14.2.3 Внешняя мера индуцированная $\sigma$-аддитивной мерой заданной на полукольце с единицей.

Определение 14.2.4: Пусть $H$ полукольцо с единицей $E$, $m$ $\sigma$-аддитивная мера на $H$. Тогда функция $\mu^*(A)\colon\mathcal{P}(E)\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $A\subset{E}$ $\mu^*(A):=\inf_{\{B_n\}}\sum_{n=1}^{\infty}m(B_n)$ называется внешней мерой индуцированной $\sigma$-аддитивной мерой $m$ заданной на полукольце $H$ с единицей $E$.
Здесь инфинум берется по всем не более чем счетным покрытиям $\{B_n\}$ множества $A$ таким, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $B_n\in{H}$.

Определение корректно, так как для любого $A\subset{E}$ существует по крайней мере одно покрытие множествами из $H$ - это покрытие состоящее из одного множества $E\in{H}$. Таким образом для любого $A\subset{E}$ (или что тоже самое $A\in\mathcal{P}(E)$) $0\leq\mu^*(A)\leq{m}(E)$.

Утверждение 14.2.1: Свойства внешней меры.
Пусть $H$ полукольцо с единицей $E$, $m$ $\sigma$-аддитивная мера на $H$, $\mu^*$ внешняя мера индуцированная $m$, тогда

1. $\mu^*(\varnothing)=0$,
2. $\forall{A}\subset{E}(\mu^*(A)\geq0)$,
3. $\forall{A}\subset{E}\left(\left(\forall{n}\in\mathbb{N}(A_n\subset{E})\wedge{A}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)\Rightarrow \mu^*(A)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)\right)$,
4. если $\mu$ продолжение меры $m$ с $H$ на $R(H)$, то для любого $A\in{R}(H)$ $\mu^*(A)=\mu(A)$;
5. $A\subset{B}\subset{E}\Rightarrow\mu^*(A)\leq\mu^*(B)$.

Доказательство:

1. Следует из пункта 4 так как $\varnothing\in{H}$ и $\mu(\varnothing)=m(\varnothing)=0$.
2. Следует из неотрицательности меры $m$.
3. Пусть $A\in\mathcal{P}(E)$, тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ $A_n\in\mathcal{P}(E)$ и $A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по определению нижней грани для любого $n\in\mathbb{N}$ существует последовательность $\{C_{n,k}\}$ из $H$ такая, что $A_n\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}C_{n,k}$ и $$\sum_{k=1}^{\infty}m(C_{n,k})<\mu^*(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}.\qquad(*)$$ Тогда $$A\subset\bigcup_{m=1}^{\infty}A_n\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_{n,k}\right)=\bigcup_{n=1,k=1}^{\infty}C_{n,k}\Rightarrow \mu^*(A)\leq\sum_{k=1,n=1}^{\infty}m(C_{n,k})=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}m(C_{n,k}),$$ где последнее равенство справедливо по теории повторных рядов (см. Фихтенгольц т. 2, стр. 337) в силу неотрицательности меры $m$. Тогда из оценки (*) следует $$\mu^*(A)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mu^*(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)+\varepsilon\right).$$ Поскольку последнее равенство справедливо для любого $\varepsilon>0$, то переходя к пределу при $\varepsilon\to0+$ получим доказываемое равенство $\mu^*(A)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n)$.
4. Пусть $A\in{R}(H)$, тогда существует $n\in\mathbb{N}$, $B_1,\ldots,B_n\in{H}$ такие, что $A=\bigsqcup_{k=1}^nB_n$, тогда по определению внешней меры $\mu^*(A)\leq\sum_{k=1}^nm(B_k)=\mu(A).$
   С другой стороны, так как мера $m$ $\sigma$-аддитивна на $H$, то по теореме 14.2.2 мера $\mu$ $\sigma$-аддитивна на $R(H)$, следовательно, для любого не более чем счетного покрытия $\{C_n\}$ множества $A$ элементами $H$ верно $$A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Rightarrow\mu(A)\leq\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(C_n)=\sum_{n=1}^{\infty}m(C_n),$$ тогда $$\mu(A)\leq\inf_{\{C_n\}}\sum_{n=1}^{\infty}m(C_n)=\mu^*(A)\Rightarrow\mu(A)=\mu^*(A).$$
5. Следует из пункта 3.

Таким образом функция $\mu^*$ является продолжением меры $\mu$ с класса $R(H)$ на класс $\mathcal{P}(E)$ ($R(H)\subset\mathcal{P}(E)$). Однако, сама функция $\mu^*$ не обязательно является мерой, как видно по утверждению 14.2.1 оно не содержит свойства аддитивности.

Пример 14.2.4: Пусть $E$ произвольное множество такое, что $cardE\geq2$, класс $H=\{\varnothing, E\}$ является полукольцом с единицей. Фиксируем $\alpha>0$, тогда функция $m(A)\colon{H}\to\mathbb{R}\colon\begin{cases}0,A=\varnothing\\\alpha,A=E\end{cases}$ является мерой на $H$, а функция $\mu^*(A)\colon\mathcal{P}(E)\to\mathbb{R}\colon\mu^*(A)=\begin{cases}0,A=\varnothing\\\alpha,A\neq\varnothing\end{cases}$ является внешней мерой индуцированной мерой $m$. Действительно, для любого не пустого $A\in\mathcal{P}(E)$ существует только два покрытия элементами $H$, а именно $\{E\}$ и $\{\varnothing, E\}$, следовательно, $\mu^*(A)=\inf_{\{B_n\}}\sum_{n=1}^{\infty}m(B_n)=m(E)=\alpha$.
Поскольку $cardE\geq2$, то существуют множества $A_1,A_2\in\mathcal{P}(E)$ такие, что $A_1\neq\varnothing$, $A_2\neq\varnothing$ и $A_1\cap{A}_2=\varnothing$, тогда $\mu^*(A_1)+\mu^*(A_2)=2\alpha\neq\mu^*(A_1\sqcup{A}_2)=\alpha$. Таким образом свойство аддитивности для функции $\mu^*$ не выполняется, то есть она не является мерой на $\mathcal{P}(E)$.

Таким образом внешняя мера $\mu^*$ не обязательно является мерой на $\mathcal{P}(E)$, однако, множество $\mathcal{P}(E)$ можно сузить до множества $M$ такого, что $R(H)\subset{M}\subset\mathcal{P}(E)$ и функция $\mu^*$ является мерой на $M$. Так им образом будет получено продолжение меры $m$ заданной на полукольце $H$ на класс более широкий чем $R(H)$.

14.2.4 Понятие измеримости множества по Лебегу и Каратеодори. Класс $L(m,H)$.

Везде далее в этом пункте используются следующие обозначения:
$H$ - полукольцо с единицей $E$,
$m$ - $\sigma$-аддитивная мера на $H$,
$\mu$ - продолжение меры $m$ с $H$ на $R(H)$,
$\mu^*$ - внешняя мера, индуцированная мерой $m$.

Определение 14.2.5: Говорят, что множество $A\in\mathcal{P}(E)$ измеримо по Лебегу относительно внешней меры $\mu^*$, если $$\forall\varepsilon>0\,\exists{B}_{\varepsilon}\in{R}(H)\colon\mu^*(A\Delta{B}_{\varepsilon})<\varepsilon.$$

Определение 14.2.6: Говорят, что множество $A\in\mathcal{P}(E)$ измеримо по Каратеодори относительно внешней меры $\mu^*$, если $$\forall{T}\in\mathcal{P}(E)(\mu^*(T)=\mu^*(T\cap{A})+\mu^*(T\backslash{A})).$$

Обозначим:
$L_1(m,H)$ - класс множеств измеримых по Лебегу относительно внешней меры индуцированной мерой $m$ заданной на полукольце $H$.
$L_2(m,H)$ - класс множеств измеримых по Каратеодори относительно внешней меры индуцированной мерой $m$ заданной на полукольце $H$.

Определение 14.2.7: Мера $\mu$ заданная на классе множеств $M$ называется полной, если $$\forall{B}\in{M}(\mu(B)=0\Rightarrow\forall{A}\subset{B}(A\in{M}\wedge\mu(A)=0)).$$

Теорема 14.2.3: Теорема Лебега - Каратеодори.

1. $L_1(m,H)=L_2(m,H)$,
2. класс множеств $L(m,H):=L_1(m,H)=L_2(m,H)$ является $\sigma$-алгеброй множеств,
3. функция $\mu^*(A)\colon{L}(m,H)\to\mathbb{R}$ является $\sigma$-аддитивной полной мерой,
4. мера $\mu^*$ является продолжением меры $\mu$ с $R(H)$ на $L(m,H)$.

Доказательство: Без доказательства.

Пример 14.2.5: Как было показано ранее класс $H=\{[\alpha,\beta)\mid\alpha,\beta\in\mathbb{R}\colon\alpha<\beta\}$ полукольцо. Единицей полукольца $H$ является множество $\mathbb{R}\notin{H}$. То есть $H$ - полукольцо без единицы, следовательно, для полукольца $H$ нельзя применять теорему Каратеодори.

Ослабим постановку задачи, исключив требование существования в кольце $H$ единицы и перенесем понятия меры на множества бесконечной длины.

Определение 14.2.8: Пусть $M$ класс множеств, тогда функция $\mu(A)\colon{M}\to\overline{\mathbb{R}}$ называется обобщенной мерой, если

1. $\mu$ - мера,
2. $\exists{A}\in{M}(\mu(A)<{+\infty})$

Для того чтобы в случае полукольца без единицы $H$ дать гарантию существования хотя бы одного не более чем счетного покрытия любого множества из $\mathcal{P}(E)$ элементами из $H$ введем понятие $\sigma$-конечной меры.

Определение 14.2.9: Мера $m$ на полукольце $H$ является $\sigma$-конечной, если существует последовательность множеств $\{B_n\}$ такая, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(B_n\in{H})$,
2. $\forall{m},n\in\mathbb{N}(m\neq{n}\Rightarrow{B}_m\cap{B}_n=\varnothing)$,
3. $\bigsqcup_{n=1}^{\infty}B_n=E$.

Определение 14.2.10: Пусть $M$ класс множеств, $F(A)\colon{M}\to\overline{\mathbb{R}}$, $M_{\Phi}:=\{A\in{M}\mid|F(A)|<{+\infty}\}$, тогда говорят, что функция $F$ $\sigma$-конечна на классе $M$, если для любого $A\in{M}$ сущесвует последовательность множеств $\{A_n\}$ из $M_{\Phi}$ такая, что $A=\bigsqcup_{n=1}^{\infty}A_n$.

Определение 14.2.11: Пусть $m$ $\sigma$-аддитивная, $\sigma$-конечная мера на полукольце без единицы $H$. Тогда функция множеств $\mu^*(A)\colon\mathcal{P})(E)\to\overline{\mathbb{R}}$ такая, что для любого $A\subset{E}$ $\mu^*(A)=\inf_{\{B_n\}}\sum_{n=1}^{\infty}m(B_n)$ называется внешней мерой индуцированной мерой $m$.
Здесь инфинум как и в определении 14.2.4 берется по всем не более чем счетным покрытиям множества $A$ элементами полукольца $H$.

Определение корректно, так как в силу $\sigma$-конечности $m$ как минимум одно не более чем счетное покрытие произвольного множества $A$ элементами $H$ существует.
Возможно, что для некоторого $A\in\mathcal{P}(E)\backslash{R}(H)$ для любого покрытия $\{B_n\}$ $\sum_{n=1}^{\infty}m(B_n)=+\infty$, тогда $\mu^*(A)=+\infty$. Для таких множеств определение измеримости по Лебегу не работает так как $$\forall{B}\in{R}(H)(\mu^*(B)=\mu(B)<{+\infty})\Rightarrow\forall\varepsilon>0\,\forall{B}\in{R}(H)(\mu^*(B\Delta{A})=+\infty>\varepsilon),$$ но работает определение измеримости по Каратеодори.

Теорема 14.2.4: Обобщение теоремы Лебега - Каратеодори.
Пусть $m$ $\sigma$-аддитивная, $\sigma$-конечная мера на полукольце без единицы $H$, $\overline{L}(m,H)$ - класс множеств измеримых по Каратеодори, $\overline{L}_{\Phi}(m,H):=\{A\in\overline{L}(m,H)\mid\mu^*(A)<{+\infty}\}$, тогда

1. класс $\overline{L}(m,H)$ - $\sigma$-алгебра, при этом единица $\overline{L}(m,H)$ совпадает с единицей $H$;
2. $\mu^*$-обобщенная, $\sigma$-аддитивная, $\sigma$-конечная, полная мера на $\overline{L}(m,H)$;
3. мера $\mu^*(A)\colon\overline{L}(m,H)\to\overline{\mathbb{R}}$ является продолжением меры $m$ с $H$ на $\overline{L}(m,H)$;
4. класс $\overline{L}_{\Phi}(m,H)$ не является кольцом.

Доказательство: Без доказательства.

previous contents next