Число в математике, как время в физике - известно каждому, но непонятно только специалисту.
Определение 3.1.1: Множество действительных (вещественных) чисел.
Некоторое непустое множество, обозначаемое $\mathbb{R}$, назовем множеством действительных (вещественных) чисел,
а его элементы действительными (вещественными) числами, если выполнены перечисленные ниже аксиомы
(аксиомы сложения, умножения, порядка, их связи и аксиома полноты).
I. Аксиомы сложения.
Определено отображение $+:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, называемое далее операцией сложения,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ элемент $x+y\in\mathbb{R}$, называемый далее суммой элементов $x$ и $y$
(т. е. $+(x,y)=z$ обозначают как $x+y=z$), при этом выполнены условия:
II. Аксиомы умножения.
Определено отображение $*:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, называемое далее операцией умножения,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ элемент $x*y\in\mathbb{R}$, называемый далее произведением элементов $x$ и $y$
(т. е. $*(x,y)=z$ обозначают как $x*y=z$), при этом выполнены условия:
(I, II) Связь аксиом сложения и умножения.
Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, то есть $$\forall{x}\in\mathbb{R},\forall{y}\in\mathbb{R},\forall{z}\in\mathbb{R}((x+y)*z=x*z+y*z)$$
Если на каком либо множестве $G$ определены две операции обладающие всеми перечисленными свойствами,
то множество $G$ принято называть алгебраическим полем или просто полем.
III. Аксиомы порядка.
На множестве $\mathbb{R}^2$ задано отношение "$\leq$" - меньше или равно, удовлетворяющее свойствам
(I, III) Связь аксиом сложения и порядка. $$\forall{x}\in\mathbb{R},\forall{y}\in\mathbb{R},\forall{z}\in\mathbb{R}(x\leq{y}\Rightarrow{x}+z\leq{y}+z)$$
(II, III) Связь аксиом умножения и порядка. $$\forall{x}\in\mathbb{R},\forall{y}\in\mathbb{R}((0\leq{x}\wedge0\leq{y})\Rightarrow0\leq{x}*y)$$
IV. Аксиома полноты (непрерывности).
Пусть $X$ и $Y$ два непустых подмножества из $\mathbb{R}$ такие, что для любого $x\in{X}$ и для любого $y\in{Y}$ выполняется $x\leq{y}$,
тогда существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что для любого $x\in{X}$ и для любого $y\in{Y}$ выполняется $x\leq{c}$ и $c\leq{y}$. То есть
$$X\subset\mathbb{R},Y\subset\mathbb{R}:\forall{x}\in{X},\forall{y}\in{Y}(x\leq{y})\Rightarrow
\exists{c}\in\mathbb{R}:\forall{x}\in{X},\forall{y}\in{Y}(x\leq{c}\leq{y})$$
Всякий аксиоматический подход к определению действительных чисел является традиционно формальным. Он предполагает незнание никаких свойств действительных чисел. Мы взяли совокупность аксиом и сказали, что произвольное множество, которое им удовлетворяет называется множеством действительных чисел. Доказано, что данная система аксиом является непротиворечивой и категоричной. То есть существуют способы построения множеств удовлетворяющих указанным аксиомам и для любых двух таких множеств $\mathbb{R}_A$ и $\mathbb{R}_B$ существует биективное отображение $f(x):\mathbb{R}_A\to\mathbb{R}_B$ такое, что
Утверждение 3.1.1: Следствия из аксиом сложения.
Доказательство:
Утверждение 3.1.2: Следствия из аксиом умножения.
Доказательство:
Утверждение 3.1.3: Следствия аксиомы связи сложения и умножения.
Доказательство:
Определение 3.1.2: Отношения "больше" и "меньше", положительные и отрицательный числа.
$(x<y):=(x\leq{y}\wedge{x}\neq{y})$; $(x>y):=(y\leq{x}\wedge{x}\neq{y})$
Если $x>0$, то говорят, что $x$ положительное число, если $x<0$ - отрицательное.
Лемма 3.1.1:$\forall{x}\in\mathbb{R},\forall{y}\in\mathbb{R}(x<y\Leftrightarrow\neg(y\leq{x}))$
Доказательство: По определению отношения "меньше" надо доказать, что $x\leq{y}\wedge{x}\neq{y}\Leftrightarrow\neg(y\leq{x})$.
$\Rightarrow)$ Предположим противное: $x\leq{y}\wedge{x}\neq{y}\wedge{y}\leq{x}$, тогда по аксиоме $2^<$ $x=y\wedge{x}\neq{y}$.
$\Leftarrow)$ По аксиоме $1^<$ $\neg(y\leq{x})\Rightarrow{x}\neq{y}$ и по аксиоме $4^<$
$\neg(y\leq{x})\Rightarrow{x}\leq{y}$
Утверждение 3.1.4: Следствия из аксиом порядка.
Доказательство:
Утверждение 3.1.5: Следствие аксиом связи порядка со сложением и умножением.
Доказательство:
Определение 3.1.3: Отношение больше или равно.
Будем говорить, что упорядоченная пара $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ принадлежит отношению "больше или равно", тогда и только тогда, когда $b\leq{a}$.
Если пара $(a,b)$ принадлежит отношению "больше или равно", то говорят, что "$a$ больше или равно $b$" и обозначают $a\geq{b}$.
Определение 3.1.4: Мажоранта и миноранта числового множества.
Будем говорить, что непустое множество $X\subset\mathbb{R}$ ограничено сверху если существует $c\in\mathbb{R}$ такое,
что для любого $x\in{X}$: $x\leq{c}$. Число $c$ в этом случае называется верхней границей или мажорантой множества $X$.
Будем говорить, что непустое множество $X\subset\mathbb{R}$ ограничено снизу если существует $c\in\mathbb{R}$ такое,
что для любого $x\in{X}$: $x\geq{c}$. Число $c$ в этом случае называется нижней границей или минорантой множества $X$.
Определение 3.1.5:
Множество ограниченное одновременно и сверху и снизу будем называть ограниченным.
Как правило для пустого множества все свойства бессодержательны, так что будем считать пустое множество ограниченным.
Определение 3.1.6: Максимум и минимум числового множества.
Пусть $X$ непустое подмножество $\mathbb{R}$.
Будем говорить, что число $a\in{X}$ является наибольшим в множестве $X$ или максимумом множества $X$, если для любого $x\in{X}$: $x\leq{a}$.
Будем говорить, что число $a\in{X}$ является наименьшим в множестве $X$ или минимумом множества $X$, если для любого $x\in{X}$: $x\geq{a}$
Если у множества есть максимальный элемент, то он единственен. Действительно, пусть у множества $X\subset\mathbb{R}$ есть два максимальных
элемента $x_1\in{X}$ и $x_2\in{X}$, тогда $x_1\leq{x_2}$, так как $x_2$ максимальный и $x_2\leq{x_1}$, так как $x_1$ максимальный.
Следовательно по аксиоме $2^\leq$ $x_1=x_2$. Аналогично показывается единственность минимального элемента множества.
Если в множестве есть максимальный элемент, то оно ограничено сверху, так как максимальный элемент является мажорантой.
Если в множестве есть минимальный элемент, то оно ограничено снизу, так как минимальный элемент является минорантой.
Определение 3.1.7: Верхняя и нижняя грань числового множества.
Если $X$ не пустое ограниченное сверху числовое множество, тогда наименьшую из мажорант этого множества называют его точной верхней гранью
или супремумом и обозначают $\sup{X}$. То есть
$$(c=\sup{X}):=(\forall{x}\in{X}(x\leq{c}))\wedge(\forall{c'}<c\:\exists{x}=x(c')\in{X}:c'<x)$$
Если $X$ не пустое ограниченное сверху числовое множество, тогда наибольшую из минорант этого множества называют его точной нижний гранью
или инфинумом и обозначают $\inf{X}$. То есть
$$(c=\inf{X}):=(\forall{x}\in{X}(c\leq{x}))\wedge(\forall{c'}>c\:\exists{x}=x(c')\in{X}:c'>x)$$
Определение 3.1.7 требует оправдания, так как в нём пропущен вопрос о существовании точной верхней и нижней грани. Надо дать гарантию,
что во множестве всех мажорант произвольного ограниченного числового множества существует минимальный элемент, а в множестве всех минорант
максимальный. В сформулированных ниже леммах гарантия дается.
Лемма 3.1.2: Принцип верхней грани.
Всякое не пустое ограниченное сверху подмножество действительных чисел имеет, и при том единственную верхнюю грань.
Доказательство:
Пусть $X\subset\mathbb{R}$, $X\neq\varnothing$, $X$ - ограничено сверху.
$Y:=\{y\in\mathbb{R}\:|\:\forall{x}\in{X}(x\leq{y})\}$ - множество всех мажорант множества $X$.
Ограниченность сверху множества $X$ гарантирует, что множество $Y$ не пусто. Таким образом имеем $X\subset\mathbb{R}$, $Y\subset\mathbb{R}$
и для любых $x\in{X}$, $y\in{Y}$ $x\leq{y}$, следовательно, по аксиоме полноты существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что
для любых $x\in{X}$, $y\in{Y}$ $x\leq{c}\leq{y}$. Таким образом число $c$ является мажорантой множества $X$, следовательно, принадлежит
множеству $Y$ и является его минимумом, то есть является точной верхней гранью множества $X$. Единственность точной верхней грани
следует из единственности минимального элемента множества $Y$.
Лемма 3.1.3: Принцип нижней грани.
Всякое не пустое ограниченное снизу подмножество действительных чисел имеет, и при том единственную нижнюю грань.
Доказательство:
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1.3. Точная нижняя грань - это максимальный элемент в множестве минорант.
Существование максимума гарантируется аксиомой полноты.
Если в множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он будет супремумом (инфинумом) этого множества.
$$(E\subset\mathbb{R}\wedge\exists{m}=\max{E})\Rightarrow(\forall{x}\in{E}(x\leq{m})\wedge\forall{m'}\in{E}(m'<m\Rightarrow\exists{x}=m\in{E}:m'<m))$$
Задача 3.1.1: $X:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:0<x<1\}$
Доказать, что
Решение:
previous contents next
Предположим, что существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что $0<c<1$ и для любого $x\in{X}$ $x\leq{c}$.
Рассмотрим число $a=(c+1)*2^{-1}>0$, где $2:=1+1$, тогда:
$$c<1\Leftrightarrow{c}+c<c+1\Leftrightarrow{c}*(1+1)<c+1\Leftrightarrow{c}*2*2^{-1}<(c+1)*2^{-1}\Leftrightarrow{c}<a$$
$$c<1\Leftrightarrow{c}+1<1+1\Leftrightarrow({c}+1)*2^{-1}<2*2^{-1}\Leftrightarrow{a}<1\Rightarrow{a}\in{X}$$
Таким образом число $a$ принадлежит множеству $X$ и $c<a$, следовательно, $c$ не может быть мажорантой множества $X$.
Предположим, что существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что $0<c<1$ и для любого $x\in{X}$ $c\leq{x}$
Рассмотрим число $a:=c*2^{-1}>0$
$$c<0\Rightarrow{c}<c+c=2*c\Rightarrow{a}=c*2^{-1}<c$$
Таким образом число $a$ принадлежит множеству $X$ и $a<c$, следовательно, $c$ не может быть минорантой множества $X$