13.2.3 Предельный переход по параметру в несобственном интеграле.

Теорема 13.2.1: Пусть $Y\subset\mathbb{R}$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$, $\varphi(x)\colon[a,\omega)\to\mathbb{R}$, $y_0\in\mathring{Y}\cap\overline{R}$ такие, что

1. несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{Y}$,
2. $\forall{b}\in[a,\omega)\left(f(x,y)\FUniformConv\varphi(x),x\in[a,b]\right)$,

1. несобственный интеграл $\int_a^{\omega}\varphi(x)\,dx$ сходится,
2. существует предел $\displaystyle\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx=\int_a^{\omega}\varphi(x)\,dx$.

Доказательство: Так как из равномерной сходимости следует поточечная, то из условия 2 следует, что для любого $x\in[a,\omega)$ $\displaystyle\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}f(x,y)=\varphi(x)$. То есть необходимо доказать, что при сделанных предпосылках имеет место коммутирование предельных переходов $\displaystyle\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx=\int_a^{\omega}\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}f(x,y)\,dx$.
Для любого $b\in[a,\omega)$ на отрезке $[a,b]$ можно применить теорему о предельном переходе по параметру. Фиксируем последовательность $\{a_n\}$ из $[a,\omega)$ такую, что существует предел $\lim_{n\to\infty}a_n=\omega$. Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $\displaystyle{F}_n(y):=\int_a^{a_n}f(x,y)\,dx\colon{Y}\to\mathbb{R}$, тогда

1. из условия 1 по утверждению 13.2.3 $$F_n(y)=\int_a^{a_n}f(x,y)\,dx\UniformConv{F}(y):=\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx,y\in{Y}$$
2. из условия 2 по теореме о коммутировании предельного перехода со знаком собственного интеграла $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\exists\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}F_n(y)=\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\int_a^{a_n}f(x,y)\,dx= \int_a^{a_n}\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}f(x,y)\,dx=\int_a^{a_n}\varphi(x)\,dx\right)$$

1. $\displaystyle\exists\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}F_n(y)\right)=\lim_{n\to\infty}\int_a^{a_n}\varphi(x)\,dx$,
2. $\displaystyle\exists\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\left(\lim_{n\to\infty}F_n(y)\right)= \lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\left(\lim_{n\to\infty}\int_a^{a_n}f(x,y)\,dx\right)=\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$,
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}F_n(y)\right)=\lim_{Y\ni{y}\to{y}_0}\left(\lim_{n\to\infty}F_n(y)\right)$.

Пример 13.2.5: Контрпример к условию 1 теоремы 13.2.1.
Пусть $Y=(0,+\infty)$, $y_0=+\infty$, $a=0$, $\displaystyle{f}(x,y)=\begin{cases}\frac1{y}&,0\leq{x}\leq{y}\\0&,x>y\end{cases}\colon[0,+\infty)\times{Y}\to\mathbb{R}$, тогда $$\forall\varepsilon>0\exists{B}:=\frac1{\varepsilon}\colon\forall{y}\in(B,+\infty)\forall{x}\in[0,+\infty) \left(|f(x,y)|<\frac1{B}=\varepsilon\right)\Rightarrow{f}(x,y)\FUniformConv\varphi(x)\equiv0,x\in[0,+\infty)$$ Таким образом условие 2 теоремы 13.2.1 выполнено. С другой стороны $$\forall{y}>0\left(F(y)=\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx=\int_0^{y}\frac1{y}\,dx=\frac1{y}y=1\right)$$ в то время, как $\int_0^{+\infty}\varphi(x)\,dx=0\neq1$. То есть результат теоремы 13.2.1 не выполняется для функции $f(x,y)$. Это происходит потому, что не выполняется условие 1 теоремы, то есть нет равномерной сходимости интеграла $\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx$ по $y>0$. Действительно $$\exists\varepsilon:=\frac12\colon\forall{B}>0\,\exists{b}':=B\,\exists{b}'':=2B\,\exists{y}:=2B\colon\left|\int_{b'}^{b''}f(x,y)\,dx\right|= \left|\int_B^{2B}\frac1{2B}\,dx\right|=\frac12=\varepsilon.$$ Получено отрицание критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру.

Теорема 13.2.2: Непрерывность несобственного интеграла по параметру.
Пусть $Y:=[c,d]$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$ такие, что

1. несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{Y}$,
2. $f(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times[c,d]\}$,

Доказательство: Фиксируем $y_0\in[c,d]$, обозначим $\varphi(x):=f(x,y_0)$, тогда по пункту 1 условий несобственный интеграл $\int_a^{\omega}\varphi(x)\,dx$ сходится. Фиксируем $b\in[a,\omega)$, тогда множество $P_b:=[a,b]\times[c,d]$ компакт в $\mathbb{R}^2$. Так как $f(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times[c,d]\}$, то $f(x,y)\in{C}(P_b)$. Тогда по теореме Кантора функция $f(x,y)$ равномерно непрерывна на $P_b$. Тогда $$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta=\delta(b,\varepsilon)>0\colon\forall{x}\in[a,b]\forall{y}\in[c,d] \left(|y-y_0|<\delta\Rightarrow\|(x,y)-(x,y_0)\|<\delta\Rightarrow|f(x,y)-f(x,y_0)|<\varepsilon\right)\Rightarrow{f}(x,y)\FUniformConv{f}(x,y_0)= \varphi(x),x\in[a,b].$$ Тогда по теореме 13.2.1 и непрерывности функции $f(x,y)$ $$\exists\lim_{y\to{y}_0}F(y)=\int_a^{\omega}\lim_{y\to{y}_0}f(x,y)\,dx=\int_a^{\omega}f(x,y_0)\,dx=F(y_0).$$ Следовательно, в силу произвольности выбора $y_0$ теорема доказана.

Пример 13.2.6: В примере 13.2.4 было показано, что интеграл $\displaystyle{F}(y)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}e^{-xy}\,dx$ сходится равномерно по $y\in[0,+\infty)$. Значит на основании теоремы 13.2.2 можно утверждать, что функция $F(y)$ непрерывна на любом отрезке $[0,d]\subset[0,+\infty)$, то есть непрерывна на всем промежутке $[0,+\infty)$. В частности отсюда следует, что $\displaystyle\lim_{y\to0+}\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}e^{-xy}\,dx=F(0)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}\,dx$.

Этот пример можно обобщить для любой непрерывной функции $f(x)$ такой, что интеграл $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится. Действительно, если интеграл $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx$ сходится, то интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xy}f(x)\,dx$ сходится равномерно по признаку Абеля. Следовательно, $\displaystyle\lim_{y\to0+}\int_0^{+\infty}e^{-xy}f(x)\,dx=\int_0^{+\infty}f(x)\,dx$. Это равенство можно использовать для вычисления несобственных интегралов см., например, Фихтенгольц т. 2, стр. 718.

13.2.4 Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.

Теорема 13.2.3: Пусть $Y=[c,d]$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times{Y}\}$,
2. $\exists\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times{Y}\}$,
3. несобственный интеграл $\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{Y}$,
4. существует $y_0\in[c,d]$ такое, что несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y_0)\,dx$ сходится,

1. несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{Y}$,
2. $\displaystyle\forall{y}\in{Y}\left(\exists\frac{d}{dy}\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx=\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\right)$

Доказательство: Существует сходство между формулировкой этой теоремы и теоремы о почленном дифференцировании функциональный рядов. Воспользуемся этой теоремой для доказательства.
Фиксируем последовательность $\{a_n\}$ из $[a,\omega)$ такую, что $a_0=a$ и существует предел $\lim_{n\to\infty}a_n=\omega$. Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $\displaystyle{u}_n(y)=\int_{a_{n-1}}^{a_n}f(x,y)\,dx$. Покажем, что для функционального ряда $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(y)$ выполнены предпосылки теоремы о почленном дифференцировании. Действительно

1. для любых $n\in\mathbb{N}$ $y\in{Y}$ применим правило Лейбница для функции $u_n(y)$, тогда по пункту 2 условий теоремы $$\forall{n}\in\mathbb{N}\,\exists{u}'_n(y)=\frac{d}{dy}\int_{a_{n-1}}^{a_n}f(x,y)\,dx=\int_{a_{n-1}}^{a_n}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)$$
2. фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по пункту 3 условий теоремы $$\exists{b}_0=b_0(\varepsilon)\in[a,\omega)\colon\forall{n}\in(b_0,\omega)\forall{y}\in{Y} \left(\left|\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\right|<\varepsilon\right)$$ $$\lim_{n\to\infty}a_n=\omega\Rightarrow\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\colon\forall{n}>n_0(a_n>b_0)\Rightarrow \forall{n}>n_0\forall{y}\in{Y}\left(\left|\int_{a_n}^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{n}>n_0\forall{y}\in{Y}\left(\left|\sum_{k=1}^nu'_k(y)-\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\right|= \left|\int_a^{a_n}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx-\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\right|= \left|\int_{a_n}^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u'_n(y)\UniformConv\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx,y\in{Y}.$$
3. из критерия существования предела функции по Гейне следует, что сходимость интеграла $\int_a^{\omega}f(x,y_0)\,dx$ влечет сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(y_0)$.

Определение 13.2.2: Равномерная сходимость по параметру в точке.
Пусть $Y\subset\mathbb{R}$, $y_0\in{i}nt{Y}$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$, тогда говорят, что несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно при значении параметра $y=y_0$, если существует окрестность $U(y_0)\subset{Y}$ такая, что интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{U}(y_0)$.

Применяя определение 13.2.2 можно отказаться от условия $Y=[c,d]$ в формулировке теоремы 13.2.3

Следствие 13.2.1: Пусть $Y$ открытое множество в $\mathbb{R}$, $f(x,y)\colon[a,\omega)\times{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times{Y}\}$,
2. $\exists\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\in{C}\{[a,\omega)\times{Y}\}$,
3. для любого $y_0\in{Y}$ несобственный интеграл $\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx$ сходится равномерно при $y=y_0$,
4. для любого $y\in{Y}$ несобственный интеграл $\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx$ сходится,

Доказательство: Фиксируем $y_0\in{Y}$, тогда по пункту 3 условий существует окрестность $U(y_0)\subset{Y}$ такая, что несобственный интеграл $\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{U}(y_0)$. Любая окрестность точки содержит в себе некоторый отрезок $I$ содержащий эту точку, тогда для такого отрезка и функции $f(x,y)$ определенной на $[a,\omega)\times{I}$ можно применить теорему 13.2.3. Тогда в точке $y_0$ существует производная $\displaystyle\frac{d}{dy}\left.\left(\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx\right)\right|_{y=y_0}=\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\,dx$ и в силу произвольности выбора $y_0$ для любого $y\in{Y}$ $\frac{d}{dy}\int_a^{\omega}f(x,y)\,dx=\int_a^{\omega}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx$.

Пример 13.2.7: Пусть $[a,\omega):=[0,+\infty)$, $Y:=(0,+\infty)$, $f(x,y)=e^{-xy}\colon[0,+\infty)\times{Y}\to\mathbb{R}$, тогда

1. $f(x,y)\in{C}(\mathbb{R}^2)$,
2. $\exists\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)=-xe^{-xy}\in{C}(\mathbb{R}^2)$,
3. при любом $\alpha>0$, $y_0>0$ интеграл $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{\alpha}e^{-xy}\,dx$ сходится равномерно по $y\in[y_0,+\infty)$, так как для любого достаточно большого $x$ справедлива оценка $\displaystyle0\leq{x}^{\alpha}e^{-xy}<{x}^{\alpha}e^{-xy_0}=e^{-xy_0+\alpha\ln{x}}<{e}^{-xy_0/2}$, следовательно, можно применить мажорантный признак Вейерштрасса. Следовательно, несобственный интеграл $\int_0^{+\infty}\frac{\partial}{\partial{y}}f(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in{Y}$.
4. для любого $y>0$ интеграл $F(y)=\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx$ сходится $F(y)=\int_0^{+\infty}e^{-xy}\,dx=-\frac1{y}e^{-xy}|_0^{+\infty}=\frac1{y}$

Пример 13.2.8: Интеграл Дирихле:
Интеграл $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}\,dx$ сходится по признаку Дирихле. Докажем введением параметра, что $I=\frac{\pi}{2}$. Рассмотрим интеграл $\displaystyle{F}(y):=\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx:=\int_0^{+\infty}e^{-xy}\frac{\sin{x}}{x}\,dx$. Обозначим $D:=[0,+\infty)\times[0,+\infty)$, тогда

1. $f(x,y)\in{C}(D)$,
2. $\exists\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)=-\sin{x}e^{-xy}\in{C}(D)$,
3. аналогично предыдущему примеру показывается, что для любого $y_0>0$ интеграл $\int_0^{+\infty}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx$ сходится равномерно по $y\in[y_0,+\infty)$,
4. поточечная сходимость интеграла $\int_0^{+\infty}f(x,y)\,dx$ для любого $y>0$ следует из признака Дирихле.