Определение 14.2.1: Пусть $M$ не пустой класс множеств, тогда числовая функция множеств $\mu\colon{M}\to\mathbb{R}$ называется мерой на классе $M$, если
| 1. | $\forall{A}\in{M}(\mu(A)\geq0)$ | (аксиома не отрицательности), |
| 2. | функция $\mu$ аддитивна на $M$ | (аксиома аддитивности), |
| 3. | $\forall{A},B\in{M}(A\subset{B}\Rightarrow\mu(A)\leq\mu(B))$ | (аксиома монотонности). |
Если класс $M$ является полукольцом, то аксиома 3 следует из аксиом 1, 2. Действительно
$$\forall{A},B\in{M}\left(A\subset{B}\Rightarrow\exists{s}\in\mathbb{N}\,\exists{A}_1,\ldots,A_s\in{M}\colon{B}=(B\backslash{A})\sqcup{A}=
\left(\bigsqcup_{k=1}^sA_k\right)\sqcup{A}\right).$$
Тогда по неотрицательности и аддитивности функции $\mu(A)$ $\mu(A)=\mu(B)+\sum_{k=1}^s\mu(A_k)\geq\mu(B)$.
Пример 14.2.1:
Теорема 14.2.1: Основные свойства меры на кольце множеств.
Если $K$ - кольцо множеств, $\mu$ - мера на $K$, тогда
Доказательство:
Определение 14.2.2: Вероятностной мерой будем называть всякую $\sigma$-аддитивную меру $\mu$ заданную на
$\sigma$-алгебре множеств $M$ такую, что $\mu(E):=\mu(\bigcup_{A\in{M}}A)=1$.
При этом множество $E$ называют пространством элементарных событий, любое множество $A\in{M}$ называют событием, а значение $\mu(A)$ вероятностью события $A$.
Определение 14.2.3: Пусть мера $\mu_1$ задана на классе множеств $M_1$, мера $\mu_2$ задана на классе множеств $M_2$, тогда будем говорить, что мера $\mu_2$ является продолжением меры $\mu_1$, если
При изучении возможности продолжения меры $\mu$ с класса множеств $M_1$ на класс множеств $M_2$ обычно рассматривают два вопроса
Если классы $M_1$ и $M_2$ произвольны, то ответ на оба вопроса может быть отрицательным. В данном разделе в основном рассматривается вопрос продолжения
меры с полукольца $H$ на минимальное над $H$ кольцо $R(H)$. В этом случае продолжение меры существует и оно единственно. При этом если мера заданная на
полукольце $\sigma$-аддитивна, то и ее продолжение тоже будет $\sigma$-аддитивно.
Пример 14.2.2: Пусть $M_1=\{A,B,C\}$ класс множеств такой, что $A\subset{C}$, $B\subset{C}$, $A\cap{B}=\varnothing$. Положим
$\mu_1\colon{M}_1\to\mathbb{R}:\mu_1(A)=\mu_1(B)=\mu_1(C)=1$. Тогда функция $\mu_1$ является мерой на $M_1$.
Минимальное кольцо множеств над $M_1$ имеет следующий вид $M_2=R(M_1)=\{A,B,C,\varnothing,A\cup{B},C\backslash{A},C\backslash{B},C\backslash(A\cup{B})\}$.
Предположим, что функция $\mu_2\colon{M}_2\to\mathbb{R}$ продолжение меры $\mu_1$ с класса $M_1$ на класс $M_2$, тогда в силу аддитивности меры
$\mu_2(A\cup{B})=\mu_2(A\sqcup{B})=\mu_2(A)+\mu_2(B)=\mu_1(A)+\mu_1(B)=1+1=2$. Но с другой стороны по монотонности меры
$\mu_2(A\cup{B})\leq\mu_2(C)=\mu_1(C)=1.$ Получено противоречие, то есть мера $\mu_1$ определенная на классе $M_1$ не может быть ни каким образом продолжена
на класс $M_2=R(M_1)$.
Пример 14.2.3: Пусть $M_1=\{A,B\}$ класс множеств такой, что $A\cap{B}\neq\varnothing$, $A\backslash{B}\neq\varnothing$, $B\backslash{A}\neq\varnothing$. Положим $M_2:=R(M_1)=\{\varnothing,A,B,A\cup{B},A\cap{B},A\backslash{B},B\backslash{A},A\Delta{B}\}$, $\mu\colon{M}_1\to\mathbb{R}\colon\mu(A)=\mu(B)=1$. Тогда функция $\mu$ является мерой на $M_1$ и для любого $\alpha\in[0,1]$ функция $$\mu_{\alpha}(C)= \begin{cases} 0&,C=\varnothing\\ 1&,C\in{M}_1\\ \alpha&,C=A\cap{B}\\ 2-\alpha&,C=A\cup{B}\\ 1-\alpha&,C\in\{A\backslash{B},B\backslash{A}\}\\ 2-2\alpha&,C=A\Delta{B}\\ \end{cases}$$ является мерой на $M_2$. Действительно
| $\sqcup$ | $\varnothing$ | $A$ | $B$ | $A\cup{B}$ | $A\cap{B}$ | $A\backslash{B}$ | $B\backslash{A}$ | $A\Delta{B}$ |
| $\varnothing$ | $0+0=0$ | $1+0=1$ | $1+0=1$ | $2-\alpha+0=2-\alpha$ | $\alpha+0=\alpha$ | $1-\alpha+0=1-\alpha$ | $1-\alpha+0=1-\alpha$ | $2-2\alpha+0=2-2\alpha$ |
| $A$ | $0+1=1$ | $1-\alpha+1=2-\alpha$ | ||||||
| $B$ | $0+1=1$ | $1-\alpha+1=2-\alpha$ | ||||||
| $A\cup{B}$ | $0+2-\alpha=2-\alpha$ | |||||||
| $A\cap{B}$ | $0+\alpha=\alpha$ | $1-\alpha+\alpha=1$ | $1-\alpha+\alpha=1$ | $2-2\alpha+\alpha=2-\alpha$ | ||||
| $A\backslash{B}$ | $0+1-\alpha=1-\alpha$ | $1+1-\alpha=2-\alpha$ | $\alpha+1-\alpha=1$ | $1-\alpha+1-\alpha=2-2\alpha$ | ||||
| $B\backslash{A}$ | $0+1-\alpha=1-\alpha$ | $1+1-\alpha=2-\alpha$ | $\alpha+1-\alpha=1$ | $1-\alpha+1-\alpha=2-2\alpha$ | ||||
| $A\Delta{B}$ | $0+2-2\alpha=2-2\alpha$ | $\alpha+2-2\alpha=2-\alpha$ |
Теорема 14.2.2: Если $m$ - мера определенная на полукольце $H$,
то существует единственная мера $\mu$, которая является продолжением меры $m$ на минимальное над $H$ кольцо $R(H)$.
При этом, если мера $m$ $\sigma$-аддитивна, то мера $\mu$ также $\sigma$-аддитивна.
Доказательство: Так как
$R(H)=\left\{\bigsqcup_{k=1}^nA_k\mid{n}\in\mathbb{N}\,\forall{i}\in\overline{1,n}(A_i\in{H})\right\}$, то
$$\forall{X}\in{R}(H)\,\exists{n}\in\mathbb{N}\,\exists{A}_1,\ldots,A_n\in{H}\colon{X}=\bigsqcup_{k=1}^nA_k.$$
Следовательно, можем определить функцию $\mu(X)\colon{R}(H)\to\mathbb{R}\colon\mu(X)=\sum_{k=1}^nm(A_k)$. Покажем, что значение суммы $\sum_{k=1}^nm(A_k)$
не зависит от выбора разбиения $A_1,\ldots,A_n$.
Пусть $n,s\in\mathbb{N}$, $A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_s\in{H}$, $X=\bigsqcup_{k=1}^nA_k=\bigsqcup_{i=1}^sB_i$. Обозначим $C_{k,i}=A_k\cap{B}_i$, тогда
так как $H$ полукольцо, то для любых $k\in\overline{1,n}$, $i\in\overline{1,s}$ $C_{k,i}\in{H}$, причем
$$(\forall{p},q\in\overline{1,n}(p\neq{q})\Rightarrow{A}_p\cap{A}_q=\varnothing\wedge
\forall{i},j\in\overline{1,s}(i\neq{j}\Rightarrow{B}_i\cap{B}_j=\varnothing))\Rightarrow
\forall(p,i),(q,j)\in\overline{1,n}\times\overline{1,s}((p,i)\neq(q,j)\Rightarrow{C}_{p,i}\cap{C}_{q,j}=\varnothing).$$
Так как
$$\forall{k}\in\overline{1,n}\left(A_k=A_k\cap{X}=A_k\cap\bigsqcup_{i=1}^sB_i=\bigsqcup_{i=1}^s(A_k\cap{B}_i)=\bigsqcup_{i=1}^sC_{k,i}\right),$$
$$\forall{i}\in\overline{1,s}\left(B_i=B_i\cap{X}=B_i\cap\bigsqcup_{k=1}^nA_k=\bigsqcup_{k=1}^n(B_i\cap{A}_k)=\bigsqcup_{k=1}^nC_{k,i}\right),$$
то
$$\sum_{k=1}^nm(A_k)=\sum_{k=1}^nm\left(\bigsqcup_{i=1}^sC_{k,i}\right)=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^sC_{k,i}=\sum_{i=1}^s\sum_{k=1}^nC_{k,i}=
\sum_{i=1}^sm\left(\bigsqcup_{k=1}^nC_{k,i}\right)=\sum_{i=1}^sm(B_i).$$
Функция $\mu(X)$, очевидно, не отрицательна.
Покажем аддитивность функции $\mu(X)$.
Пусть $n\in\mathbb{N}$ $A_1,\ldots,A_n\in{R}(H)$, $A:=\bigsqcup_{k=1}^nA_k\in{R}(H)$, тогда
$\begin{multline}
\forall{k}\in\overline{1,n}
\left(\exists{N}(k)\in\mathbb{N}\,\exists{C}_{k,1},\ldots,C_{k,N(k)}\in{H}\colon{A}_k=\bigsqcup_{i=1}^{N(k)}C_{k,i}\right)\Rightarrow\\
\Rightarrow\left(\forall{k}\in\overline{1,n}\left(\mu(A_k)=\sum_{i=1}^{N(k)}m(C_{k,i})\right)\wedge
{A}=\bigsqcup_{k=1}^nA_k=\bigsqcup_{k=1}^n\left(\bigsqcup_{i=1}^{N(k)}C_{k,i}\right)\right)\Rightarrow\\
\Rightarrow\mu(A)=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{N(k)}m(C_{k,i})=\sum_{k=1}^n\mu(A_k).
\end{multline}$
Так как $R(H)$ кольцо, то монотонность функции $\mu(X)$ следует из неотрицательности и аддитивности, то есть функция $\mu(X)$ - мера на $R(H)$. Причем для
любого $X\in{H}$ $\mu(X)=m(X)$, то есть $\mu$ есть продолжение меры $m$ с класса $H$ на класс $R(H)$. Докажем, что такое продолжение единственно.
Пусть $\mu'$ продолжение меры $m$ на $R(H)$, тогда
$$\forall{X}\in{R}(H)\left(\exists{n}\in\mathbb{N}\,\exists{C}_1,\ldots,C_n\in{H}\colon\bigsqcup_{k=1}^nC_k=X\right)\Rightarrow
\forall{X}\in{R}(H)\left(\mu'(X)=\sum_{k=1}^n\mu'(C_k)\wedge\forall{k}\in\overline{1,n}(\mu'(C_k)=m(C_k)=\mu(C_k))\right)\Rightarrow
\mu'(X)=\sum_{k=1}^n\mu(C_k)=\mu(X).$$
Пусть теперь мера $m$ $\sigma$-аддитивна на $H$, покажем, что мера $\mu$ $\sigma$-аддитивна на $R(H)$.
Пусть для любого $k\in\mathbb{N}$ $A_k\in{R}(H)$, $A:=\bigsqcup_{k=1}^{\infty}A_k\in{R}(H)$, тогда существует $n\in\mathbb{N}$ и $B_i,\ldots,B_n\in{H}$
такие, что $A=\bigsqcup_{i=1}^nB_i$ и
$$\forall{k}\in\overline{1,k}\left(A_k\in{R}(H)\Rightarrow
\exists{N}(k)\,\exists{B}_{k,1},\ldots,B_{k,N(k)}\in{H}\colon{A}_k=\bigsqcup_{s=1}^{N(k)}B_{k,s}\right)$$
Для любых $i\in\overline{1,n}$, $k\in\mathbb{N}$, $s\in\overline{1,N(k)}$ обозначим $C_{i,k,s}:=B_i\cup{B}_{k,s}\in{H}$, тогда
$A=\bigsqcup_{k=1}^{\infty}\left(\bigsqcup_{s=1}^{N(k)}B_{k,s}\right)$ и
$$\forall{i}\in\overline{1,n}\left(B_i=B_i\cap{A}=\bigsqcup_{k=1}^{\infty}\left(\bigsqcup_{s=1}^{N(k)}(B_i\cap{B}_{k,s})\right)=
\bigsqcup_{k=1}^{\infty}\left(\bigsqcup_{s=1}^{N(k)}C_{i,k,s}\right)\right)$$
$$\forall{k}\in\mathbb{N}\left(A_k=\bigsqcup_{i=1}^n\left(\bigsqcup_{s=1}^{N(k)}C_{i,k,s}\right)\right)\Rightarrow
\forall{k}\in\mathbb{N}\left(\mu(A_k)=\sum_{i=1}^n\sum_{s=1}^{N(k)}\mu(C_{i,k,s})=\sum_{i=1}^n\sum_{s=1}^{N(k)}m(C_{i,k,s})\right)\quad(9)$$
По $\sigma$-аддитивности меры $m$ имеем
$$\forall{i}\in\overline{1,n}\left(m(B_i)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{s=1}^{N(k)}m(C_{i,k,s})\right),$$
тогда
$$\mu(A)=\sum_{i=1}^n\mu(B_i)=\sum_{i=1}^nm(B_i)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{s=1}^{N(k)}m(C_{i,k,s}).$$
Последнее выражение есть знакопостоянный сходящийся ряд, так что по теореме 7.3.1 можно поменять
порядок суммирования членов ряда и полученный при этом ряд будет сходится к той же сумме. Поменяв таким образом порядок суммирования по переменным
$i$ и $k$, по равенству (9) получим
$$\mu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{s=1}^{N(k)}m(C_{i,k,s})=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$
Таким образом все свойства меры заданной на кольце доказанные в теореме 14.2.1 справедливы и для меры заданной на
полукольце (так как мера заданная на полукольце является "ограничением" своего продолжения заданного на минимальном кольце).
previous contents next