Объект изучения в рамках данного раздела $F(t):=\int_{E_t}f(x,t)\,dx\colon{T}\to\mathbb{R}$. Где $T$ может быть подмножеством одного из множеств
$\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^n$. Основное внимание будет уделено случаю $T\subset\mathbb{R}$. Для любого $t\in{T}$ $E_t$ -
числовой промежуток. При любом фиксированном $t\in{T}$ функция $f(x)$ интегрируема на на $E_t$. Цель - изучить свойства функции $F(t)$: существование
предела в точке, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.
Теория интеграла зависящего от параметра делится на две части.
Рассмотрим случай, когда числовой промежуток $E_t$ не зависит от выбора параметра $t$, то есть является постоянным.
Утверждение 13.1.1: Пусть $Y\subset\mathbb{R}$, $f(x,y)\colon[a,b]\times{Y}\to\mathbb{R}$, $y\in\mathring{Y}$ такие, что
Доказательство:
Условие 2 утверждения 13.1.1 аналогично определению равномерной сходимости функциональной
последовательности, только предел берется не при $n\to\infty$, а при $Y\ni{y}\to{y}_0$. Поэтому будем обозначать выполнение условия 2 для функций
$f(x,y)$ и $\varphi(x)$ в точке $x_0$ как $f(x,y)\FUniformConv\varphi(x)$, $x\in[a,b]$.
Утверждение 13.1.2: Непрерывность по параметру.
Пусть $Q:=[a,b]\times[c,d]$, $f(x,y)\colon{Q}\to\mathbb{R}$, $f(x,y)\in{C}(Q)$, тогда функция $F(y)\colon[c,d]\to\mathbb{R}$ такая, что для любого
$y\in[c,d]$ $f(y):=\int_a^bf(x,y)\,dx$ непрерывна на $[c,d]$.
Доказательство: Так как $Q$ - компакт в $\mathbb{R}^2$, то функция $f(x,y)$ равномерно непрерывна на $Q$, то есть
$$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta=\delta(\varepsilon)\colon\forall(x',y'),(x'',y'')\in{Q}\left(\sqrt{(x'-x'')^2+(y'-y'')^2}<\delta\Rightarrow
|f(x',y')-f(x'',y'')|<\varepsilon\right)$$
Фиксируем $y_0\in[c,d]$, тогда из последнего утверждения при $x=x'=x''$, $y'=y$, $y''=y_0$ следует, что
$$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta=\delta(\varepsilon)\colon\forall{y}\in[c,b]\forall{x}\in[a,b](|y-y_0|<\delta\Rightarrow|f(x,y)-f(x,y_0)|<\varepsilon)$$
Так как из непрерывности функции по совокупности переменных следует непрерывность по каждой из них, то для любого фиксированного $x\in[a,b]$
функция $f(x,y)\colon[c,d]\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $y_0$, следовательно, для любого $x\in[a,b]$ существует предел
$\displaystyle\lim_{y\to{y}_0}f(x,y)=f(x,y_0)$.Тогда положив $Y:=[c,d]$ можем применить к функции $f(x,y)$ в точке $y_0$
утверждение 13.1.1, следовательно существует предел
$$\displaystyle\lim_{y_0\to{y}}F(y):=\lim_{y\to{y}_0}\left(\int_a^bf(x,y)\,dx\right)=\int_a^b\lim_{t\to{y}_0}f(x,y)\,dx=\int_a^bf(x,y_0)\,dx=F(y_0).$$
То есть функция $F(y)$ непрерывна в точке $y_0\in[c,d]$, и в силу произвольности выбора точки $y_0$, функция $F(y)$ непрерывна на $[c,d]$.
Обсудим обобщения результата утверждения 13.1.2 на случае, когда множество $Q$ не является прямоугольником
До сих пор отрезок, по которому производилось интегрирование, был зафиксирован и не зависел от значения параметра $y$. Рассмотрим более общий случай, пусть функции $\varphi(y),\psi(y)\colon[c,d]\to\mathbb{R}$ такие, что
Утверждение 13.1.3: Правило Лейбница.
Пусть $Q:=[a,b]\times[c,d]$, $f(x,y)\colon{Q}\to\mathbb{R}$ такие, что
Доказательство: Фиксируем $y_0\in[c,d]$ и $\varepsilon>0$. Так как $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\in{C}(Q)$, то функция
$\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)$ равномерно непрерывна на $Q$. Тогда
$$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta=\delta(\varepsilon)\colon\forall{y}\in[c,d]\forall{x}\in[a,b]
\left(|y-y_0|<\delta\Rightarrow\left|\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\right|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\right)
\quad(9)$$
Тогда для любого $h\in\mathbb{R}$ такого, что $0<|h|<\delta$ и $y_0+h\in[c,d]$
$$\frac{F(y_0+h)-F(y_0)}{h}=\frac1{h}\left(\int_a^bf(x,y_0+h)\,dx-\int_a^bf(x,y_0)\,dx\right)=\frac1{h}\int_a^b(f(x,y_0+h)-f(x,y_0)\,dx)$$
По теореме Лагранжа для любого $x\in[a,b]$ существует $\theta=\theta(x)\in(0,1)$ такое, что
$f(x,y_0+h)-f(x,y_0)=h\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0+\theta{h})$, тогда
$$\frac{F(x,y_0+h)-F(y_0)}{h}=\frac1{h}\int_a^bh\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0+\theta{h})\,dx=
\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0+\theta{h})\,dx\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\left|\frac{F(y_0+h)-F(y_0)}{h}-\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\,dx\right|\leq
\left|\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0+\theta{h})\,dx-\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\,dx\right|\leq
\int_a^b\left|\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0+\theta{h})-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\right|\,dx\leq^{(9)}
\int_a^b\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\,dx=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$$
где предпоследнее неравенство следует из оценки (9), так как для любого $x\in[a,b]$ $\theta=\theta(x)\in(0,1)$, то есть
$|(y_0+\theta{h})-y_0|=|\theta{h}|<|h|<\delta$.
Таким образом в силу произвольности выбора значения $\varepsilon$
$$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\colon\left(0<|h|<\delta\Rightarrow
\left|\frac{F(y_0+h)-F(y_0)}{h}-\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\,dx\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow
\exists\frac{dF}{dy}(y_0)=\lim_{h\to0}\frac{F(y_0+h)-F(y_0)}{h}=\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y_0)\,dx.$$
Так как $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\in{C}(Q)$, то по утверждению 13.1.2
$F'(y)=\int_a^b\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)\,dx\in{C}[c,d]$, значит $F(y)\in{C}'[c,d]$.
Слабость утверждения 13.1.3 в том, что промежуток интегрирования не зависит от параметра $y$.
Утверждение 13.1.4: Общая версия правила Лейбница.
Пусть $Q:=[a,b]\times[c,d]$; $\varphi(y),\psi(y)\colon[c,d]\to[a,b]$, $f(x,y)\colon{Q}\to\mathbb{R}$ такие, что
Доказательство: Обозначим $\Pi:=[c,d]\times[a,b]\times[a,b]$, $\Phi(y,u,v):=\int_u^vf(x,y)\,dx\colon\Pi\to\mathbb{R}$.
Пример 13.1.1: Вычислим интеграл $\displaystyle{F}(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\ln{(\alpha^2-\sin^2\varphi)}\,d\varphi$,
для любого $\alpha>1$.
На множестве $Y:=(1,+\infty)$ произведем дифференцирование по параметру $\alpha$.
Так как
$$\int\frac{2\alpha}{\alpha^2-\sin^2{\varphi}}\,d\varphi=\int\frac{2\alpha}{\alpha^2-\sin^2(\arctg{t})}\,d(\arctg{t})=
\int\frac{2\alpha}{\alpha^2-\frac{t^2}{1+t^2}}\frac1{1+t^2}\,dt=\int\frac{2\alpha}{\alpha^2+\alpha^2t^2-t^2}\,dt=
\int\frac{2\alpha}{\alpha^2+(\alpha^2-1)t^2}\,dt=\frac1{\alpha^2-1}\int\frac{2\alpha}{\frac{\alpha^2}{\alpha^2-1}+t^2}\,dt=$$
$$=2\alpha\frac1{\alpha^2-1}\sqrt{\frac{\alpha^2-1}{\alpha^2}}\arctg{\left(t\sqrt{\frac{\alpha^2-1}{\alpha^2}}\right)}=
\frac{2}{\sqrt{\alpha^2-1}}\arctg{\left(t\frac{\sqrt{\alpha^2-1}}{\alpha}\right)},$$
то
$$\frac{dF}{d\alpha}(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\frac{2\alpha}{\alpha^2-\sin^2{\varphi}}\,d\varphi=
\frac{2}{\sqrt{\alpha^2-1}}\left.\arctg{\left(t\frac{\sqrt{\alpha^2-1}}{\alpha}\right)}\right|_0^{\infty}=\frac{\pi}{\sqrt{\alpha^2-1}}$$
Таким образом функция $F(\alpha)$ представима в виде
$$F(\alpha)=\int\frac{dF}{d\alpha}\,d\alpha=\pi\int\frac{d\alpha}{\sqrt{\alpha^2-1}}=\pi\ln{(\alpha+\sqrt{\alpha^2-1})}+C,$$
где $C$ некоторая константа. Для определения значения $C$ исследуем повдение функции $F(\alpha)$ при $\alpha\to\infty$.
$$F(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\ln{(\alpha^2-\sin^2{\varphi})}\,d\varphi=
\int_0^{\pi/2}\left(\ln{\alpha^2}+\ln{\left(1-\frac{\sin^2{\varphi}}{\alpha^2}\right)}\right)\,d\varphi=
\pi\ln{\alpha}+\int_0^{\pi/2}\ln\left(1-\frac{\sin^2{\varphi}}{\alpha^2}\right)\,d\varphi$$
Так как по критерию равномерной сходимости
$\displaystyle{f}_n(\varphi)=\ln{\left(1-\frac{\sin^2{\varphi}}{n^2}\right)}\UniformConv0$, $\varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, то для интеграла
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln{\left(1-\frac{\sin^2\varphi}{\alpha^2}\right)}\,d\varphi$ можно применить утверждение 13.1.1,
то есть
$$\lim_{\alpha\to\infty}\int_0^{\pi/2}\ln{\left(1-\frac{\sin^2{\varphi}}{\alpha^2}\right)}\,d\varphi=
\int_0^{\pi/2}\lim_{\alpha\to\infty}\left(\ln{\left(1-\frac{\sin^2{\varphi}}{\alpha^2}\right)}\right)\,d\varphi=0$$
Таким образом $F(\alpha)=\pi\ln{\alpha}+o(1)$ при $\alpha\to\infty$. С другой стороны,
$\begin{multline}
F(\alpha)=\pi\ln{(\alpha+\sqrt{\alpha^2-1})}+C=\pi\ln{\alpha}+\pi\ln{\left(1+\sqrt{1-\frac1{\alpha^2}}\right)}+C=
\pi\ln{\alpha}+\pi\ln2+C+o(1),\alpha\to\infty\Rightarrow\\
\Rightarrow\lim_{\alpha\to\infty}{(F(\alpha)-\pi\ln{\alpha}-\pi\ln2-C)}=
\lim_{\alpha\to\infty}{(F(\alpha)-\pi\ln{\alpha})}-\pi\ln2-C=-\pi\ln2-C=0\Rightarrow{C}=-\pi\ln2.
\end{multline}$
Таким образом для любого $\alpha>0$
$\displaystyle{F}(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\ln{(\alpha^2-\sin^2\varphi)}\,d\varphi=\pi\ln\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^2-1}}{2}$.
В формулировках утверждений 13.1.3, 13.1.4 можно отказаться от того,
чтобы множество значений параметра $y$ было отрезком.
Пусть множество $Y$ открытое в $\mathbb{R}$, $f(x,y)\colon{Y}\to\mathbb{R}$ такие, что
Задача 13.1.1: Пусть $n\in\mathbb{N}$, $\Delta$ - числовой промежуток из $\overline{\mathbb{R}}$, $f(x)\in{C}(\Delta)$, $$\mathcal{F}_n(x)=\frac1{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{n-1}f(t)\,dt.$$ Доказать, что для любых $n\in\mathbb{N}$, $x\in\Delta$ существует производная $\mathcal{F}_n^{(n)}=f(x)$.
Решение:
Докажем индукцией по $n$.
При $n=1$ $\mathcal{F}_1(x)=\int_0^xf(t)\,dt$, следовательно, $\mathcal{F}'_1(x)=f(x)$.
Пусть утверждение верно при $n=k$, то есть $\mathcal{F}_k^{(k)}(x)=f(x)$, тогда
$$\mathcal{F}_{k+1}(x)=\frac1{k!}\int_0^x(x-t)^kf(t)\,dt\Rightarrow\mathcal{F}'_{k+1}(x)=\frac1{k!}\int_0^x\frac{d}{dx}((x-t)^kf(t))\,dt=
\frac1{k!}\int_0^xk(x-t)^{k-1}f(t)\,dt=\mathcal{F}_k(x)\Rightarrow\mathcal{F}_{k+1}^{(k+1)}(x)=(\mathcal{F}'_{k+1})^{(k)}=\mathcal{F}_k^{(k)}=f(x).$$
previous contents next