]$;
3. хотя бы один из двух повторных несобственных интегралов $\displaystyle\int_a^{\omega}\left(\int_c^{\tilde\omega}|f(x,y)|\,dy\right)\,dx$, $\displaystyle\int_c^{\tilde\omega}\left(\int_a^{\omega}|f(x,y)|\,dx\right)\,dy$ сходится.

1. оба интеграла $\displaystyle\int_a^{\omega}\left(\int_c^{\tilde\omega}f(x,y)\,dy\right)\,dx$ сходятся, $\displaystyle\int_c^{\tilde\omega}\left(\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx\right)\,dy$,
2. $\displaystyle\int_a^{\omega}\left(\int_c^{\tilde\omega}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_c^{\tilde\omega}\left(\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx\right)\,dy$.

Доказательство:Зорич т. 2, стр. 506.

Пример 13.2.10: Контрпример к условию 3 теоремы 13.2.5.
Для любого $a>0$ рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\colon[a,+\infty)\times[a,+\infty)\to\mathbb{R}$.
В задаче 13.1.2 было показано, что $\displaystyle\int\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx=-\frac{x}{x^2+y^2}$, $\displaystyle\int\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=\frac{y}{x^2+y^2}$, следовательно $$\int_a^{+\infty}\left(\int_a^{+\infty}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\right)\,dy=\int_a^{+\infty}\left.-\frac{x}{x^2+y^2}\right|_{x=a}^{x=+\infty}dy= \int_a^{+\infty}\frac{a}{a^2+y^2}\,dy=\left.\arctg\frac{y}{a}\right|_a^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$ Аналогично $\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(\int_a^{+\infty}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\right)\,dx=-\frac{\pi}{4}$. Таким образом оба повторных несобственных интеграла сходятся, но их значения не равны. Это происходит потому, что условие 3 теоремы 13.2.5 не выполнено. Действительно, попытаемся вычислить интеграл $\int_a^{+\infty}\left(\int_a^{+\infty}|f(x,y)|\,dy\right)\,dx$. Так как $|f(x,y)|=\frac{|x^2-y^2|}{(x^2+y^2)^2}=\begin{cases}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},x>y\\\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},x\leq{y}\end{cases}$, то $\begin{multline} \int_a^{+\infty}\left(|f(x,y)|\,dy\right)\,dx=\\ =\int_a^{+\infty}\left(\frac{|x^2-y^2|}{(x^2+y^2)^2}\,dy\right)\,dx= \int_a^{+\infty}\left(\int_a^x\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy+\int_x^{+\infty}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\right)\,dx= \int_a^{+\infty}\left(\left.-\frac{y}{x^2+y^2}\right|_{y=a}^{y=x}+\left.\frac{y}{x^2+y^2}\right|_{y=x}^{y=+\infty}\right)\,dx= \int_a^{+\infty}\left(\frac{a}{x^2+a^2}-\frac1{x}\right)\,dx=\\ =\left.\arctg\frac{x}{a}\right|_a^{+\infty}-\ln{x}|_a^{+\infty} \end{multline}$ Так первое слагаемое равно $\frac{\pi}{4}$, а $\lim_{x\to\infty}{\ln{x}}=+\infty$, то интеграл $\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(\int_a^{+\infty}\frac{|x^2-y^2|}{(x^2+y^2)^2}\,dy\right)\,dx$ не сходится. Аналогично показывается, что не сходится интеграл $\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(\int_a^{+\infty}\frac{|x^2-y^2|}{(x^2+y^2)^2}\,dx\right)\,dy$

previous contents next