2 курс. 2 семестр.

14. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

14.1 Классы множеств и функции множеств.

14.1.1 Кольца и алгебры множеств.

Введем обозначение. Пусть $S=\{A_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ класс множеств такой, что $$\forall\alpha_1,\alpha_2\in{I}(\alpha_1\neq\alpha_2\Rightarrow{A}_{\alpha_1}\cap{A}_{\alpha_2}\neq\varnothing).$$ тогда говорят, что класс $S$ дизъюнктивный.
Объединение множеств, входящих в дизъюнктивный класс, обозначают как $\bigsqcup_{\alpha\in{I}}A_{\alpha}$. Равенство $A=\bigsqcup_{\alpha\in{A}}A_{\alpha}$ задает разложение множества $A$ в дизъюнктивное объединение (объединение не пересекающихся множеств).

Определение 14.1.1: Пусть $K$ - не пустой класс множеств, тогда будем говорить, что $K$ - кольцо множеств, если

1. $\forall{A},B\in{K}(A\cup{B}\in{K})$,
2. $\forall{A},B\in{K}(A\backslash{B}\in{K})$.

Таким образом кольцо множеств - это класс множеств замкнутый относительно объединения и разности.

Определение 14.1.2: Пусть $M:=\{A_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ непустой класс множеств. Тогда множество $E:=\bigcup_{\alpha\in{I}}A_{\alpha}=\bigcup_{A\in{M}}A$ называется единицей класса $M$.

Вообще говоря класс множеств может не содержать свою единицу. Даже замкнутость относительно объединения не гарантирует этого если класс бесконечен.

Определение 14.1.3: Класс множеств $M$ называют алгеброй множеств, если

1. $M$ - кольцо множеств,
2. $M$ содержит свою единицу.

Таким образом алгебра множеств - это кольцо множеств с единицей.

Пример 14.1.1:

1. Класс множеств $K:=\{\varnothing\}$ состоящий из одного пустого множества является алгеброй множеств, так как он, очевидно замкнут относительно объединения и разности и содержит свою единицу $E:=\bigcup_{A\in{K}}A=\varnothing$.
2. Для любого множества $M$ класс множеств $K:=\{M,\varnothing\}$ является алгеброй множеств, так как $M\backslash\varnothing=M\cup\varnothing=M\in{K}$, $\varnothing\backslash{M}=\varnothing\in{K}$ и $E:=\bigcup_{A\in{K}}A=M\cup\varnothing=M\in{K}$.
3. Класс множеств $K:=\mathcal{P}(M)$ состоящий из всех подмножеств некоторого множества $M$ является алгеброй множеств, так как он, очевидно, замкнут относительно пересечения и разности и $E:=\bigcup_{A\in\mathcal{P}(M)}A=M\in\mathcal{P}(M)$.
4. Класс множеств $K$ состоящий из всех конечных подмножеств некоторого множества $M$ является алгеброй множеств если множество $M$ конечно, и не является алгеброй множеств если $M$ бесконечно. В первом случае $K=\mathcal{P}(M)$ - алгебра множеств, во втором случае единица класса $K$ $E=\bigcup_{A\in{M}}A\supset\bigcup_{a\in{M}}\{a\}=M$ является бесконечным множество, следовательно, $E\notin{K}$.
5. Класс множеств $K$ состоящий из всех не более чем счетных подмножеств некоторого множества $M$ является алгеброй, если множество $M$ не более чем счетно, и не является алгеброй, если $M$ не счетно. Показывается аналогично предыдущему пункту.
6. Класс всех ограниченных подмножеств $\mathbb{R}^n$ является кольцом множеств, но алгеброй множеств не является, так как $E=\mathbb{R}^n\notin{K}$.

Утверждение 14.1.1: Свойства кольца множеств.
Если $K$ кольцо множеств, то

1. $\varnothing\in{K}$,
2. $\forall{A},B\in{K}(A\cap{B}\in{K}\wedge{A}\Delta{B}\in{K})$,
3. $\forall{n}\in\mathbb{N}(\forall{i}\in\overline{1,n}(A_i\in{K})\Rightarrow\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\in{K}\wedge\bigcap_{i=1}^nA_i\in{K}\right))$.

Доказательство:

1. $K\neq\varnothing\Rightarrow\exists{A}\in{K}\Rightarrow\varnothing=A\backslash{A}\in{K}$.
2. $A,B\in{K}\Rightarrow(A\cap{B}=A\backslash(A\backslash{B})\in{K}\wedge{A}\Delta{B}=(A\backslash{B})\sqcup(B\backslash{A})\in{K})$.
3. Докажем индукцией по $n$. Пусть утверждение верно при $n=k$, то есть $$\forall{i}\in\overline{1,k}(A_i\in{K})\Rightarrow\left(\bigcup_{i=1}^kA_i\in{K}\wedge\bigcap_{i=1}^kA_i\in{K}\right).$$ Тогда по определению кольца множеств и пункту 2 утверждения $$\forall{A}_{k+1}\in{K}\left(A_{k+1}\cup\bigcup_{i=1}^kA_i\in{K}\wedge{A}_{k+1}\cap\bigcap_{i=1}^kA_i\in{K}\right)\Rightarrow \left(\forall{i}\in\overline{1,k+1}(A_i\in{K})\Rightarrow\left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\in{K}\wedge\bigcap_{i=1}^{k+1}A_i\in{K}\right)\right).$$

Таким образом кольцо множеств замкнуто относительно операций $\cup$, $\cap$, $\backslash$. При определении кольца множеств за основу взята замкнутость относительно операций $\cup$, $\backslash$, потому что из замкнутости относительно операций $\cup$, $\cap$ не следует замкнутость относительно операции $\backslash$ и из замкнутости относительно операций $\cap$, $\backslash$ не следует замкнутость относительно операции $\cup$.

Пример 14.1.2:

1. Класс множеств $K:=\{\varnothing,[0,1],[2,3]\}$ замкнут относительно операций $\cap$, $\backslash$, но не замкнут относительно операции $\cup$, так как $[0,1]\cup[2,3]\notin{K}$.
2. Класс множеств $K:=\{\varnothing, [0,1], [0,2]\}$ замкнут относительно операций $\cup$, $\cap$, но не замкнут относительно операций $\backslash$, так как $[0,2]\backslash[0,1]=(1,2]\notin{K}$.

Среди простейших свойств кольца множеств не случайно отсутствуют такие свойства как замкнутость относительно счетных объединений и пересечений. Далее будут даны усиления понятия кольца.

Утверждение 14.1.2: Минимальное кольцо.

1. Пусть для любого $\alpha\in{I}$ $K_{\alpha}$ - кольцо множеств, тогда $\bigcap_{\alpha\in{I}}K_{\alpha}$ - кольцо множеств.
2. Для любого класса множеств $M$ существует кольцо множеств $K$ которое
   1. содержит все множества класса $M$,
   2. содержится в любом другом кольце обладающим свойством i.

Доказательство:

1. $$A,B\in\bigcap_{\alpha\in{I}}K_{\alpha}\Rightarrow\forall\alpha\in{I}(A\in{K}_{\alpha}\wedge{B}\in{K}_{\alpha})\Rightarrow \forall\alpha\in{I}(A\cup{B}\in{K}_{\alpha}\wedge{A}\backslash{B}\in{K}_{\alpha})\Rightarrow \left(A\cup{B}\in\bigcap_{\alpha\in{I}}K_{\alpha}\wedge{A}\backslash{B}\in\bigcap_{\alpha\in{I}}A_{\alpha}\right).$$
2. Множество всех подмножеств единицы $E:=\bigcup_{A\in{M}}A$ класса $M$ является кольцом множеств. При этом $M\subset\mathcal{P}(E)$. Таким образом совокупность колец множеств содержащих в себе класс множеств $M$ не пуста. Пересечение всех колец принадлежащих этой совокупности по пункту 1 будет кольцом и будет содержать в себе $M$. Таким образом это пересечение и есть искомое кольцо $K$.

Утверждение 14.1.2 вводит в рассмотрение минимальное по включению кольцо множеств содержащее заданный класс множеств $M$. Это кольцо обозначают $R(M)$.

Определение 14.1.4: Полукольцо.
Не пустой класс множеств $H$ называют полукольцом множеств, если для любых $A,B\in{H}$

1. $A\cap{B}\in{H}$,
2. $\exists{n}=n(A,B)\in\mathbb{N}\,\exists\{A_i\in{H}\mid{i}\in\overline{1,n}\}\colon{A}\backslash{B}=\bigsqcup_{i=1}^nA_i$.

Таким образом класс множеств является полукольцом, если он замкнут относительно пересечения и разность любых двух множеств класса допускает конечное дизъюнктивное разложение в элементы этого класса.
Так как кольцо множеств замкнуто относительно разности и по утверждению 14.1.1 относительно пересечения, то любое кольцо является полукольцом. Обратное не верно.

Пример 14.1.3:

1. Множество $H:=\{[\alpha,\beta)\mid\alpha\in\mathbb{R},\beta\in\overline{\mathbb{R}},\alpha\leq\beta\}$ всех полуинтервалов действительной прямой является полукольцом, так как оно замкнуто относительно пересечения и разность любых двух полуинтервалов представима в виде дизъюнктивного объединения не более чем двух полуинтервалов. При этом множество $H$, очевидно, не является кольцом.
2. Пусть $a,b\in\mathbb{R}^m$. Обозначим $a\leq{b}$, если для любого $i\in\overline{1,m}$ $a_i\leq{b}_i$. Для любых $a\leq{b}$ положим $[a,b):=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_m,b_m)$ - $m$-мерный полуинтервал.
   Множество всех $m$-мерных полуинтервалов из $\mathbb{R}^m$ является полукольцом, так как разность двух $m$-мерных полуинтервалов представима в виде дизъюнктивного объединения не более чем $2m$ $m$-мерных полуинтервалов.

Задача 14.1.1: Доказать, что разность двух 2-мерных полуинтервалов представима в виде дизъюнктивного объединения четырех 2-мерных полуинтервалов.

Решение: Пусть $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a'_1,b'_1),(a'_2,b'_2)\in\mathbb{R}^2$ такие, что $a_1\leq{b}_1$, $a_2\leq{b}_2$, $a'_1\leq{b}'_1$ $a'_2\leq{b}'_2$. Тогда множества $I:=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)$, $I':=[a'_1,b'_1)\times[a'_2,b'_2)$ являются двумерными полуинтервалами. Рассмотрим только случай, когда $I'\subset{I}$, так как случаи когда $I'\backslash{I}\neq\varnothing$ более просты.
Так как $I'\subset{I}$, то $a_1\leq{a}'_1\leq{b}'_1\leq{b}_2$ и $a_2\leq{a}'_2\leq{b}'_2\leq{b}_2$, тогда следующие множества $I_1:=[a_1,a'_1)\times[a_2,b_2)$, $I_2:=[a'_1,b'_1)\times[a_2,a'_2)$, $I_3:=[a'_1,b'_1)\times[b'_2,b_2)$, $I_4:=[b'_1,b_1)\times[a_2,b_2)$ являются двумерными полуинтервалами такими, что $I\backslash{I}'=\bigsqcup_{k=1}^4I_k$. Действительно, $I_1\cap{I}_2=I_1\cap{I}_3=I_1\cap{I}_4=\varnothing$ так как $a_1\leq{a}'_1\leq{b}'_1$; $I_4\cap{I}_2=I_4\cap{I}_3=\varnothing$ так как $a'_1\leq{b}'_1\leq{b}_1$; $I_2\cap{I}_3=\varnothing$ так как $a'_2\leq{b}'_2$. Обозначим $M:=\bigsqcup_{k=1}^4I_k$, тогда $$\forall(x,y)\in{I}\backslash{I}'(a_1\leq{x}<{b}_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2\wedge(x<{a}'_1\vee{x}\geq{b}'_1\vee{y}<{a}'_2\vee{y}\geq{b}'_2))\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall(x,y)\in{I}\backslash{I}'((a_1\leq{x}<{b}_1\wedge{x}<{a}'_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2)\vee (a_1\leq{x}<{b}_1\wedge{x}\geq{b}'_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2)\vee(a'_1\leq{x}<{b}'_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2\wedge(y<{a}'_2\wedge{y}\geq{b}'_2)))\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall(x,y)\in{I}\backslash{I}'((a_1\leq{x}<{a}'_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2)\vee(b'_1\leq{x}<{b}_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2)\vee (a'_1\leq{x}<{b}'_1\wedge{a}_2\leq{y}<{a}'_2)\vee(a'_1\leq{x}<{b}'_1\wedge{b}'_2\leq{y}<{b}_2))\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall(x,y)\in{I}\backslash{I}'((x,y)\in{I}_1\sqcup{I}_4\sqcup{I}_2\sqcup{I}_3)\Rightarrow{I}\backslash{I}'\subset{M}.$$ С другой стороны $$\forall(x,y)\in{M}(a_1\leq{x}<{b}_1\wedge{a}_2\leq{y}<{b}_2)\Rightarrow\forall(x,y)\in{M}((x,y)\in{I})$$ и $$\forall(x,y)\in{M}(x<{a}'_1\vee{x}<{a}'_2\vee{y}\geq{b}'_2\vee{y}\geq{b}'_1)\Rightarrow\forall(x,y)\in{M}((x,y)\notin{I}')\Rightarrow \forall(x,y)\in{M}((x,y)\in{I}\backslash{I}')\Rightarrow{M}\subset{I}\backslash{I}'\Rightarrow{M}=I\backslash{I}'.$$

Утверждение 14.1.3: Следствие из определения полукольца.
Пусть $H$ полукольцо множеств, тогда

1. $\varnothing\in{H}$
2. $\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\forall{i}\in\overline{1,n}(A_i\in{H})\Rightarrow\bigcap_{i=1}^nA_i\in{H}\right)$,
3. Минимальным по включению кольцом множеств над классом $H$ будет множество $R(H):=\{\bigsqcup_{i=1}^nA_i\mid{n}\in\mathbb{N},A_i\in{H}\}$ всевозможных конечных дизъюнктивных объединений элементов класса $H$.

Доказательство:

1. $H\neq\varnothing\Rightarrow\exists{A}\in{H}\Rightarrow \exists{n}\in\mathbb{N}\,\exists{A}_1,\ldots,{A}_n\in{H}\colon\varnothing=A\backslash{A}=\bigsqcup_{i=1}^nA_i\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,n}(A_i=\varnothing)\Rightarrow\varnothing\in{H}$.
2. Доказывается индукцией по $n$ аналогично пункту 3 утверждения 14.1.1.
3. Пусть $A,B\in{R}(H)$, тогда $$\exists{n},m\in\mathbb{N}\,\exists{A}_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_m\in{H}\colon\left(A=\bigsqcup_{i=1}^nA_i\wedge{B}=\bigsqcup_{j=1}^mB_j\right).$$ Применив обобщенное правило Де Моргана получим
   1. $$A\cap{B}=\bigcup_{i\in\overline{1,n},j\in\overline{1,m}}(A_i\cap{B}_j)=\bigcup_{i=1}^n\left(\bigcup_{j=1}^m(A_i\cap{B}_j)\right)= \bigsqcup_{i=1}^n\left(\bigsqcup_{j=1}^m(A_i\cap{B}_j)\right)\in{R}(H).$$ Где последнее равенство в силу того, что для любых $i\neq{j}$ $A_i\cap{A}_j=\varnothing$ и $B_i\cap{B}_j=\varnothing$. Таким образом множество $R(H)$ замкнуто относительно операции пересечения.
   2. $$A\backslash{B}=\left(\bigsqcup_{i=1}^nA_i\right)\backslash\left(\bigsqcup_{j=1}^mB_j\right)= \bigsqcup_{i=1}^n\left(\bigcap_{j=1}^m(A_i\backslash{B}_j)\right).$$ Так как $A_i,B_j\in{H}$, то по определению полукольца $A_i\backslash{B}_j\in{R}(H)$. Тогда по подпункту 3i $\bigcap_{j=1}^m(A_i\backslash{B}_j)\in{R}(H)$, следовательно, $A\backslash{B}\in{R}(H)$. Таким образом класс $R(H)$ замкнут относительно операции вычитания.
   3. Так как по подпункту 3ii $A\backslash{B}\in{R}(H)$, то $A\cup{B}=(A\backslash{B})\sqcup{B}\in{R}(H)$.
   
   Таким образом класс $R(H)$ замкнут относительно операций объединения и разности, следовательно, $R(H)$ - кольцо множеств.
   Остается заметить, что если $K$ любое другое кольцо множеств такое, что $H\subset{K}$, то поскольку $K$ кольцо, то оно замкнуто относительно операции объединения и в частности относительно операции конечного дизъюнктивного объединения. Следовательно, для любого $A\in{R}(H)$ верно $A\in{K}$, то есть $R(H)\subset{K}$. Таким образом, класс множеств $R(H)$ минимальное по включению кольцо множеств над $H$.

Пример 14.1.4: Пусть $I$ некоторый числовой промежуток, тогда множество полуинтервалов $H=\{[\alpha,\beta)\mid\alpha<\beta;\alpha,\beta\in{I}\}$ является полукольцом, а множество $R(H)=\left\{\bigsqcup_{i=1}^n[\alpha_i,\beta_i)\mid{n}\in\mathbb{N},[\alpha_i,\beta_i)\in{H}\right\}$ минимальное по включению кольцо над $H$.

14.1.2 Борелевские кольца и алгебры, $\delta$-кольца.

В данном пункте будут предложены модели усиления структуры кольца.

Определение 14.1.5: Класс множеств $K$ называется борелевским кольцом или $\sigma$-кольцом множеств, если

1. $K$ - кольцо множеств,
2. $K$ - замкнуто относительно счетных объединений, то есть для любой последовательности $\{A_n\}$ из $K$ $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in{K}$.

Определение 14.1.6: Если $\sigma$-кольцо множеств содержит свою единицу, то оно называется $\sigma$-алгеброй множеств.

Утверждение 14.1.4: Свойства $\sigma$-колец.

1. $\sigma$ - кольцо замкнуто относительно счетных пересечений,
2. пересечение любого семейства $\sigma$-колец есть $\sigma$-кольцо,
3. для любого класса множеств $M$ существует минимальное $\sigma$-кольцо, содержащее $M$.

Доказательство:

1. Пусть класс множеств $K$ $\sigma$-кольцо, $\{A_n\}$ - последовательность из $K$, тогда $$A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in{K}\Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}(A\backslash{A}_n)\in{K}\Rightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A\backslash\bigcup_{n=1}^{\infty}(A\backslash{A}_n)\in{K}.$$
2. Доказывается аналогично пункту 1 утверждения 14.1.2.
3. Доказывается аналогично пункту 2 утверждения 14.1.2.

Определение 14.1.7: Класс множеств $K$ называют $\delta$-кольцом множеств, если

1. $K$ - кольцо множеств,
2. $K$ - замкнуто относительно счетных пересечений, то есть для любой последовательности множеств $\{A_n\}$ из $K$ $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in{K}$.

Пример 14.1.5: Из утверждения 14.1.4 следует, что любое $\sigma$-кольцо так же является и $\delta$-кольцом. Обратное не верно. Например, множество всех конечных подмножеств бесконечного множества являются $\delta$-кольцом, но не являются $\sigma$-кольцом. Так как, например, для любого счетного множества $M$ счетное объединение $\bigcup_{a\in{M}}\{a\}$ будет бесконечным.

Задача 14.1.2: Доказать, что если класс множеств является $\delta$-алгеброй, то он так же является и $\sigma$-алгеброй.

Решение: Пусть класс множеств $K$ является $\delta$-алгеброй, следовательно, $E:=\bigcup_{A\in{K}}A\in{K}$. Фиксируем последовательность множеств $\{A_n\}$ из $K$, тогда так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $A_n\subset{E}$, то $$\left(x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Leftrightarrow\exists{k}\in\mathbb{N}\colon{x}\in{A}_k\Leftrightarrow \exists{k}\in\mathbb{N}\colon{x}\notin{E}\backslash{A}_k\Leftrightarrow{x}\notin\bigcap_{n=1}^{\infty}(E\backslash{A}_n)\Leftrightarrow {x}\in{E}\backslash\bigcap_{n=1}^{\infty}(E\backslash{A}_n)\right)\Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=E\backslash\bigcap_{n=1}^{\infty}(E\backslash{A}_n).$$ Последнее множество в свою очередь принадлежит $K$ так как $E\in{K}$ и $K$ замкнуто относительно разности и счетных пересечений.

Определение 14.1.8: Пусть $n\in\mathbb{N}$. Обозначим класс всех замкнутых в $\mathbb{R}^n$ множеств как $\mathcal{F}$; класс всех открытых в $\mathbb{R}^n$ множеств как $\mathcal{G}$. Тогда семейством борелевских множеств в $\mathbb{R}^n$ называется минимальное $\sigma$-кольцо над $\mathcal{F}$.
Семейство борелевских множеств обозначают как $\mathcal{B}$ или $R_{\sigma}(\mathcal{F})$.
Для любого класса множеств $M$ будем называть борелевским замыканием класса $M$ минимальное $\sigma$-кольцо над $M$ обозначаемое $R_{\sigma}(M)$.

Утверждение 14.1.5: $R_{\sigma}(\mathcal{F})=R_{\sigma}(\mathcal{G})$.

Доказательство: Фиксируем множество $F$ замкнутое в $\mathbb{R}^n$, то есть $F\in\mathcal{F}$. Тогда множество $G:=\mathbb{R}^n\backslash{F}$ открыто в $\mathbb{R}^n$, следовательно, $G\in\mathcal{G}\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{G})$. Так как $\mathbb{R}^n\in\mathcal{G}\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{G})$ и класс $R_{\sigma}(\mathcal{G})$ замкнут относительно разности, то $F=\mathbb{R}^n\backslash{G}\in{R}_{\sigma}(\mathcal{G})$, таким образом в силу произвольности выбора множества $F\in\mathcal{F}$ имеем $\mathcal{F}\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{G})$. Так как $R_{\sigma}(\mathcal{F})$ минимальное $\sigma$-кольцо содержащее класс $\mathcal{F}$, следовательно, $R_{\sigma}(\mathcal{F})\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{G})$.
Аналогично, фиксируя множество $G\in\mathcal{G}$, доказывается, что $R_{\sigma}(\mathcal{G})\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{F})$. Здесь используется тот факт, что множество $\mathbb{R}^n$ является и замкнутым и открытым одновременно.

Задача 14.1.3: Пусть $M_1:=\{[a,b]\mid{a},b\in\mathbb{Q}\}$, $M_2:=\{(a,b)\mid{a},b\in\mathbb{Q}\}$, $M_3:=\{[a,b)\mid{a},b\in\mathbb{Q}\}$, $M_4:=\{[a,+\infty)\mid{a}\in\mathbb{Q}\}$. Доказать, что $R_{\sigma}(M_1)=R_{\sigma}(M_2)=R_{\sigma}(M_3)=R_{\sigma}(M_4)=R_{\sigma}(\mathcal{F})$.

Решение: Любое открытое множество в $\mathbb{R}$ - это счетное объединение интервалов. Действительно, пусть $G$ открыто в $\mathbb{R}$, тогда для любого $x\in{G}$ существует интервал $(a,b)\subset{G}$ такой, что $x\in(a,b)$. Поскольку $a<{x}<{b}$, то по принципу Архимеда существуют $a',b'\in\mathbb{Q}$ такие, что $(a',b')\subset{G}$ и $x\in(a',b')$. Таким образом для любого $x\in{G}$ существует интервал с рациональными концами содержащий точку $x$ и содержащийся в $G$, следовательно, объединение этих интервалов будет равно $G$. Поскольку множество $\mathbb{Q}$ счетно, то это объединение будет не более чем счетно. Таким образом $\mathcal{G}\subset{R}_{\sigma}(M_2)$, следовательно, $R_{\sigma}(\mathcal{G})\subset{R}_{\sigma}(M_2)$. С другой стороны $M_2\subset{\mathcal{G}}$, следовательно, $R_{\sigma}(M_2)\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{G})$, то есть $R_{\sigma}(M_2)=R_{\sigma}(\mathcal{G})=R_{\sigma}(\mathcal{F})$.
Так как любой интервал представим в виде последовательности вложенных в него отрезков, то $$(M_2\subset{R}_{\sigma}(M_1)\wedge{M}_1\subset\mathcal{F})\Rightarrow(R_{\sigma}(\mathcal{F})=R_{\sigma}(M_2)\subset{R}_{\sigma}(M_1)\wedge R_{\sigma}(M_1)\subset{R}_{\sigma}(\mathcal{F}))\Rightarrow{R}_{\sigma}(M_1)=R_{\sigma}(\mathcal{F}).$$ Так как любой интервал представим в виде последовательности вложенных в него полуинтервалов, а любой полуинтервал представим в виде последовательности вложенных в него отрезков, то $$R_{\sigma}(\mathcal{F})=R_{\sigma}(M_2)\subset{R}_{\sigma}(M_3)\subset{R}_{\sigma}(M_1)=R_{\sigma}(\mathcal{F})\Rightarrow R_{\sigma}(M_3)=R_{\sigma}(\mathcal{F}).$$ Доказательство для класса $M_4$ аналогично доказательству для класса $M_3$.

previous contents next