4. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Наша цель сформулировать понятие предела для числовых последовательностей и числовых функций. Понятие предела является содержательным только для бесконечных подмножеств множества $\mathbb{R}$. Мы начнем изучение предела с минимального бесконечного подмножества множества $\mathbb{R}$ множества натуральных чисел $\mathbb{N}$. Результатов полученных для последовательностей хватит для изучения предела функции.

4.1 Определение и общие свойства предела.

4.1.1 Определение и примеры.

Объектом рассмотрения в данном разделе будет числовая последовательность $\{x_n\}$.

Определение 4.1.1: Общее определение предела числовой последовательности.
Предел числовой последовательности $\{x_n\}$ при $n$ стремящемся к бесконечности существует и равен $a\in\overline{\mathbb{R}}$, если для любой окрестности точки $a$ найдется такое $k\in\mathbb{N}$, что для любого $n>k$ $x_n$ лежит в этой окрестности. То есть $$(\lim_{n\to\infty}x_n=a):=(\forall{U}(a)\:\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\in{U}(a)))$$

Из определения предела в частности следует, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на существование предела, ни на его численное значение. Допустим, $\{x_n\}$ числовая последовательность, $n_1,n_2,\dots,n_k$ - номера измененных членов, $\hat{n}:=\max\{n_1,n_2,\dots,n_k\}$. Тогда если существует $n_0$ удовлетворяющее условиям определения предела для исходной последовательности, то условиям определения предела для измененной последовательности будет удовлетворять $n_1:=\max\{n_0,\hat{n}\}$.
В частности, для любой последовательности $\{x_n\}$ и для любого $k\in\mathbb{N}$ предел последовательности $\{x_n\}$ существует, тогда и только тогда, когда существует предел последовательности $\{x_{n+k}\}$ и в случае сходимости оба предела будут равны. Этот факт далее часто будет использоваться при доказательстве утверждений и решении задач.

Определение 4.1.2: Определение предела числовой последовательности по Коши.
Если $a\in\mathbb{R}$, то $$(\lim_{x\to\infty}x_n=a):=(\forall\varepsilon>0\:\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(|x_n-a|<\varepsilon)$$ Эквивалентная формулировка определения по Коши в терминах окрестностей. $$(\lim_{n\to\infty}x_n=a):=(\forall\varepsilon>0\:\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\in{U}^\varepsilon(a)))$$

1. Определение 4.1.1 общее, потому что в нем используется понятие окрестности точки, которое сформулировано для расширенного множества действительных чисел $\overline{\mathbb{R}}$, то есть оно годится и для $a\in\{-\infty,+\infty\}$.
2. В определении по Коши мы берем только центрально-симметричные $\varepsilon$-окрестности, а в определении 4.1.1 любые.

Утверждение 4.1.1: Если известно, что $a\in\mathbb{R}$, то определения 4.1.1 и 4.1.2 эквивалентны.

Доказательство:

1. $4.1.1\Rightarrow4.1.2$
   Поскольку $\varepsilon$-окрестность является окрестностью то утверждение можно считать доказанным.
2. $4.1.2\Rightarrow4.1.1$
   По пункту 3 следствия из принципа Архимеда $$\forall{a}\in\mathbb{R},\forall{U}(a)(\exists\varepsilon>0:U^\varepsilon(a)\subset{U}(a)).$$ То есть любая окрестность любой точки содержит некоторую $\varepsilon$-подокрестность. Фиксируем окрестность $U(a)$ $$\exists\delta>0:U^\delta(a)\subset{U}(a)$$ $$\forall\varepsilon>0\:\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\in{U}^\varepsilon(a))\Rightarrow \exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\in{U}^\delta(a)\subset{U}(a))\Rightarrow \exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\in{U}(a))$$

Определение 4.1.1 удобнее применять для доказательства теорем, а 4.1.2 для решения задач.

Определение 4.1.3: Если последовательность $\{x_n\}$ имеет конечный предел (т. е. $\exists\lim_{n\to\infty}x_n\in\mathbb{R}$), то ее называют сходящейся. Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся.

Отрицание общего определения предела: $$(\lim_{n\to\infty}x_n\neq{a}):=(\exists{U}(a):\forall{k}\in\mathbb{N}(\exists{n}>k:x_n\notin{U}(a)))$$ Отрицание определения предела по Коши: $$(\lim_{n\to\infty}x_n\neq{a}):=(\exists\varepsilon>0:\forall{k}\in\mathbb{N}(\exists{n}>k:|x_n-a|\geq\varepsilon))$$

Пример 4.1.1:$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0$, где $k\in\mathbb{R}$.
Так как $0\in\mathbb{R}$ используем определение предела по Коши. Фиксируем $\varepsilon>0$. Найдем $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что $$\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{k}{n}-0\right|=\left|\frac{k}{n}\right|<\varepsilon\right)$$ $$n_0:=\left[\frac{|k|}{\varepsilon}\right]\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}\left(n>n_0\Rightarrow{n}>\left[\frac{|k|}{\varepsilon}\right]\Rightarrow {n}>\frac{|k|}{\varepsilon}\Rightarrow\left|\frac{k}{n}\right|<\varepsilon\right)$$

Пример 4.1.2:$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1$,
Так как $1\in\mathbb{R}$ используем определение предела по Коши. Фиксируем $\varepsilon>0$. Найдем $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $|\frac{n+1}{n}-1|=|\frac1{n}|<\varepsilon$. Задача эквивалентна задаче примера 4.1.1 при $k=1$, следовательно, $n_0=[\frac1{\varepsilon}]$.

Пример 4.1.3: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)=1$.
Так как $1\in\mathbb{R}$ используем определение предела по Коши. Фиксируем $\varepsilon>0$. Найдем $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $|1+\frac{(-1)^n}{n}-1|=|\frac{(-1)^n}{n}|=\frac1{n}<\varepsilon$. Задача эквивалентна задаче из примера 4.1.2, следовательно, $n_0=[\frac1\varepsilon]$

Пример 4.1.4: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin{n}}{n}=0$.
Так как $0\in\mathbb{R}$ используем определение предела по Коши. Фиксируем $\varepsilon>0$. Найдем $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $|\frac{\sin{n}}{n}|\leq\frac1{n}<\varepsilon$. Задача эквивалентна задаче из примера 4.1.2, следовательно, $n_0=[\frac1{\varepsilon}]$.

Пример 4.1.5: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{q^n}=0$, где $|q|>1$.
Докажем от противного, что для любого $q>1$ множество $M:=\{|q|^n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$ не ограничено сверху. Предположим существует $s:=\sup{M}\in\mathbb{R}$. Обозначим $s':=\frac{s}{q}<s$, тогда $$(\forall{n}\in\mathbb{N}(|q|^n\leq{s})\wedge{s'}<s)\Rightarrow\exists{m}\in\mathbb{N}:|q|^m>s'=\frac{s}{q}\Rightarrow \exists{n}=m+1\in\mathbb{N}:|q|^n=|q|^mq>s\Rightarrow{s}\neq\sup{M}$$ Так как $0\in\mathbb{R}$ используем определение предела по Коши. Фиксируем $\varepsilon>0, c:=\frac1{\varepsilon}$. Число $c$ не может быть мажорантой для множества $M$, значит $$q>1\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(|q|^{n+1}>|q|^n)\Rightarrow\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(|q|^n>c=\frac1{\varepsilon}\right) \Rightarrow\forall{n}>{n}_0\left(\left|\frac1{q^n}\right|<\varepsilon\right)$$

Пример 4.1.6: Существует ли и если существует, то чему равен предел последовательности $x_n=n^{(-1)^n}$?
Уточним для ясности что $x_n=n^{(-1)^n}=\begin{cases}n,\;n=2k\\\frac1{n},\;n=2k-1\end{cases}$
Докажем, что последовательность $\{x_n\}$ не имеет предела в $\overline{\mathbb{R}}$

1. Предел не может быть равен $-\infty$ так как все члены последовательности $\{x_n\}$ положительны.
2. Предел не может быть равен $+\infty$ так как существует $a:=1$ такое что $$\forall{k}\in\mathbb{N}\left(\exists{n}=2k+1>k:x_n=(2k+1)^{(-1)^{2k+1}}=\frac1{2k+1}\leq{a}\right)$$
3. Предел не может быть равен $a\in\mathbb{R}$, так как существует $\varepsilon:=1>0$ такое что $$\forall{k}\in\mathbb{N}\:\exists{n}=2([|a|]+k)>k:|x_n-a|=|2([|a|]+k)-a|\geq|2([|a|]+1)-a|>|a|+1\geq\varepsilon$$

4.1.2 Общие свойства предела последовательности.

Определение 4.1.4: Числовую последовательность $\{x_n\}$ будем считать ограниченной (сверху\снизу), если ограничено (сверху\снизу) множество членов последовательности $E:=\{x_n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$.
Другими словами последовательность $\{x_n\}$ ограничена, тогда и только тогда, когда $$\exists{M}\in\mathbb{R}:\forall{n}\in\mathbb{N}(-M\leq{x_n}\leq{M})\sim\exists{M}\in\mathbb{R}:\forall{n}\in\mathbb{N}(|x_n|\leq{M})$$

Теорема 4.1.1:

1. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
2. $$a_1,a_2\in\overline{\mathbb{R}}:(\lim_{n\to\infty}x_n=a_1\wedge\lim_{n\to\infty}x_n=a_2)\Rightarrow{a}_1=a_2$$

Доказательство:

1. Пусть существует $A\in\mathbb{R}$ такое что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=A$, $\varepsilon:=1>0$, тогда по определению предела последовательности по Коши $$\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(|x_n|\leq|A|+|x_n-A|<|A|+1)$$ $$M:=\max\{|x_1|,|x_2|,\dots,|x_k|,|A|+1\}\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(|x_n|\leq{M})\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(-M\leq{x}_n\leq{M}).$$
2. Предположим $a_1,a_2\in\overline{\mathbb{R}},\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a_1,\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a_2$ и $a_1\neq{a}_2$.
   Воспользуемся свойством отделимости окрестностей: $$a_1\neq{a}_2\Rightarrow\exists{U}(a_1),\exists{U}(a_2):U(a_1)\cap{U}(a_2)=\varnothing.$$ По общему определению предела последовательности: $$\lim_{n\to\infty}x_n=a_1\Rightarrow\exists{n_1}\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1(x_n\in{U}(a_1))$$ $$\lim_{n\to\infty}x_n=a_2\Rightarrow\exists{n_2}\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_2(x_n\in{U}(a_2))$$ $$k:=\max\{n_1,n_2\}\Rightarrow(x_{k+1}\in{U}(a_1)\wedge{x}_{k+1}\in{U}(a_2)\Rightarrow{U}(a_1)\cap{U}(a_2)\neq\varnothing.$$ Получено противоречие с отделимостью окрестностей $U(a_1)$ и $U(a_2)$, следовательно, $a_1=a_2$.

Задача 4.1.1: Пусть $\{x_n\}$ произвольная числовая последовательность, $\{y_n\}$ числовая последовательность такая, что $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(y_n=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\right)$$ Доказать, что если последовательность $\{x_n\}$ сходится к числу $a\in\mathbb{R}$, то последовательность $\{y_n\}$ сходится к тому же числу.
Верно ли обратное?

Решение: Пусть $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a\in\mathbb{R}$. Фиксируем $\varepsilon>0$. Следовательно, существует $m\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>m$ $|x_n-a|<\frac\varepsilon{2}$, тогда $$\forall{n}>m\left(|y_n-a|=\left|\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}-a\right|=\left|\frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_n-a)}{n}\right|< \frac{|x_1-a|+|x_2-a|+\dots+|x_m-a|+\frac\varepsilon{2}(n-m)}{n}=\frac{\sum_{i=1}^m|x_i-a|-\frac\varepsilon{2}m}{n}+\frac\varepsilon{2}\right)$$ В последнем выражении числитель первого слагаемого не зависит от $n$ и, следовательно, по примеру 4.1.1: $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^m|x_i-a|-\frac\varepsilon{2}m}{n}=0\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\frac{\sum_{i=1}^m|x_i-a|-\frac\varepsilon{2}m}{n}<\frac\varepsilon{2}\right)$$ Таким образом для любого $n\in\mathbb{N}$ большего $k:=\max\{m,n_0\}$ $|y_n-a|<\frac\varepsilon{2}+\frac\varepsilon{2}=\varepsilon$.
Обратное не верно, например, для последовательности $x_n=(-1)^{n+1}$. В этом случае $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(y_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}(-1)^n}{n}\right)\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\left(y_n=\begin{cases}0,\;\;n=2k\\\frac1{n},\;n=2k-1\end{cases}\right)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}y_n=0$$ В то время как последовательность $\{x_n\}$ предела не имеет. Действительно, положим $\varepsilon:=1$.

• Если существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}=a\leq0$, тогда для любого $k\in\mathbb{N}$ найдется $n=2k+1>k$ такое, что $|x_n-a|=|(-1)^{2k+2}-a|=|1-a|\geq1$.
• Если существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}=a>0$, тогда для любого $k\in\mathbb{N}$ найдется $n=2k>k$ такое, что $|x_n-a|=|(-1)^{2k+1}-a|=|-1-a|>1$

4.2 Свойства предела последовательности.

4.2.1 Бесконечно малые последовательности и их свойства.

Определение 4.2.1: Бесконечно малая последовательность.
Числовая последовательность $\{x_n\}$ называется бесконечно малой, если ее предел равен 0.
При этом используется обозначение $x_n=o(1),n\to\infty$, которое читается как "о-малое от единицы, при $n$ стремящемся к $\infty$".

Теорема 4.2.1: Свойства бесконечно малых последовательностей.
Пусть $\{x_n\},\{y_n\},\{c_n\}$ числовые последовательности, причем $\{x_n\},\{y_n\}$ - бесконечно малые, а $\{c_n\}$ ограничена, тогда

1. последовательность $\{x_n\pm{y}_n\}$ - бесконечно малая,
2. последовательность $\{x_nc_n\}$ - бесконечно малая,
3. последовательность $\{x_ny_n\}$ - бесконечно малая.

Доказательство:

1. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда из определение предела последовательности по Коши следует $$\lim_{n\to\infty}x_n=0\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1\left(|x_n|<\frac\varepsilon{2}\right),$$ $$\lim_{n\to\infty}y_n=0\Rightarrow\exists{n}_2\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_2\left(|y_n|<\frac\varepsilon{2}\right),$$ тогда $$n_0:=\max\{n_1,n_2\}\Rightarrow\forall{n}>n_0\left(|x_n\pm{y}_n|\leq|x_n|+|y_n|<\frac\varepsilon{2}+\frac\varepsilon{2}=\varepsilon\right)$$
2. Последовательность $\{c_n\}$ ограничена значит существует $M\in\mathbb{R}$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $|c_n|\leq{M}$
   Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда из определения предела последовательности по Коши следует $$\lim_{n\to\infty}x_n=0\Rightarrow\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>{n}_0\left(|x_n|<\frac\varepsilon{M}\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(|x_nc_n|=|x_n||c_n|\leq|x_n|M<\frac\varepsilon{M}M=\varepsilon\right)$$
3. Поскольку последовательность $\{y_n\}$ бесконечно малая, то по первому общему свойству пределов она ограничена, следовательно, последовательность $\{x_ny_n\}$ бесконечно малая по пункту 2 теоремы.

Из четырех известных арифметических действий осталось одно - деление.
Пусть последовательности $\{x_n\},\{y_n\}$ бесконечно малые, при этом для любого $n\in\mathbb{N}$ $y_n\neq0$.
Будет ли бесконечно малой последовательность $\{\frac{x_n}{y_n}\}$?

Задача 4.2.1: Привести примеры бесконечно малых последовательностей $\{x_n\},\{y_n\}$ таких, что последовательность $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ бесконечно малая и нет.

Решение:

1. $x_n=\frac1{n^2},y_n=\frac1{n}\Rightarrow\frac{x_n}{y_n}=\frac{n}{n^2}=\frac1{n}$ - бесконечно малая по примеру 4.1.1
2. $x_n=\frac1{n},y_n=\frac1{n^2}\Rightarrow\frac{x_n}{y_n}=\frac{n^2}{n}=n$ - не бесконечно малая, так как не ограничена и, следовательно, не сходится по первому общему свойству пределов.
3. $x_n=\frac1{n},y_n=\frac1{n}\Rightarrow\frac{x_n}{y_n}=\frac{n}{n}=1$ - не бесконечно малая так как сходится, но не к нулю.

При желании методом математической индукции можно доказать, что сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей тоже будет бесконечно малой последовательностью.

4.2.2 Предельный переход и арифметические операции.

Лемма 4.2.1: Числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится к числу $A\in\mathbb{R}$, тогда и только тогда, когда последовательность $\{x_n-A\}$ - бесконечно малая.

Доказательство: Так как по условию $A\in\mathbb{R}$ можем применить определение предела по Коши тогда $$\lim_{n\to\infty}x_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(|x_n-A|=|(x_n-A)-0|<\varepsilon \Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}(x_n-A)=0).$$

Теорема 4.2.2: Арифметические свойства предела.
Если $\{x_n\}, \{y_n\}$ числовые последовательности такие, что $$\lim_{n\to\infty}x_n=A\in\mathbb{R},\lim_{n\to\infty}y_n=B\in\mathbb{R},$$ тогда

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n\pm{y}_n)=A\pm{B}$,
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=AB$.
3. Если дополнительно известно, что $B\neq0$, и для любого $n\in\mathbb{N}$ $y_n\neq0$, то
   $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{y_n}=\frac1{B}$.
4. Если дополнительно известно, что $B\neq0$, и для любого $n\in\mathbb{N}$ $y_n\neq0$, то
   $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$.

Доказательство:

Для любого $n\in\mathbb{N}$ положим $\alpha_n:=A-x_n,\beta_n:=y_n-B$, тогда по лемме последовательности $\{\alpha_b\},\{\beta_n\}$ - бесконечно малые и для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n=A+\alpha_n,y_n=B+\beta_n$.

1. Так как по свойствам бесконечно малых последовательности $\{\alpha_n\pm\beta_n\}$ - бесконечно малые, то по лемме имеем: $$x_n\pm{y_n}=(A+\alpha_n)\pm(B+\beta_n)=(A\pm{B})+(\alpha_n\pm\beta_n)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}(x_m\pm{y}_n)=A\pm{B}$$
2. Так как по свойствам бесконечно малых последовательность $\{A\beta_n+B\alpha_n+\alpha_n\beta_n\}$ - бесконечно малая, то по лемме имеем $$x_ny_n=(A+\alpha_n)(B+\beta_n)=AB+(A\beta_n+B\alpha_n+\alpha_n\beta_n)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=AB$$
3. Докажем, что последовательность $\{\frac1{y_n}-\frac1{B}\}$ бесконечно малая. $$\frac1{y_n}-\frac1{B}=\frac1{B+\beta_n}-\frac1{B}=-\frac1{(B+\beta_n)B}\beta_n$$ Докажем, что последовательность $z_n=-\frac1{(B+\beta_n)B}$ ограничена. $$B\neq0\Rightarrow\frac{|B|}{2}>0\Rightarrow\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k\left(|\beta_n|<\frac{|B|}{2}\right)\Rightarrow \forall{n}>k\left(|B+\beta_n|\geq|B|-|\beta_n|>|B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{n}>k\left(\left|\frac1{(B+\beta_n)B}\right|=\frac1{|B+\beta_n||B|}<\frac{2}{B^2}\right)\Rightarrow \forall{n}>k\left(|z_n|<\frac{2}{B^2}\right)$$ Таким образом для любого $n\in\mathbb{N}$ $|z_n|\leq{M}$, где $M:=\max\{|z_1|,|z_2|,\dots,|z_k|,\frac{2}{B^2}\}$, то есть последовательность $\{z_n\}$ ограничена, следовательно, последовательность $\frac1{y_n}-\frac1{B}=\beta_n{z}_n$ бесконечно малая по свойству 2 бесконечно малых последовательностей. Тогда по лемме $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{y_n}=\frac1{B}$.
4. Из пункта 3 следует, что существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{y_n}=\frac1{B}$. Тогда по пункту 2 существует предел $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\left(x_n\frac1{y_n}\right)=\lim_{n\to\infty}x_n\lim_{n\to\infty}\frac1{y_n}=A\frac1{B}=\frac{A}{B}$$

1. С подключением метода математической индукции пункты 1 и 2 теоремы распространяются на любое конечное число последовательностей.
2. Все четыре пункта теоремы нельзя обратить. То есть из существования пределов суммы, произведения или частного последовательностей не следует существования пределов каждой последовательности в отдельности.

Задача 4.2.2: Привести примеры расходящихся последовательностей $\{x_n\},\{y_n\}$, таких, что существуют пределы последовательностей $\{x_n+y_n\},\{x_ny_n\}$.

Решение: При решении задачи 4.1.1 было показано, что последовательность $\{(-1)^n\}$ расходится, однако $$x_n=(-1)^n,y_n=(-1)^{n+1}\Rightarrow{x}_n+y_n=\begin{cases}-1+1=0,\quad{n}=2k-1\\1+(-1)=0,\,n=2k\end{cases}\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n+y_n=0) \Rightarrow\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=0$$ $$x_n=(-1)^n,y_n=(-1)^n\Rightarrow{x}_ny_n=\begin{cases}1*1=1,\quad\quad\;{n}=2k\\-1*(-1)=1,n=2k-1\end{cases}\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}(x_ny_n=1)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=1$$

Если на ряду с существованием предела последовательности $\{x_n+y_n\}$ потребовать сходимости последовательности $\{x_n\}$ то из этого будет следовать сходимость последовательности $\{y_n\}$.
Если на ряду с существованием предела последовательности $\{x_ny_n\}$ потребовать, чтобы существовал предел $\lim_{n\to\infty}x_n\neq0$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n\neq0$, то из этого будет следовать сходимость последовательности $\{y_n\}$.

4.2.3 Предельный переход и неравенства.

Теорема 4.2.3 Пусть $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ числовые последовательности такие, что $$\lim_{n\to\infty}x_n=A\in\overline{\mathbb{R}},\lim_{n\to\infty}y_n=B\in\overline{\mathbb{R}}.$$ тогда

1. $A<B\Rightarrow\exists{n}_0:\forall{n}>{n}_0(x_n<y_n)$
2. Теорема о двух милиционерах. $$(\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\leq{z}_n\leq{y}_n)\wedge{A}=B)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}z_n=A$$

Доказательство:

1. Так как $A<B$, то $A\neq{B}$ тогда существует $c\in(A,B)$ и существует пара окрестностей $U(A),U(B)$ таких, что $c$ правый конец $U(A)$ и левый $U(B)$, тогда по общему определению предела: $$\lim_{n\to\infty}x_n=A\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>{n}_1(x_n\in{U}(A))\Rightarrow\forall{n}>n_1(x_n<c)$$ $$\lim_{n\to\infty}y_n=B\Rightarrow\exists{n}_2\in\mathbb{N}:\forall{n}>{n}_2(y_n\in{U}(B))\Rightarrow\forall{n}>n_2(y_n>c)$$ тогда $$n_0:=\max\{n_1,n_2\}\Rightarrow\forall{n}>{n}_0(x_n<c<y_n)$$
2. Фиксируем $U(A)=(\alpha,\beta),\alpha<A<\beta$, тогда по общему определению предела: $$\lim_{n\to\infty}x_n=A\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1(x_n\in{U}(A))$$ $$\lim_{n\to\infty}y_n=A\Rightarrow\exists{n}_2\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_2(y_n\in{U}(A))$$ тогда $$k:=\max\{n_0,n_1,n_2\}\Rightarrow\forall{n}>k(\alpha<x_n\leq{z}_n\leq{y}_n<\beta)\Rightarrow\forall{n}>k(z_n\in{U}(A))$$

Следствие 4.2.1: Пусть $\{x_n\},\{y_n\}$ числовые последовательности такие, что $$\lim_{n\to\infty}x_n=A\in\overline{\mathbb{R}},\lim_{n\to\infty}=B\in\overline{\mathbb{R}}$$ тогда

1. $\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>{n}_0(x_n<y_n)\Rightarrow{A}\leq{B}$
2. $\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>{n}_0(x_n\leq{y}_n)\Rightarrow{A}\leq{B}$

Доказательство:

1. Докажем от противного предположим, что $A>B$, тогда по пункту 1 теоремы существует $n_1\in\mathbb{N}$ такой, что для любого ${n}>n_1$ $x_n>y_n$, но тогда для любого $n>\max\{n_0,n_1\}$ одновременно $x_n<y_n$ и $x_n>y_n$.
2. Аналогично пункту 1. Если предположить, что $A>B$, то найдется такое $k\in\mathbb{N}$, что для любого $n>k$ одновременно $x_n\leq{y}_n$ и $x_n>y_n$

Таким образом, можно сказать, что предельный переход сохраняет знак, но не в строгом смысле.
То есть существуют пары последовательностей $\{x_n\},\{y_n\}$ такие, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n<y_n$ и тем не менее пределы их будут равны. Например $$x_n=\frac1{n^2+1},y_n=\frac1{n}\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n<y_n)$$ но при этом $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=0$.



previous contents next