14.3.5 Следствия из теоремы Фубини.

Утверждение 14.3.9: Пусть $m=n=1$, $X:=[a,b]$, $Y:=[c,d]$, $\Pi:=X\times{Y}$, $f(x,y)\in{C}(\Pi)$, тогда

1. существуют интегралы $\iint_{\Pi}f(x,y)\,dxdy$, $\int_a^bdx\int_c^df(x,y)\,dy$, $\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)\,dx$,
2. $\iint_{\Pi}f(x,y)\,dxdy=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)\,dy=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)\,dx$.

Доказательство:

1. Из непрерывности функции на компакте следует ее ограниченность, следовательно, по критерию Лебега $f(x,y)\in\mathcal{R}(\Pi)$.
   Так как из непрерывности по совокупности переменных следует непрерывность по каждой из них, то существование внутренних интегралов гарантировано на всей области определения. Повторные интегралы существуют по теореме Фубини.
2. Равенство интегралов следует из теоремы Фубини.

Утверждение 14.3.10: Пусть $n\in\mathbb{N}$ $I:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$, $f(x)=f(x_1,\ldots,x_n)\in{C}(I)$, тогда $f(x)\in\mathcal{R}(I)$ и для любой перестановки $p(k)\colon\overline{1,n}\to\overline{1,n}$ существует интеграл $$\int_{a_{p(1)}}^{b_{p(1)}}dx_{p(1)}\cdots\int_{a_{p(n-1)}}^{b_{p(n-1)}}dx_{p(n-1)}\int_{a_{p(n)}}^{b_{p(n)}}f(x_1,\ldots,x_n)dx_{p(n)}= \iint\cdots\int_If(x_1,\ldots,x_n)dx_1\cdots{d}x_n.$$

Доказательство: Выводится из утверждения 14.3.9 индукцией по $n$.

Утверждение 14.3.11: Пусть $n\in\mathbb{N}$ $I:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$, $f(x)=f(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal{R}(I)$, тогда для любой перестановки $p(k)\colon\overline{1,n}\to\overline{1,n}$ существует интеграл $$\int_{a_{p(1)}}^{b_{p(1)}}dx_{p(1)}\ldots\int_{a_{p(n-1)}}^{b_{p(n-1)}}dx_{p(n-1)}\int_{a_{p(n)}}^{b_{p(n)}}f(x_1,\ldots,x_n)dx_{p(n)}= \iint\cdots\int_If(x_1,\ldots,x_n)dx_1\cdots{d}x_n,$$ если допустить существование повторных интегралов при условии существования внутренних почти всюду.

Доказательство: Выводится из теоремы Фубини индукцией по $n$.

Введем некоторые обозначения:
$m,n\in\mathbb{N}$, $E\subset\mathbb{R}^{m+n}$,
$\overline{\mu}$ - мера Жордана в $\mathbb{R}^{m+n}$, $\overline{\mu}_x$ - мера Жордана в $\mathbb{R}^m$, $\overline{\mu}_y$ - мера Жордана в $\mathbb{R}^n$.
Для любого $x\in\mathbb{R}^m$ будем называть множество $E_x:=\{y\in\mathbb{R}^n\mid(x,y)\in{E}\}$ сечением множества $E\subset{R}^{m+n}$ при фиксированном $y\in\mathbb{R}^n$.
Положим $$\mu_y(E_x)\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}\colon\mu_y(E_x):= \begin{cases} \overline{\mu}_y(E_x)&,E_x\in{G}(m,H)\\ k=k(x)\in[\overline{\mu}_{y*}(E_x),\overline{\mu}_y^*(E_x)]&,E_x\in{G}(m,H) \end{cases}$$

Утверждение 14.3.12: Связь измеримости множества и измеримости его сечений.
Если множество $E$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{m+n}$, то

1. почти для всех $x\in\mathbb{R}^m$ сечение $E_x$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^n$,
2. почти для всех $y\in\mathbb{R}^n$ сечение $E_y$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^m$.

Доказательство: Если множество $A\subset\mathbb{R}^n$ ограничено и для некоторого промежутка $I_A$ содержащего $A$ $\chi_A(x)\in\mathcal{R}(I_A)$, то $A\in{G}(m,H)$.

Действительно, по критерию Лебега $\chi_A(x)$ непрерывна почти всюду на $I_A$. С другой стороны, очевидно, что любая $x_0\in\partial{A}$ является точкой разрыва функции $\chi_A(x)$, следовательно, $\mu^*(\partial{A})=0$. Тогда по теореме 14.2.7 $A\in{G}(m,H)$.

Утверждение 14.3.13: Пусть $n\in\mathbb{N}$, $D$ - компакт в $\mathbb{R}^n$, $D\in{G}(m,H)$; функции $\varphi(x),\psi(x)\colon{D}\to\mathbb{R}$ такие, что $\varphi(x),\psi(x)\in{C}(D)$ и для любого $x\in{D}$ $\varphi(x)\leq\psi(x)$, тогда множество $E:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid{x}\in{D},\varphi(x)\leq{y}\leq\psi(x)\}$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{n+1}$ и $\overline{\mu}(E)=\int_D(\psi(x)-\varphi(x))\,dx$

Доказательство: Множество $D$ - компакт, следовательно, ограничено. Функции $\varphi(x)$, $\psi(x)$ непрерывны на компакте, следовательно, ограничены, то есть множество $E$ ограничено, тогда $$\exists{s}>0\colon((x,y)\in{E}\Rightarrow{y}\in[-s,s])\Rightarrow\partial{E}\subset(\graf{\varphi(x)}\cup\graf{\psi(x)}\cup(\partial{D}\times[-s,s])).$$ По пункту 6 теоремы 14.2.9 $\mu^*(\graf{\varphi(x)})=\mu^*(\graf{\psi(x)})=0$. Так как $D\in{G}(m,H)$, то по теореме 14.2.7 $\mu^*(\partial{D})=0$, следовательно, $\mu^*(\partial{D}\times[-s,s])=0$ и $\mu^*(E)=0$. Таким образом по теореме 14.2.7 $E\in{G}(m,H)$. Тогда по утверждению 14.3.12 $E_x=\begin{cases}[\varphi(x),\psi(x)]&,x\in{D}\\\varnothing&,x\notin{D}\end{cases}$ и $$\overline{\mu}(E)=\int_{I_x}\mu_y(E_x)\,dx=\int_{I_x}\chi_D(x)(\psi(x)-\varphi(x))\,dx=\int_D(\psi(x)-\varphi(x))\,dx.$$

Утверждение 14.3.14: Пусть $n\in\mathbb{N}$, $D$ - компакт в $\mathbb{R}^n$, $D\in{G}(m,H)$; функции $\varphi(x),\psi(x)\colon{D}\to\mathbb{R}$ такие, что $\varphi(x),\psi(x)\in{C}(D)$, для любого $x\in{D}$ $\varphi(x)\leq\psi(x)$, $E:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid{x}\in{D},\varphi(x)\leq{y}\leq\psi(x)\}$, функция $f(x,y)\colon{E}\to\mathbb{R}$ такая, что $f(x,y)\in\mathcal{R}(E)$, тогда $\displaystyle\iint_Ef(x,y)\,dxdy=\int_D\left(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)\,dy\right)\,dx.$

Доказательство: Существует промежуток $I_x\subset\mathbb{R}^n$ и отрезок $I\subset\mathbb{R}$ такие, что $E\subset{I}_x\times{I}$, следовательно, так как для любого $x\in{D}$ $E_x=[\varphi(x),\psi(x)]$, то $$\iint_Ef(x,y)\,dxdy=\iint_{I_x\times{I}}\chi_E(x,y)f(x,y)\,dxdy=\int_{I_x}\int_I\chi_D(x)\chi_{E_x}(y)f(x,y)\,dxdy= \int_{I_x}dx\int_I\chi_{E_x}(y)f(x,y)\,dy=\int_Ddx\int_{E_x}f(x,y)\,dy=\int_D\left(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)\,dy\right)\,dx.$$

14.3.6 Замена переменной в кратном интеграле Римана.

Теорема 14.3.5: Пусть $n\in\mathbb{N}$, $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$, $t=(t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb{R}^n$, $D_x,D_t\subset\mathbb{R}^n$; $D_x,D_t\in{G}(m,H)$; $x=\varphi(t)\colon{D}_t\to{D}_x\sim \begin{cases}x_1=\varphi_1(t_1,\ldots,t_n)\\\qquad\cdots\\x_n=\varphi(t_1,\ldots,t_n)\end{cases}$; $S_x\subset{D}_x$, $S_t\subset{D}_t$ такие, что $\mu^*(S_x)=\mu^*(S_t)=0$; $D_x\backslash{S}_x$, $D_t\backslash{S}_t$ открыты в $\mathbb{R}^n$; $\varphi(t)\colon{D}_x\backslash{S}_x\to{D}_x\backslash{S}_t$ - диффеоморфизм гладкости 1. $$\det{\varphi'(t)}=|J(t)|=\left|\frac{\partial(x_1,\ldots,x_n)}{\partial(t_1,\ldots,t_n)}\right|= \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}_1}{\partial{t}_1} & \cdots & \frac{\partial{x}_1}{\partial{t}_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial{x}_n}{\partial{t}_1} & \cdots & \frac{\partial{x}_n}{\partial{t}_n} \end{vmatrix}\colon{D}_t\backslash{S}_t\to\mathbb{R}; $$ функция $f(x)\colon{D}_x\to\mathbb{R}$ такая, что $f(x)\in\mathcal{R}(D_x)$, тогда

1. $f(\varphi(t))|\det{\varphi'(t)}|\in\mathcal{R}(D_t\backslash{S}_t)$,
2. $\displaystyle\int_{D_x}f(x)\,dx=\int_{D_t\backslash{S}_t}f(\varphi(t))|\det{\varphi'(t)}|\,dt$.

Доказательство:Зорич т. 2, стр. 164 - 177.

Как правило в множество $S_t$ входят точки удовлетворяющие одному из следующих условий:

1. $t\in\partial{D}_t$,
2. $\varphi(t)$ не дифференцируема в $t$,
3. $\det{\varphi'(t)}=0$,
4. $t$ - точка разрыва функции $\varphi(t)$.

Как правило в множество $S_x$ входят точки удовлетворяющие одному из следующих условий:

1. $x\in\partial{D}_x$,
2. $\varphi(t)$ необратима в $x=\varphi(t)$,
3. $\varphi(t)$ не биективна в $x=\varphi(t)$,
4. $\varphi^{-1}(x)$ не дифференцируема в $x$.

Если дополнительно известно, что функция $\varphi(t)$ является локальным диффеоморфизмом, в частности, если $\varphi(t)$ хотя бы непрерывно дифференцируема на $S_t$, то $\displaystyle\int_{D_x}f(x)\,dx=\int_{D_t}f(\varphi(t))|J(t)|\,dt$.

Пример 14.3.1: Замена декартовых координат на полярные.
$n=2$
$D_t:=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2\mid0\leq{r}\leq{R}\wedge0\leq\varphi\leq2\pi\}$
$D_x:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid{x}^2+y^2\leq{R}^2\}$
$\begin{cases}x(r,\varphi)=r\cos{\varphi}\in{C}^{\infty}(\mathbb{R}^2)\\y(r,\varphi)=r\sin{\varphi}\in{C}^{\infty}(\mathbb{R}^2)\end{cases}$
$$ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\right|= \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{r}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\varphi}}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{r}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\varphi}} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\cos{\varphi} & -r\sin{\varphi} \\ \sin{\varphi} & r\cos{\varphi}\end{vmatrix}=r\cos^2{\varphi}+r\sin^2{\varphi}=r. $$ Однако, отображение $(r,\varphi)\to(x,y)$ не инъективно, например при $r=0$ для любого $\varphi$ $(x,y)=(0,0)$. Для того чтобы отображение $(r,\varphi)\to(x,y)$ стало диффеоморфизмом надо исключить из множества $D_t$ его границу, то есть $S_t:=\partial{D_t}$, а из множества $D_x$ исключить его границу и радиус $[(0,0),(0,R)]$, то есть $S_x:=\partial{D}_x\cup[(0,0),(0,R))$, тогда множества $D_t\backslash{S}_t$, $D_x\backslash{S}_x$ будут открытыми и отображение $(x,y)\colon{D}_t\backslash{S}_t\to{D}_x\backslash{S}_x$ будет диффеоморфизмом гладкости 1. Следовательно, по теореме 14.3.5 для любой интегрируемой на $D_x$ функции $f(x,y)$ справедливо равенство $$\iint_{D_x}f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_t\backslash{S}_t}rf(r\cos{\varphi},r\sin{\varphi})\,drd\varphi= \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^Rrf(r\cos{\varphi},r\sin{\varphi})\,dr,$$ где последнее равенство следует из теоремы Фубини.

Пример 14.3.2: Замена сферических координат на декартовы.
$n=3$
$D_t:=\left\{(r,\varphi,\psi)\mid0\leq{r}\leq{R},0\leq\varphi\leq2\pi,-\frac{\pi}{2}\leq\psi\leq\frac{\pi}{2}\right\}$
$D_x:=\{(x,y,z)\mid{x}^2+y^2+z^2\leq{R}^2\}$
$\begin{cases}x=r\cos{\varphi}\cos{\psi} \\ y=r\sin{\varphi}\cos{\psi} \\ z=r\sin{\psi} \end{cases}$ $$\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\psi)}\right|= \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{r}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\varphi}} & \frac{\partial{x}}{\partial{\psi}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{r}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\varphi}} & \frac{\partial{y}}{\partial{\psi}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{r}} & \frac{\partial{z}}{\partial{\varphi}} & \frac{\partial{z}}{\partial{\psi}} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cos{\varphi}\cos{\psi} & -r\sin{\varphi}\cos{\psi} & -r\cos{\varphi}\sin{\psi} \\ \sin{\varphi}\cos{\psi} & r\cos{\varphi}\cos{\psi} & -r\sin{\varphi}\sin{\psi} \\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi} \end{vmatrix}= r^2\cos^2{\varphi}\cos^3{\psi}+r^2\sin^2{\varphi}\cos^3{\psi}+r^2\sin^2{\varphi}\cos{\psi}\sin^2{\psi}+r^2\cos^2{\varphi}\cos{\psi}\sin^2{\psi}=$$ $$=r^2\cos^3{\psi}(\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi})+r^2\cos{\psi}\sin^2{\psi}(\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi})=r^2\cos^3{\psi}+r^2\cos{\psi}\sin^2{\psi}= r^2\cos{\psi}(\cos^2{\psi}+\sin^2{\psi})=r^2\cos{\psi}. $$ $S_t:=\partial{D}_t$
$S_x:=\partial{D}_x\cup\{(x,y,z)\in{D}_x\mid{x}^2+y^2=0\}$ $$\iiint_{D_x}f(x,y,z)\,dxdydz= \iiint_{D_t\backslash{D}_t}r^2\cos{\psi}f(r\cos{\varphi}\cos{\psi},r\sin{\varphi}\cos{\psi},r\sin{\psi})\,drd\varphi{d}\psi.$$

previous contents next