Введем некоторые обозначения:
$I:=[a,b]:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]\subset\mathbb{R}^n$; $\mu(I):=\prod_{k=1}^n(b_k-a_k)$;
функция $f(x)=f(x_1,\ldots,x_n)\colon{I}\to\mathbb{R}$ ограничена на $I$;
для каждого $k\in\overline{1,n}$ разобьем отрезок $[a_k,b_k]$ на $s_k$ отрезков, через каждую точку деления проведем гиперплоскость перпендикулярную
прямой содержащей отрезок $[a_k,b_k]$, получим некоторое разбиение параллелепипеда $I$: $P:=\{I_1,\ldots,I_N\}$, где $N=s_1\cdots{s}_n$;
$\displaystyle\lambda(P):=\diam{P}:=\sup_{i\in\overline{1,N}}{(\diam{I}_i)}$;
для каждого $i\in\overline{1,N}$ зафиксируем точку $\xi_i\in{I}_i$, совокупность $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_N)$ будем называть помеченными точками разбиения $P$;
$(P,\xi)$ - разбиение параллелепипеда $I$ с помеченными точками;
разбиение $P'$ параллелепипеда $I$ будем называть продолжением разбиения $P$, если для любого $k\in\overline{1,n}$ множество точек разбивающих отрезок
$[a_k,b_k]$ для разбиения $P$ есть подмножество точек разбивающих отрезок $[a_k,b_k]$ для разбиения $P'$, обозначается $P\prec{P}'$;
выражение
$$\sigma(f,P,\xi):=\sum_{(P)}(f(\xi_k)\mu(I_k)):=\sum_{k=1}^N(f(\xi_k)\mu(I_k))$$
будем называть интегральной суммой Римана отвечающей разбиению с помеченными точками $(P,\xi)$ для функции $f(x)$;
$\displaystyle\forall{k}\in\overline{1,N}\left(m_k:=\inf_{x\in{I}_k}{f(x)},M_k:=\sup_{x\in{I}_k}{f(x)}\right)$;
выражения
$$s(P,f):=\sum_{(P)}(m_k\mu(I_k)):=\sum_{k=1}^N(m_k\mu(I_k)),\quad{S}(P,f):=\sum_{(P)}(M_k\mu(I_k)):=\sum_{k=1}^N(M_k\mu(I_k))$$
будем называть соответственно нижней и верхней суммой Дарбу отвечающей разбиению $P$ для функции $f(x)$;
выражения $\underline{\mathcal{J}}(f,I):=\sup_{(P)}{s(f,P)}$, $\overline{\mathcal{J}}(f,I):=\inf_{(P)}{S(f,P)}$ будем называть соответственно нижним и
верхним интегралом Римана от функции $f(x)$ по $n$-мерному промежутку $I$. Где верхняя и нижняя грань берутся по всем возможным разбиениям $n$-мерного
промежутка $I$, каждое из которых задается $n$ разбиениями отрезков $[a_k,b_k]$.
Определение 14.3.1: Пусть $I$ $n$-мерный числовой промежуток, тогда говорят, что функция $f(x)\colon{I}\to\mathbb{R}$
интегрируема по Риману на $I$, если существует $A\in\mathbb{R}$ такое, что
$$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\colon\forall(P,\xi)(\diam{P}<\delta\Rightarrow|\sigma(f,P,\xi)-A|<\varepsilon).$$
При этом считают, что значение интеграла Римана от функции $f(x)$ по промежутку $I$ равно $A$.
Обозначают
$$A=\lim_{\lambda(P)\to0}{\sigma(f,P,\xi)}:=\int_If(x)\,dx:=\int_If(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots{d}x_n:=\iint\cdots\int_If(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots{d}x_n$$
Утверждение 14.3.1: Свойства сумм Дарбу.
Доказательство:
Доказательство аналогично доказательству соответствующих утверждений для случая $n=1$
Теорема 14.3.1: Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.
Пусть $I$ $n$-мерный числовой промежуток, $f(x)\colon{I}\to\mathbb{R}$, тогда функция $f(x)$ интегрируема по Риману на $I$ тогда и только тогда, когда
функция $f(x)$ ограничена и $\underline{\mathcal{J}}(f,I)=\overline{\mathcal{J}}(f,I)$.
Или тогда и только тогда, когда
$$\forall\varepsilon>0\,\exists{P}\colon{S}(f,P)-s(f,P)<\varepsilon.$$
Доказательство:Зорич т. 2, стр. 139.
Задача 14.3.1: Доказать, что если $I$ компактный числовой промежуток (замкнутый параллелепипед) и функция $f(x)\colon{I}\to\mathbb{R}$ непрерывна на $I$, то $f(x)$ интегрируема на $I$.
Решение:
Фиксируем $\varepsilon>0$. Функция непрерывна на компакте, следовательно, она равномерно непрерывна на нем, тогда
$$\exists\delta>0\colon\forall{x}',x''\in{I}\left(\rho(x',x'')<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2\mu(I)}\right).$$
Следовательно,
$$\lambda(P)<\delta\Rightarrow{S}(f,P)-s(f,P)=\sum_{(P)}((M_k-m_k)\mu(I_k))\leq\sum_{(P)}\left(\frac{\varepsilon}{2\mu(I)}\mu(I_k)\right)=
\frac{\varepsilon}{2\mu(I)}\sum_{(P)}\mu(I_k)=\frac{\varepsilon}{2\mu(I)}\mu(I)<\varepsilon.$$
Определение 14.3.2: Пусть $A\subset\mathbb{R}^n$, $\mathcal{P}$ - некоторое свойство точек из $\mathbb{R}^n$,
$A_0:=\{x\in{A}\mid\neg\mathcal{P}(x)\}$, тогда говорят, что свойство $\mathcal{P}$ выполняется почти всюду на множестве $A$, если
$\mu^*(A)=0$.
Обозначают: $\mathring{\forall}x\in{A}(\mathcal{P})$.
Теорема 14.3.2: Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Пусть $I$ $n$-мерный промежуток, $f(x)\colon{I}\to\mathbb{R}$, тогда $f(x)$ интегрируема по Риману на $I$ тогда и только тогда, когда функция $f(x)$
ограничена на $I$ и непрерывна почти всюду на $I$.
Доказательство:Зорич т. 2, стр. 135.
Далее везде в разделе 14.3 рассматривается функция $f(x)\colon{A}\to\mathbb{R}$, где $A\in{G}(m,H)$,
$H=\{[a,b)=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_n,b_n)\mid\forall{k}\in\overline{1,n}(a_k,b_k\in\mathbb{R},a_k<{b}_k)\}$ - полукольцо $n$-мерных полуоткрытых
параллелепипедов, $m([a,b)):=\prod_{k=1}^n(b_k-a_k)$. Мера Жордана множества $A\in{G}(m,H)$ обозначается $\overline{\mu}(A)$. Продолжение меры $m$ с $H$
на $R(H)$ обозначается $\mu(A)$.
Определение 14.3.3: Пусть $A\subset\mathbb{R}^n$, тогда характеристической функцией множества $A$ называется функция
$\chi_A(x)\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ такая, что $\chi_A(x)=\begin{cases}1,x\in{A}\\0,x\notin{A}\end{cases}$.
Утверждение 14.3.2: О точках разрыва функции $\chi_A$.
Доказательство:
Определение 14.3.4: Пусть $A\in{G}(m,H)$, $f(x)\colon{A}\to\mathbb{R}$, существует $n$-мерный промежуток $I$ такой, что
$A\subset{I}$, функция $f_{\chi_A}(x)\colon{I}\to\mathbb{R}$ такая, что $f_{\chi_A}(x)=\begin{cases}f(x)&,x\in{A}\\0&,x\notin{A}\end{cases}$, тогда говорят,
что функция $f(x)$ интегрируема по Риману на $A$, если существует интеграл $\int_If_{\chi_A}(x)\,dx$. При этом считают, что
$\int_Af(x)\,dx:=\int_If_{\chi_A}(x)\,dx$.
Употребляется так же обозначение $\int_If(x)\chi_A(x)\,dx\sim\int_If_{\chi_A}(x)\,dx$, при этом считается, что функция $f(x)$ доопределена на множестве
$I\backslash{A}$ каким-либо произвольным образом так как значение интеграла не будет зависеть от способа доопределения.
Класс функций интегрируемых по Риману на измеримом по Жордану множестве $A$ будем обозначать $\mathcal{R}$.
Корректность определения 14.3.4 упирается в положительное решение вопроса о том, что факт существования и значение интеграла $\int_If(x)\chi_A(x)\,dx$
не зависит от выбора промежутка $I$ покрывающего множество $A$.
Утверждение 14.3.3: Пусть $A\in{G}(m,H)$, $f(x)\colon{A}\to\mathbb{R}$, $I_1$, $I_2$ $n$-мерные числовые промежутки такие, что $A\subset{I}_1$, $A\subset{I}_2$. Тогда интеграл Римана от функции $f_{\chi_A}(x)$ по промежутку $I_1$ существует тогда и только тогда, когда существует интеграл Римана от функции $f_{\chi_A}(x)$ по промежутку $I_2$ и в случае существования интегралов их численные значения равны.
Доказательство: Положим $I:=I_1\cap{I}_2$, $B_0$ множество точек разрыва функции $f(x)$, $B_1$ множество точек разрыва функции
$f(x)\chi_A(x)$. Тогда $B_1\subset{B}_0\cup\partial{A}$, с другой стороны, очевидно, что $B_0\subset{B}_1$, следовательно, $\mu^*(B_1)=\mu^*(B_0)$.
То есть значение $\mu^*(B_1)$ не зависит от выбора промежутка интегрирования.
С другой стороны функция $f(x)\chi_A(x)$ ограничена на $I_1$ тогда и только тогда, когда она ограничена на $I$ так как для любого
$x\in{I}_1\backslash{I}$ $f(x)\chi_A(x)=0$. Следовательно, по критерию Лебега интегрируемости по Риману:
$$\exists\int_{I_1}f(x)\chi_A(x)\,dx\Leftrightarrow\exists\int_If(x)\chi_A(x)\,dx\Leftrightarrow\exists\int_{I_2}f(x)\chi_A(x)\,dx.$$
Покажем, что в случае существования численные значения интегралов $\int_{I_1}f(x)\chi_A(x)\,dx$ и $\int_{I_2}f(x)\chi_A(x)\,dx$ совпадают. Как было
показано выше из существования интеграла $\int_{I_1}f(x)\chi_A(x)\,dx$ следует существование интеграла $A:=\int_If(x)\chi_A(x)\,dx$. Фиксируем
последовательность разбиений с помеченными точками $\{(P_n,\xi_n)\}$ промежутка $I$ такую, что $\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0$. Легко видеть, что для
любого $n\in\mathbb{N}$ разбиение $(P_n,\xi_n)$ может быть продолжено до разбиения $(P'_n,\xi'_n)$ промежутка $I_1$ так, что $\lambda(P'_n)=\lambda(P_n)$.
При этом не зависимо от выбора помеченных точек если $\xi'_k\in{I}_1\backslash{I}\subset{I_1}\backslash{A}$, то $f_{\chi_A}(\xi'_k)=0$, следовательно,
для любого $n\in\mathbb{N}$
$$\sigma(f_{\chi_A},P'_n,\xi'_n)=\sum_{(P'_n)}\left(f_{\chi_A}(\xi'_k)\mu(I'_k)\right)=\sum_{(P_n)}\left(f_{\chi_A}(\xi_k)\mu(I_k)\right)=
\sigma(f_{\chi_A},P_n,\xi_n).$$
Тогда по пункту 6 утверждения 14.3.1
$$\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\lambda(P'_n)=0\Rightarrow\int_{I_1}f_{\chi_A}(x)\,dx=
\lim_{n\to\infty}\sigma(f_{\chi_A},P'_n,\xi'_n)=\lim_{n\to\infty}\sigma(f_{\chi_A},P_n,\xi_n)=A.$$
Утверждение 14.3.4: Критерий Лебега интегрируемости на $A\in{G}(m,H)$.
Функция $f(x)$ интегрируема по Риману на множестве $A\in{G}(m,H)$ тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ ограничена на $A$ и непрерывна почти всюду на
$A$.
Доказательство: Сведем утверждение к критерию Лебега интегрируемости на числовом промежутке.
$\Rightarrow)$
Если $f(x)\in\mathcal{R}(A)$, то существует числовой промежуток $I\subset\mathbb{R}^n$ такой, что $A\subset{I}$ и функция $f_{\chi_A}(x)$ интегрируема на
$I$.
Тогда по критерию Лебега интегрируемости на промежутке функция $f_{\chi_A}(x)$ ограничена на $I$, и так как для любого $x\in{A}$
$f(x)=f_{\chi_A}(x)$, то $f(x)$ ограничена на $A$.
Так же из критерия Лебега следует, что функция $f_{\chi_A}(x)$ непрерывна почти всюду на $I$, следовательно, она непрерывна почти всюду на $A$,
следовательно, он непрерывна почти во всех внутренних точках $A$, следовательно, функция $f(x)$ также непрерывна почти во всех внутренних точках $A$,
и так как $A\subset{i}ntA\cup\partial{A}$ и $\mu^*(\partial{A})=0$, то $f(x)$ непрерывна почти всюду на $A$.
$\Leftarrow)$
Так как $A\in{G}(m,H)$, то $A$ ограничено, следовательно, существует числовой промежуток $I\subset\mathbb{R}^n$ такой, что $A\subset{I}$. Функция $f(x)$
ограничена на $A$, следовательно, функция $f_{\chi_A}(x)$ ограничена на $I$. Функция $f(x)$ непрерывна почти всюду на $A$, следовательно, функция
$f_{\chi_A}(x)$ непрерывана почти всюду на $I\backslash\partial{A}$, и так как $\mu^*(\partial{A})=0$, то функция $f_{\chi_A}(x)$ непрерывна почти
всюду на $I$. Таким образом по критерию Лебега интегрируемости по промежутку существует интеграл $\int_If_{\chi_A}(x)\,dx$, следовательно, по
определению интегрируемости существует интеграл $\int_Af(x)\,dx$.
Задача 14.3.2: Доказать, что если $f(x)\in\mathcal{R}(A)$ и $f(x)=0$ почти всюду на $A$, то $\int_Af(x)\,dx=0$.
Решение:
Обозначим $B:=\{x\in{A}\mid{f}(x)\neq0\}$.
Так как $A\in{G}(m,H)$, то оно ограничено, следовательно, существует числовой промежуток $I$ такой, что $A\subset{I}$. Для любого разбиения $P$
промежутка $I$ существует набор помеченных точек $\{\xi_1,\ldots,\xi_N\}$ такой, что для любого $k\in\overline{1,N}$ либо $f(\xi_k)=0$, либо
$\chi_A(\xi_k)=0$. Действительно, если $I_k\subset{A}$, то найдется точка $\xi_k\in{I}_k$ такая, что $f(\xi_k)=0$. Иначе $\mu(B)$ не равнялось бы нулю,
так как $\mu(I_k)>0$. Если же $I_k\backslash{A}\neq\varnothing$, то для любого $\xi_k\in{I}_k\backslash{A}$ $\chi_A(\xi_k)=0$. Таким образом, для любого
разбиения $P$ промежутка $I$ существует набор помеченных точек $\{\xi_1,\ldots,\xi_N\}$ такой, что для любого $k\in\overline{1,N}$
$f_{\chi_A}(\xi_k):=f(\xi_k)\chi_A(\xi_k)=0$.
Тогда так как $f(x)\in\mathcal{R}(A)$ по теореме 14.3.1, утверждению 14.3.1
$$\int_Af(x)\,dx=\int_If_{\chi_A}(x)\,dx=\underline{\mathcal{J}}(f_{\chi_A},I)=\sup_{(P)}\left(\inf_{\xi}{\sigma(f_{\chi_A},P,\xi)}\right)=
\sup_{(P)}\left(\inf_{\xi}{\sum_{(P)}(f_{\chi_A}(\xi_k)\mu(I_k))}\right)=\sup_{(P)}0=0$$
previous contents next