3.3 Принцип Архимеда.

Слово принцип используется не в смысле "без доказательно". Принцип Архимеда, как будет, показано следует из принципа верхней (нижней) грани, который в свою очередь следует из аксиомы полноты.

Утверждение 3.3.1:Любое ограниченное сверху (снизу) подмножество целых чисел имеет максимальный (минимальный) элемент.

Доказательство: Пусть множество $E\subset\mathbb{Z}$ ограничено сверху. Тогда по принципу верхней грани существует $s\in\mathbb{R}$ супремум множества $E$:
($s=\sup{E}\wedge{s}-1<s)\Rightarrow\exists{n}\in{E}: s-1<n\leq{s}$.
Покажем от противного, что число $n$ - максимум множества $E$. Предположим, что $n$ не максимум $E$, тогда
$\exists{m}\in{E}:m>n\Rightarrow(m-n\in\mathbb{Z}\wedge{m}-n>0)\Rightarrow{m}-n\in\mathbb{N}\Rightarrow1\leq{m}-n$,
где последнее неравенство следует из пункта 5 утверждения 3.2.3, тогда
$(s-1<n\wedge1\leq{m}-n)\Rightarrow({s}<n+1\wedge{n}+1\leq{m})\Rightarrow{s}<{m}\Rightarrow{s}\neq\sup{E}$
Получено противоречие с определением $s$.

Следствие 3.3.1:

1. Множество натуральных чисел не ограничено сверху.
2. Множество рациональных чисел не ограничено сверху.
3. Множество рациональных чисел не ограничено снизу.

Доказательство:

1. Пусть $n_0=\max\mathbb{N}\in\mathbb{N}$ , но тогда $n_0<n_0+1\in\mathbb{N}$.
2. Из неограниченности сверху множества $\mathbb{N}$ следует неограниченность снизу множества $-\mathbb{N}$, а, следовательно, неограниченность множества $\mathbb{Z}$. Из неограниченности множества $\mathbb{Z}$ следует неограниченность сверху множества $\mathbb{Q}$.
3. Следует из неограниченности множества $\mathbb{Z}$.

Утверждение 3.3.2: Принцип Архимеда.
$$\forall{x}\in\mathbb{R}, \forall{h}>0(\exists!k\in\mathbb{Z}:(k-1)h\leq{x}<kh)$$

Доказательство: Рассмотрим множество $M:=\{n\in\mathbb{Z}\:|\:n>\frac{x}{h}\}$.

1. Множество $M$ ограничено снизу, так как число $\frac{x}{h}$ является его минорантой.
2. Множество $M$ не пусто, так как множество $\mathbb{Z}$ не ограничено сверху.

Следствие 3.3.2:

1. $\forall\varepsilon>0(\exists{n}\in\mathbb{N}:0<\frac{1}{n}<\varepsilon)$.
2. $(x\geq0\wedge\forall{n}\in\mathbb{N}(x<\frac1{n}))\Rightarrow{x}=0$.
3. $\forall{a},b\in\mathbb{R}(a<b\Rightarrow\exists{r}\in\mathbb{Q}:a<r<b)$

Доказательство:

1. Если в условиях принципа Архимеда положить $h:=\varepsilon, x:=1$, то получим $$\forall\varepsilon>0(\exists{n}\in\mathbb{Z}:1<n\varepsilon)$$ $(\varepsilon>0\wedge1<n\varepsilon)\Rightarrow({n}>0\wedge1<n\varepsilon)\Rightarrow(n\in\mathbb{N}\wedge\frac1{n}<\varepsilon)$
2. Утверждение верно, так как противоположное ему $$\exists{x}>0:\forall{n}\in\mathbb{N}\left(x<\frac1{n}\right)$$ противоречит пункту 1.
3. Так как $a<b$, то $b-a>0$, тогда по пункту 1 существует $n\in\mathbb{N}$, такое что $0<\frac1{n}<b-a$.
   Тогда если в условиях принципа Архимеда положить $h:=\frac1{n}, x:=a$, то получим $$\exists{m}\in\mathbb{Z}:(m-1)\frac1{n}\leq{a}<m\frac1{n}$$ Тогда в свою очередь $$\frac1{n}<b-a\Rightarrow\frac1{n}+a<b\Rightarrow{b}>\frac1{n}+(m-1)\frac1{n}=\frac1{n}+\frac{m}{n}-\frac1{n}=\frac{m}{n}\Rightarrow {a}<\frac{m}{n}<b$$

Если в условиях принципа Архимеда положить $h:=1$, тогда $$\forall{x}\in\mathbb{R}(\exists!k\in\mathbb{Z}:k-1\leq{x}<k).$$ В этом случае целое число $[x]:=k-1$ называют целой частью действительного числа $x$, a действительное число $\{x\}:=x-[x]$ называют дробной частью действительно числа $x$.

Определение 3.3.1: Корень из положительного числа.
Пусть дано $a\in\mathbb{R}$ такое, что $a>0$, $n\in\mathbb{N}$, такое что $n\geq2$, тогда корнем n-той степени из числа $a$ будем называть такое число $y$, которое при возведении в степень $n$ равно $x$, то есть $y^n=x$.

Определение 3.3.2: Арифметический корень из положительного числа.
Если в условиях определения 3.3.1 потребовать чтобы число $y$ было положительно, то оно называется арифметическим корнем из числа $a$.

Доказано, что для любых $x>0, n\in\mathbb{N}$ существует единственный $y>0$ такой, что $y^n=x$.

3.4. Некоторые топологические свойства множества вещественных чисел.

3.4.1 Расширенное множество действительных чисел $\overline{\mathbb{R}}$.

Определение 3.4.1: Числовые промежутки.
Для любых $a,b\in\mathbb{R}$ таких что $a\leq{b}$

1. множество $[a,b]:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:a\leq{x}\leq{b}\}$ будем называть отрезком a, b,
2. множество $[a,b):=\{x\in\mathbb{R}\:|\:a\leq{x}<b\}$ будем называть полуинтервалом a, b открытым справа,
3. множество $(a,b]:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:a<x\leq{b}\}$ будем называть полуинтервалом a, b открытым слева,
4. множество $(a,b):=\{x\in\mathbb{R}\:|\:a<x<y\}$ будем называть интервалом a, b.

Определение 3.4.2: Расширенное множество действительных чисел.
Расширенным множество действительных чисел называют множество $\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\}$.
При этом считаются корректными следующие операции с элементами $-\infty,+\infty$:
$+\infty+(+\infty):=+\infty$
$-\infty+(-\infty):=-\infty$
$+\infty*(+\infty):=+\infty$
$-\infty*(-\infty):=+\infty$
$-\infty*(+\infty):=-\infty$
$\forall{a}\in\mathbb{R}(+\infty+a:=+\infty\wedge-\infty+a:=-\infty)$
$\forall{a}>0(+\infty*a:=+\infty\wedge-\infty*a:=-\infty)$
$\forall{a}<0(+\infty*a:=-\infty\wedge-\infty*a:=+\infty)$
$\forall{a}\in\mathbb{R}(a<+\infty\wedge{a}>-\infty)$
$-\infty<+\infty$
Как видно множество $\overline{\mathbb{R}}$ не замкнуто относительно операций сложения и умножения, так как не определены результаты операций $-\infty+(+\infty)$, $+\infty*0$, $-\infty*0$, однако использование символов $-\infty, +\infty$ в некоторых случаях позволяет значительно упростить нотацию. Далее везде если символ $\infty$ употребляется без знака, то имеется ввиду, что в данном контексте можно употребить как $-\infty$, так $+\infty$, то есть $\infty\sim\pm\infty$.

3.4.2 Окрестность точки.

Определение 3.4.3: Окрестность точки.
Окрестностью точки $x\in\mathbb{R}$ будем называть любой интервал $(a,b)$ такой что $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ и $a<x<b$.
При этом, если $a,b\in\mathbb{R}$, то говорят о конечной окрестности точки $x$, а если $a\in\{-\infty,+\infty\}$ или $b\in\{-\infty,+\infty\}$ то говорят о бесконечной окрестности точки $x$.
Для обозначения произвольной окрестности точки $x\in\mathbb{R}$ используют выражение $U(x)$, при этом для любого $x\in\mathbb{R}$ считаются коректными выражения $U(-\infty):=(-\infty,x)$, $U(+\infty):=(x,+\infty)$

Определение 3.4.4: Центрально-симметричная окрестность.
Для любого $\delta>0$ центрально-симметричной $\delta$-окрестностью точки $x$ называют интервал вида $U^\delta(x):=(x-\delta,x+\delta)$

Утверждение 3.4.1: Простейшие свойства окрестностей.

1. $\forall{a}\in\mathbb{R}\:\exists{U}(a)$
2. Пересечение двух любых окрестностей одной и той же точки, будет окрестностью этой точки.
3. $\forall{a}\in\mathbb{R},\forall{U}_1(a),\forall{U}_2(a)(\exists{U}_3(a):U_3(a)\subsetneq{U}_1(a)\cap{U}_2(a))$
4. Свойство отделимости окрестностей для множества действительных чисел.
   $\forall{a},b\in\overline{\mathbb{R}}(a\neq{b}\Rightarrow\exists{U}(a), \exists{U}(b):U(a)\cap{U}(b)=\varnothing)$

Доказательство:

1. Так как множество $\mathbb{N}$ не ограничено сверху, то для любого $a\in\mathbb{R}$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $n>a$, тогда $-n<a$, следовательно, интервал $(-n,n)$ будет окрестностью точки $a$.
2. Пусть даны две окрестности $(a_1,b_1), (a_2,b_2)$ точки $y\in\mathbb{R}$.
   $x\in(a_1,b_1)\cap(a_2,b_2)\Leftrightarrow(a_1<x<b_1\wedge{a}_2<x<b_2)\Leftrightarrow\max\{a_1,a_2\}<x<\min\{b_1,b_2\}$
   $(a_1<y<b_1\wedge{a}_2<y<b_2)\Rightarrow\max\{a_1,a_2\}<y<\min\{b_1,b_2\}\Rightarrow\max\{a_1,a_2\}<\min\{b_1,b_2\}$
   Таким образом интервал $(\max\{a_1,a_2\},\min\{b_1,b_2\})$ является окрестностью точки $y$.
3. По пункту 2 $(c,d):=U_1(a)\cap{U}_2(a)$ будет окрестностью точки $a$, то есть $c<a<d$. По пункту 3 следствия из принципа Архимеда существуют $r_1,r_2\in\mathbb{Q}$ такие что $c<r_1<a<r_2<d$, следовательно $(r_1,r_2)$ окрестность точки $a$ и $(r_1,r_2)\subsetneq{U}_1(a)\cap{U}_2(a)$
4. Если $a\notin\mathbb{R}$ или $b\notin\mathbb{R}$, то утверждение очевидным образом следует из неограниченности множества действительных чисел.
   Рассмотри случай, когда $a,b\in\mathbb{R}$. Без ограничения общности (б. о. о.) будем считать, что $a<b$ (случай $b<a$ доказывается аналогично). $$\delta:=\frac{b-a}{3}\Rightarrow\left(a+\delta=a+\frac{b-a}{3}\wedge{b}-\delta=b-\frac{b-a}{3}\right)\Rightarrow \left(a+\delta=\frac{2a+b}{3}\wedge{b}-\delta=\frac{a+2b}{3}\right)$$ $$a<b\Rightarrow{a}+a+b<b+a+b\Rightarrow2a+b<a+2b\Rightarrow\frac{2a+b}{3}<\frac{a+2b}{3}\Rightarrow {a}+\delta<b-\delta\Rightarrow(a-\delta,a+\delta)\cap(b-\delta,b+\delta)=\varnothing$$

3.4.3 Модуль действительного числа.

Определение 3.4.5: Модуль действительного числа.
Функция $|x|:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такая что $|x|=\begin{cases}\;\;\;{x},&\quad{x}\geq0\\-x,&\quad{x}<0\end{cases}$ называется модулем числа $x$.

Свойства модуля:

1. $\forall{x}\in\mathbb{R}(0\leq|x|)$
2. $|x|=0\Leftrightarrow{x}=0$
3. $|xy|=|x||y|$
4. Неравенство треугольников
   $|x+y|\leq|x|+|y|$

Определение 3.4.6 Функция $\rho(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ такая, что для любых $x,y\in\mathbb{R}$ $\rho(x,y)=|x-y|$ называется расстоянием между точками $x, y$.

Свойства расстояния:

1. $\forall{x},y\in\mathbb{R}(0\leq\rho(x,y))$
2. $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow{x}=y$
3. Неравенство треугольников
   $\forall{x},y,z\in\mathbb{R}(\rho(x,y)\leq\rho(x,z)+\rho(y,z))$
4. $\forall{x},y\in\mathbb{R}(\rho(x,y)=\rho(y,x))$