14.3.4 Теорема Фубини (1870 - 1943).

Введем некоторые обозначения:
$m,n\in\mathbb{N}$, $x=(x_1,\ldots,x_m)\in\mathbb{R}^m$, $y=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$
$X=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_m,b_m]\subset\mathbb{R}^m$, $Y=[c_1,d_1]\times\cdots\times[c_n,d_n]\subset\mathbb{R}^n$, $X\times{Y}\in\mathbb{R}^{m+n}$
$P_X:=\{X_i\}$ - разбиение множества $X$, $P_Y:=\{Y_i\}$ - разбиение множества $Y$, $P:=\{X_i\times{Y_j}\}$ - разбиение множества $X\times{Y}$
где $X_i$, $Y_j$ - ячейки разбиений являющиеся соответственно $m$- и $n$-мерными параллелепипедами.
Так же обратно, любое разбиение $P$ параллелепипеда $X\times{Y}$ однозначно порождает разбиения $\{P_X\}$, $\{P_Y\}$ параллелепипедов $X$ и $Y$ соответственно.
Так как $\mu([a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n])=\prod_{k=1}^n(b_k-a_k)$, то для любых ячеек $X_i$, $x_j$ из разбиений $P_X$, $P_Y$ $\mu(X_i\times{Y}_j)=\mu(X_i)\mu(Y_j)$.
Далее будем рассматривать функцию $f(x,y)=f(x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n)\colon{X}\times{Y}\to\mathbb{R}$.
Характерные формы записи сумм для разбиений $P=\{X_i\times{Y}_j\}$ множества $\{X\times{Y}\}$:
Для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,n}$ фиксируем (помечаем) $x_i\in{X}_i$, $y_j\in{Y}_j$, тогда $$\sum_{i,j}(f(x_i,y_j)\mu(X_i,Y_i))=\sum_i\left(\sum_j(f(x_i,y_j)\mu(X_i)\mu(Y_j))\right)=\sum_i\left(\mu(X_i)\sum_j(f(x_i,y_j)\mu(Y_j))\right)$$ $\displaystyle{m}_{i,j}:=\inf_{(x,y)\in{X}_i\times{Y}_j}f(x,y)$, $\displaystyle{M}_{i,j}:=\sup_{(x,y)\in{X}_i\times{Y}_j}f(x,y)$. $$s(f,P):=\sum_{i,j}(m_{i,j}\mu(X_i\times{Y}_j))=\sum_i\mu(X_i)\left(\sum_j(m_{i,j}\mu(Y_j))\right),\quad S(f,P):=\sum_{i,j}(M_{i,j}\mu(X_i\times{Y}_j))=\sum_i\mu(X_i)\left(\sum_j(M_{i,j}\mu(Y_j))\right).$$ Для любого фиксированного $y\in{Y}$ положим $f_y(x)\colon{X}\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x\in{X}$ $f_y(x)=f(x,y)$.
$$G_*(y):=\sup_{(P_X)}{s(f_y,P_X)}:=\int_{*X}f(x,y)\,dx\colon{Y}\to\mathbb{R},\quad G^*(y):=\inf_{(P_X)}{S(f_y,P_X)}:=\int_X^*f(x,y)\,dx\colon{Y}\to\mathbb{R},$$ тогда для любого $y\in{Y}$ $G_*(y)\leq{G}^*(y)$.
Для любого фиксированного $x\in{X}$ положим $f_x(y)\colon{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $y\in{Y}$ $f_x(y):=f(x,y)$. $$J_*(x):=\sup_{(P_Y)}{s(f_x,P_Y)}:=\int_{*Y}f(x,y)\,dy\colon{X}\to\mathbb{R},\quad J^*(x):=\inf_{(P_Y)}{S(f_x,P_Y)}:=\int_Y^*f(x,y)\,dy\colon{X}\to\mathbb{R},$$ тогда для любого $x\in{X}$ $J_*(x)\leq{J}^*(x).$
Если $A\subset\mathbb{R}^n$, то символ "$A\in{G}(m,H)$" следует понимать как фразу "множество $A$ измеримо по Жордану на полукольце промежутков из $\mathbb{R}^n$". При этом в рамках одного доказательства символ $H$ может применяться для обозначения полуколец числовых промежутков разной размерности.
Далее понадобятся следующие вспомогательные факты.
Если $A\in{G}(m,H)$; функции $g_1(z),g_2(z)\colon{A}\to\mathbb{R}$ такие, что для любого $z\in{A}$ $g_1(z)\leq{g}_2(z)$, то $\int_{*A}g_1(z)\,dz\leq\int_{*A}g_2(z)\,dz$ и $\int_A^*g_1(z)\,dz\leq\int_A^*g_2(z)\,dz$.
Если $s\in\mathbb{N}$ и для любого $k\in\overline{1,s}$ $\alpha_k\geq0$, функции $g_k(z)\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ ограничены, то $$\inf_{z\in\mathbb{Z}}\sum_{k=1}^s(\alpha_kg_k(z))=\sum_{k=1}^s\left(\alpha_k\inf_{z\in\mathbb{Z}}g_k(z)\right),\quad \sup_{z\in\mathbb{Z}}\sum_{k=1}^s(\alpha_kg_k(z))=\sum_{k=1}^s\left(\alpha_k\sup_{z\in\mathbb{Z}}g_k(z)\right).$$ Если функция $g(x,y)\colon{A}\times{B}\to\mathbb{R}$ ограничена, то $$\inf_{(x,y)\in{A}\times{B}}g(x,y)=\inf_{x\in{A}}\left(\inf_{y\in{B}}g(x,y)\right),\quad \sup_{(x,y)\in{A}\times{B}}g(x,y)=\sup_{x\in{A}}\left(\sup_{y\in{Y}}g(x,y)\right)$$

Лемма 14.3.2: Пусть $X$, $Y$ параллелепипеды из $\mathbb{R}^m$, $\mathbb{R}^n$ соответственно, функция $f(x,y)\colon{X}\times{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что $f(x,y)\in\mathcal{R}(X\times{Y})$, тогда

1. $J_*(x)\in\mathcal{R}(X)$,
2. $J^*(x)\in\mathcal{R}(X)$,
3. $\int_XJ_*(x)\,dx=\int_XJ^*(x)\,dx=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy$,
4. пункты 1-3 для функций $G_*(y)$, $G^*(y)$.

Доказательство:

1. Фиксируем разбиение $P=\{X_i\times{Y}_j\}$ множества $X\times{Y}$, тогда $P_X:=\{X_i\}$, $P_Y:=\{y_j\}$ разбиение множеств $X$ и $Y$ соответственно. $$s(f,P)=\sum_{i,j}\left(\inf_{(x,y)\in{X}_i\times{Y}_j}f(x,y)\mu(X)i\times{Y}_j)\right)= \sum\left(\mu(X_i)\sum_j\left(\inf_{x\in{X}_i}\left(\inf_{y\in{Y}_j}f_x(y)\right)\mu(Y_j)\right)\right)= \sum_i\left(\mu(X_i)\inf_{x\in{X}_i}\sum_j\left(\inf_{y\in{Y}_j}f_x(y)\mu(Y_j)\right)\right)=$$ $$=\sum_i\left(\mu(X_i)\inf_{x\in{X}_i}{s(f_x,P_Y)}\right)\leq \sum_i\left(\mu(X_i)\inf_{x\in{X}_i}J_*(x)\right)=s(J_*,P_x)\qquad(1)$$ Здесь последнее равенство в силу того, что $$J_*(x):=\sup_{(P_Y)}{s(f_x,P_Y)}\Rightarrow\forall{x}\in{X}\,\forall{P}_Y(s(f_x,P_Y)\leq{J}_*(x)).$$ Аналогично $$S(f,P)=\sum_{i,j}\left(\sup_{(x,y)\in{X}_i\times{Y}_j}f(x,y)\mu(X_i\times{Y}_j)\right)= \sum_i\left(\mu(X_i)\sup_{x\in{X}_i}\sum_j\left(\sup_{y\in{Y}_j}f_x(y)\mu(Y_j)\right)\right)= \sum_i\left(\mu(X_i)\sup_{y\in{Y}_j}{S(f_x,P_Y)}\right)\geq\sum_i\left(\mu(X_i)\sup_{y\in{Y}_j}J^*(x)\right)=S(J^*,P_X)\quad(2)$$ Таким образом имеем $$\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy=\sup_{(P)}{s(f,P)}\leq\sup_{(P_X)}{s(J_*,P_X)}=\int_{*X}J_*(x)\,dx,$$ $$\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy=\inf_{(P)}{S(f,P)}\geq\inf_{(P_X)}{S(J^*,P_Y)}=\int_{X}^*J^*(x)\,dx,$$ то есть $\int_X^*J^*(x)\,dx\leq\int_{*X}J_*(x)\,dx\quad(3)$ и в силу того, что для любого $x\in{X}$ $J_*(x)\leq{J}^*(x)$ имеем $$\left(\int_X^*J_*(x)\,dx\leq\int_X^*J^*(x)\,dx\leq^{(3)}\int_{*X}J_*(x)\,dx\wedge\int_{*X}J_*(x)\,dx\leq\int_X^*J_*(x)\,dx\right)\Rightarrow \int_{*X}J_*(x)\,dx=\int_X^*J_*(x)\,dx\Rightarrow{J}_*(x)\in\mathcal{R}(X).$$
2. $$\left(\int_X^*J^*(x)\,dx\leq^{(3)}\int_{*X}J^*(x)\,dx\leq\int_{*X}J^*(x)\,dx\wedge\int_X^*J^*(x)\,dx\geq\int_{*X}J^*(x)\,dx\right)\Rightarrow \int_X^*J^*(x)\,dx=\int_{*X}J^*(x)\,dx\Rightarrow{J}^*(x)\in\mathcal{R}(X).$$
3. $$\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy=\sup_{(P)}{s(f,P)}\leq^{(1)}\sup_{(P_X)}(J_*,P_X)=\int_XJ_*(x)\,dx=\inf_{(P_X)}{S(J_*,P_X)}\leq\int_XJ^*(x)\,dx= \inf_{(P_X)}{S(J^*,P_X)}\leq^{(2)}\inf_{(P)}{S(f,P)}=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy=\int_XJ_*(x)\,dx=\int_XJ^*(x)\,dx.$$
4. Доказательство пунктов 1-3 для функций $G_*(y)$, $G^*(y)$ аналогично.

Следствие 14.3.3: Пусть $X$, $Y$ параллелепипеды из $\mathbb{R}^m$, $\mathbb{R}^n$ соответственно, функция $f(x,y)\colon{X}\times{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что $f(x,y)\in\mathcal{R}(X\times{Y})$, тогда

1. $\mathring{\forall}x\in{X}(J_*(x)=J^*(x))$, $\mathring{\forall}y\in{Y}(G_*(y)=G*(y))$,
2. $\mathring{\forall}x\in{X}(f_x(y)\in\mathcal{R}(Y))$, $\mathring{\forall}y\in{Y}(f_y(x)\in\mathcal{R}(X))$.

Доказательство:

1. По лемме 14.3.2 $J_*(x),J^*(x)\in\mathcal{R}(X)$ и $\int_XJ_*(x)\,dx=\int_XJ^*(x)\,dx$, следовательно, $$\int_X(J^*(x)-J_*(x))\,dx=\int_XJ^*(x)\,dx-\int_XJ_*(x)\,dx=0.$$ Тогда по лемме 14.3.1 $$\forall{x}\in{X}(J_*(x)\leq{J}^*(x))\Rightarrow\forall{x}\in{X}(J^*(x)-J_*(x))\geq0\Rightarrow\mathring{\forall}x\in{X}(J^*(x)-J_*(x))=0\Rightarrow \mathring{\forall}x\in{X}(J^*(x)=J_*(x)).$$ Аналогично для $G_*(y)$, $G^*(y)$.
2. По пункту 1 $$\mathring{\forall}x\in{X}(J^*(x)=J_*(x))\Rightarrow\mathring{\forall}x\in{X}\left(\int_Y^*f(x,y)\,dy=\int_{*Y}f(x,y)\,dy\right)\Rightarrow \mathring{\forall}x\in{X}(f_x(y)\in\mathcal{R}(Y))$$ Аналогично для $f_y(x)$.

Определение 14.3.5: Пусть $f(x,y)\in\mathcal{R}(X\times{Y})$. Обозначим $X_0:=\{x\in{X}\mid{f}_x(y)\in\mathcal{R}(Y)\}$, $Y_0:=\{y\in{Y}\mid{f}_y(x)\in\mathcal{R}(X)\}$, $$\mathcal{F}(x):=\begin{cases}\int_Yf(x,y)\,dy&,x\in{X_0}\\k=k(x)\in[J_*(x),J^*(x)]&,x\in{X}\backslash{X}_0\end{cases},\quad \Phi(y):=\begin{cases}\int_Xf(x,y)\,dx&,y\in{Y}_0\\d=d(y)\in[G_*(y),G^*(Y)]&,y\in{Y}\backslash{Y}_0\end{cases}$$

По следствию 14.3.3 $\mu(X\backslash{X}_0)=\mu(Y\backslash{Y}_0)=0$.

Следствие 14.3.4: Пусть $X$, $Y$ параллелепипеды из $\mathbb{R}^m$, $\mathbb{R}^n$ соответственно, функция $f(x,y)\colon{X}\times{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что $f(x,y)\in\mathcal{R}(X\times{Y})$ тогда,

1. $\mathcal{F}(x)\in\mathcal{R}(X)\wedge\int_X\mathcal{F}(x)\,dx=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy$,
2. $\Phi(y)\in\mathcal{R}(Y)\wedge\int_Y\Phi(y)\,dy=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy$.

Доказательство:

1. Обозначим $A:=\int_XJ_*(x)\,dx=\int_XJ^*(x)\,dx=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy$.
   Так как по определению функции $\mathcal{F}(x)$ для любого $x\in{X}$ $J_*(x)\leq\mathcal{F}(x)\leq{J}^*(x)$, то для любого разбиения с помеченными точками $(P_X,\xi)$ $\sigma(J_*,P_X,\xi)\leq\sigma(\mathcal{F},P_X,\xi)\leq\sigma(J^*,P_X,\xi)$.
   Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда так как $J_*,J^*\in\mathcal{R}(X)$, то $$\exists\delta_1>0\colon\forall(P_X,\xi)(\lambda(P_X)<\delta_1\Rightarrow|\sigma(J_*,P_X,\xi)-A|<\varepsilon\Rightarrow {A}-\varepsilon<\sigma(J_*,P_X,\xi)<{A}+\varepsilon),$$ $$\exists\delta_2>0\colon\forall(P_X,\xi)(\lambda(P_X)<\delta_2\Rightarrow|\sigma(J^*,P_X,\xi)-A|<\varepsilon\Rightarrow {A}-\varepsilon<\sigma(J^*,P_X,\xi)<{A}+\varepsilon).$$ Положим $\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, тогда $$\forall(P_X,\xi)(\lambda(P_X)<\delta\Rightarrow {A}-\varepsilon<\sigma(J_*,P_X,\xi)\leq\sigma(\mathcal{F},P_X,\xi)\leq\sigma(J^*,P_X,\xi)<{A}+\varepsilon\Rightarrow \forall(P_X,\xi)(\lambda(P_X)<\delta\Rightarrow|\sigma(\mathcal{F},P_X,\xi)-A|<\varepsilon)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\mathcal{F}(x)\in\mathcal{R}(X)\wedge\int_X\mathcal{F}(x)\,dx=A.$$
2. Доказывается аналогично пункту 1.

Теорема 14.3.4: Теорема Фубини.
Пусть $X$, $Y$ параллелепипеды из $\mathbb{R}^m$, $\mathbb{R}^n$ соответственно, функция $f(x,y)\colon{X}\times{Y}\to\mathbb{R}$ такая, что $f(x,y)\in\mathcal{R}({X}\times{Y})$, тогда

1. существует интеграл $\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dy\right)\,dx$,
2. существует интеграл $\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,dx\right)\,dy$,
3. $\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,dx\right)\,dy=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy$.

Доказательство:

1. Согласно следствию 14.3.3 внутренние интегралы в повторных существуют почти всюду на $X$ и $Y$ соответственно. Для того чтобы иметь право выписывать повторные интегралы ввели функции $\mathcal{F}(x)$ и $\Phi(y)$ доопределив их на множествах нулевой меры $X\backslash{X}_0$, $Y\backslash{Y}_0$. Таким образом при выписывании повторных интегралов, предполагаем, что внешние берутся от $\mathcal{F}(x)$ и $\Phi(y)$.
2. Доказывается аналогично пункту 1.
3. Следует из следствия 14.3.4 $$\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_Y\Phi(y)\,dy=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy$$ $$\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_X\mathcal{F}(x)\,dx=\iint_{X\times{Y}}f(x,y)\,dxdy.$$