14.3.3. Общие свойства кратного интеграла Римана.

Утверждение 14.3.5: Линейность кратного интеграла Римана.
Пусть $A\in{G}(m,H)$, $f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{R}(A)$, тогда для любых $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ $\lambda_1{f}_1(x)+\lambda_2{f}_2(x)\in\mathcal{R}(A)$ и $$\int_A\lambda_1{f}_1(x)+\lambda_1{f}_2(x)\,dx=\lambda_1\int_Af_1(x)\,dx+\lambda_2\int_Af_2(x)\,dx.$$

Доказательство: Фиксируем $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$. Функции $f_1(x)$, $f_2(x)$ ограничены на $A$, следовательно, существуют $M_1>0$, $M_2>0$ такие, что для любого $x\in{A}$ $|f_1(x)|<{M}_1$, $|f_2(x)|<{M}_2$ тогда $$\forall{x}\in{A}(|\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)|\leq|\lambda_1||f_1(x)|+|\lambda_2||f_2(x)|\leq|\lambda_1|M_1+|\lambda_2|M_2)$$ то есть функция $\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)$ ограничена на $A$.
Если $B_1$, $B_2$ множество точек разрыва функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ соответственно, то по критерию Лебега $\mu^*(B_1)=\mu^*(B_2)=0$. Если $B$ множество точек разрыва функции $\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)$, то, очевидно, $B\subset{B}_1\cup{B}_2$, следовательно, $\mu^*(B)=0$. Таким образом по критерию Лебега функция $\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)$ интегрируема на $A$.
Для нахождения значения интеграла $\int_A\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)\,dx$ можем применить пункт 6 утверждения 14.3.1. Фиксируем промежуток $I\subset\mathbb{R}^n$ такой, что $A\subset{I}$. Для любого разбиения с помеченными точками $(P,\xi)$ промежутка $I$ верно $$\sigma((\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)\chi_A,P,\xi)=\sum_{(P)}((\lambda_1f_1(\xi_k)+\lambda_2f_2(\xi_k))\chi_A(\xi_k)\mu(I_k))= \lambda_1\sum_{(P)}(f_1(\xi_k)\chi_A(\xi_k)\mu(I_k))+\lambda_1\sum_{(P)}(f_2(\xi_k)\chi_A(\xi_k)\mu(I_k))= \lambda_1\sigma(f_1\chi_A,P,\xi)+\lambda_2\sigma(f_2\chi_A,P,\xi)$$ Фиксируем последовательность разбиений с помеченными точками $\{(P_n,\xi_n)\}$ промежутка $I$ такую, что $\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0$, тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ $\sigma((\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)\chi_A,P_n,\xi_n)=\lambda_1\sigma(f_1\chi_A,P_n,\xi_n)+\lambda_2\sigma(f_2\chi_A,P_n,\xi_n)$. Переходя к пределу при $n\to\infty$ получим $$\int_I(\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x))\chi_A(x)\,dx=\lambda_1\int_If_1(x)\chi_A(x)\,dx+\lambda_2\int_If_2(x)\chi_A(x)\,dx\Rightarrow \int_A\lambda_1f_1(x)+\lambda_2f_2(x)\,dx=\lambda_1\int_Af_1(x)\,dx+\lambda_2\int_Af_2(x)\,dx.$$

Утверждение 14.3.6: Связь меры Жордана с интегралом Римана.
$$\forall{A}\in{G}(m,H)\left(\int_Adx=\overline{\mu}(A)\right)$$

Доказательство: Фиксируем числовой промежуток $I\subset\mathbb{R}^n$ такой, что $A\subset{I}\backslash\partial{I}$. Функция $f(x)\equiv1$ ограничена и непрерывна на $A$, следовательно, $$\exists\int_Adx=\int_I\chi_A(x)\,dx=\overline{\mathcal{J}}(\chi_A,I)=\inf_{(P)}S(\chi_A,P)=\inf_{(P)}\sum_{(P)}(M_k\mu(I_k)),$$ где $M_k\neq0$ тогда и только тогда, когда $I_k\cap{A}\neq\varnothing$.
Для любого разбиения $P$ промежутка $I$ обозначим $B'_P:=\bigsqcup_{k\colon{I}_k\cap{A}\neq\varnothing}I'_k$. Где $I'_k$ - это ячейка разбиения $I_k$, некоторые границы которой удалены так, чтобы $I'_k$ являлась полуоткрытым параллелепипедом (то есть в элементом полукольца $H$), при этом $\mu(I'_k)=\mu(I_k)$. Тогда для любого разбиения $P$ промежутка $I$ $B'_P\in{R}(H)$ и $A\subset{B'_P}$, следовательно, $$\int_Adx=\inf_{(P)}\sum_{(P)}(M_k\mu(I_k))=\inf_{(P)}\sum_{k\colon{I}_k\cap{A}\neq\varnothing}\mu(I_k)=\inf_{(P)}\mu(B'_P)\geq \inf_{B\in{R}(H)\colon{A}\subset{B}}\mu(B)=\overline{\mu}^*(A)=\overline{\mu}(A).$$ Аналогичным образом получается неравенство в обратную сторону. $$\int_Adx=\int_I\chi_A(x)\,dx=\underline{\mathcal{J}}(\chi_A,I)=\sup_{(P)}s(\chi_A,P)=\sup_{(P)}\sum_{(P)}(m_k\mu(I_k)),$$ где $m_k\neq0$ тогда и только тогда, когда $I_k\cap{A}=I_k$ (или что тоже самое $I_k\subset{A}$).
Для любого разбиения $P$ промежутка $I$ обозначим $B''_P:=\bigsqcup_{k\colon{I}_k\subset{A}}I'_k$. Тогда для любого разбиения $P$ промежутка $I$ $B''_P\in{R}(H)$ и $B''_P\subset{A}$, следовательно, $$\int_Adx=\sup_{(P)}\sum_{(P)}(m_k\mu(I_k))=\sup_{(P)}\sum_{k\colon{I}_k\subset{A}}\mu(I_k)=\sup_{(P)}\mu(B''_P)\leq \sup_{B\in{R}(H)\colon{B}\subset{A}}\mu(B)=\overline{\mu}_*(A)=\overline{\mu}(A).$$

Утверждение 14.3.7:

1. $(A\in{G}(m,H)\wedge{f}(x)\in\mathcal{R}(A)\wedge\mathring{\forall}x\in{A}(f(x)=0))\Rightarrow\int_Af(x)\,dx=0.$
2. Если функция $f(x)$ ограничена на множестве $A\in{G}(m,H)$ и $\overline{\mu}(A)=0$, то существует интеграл $\int_Af(x)\,dx=0$.

Доказательство:

1. Доказано в задаче 14.3.2.
2. Фиксируем промежуток $I\subset\mathbb{R}^n$ такой, что $A\subset{I}$.
   Так как $\overline{\mu}(A)=0$ и $\chi_A(x)=0$ для любого $x\in{I}\backslash{A}$, то $f(x)\chi_A(x)$ непрерывна почти всюду на $I$.

   Действительно, если $\overline{\mu}(A)=0$, то для любого $\varepsilon>0$ существует конечное покрытие множества $A$ элементами полукольца $H$ $[a_k,b_k)$, суммарная мера $m$ которых меньше $\varepsilon$. Для любой точки $x_0$ лежащей за пределами совокупности замкнутых параллелепипедов $[a_k,b_k]$ сущесвует окрестность $U(x_0)$ такая, что для любого $y\in{U}(x_0)$ $\chi_A(y)=0$, следовательно, функция $\chi_A(x)$ непрерывана в точке $x_0$. Так как по пункту 1 теоремы 14.2.9 добавление границ к параллелепипеду не меняет его меры Жордана, то суммарная внешняя мера отрезков $[a_k,b_k]$ меньше $\varepsilon$, следовательно, функция $\chi_A(x)$ непрерывна почти всюду на $I$.

   Из ограниченности функции $f(x)$ на $A$ следует ограниченность функции $f(x)\chi_A(x)$ на $I$, тогда по критерию Лебега $\int_Af(x)\,dx:=\int_If(x)\chi_A(x)\,dx$, значение которого по пункту 1 равно 0.

Утверждение 14.3.8: Аддитивность кратного интеграла Римана.
Пусть $A,B\in{G}(m,H)$, $f(x)\colon{A}\cup{B}\to\mathbb{R}$, тогда

1. $$\exists\int_{A\cup{B}}f(x)\,dx\Leftrightarrow\left(\exists\int_Af(x)\,dx\wedge\exists\int_Bf(x)\,dx\right)\Rightarrow\exists\int_{A\cap{B}}f(x)\,dx.$$
2. $$\left(\exists\int_Af(x)\,dx\wedge\exists\int_Bf(x)\,dx\right)\Rightarrow\exists\int_{A\cup{B}}f(x)\,dx= \int_Af(x)\,dx+\int_Bf(x)\,dx-\int_{A\cap{B}}f(x)\,dx.$$
3. $$\left(\exists\int_Af(x)\,dx\wedge\exists\int_Bf(x)\,dx\wedge\mu(A\cap{B})=0\right)\Rightarrow\int_{A\cup{B}}f(x)\,dx=\int_Af(x)\,dx+\int_Bf(x)\,dx.$$

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$
   Если существует интеграл $\int_{A\cup{B}}f(x)\,dx$, то по критерию Лебега функция $f(x)$ ограничена на множестве $A\cup{B}$ и непрерывна почти всюду на нем. Следовательно, функция $f(x)$ ограничена и непрерывна почти всюду на $A\subset{A}\cup{B}$ и на $B\subset{A}\cup{B}$. Следовательно, существуют интегралы $\int_Af(x)\,dx$ и $\int_Af(x)\,dx$.
   $\Leftarrow)$
   Фиксируем промежуток $I\subset\mathbb{R}^n$ такой, что $A\cup{B}\subset{I}$.
   Так как $f(x)\in\mathcal{R}(A)$, то функция $f(x)\chi_A(x)$ непрерывна почти всюду на $I$. Аналогично функция $f(x)\chi_B(x)$ непрерывна почти всюду на $I$. $$\chi_{A\cup{B}}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_{A\cap{B}}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_A(x)\chi_B(x)\Rightarrow f(x)\chi_{A\cup{B}}(x)=f(x)\chi_A(x)+f(x)\chi_B(x)-(f(x)\chi_A(x))\chi_B(x)$$ В последнем выражении первые два слагаемых непрерывны почти всюду на $I$ по доказанному выше, третье слагаемое непрерывно почти всюду на $I$, как произведение непрерывных почти всюду на $I$. Таким образом функция стоящая в правой части непрерывна почти всюду на $I$, следовательно, функция $f(x)\chi_{A\cup{B}}(x)$ непрерывна почти всюду на $I$. Так как $f(x)\in\mathcal{R}(A)$ и $f(x)\in\mathcal{R}(B)$, то функция $f(x)$ ограничена на $A\cup{B}$, следовательно, функция $f(x)\chi_{A\cup{B}}$ ограничена на $I$, тода по критерию Лебега существует интеграл $\int_{A\cup{B}}f(x)\,dx:=\int_If(x)\chi_{A\cup{B}}\,dx$.
   Из ограниченности функции $f(x)$ на множестве $A$ следует ограниченность функции $f(x)\chi_{A\cap{B}}(x)$ на множестве $I$. Непрерывность почти всюду на $I$ функции $f(x)\chi_{A\cap{B}}(x)=(f(x)\chi_A(x))\chi_B(x)$ обоснована выше. Следовательно, существует интеграл $\int_{A\cap{B}}f(x)\,dx:=\int_If(x)\chi_{A\cap{B}}(x)\,dx$.
2. $$ \int_{A\cup{B}}f(x)\,dx:=\int_If(x)\chi_{A\cup{B}}\,dx=\int_If(x)(\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_{A\cap{B}}(x))\,dx=$$ $$=\int_If(x)\chi_A(x)\,dx+\int_If(x)\chi_B(x)\,dx-\int_If(x)\chi_{A\cap{B}}(x)\,dx=\int_Af(x)\,dx+\int_Bf(x)\,dx-\int_{A\cap{B}}f(x)\,dx $$
3. Следует из пункта 2 и пункта 2 утверждения 14.3.7.

Теорема 14.3.3: Интеграл и неравенства.
Пусть $A\in{G}(m,H)$; $f(x),g(x)\colon{A}\to\mathbb{R}$; $f(x),g(x)\in\mathcal{R}(A)$, тогда

1. $\forall{x}\in{A}(f(x)\geq0)\Rightarrow\int_Af(x)\,dx\geq0$,
2. $\forall{x}\in{A}(f(x)\geq{g}(x))\Rightarrow\int_Af(x)\,dx\geq\int_Ag(x)\,dx$,
3. $\left|\int_Af(x)\,dx\right|\leq\int_A|f(x)|\,dx$,
4. $\exists{m},M\in\mathbb{R}\colon\forall{x}\in{A}(m\leq{f}(x)\leq{M}\wedge{g}(x)\geq0)\Rightarrow \exists\theta\in[m,M]\colon\int_Af(x)g(x)\,dx=\theta\int_Ag(x)\,dx$.

Доказательство:

1. Если $A$ числовой промежуток, то $\int_Af(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sigma(f,P_n,\xi_n)\geq0$, так как для любого разбиения $P$ и для любого набора помеченных точек $\xi$ при неотрицательной $f(x)$ $\sigma(f,P,\xi)\geq0$.
   Если $A$ не числовой промежуток, то $\int_Af(x)\,dx:=\int_If(x)\chi_A(x)\,dx$, где $I$ числовой промежуток, и для любого $x\in{I}$ $f(x)\chi_A(x)\geq0$, тогда по доказанному $\int_Af(x)\,dx\geq0:=\int_If(x)\chi_A(x)\,dx\geq0$.
2. По линейности интеграла и пункту 1 $$(f(x),g(x)\in\mathcal{R}(A)\wedge\forall{x}\in{A}(f(x)\geq{g}(x)))\Rightarrow(f(x)-g(x)\in\mathcal{R}(A)\wedge\forall{x}\in{A}(f(x)-g(x)\geq0))\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\int_Af(x)\,dx-\int_Ag(x)\,dx=\int_Af(x)-g(x)\,dx\geq0\Rightarrow\int_Af(x)\,dx\geq\int_Ag(x)\,dx.$$
3. Из ограниченности на $A$ и непрерывности почти всюду на $A$ функции $f(x)$ следует следует ограниченность на $A$ и непрерывность почти всюду на $A$ функции $|f(x)|$. Следовательно, функция $|f(x)|$ интегрируема на $A$, при этом по пункту 2 имеем $$\forall{x}\in{A}(-|f(x)|\leq{f}(x)\leq|f(x)|)\Rightarrow-\int_A|f(x)|\,dx\leq\int_Af(x)\,dx\leq\int_A|f(x)|\,dx\Rightarrow \left|\int_Af(x)\,dx\right|\leq\int_A|f(x)|\,dx.$$
4. Функция $f(x)g(x)$ интегрируема на $A$ по критерию Лебега, поэтому по пункту 2 $$\forall{x}\in{A}(m\leq{f}(x)\leq{M})\Rightarrow\forall{x}\in{A}(mg(x)\leq{f}(x)g(x)\leq{M}g(x))\Rightarrow m\int_Ag(x)\,dx\leq\int_Af(x)g(x)\,dx\leq{M}\int_Ag(x)\,dx$$ Так как функция $g(x)$ не отрицательна, то $\int_Ag(x)\,dx\geq0$.
   Если $\int_Ag(x)\,dx=0$, то из полученных неравенств следует, что $\int_Af(x)g(x)\,dx=0$. Следовательно, в качестве искомого $\theta$ можно выбрать любое вещественное число.
   Если $\int_Ag(x)\,dx>0$, то $\displaystyle\theta:=\frac{\int_Af(x)g(x)\,dx}{\int_Ag(x)\,dx}$.

Следствие 14.3.1: Если $A_-:=\{x\in{A}\mid{f}(x)<0\}$, тогда если $A,A_-\in{G}(m,H)$ и $\bar{\mu}(A_-)=0$, то $\int_Af(x)\,dx\geq0$.

Доказательство: По пункту 3 утверждения 14.3.8 $\int_Af(x)\,dx=\int_{A_-}f(x)\,dx+\int_{A\backslash{A_-}}f(x)\,dx$. Так как для любого $x\in{A}\backslash{A_-}$ $f(x)\geq0$, то по пункту 1 теоремы 14.3.3 $\int_{A\backslash{A_-}}f(x)\,dx\geq0$. Так как $\bar{\mu}(A_-)=0$, то по пункту 2 утверждения 14.3.7 $\int_{A_-}f(x)\,dx=0$, следовательно, $\int_Af(x)\,dx=\int_{A\backslash{A_-}}f(x)\,dx\geq0$.

Следствие 14.3.2: $$\exists{m},M\in\mathbb{R}\colon\forall{x}\in{A}(m\leq{f}(x)\leq{M})\Rightarrow\exists\theta\in[m,M]\colon\int_Af(x)\,dx=\theta\mu(A)$$

Доказательство: Следует из пункта 4 теоремы 14.3.3 при $g(x)\equiv1$.

В приведенных выше утверждениях (пункт 4 теоремы 14.3.3, следствие 14.3.2), если множество $A$ связное, $f(x)$ непрерывна на $A$, $m:=\min_{x\in{A}}{f(x)}$, $M:=\max_{x\in{A}}{f(x)}$, то в качестве точки $\theta$ можно выбрать $f(\xi)$ для некоторого $\xi\in{A}$.

Лемма 14.3.1: Если $A\in{G}(m,H)$, функция $f(x)\colon{A}\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in\mathcal{R}(A)$,
2. $\int_Af(x)\,dx=0$,
3. $\forall{x}\in{A}(f(x)\geq0)$,

Доказательство: Обозначим $A_0$ множество всех точек из $intA$, в которых функция $f(x)$ непрерывна. Обозначим $B$ множество точек разрыва функции $f(x)$. Докажем от противного, что для любого $x_0\in{A}_0$ $f(x_0)=0$. Предположим, что $x_0\in{A}_0$ и $f(x_0)\neq0$, тогда $$f(x_0)\neq0\Rightarrow{f}(x_0)>0\Rightarrow\exists{U}(x_0)\subset{A}\colon\forall{x}\in{U}(x_0)\left(f(x)\geq{m}:=\frac{f(x_0)}{2}>0\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\int_Af(x)\,dx=\int_{U(x_0)}f(x)\,dx+\int_{A\backslash{U}(x_0)}f(x)\,dx\geq\int_{U(x_0)}f(x)\,dx\geq{m}\int_{U(x_0)}dx=m\mu(U(x_0))>0.$$ Получено противоречие с условием 2 леммы. Следовательно, для любого $x\in{A}_0$ $f(x)=0$ и так как $\mu^*(A\backslash{A}_0)\leq\mu^*(\partial{A}\cup{B})=0$, то $f(x)=0$ почти всюду на $A$.

Обозначим $S:=\{f(x)\in\mathcal{R}(A)\mid{f}(x)\not\equiv0\wedge\mathring\forall{x}\in{A}(f(x)=0)\}$. Введем на классе функций $\mathcal{R}(A)$ норму $\|f(x)\|:=\int_A|f(x)|\,dx$, тогда по доказанному в данном разделе для любой функции $f(x)\in\mathcal{R}(A)$

1. $\|f(x)\|\geq0$,
2. $\forall\lambda\in\mathbb{R}(\|(\lambda{f})(x)\|=|\lambda|\|f(x)\|)$,
3. $\forall{g}(x)\in\mathcal{R}(A)(\|(f+g)(x)\|\leq\|f(x)\|+\|g(x)\|)$
и для любой функции $f(x)\in\mathcal{R}(A)\backslash{S}$
4. $\|f(x)\|=0\Rightarrow{f}(x)\equiv0$

Таким образом класс функций $\mathcal{R}(A)\backslash{S}$ образует нормированное (фактор) пространство относительно нормы $\|f(x)\|$.

previous contents next