Ниже будут приведены три результата, каждый из которых эквивалентен аксиоме полноты (непрерывности).
Кроме первого, для того чтобы из принципа Коши - Кантора следовала аксиома полноты надо потребовать выполнение принципа Архимеда.
Определение 3.6.1: Последовательность.
Если X не пустое множество и задано отображение f(x):N→X, то говорят, что отображение f(x) задает последовательность
элементов из множества X. Значения xn:=f(n) будем называть элементами последовательности. Отображение f(x) обычно обозначают
как {xn}.
Определение 3.6.2: Последовательность Xn:N→P(R) множеств будем называть вложенной, если для любого
n∈N Xn+1⊂Xn.
Из данного определения в частности следует, что если последовательность {Xn} вложенная, то для любых n,m∈N таких,
что m<n Xm⊂Xn
Лемма 3.6.1: Принцип Коши - Кантора о вложенных отрезках.
Всякая вложенная последовательность числовых отрезков {In} имеет не пустое пересечение. То есть
∀n∈N(an,bn∈R∧an≤bn∧In:=[an,bn]∧In+1⊂In)⇒⋂n∈NIn≠∅
Если дополнительно известно, что длина отрезка стремится к нулю при n стремящимся к нулю, то это пересечение состоит из одной точки, то есть
(∀ε>0∃n=n(ε):|In|=bn−an<ε)⇒card⋂n∈NIn=1
Доказательство: ∀n∈N(an,bn∈R,an≤bn,In:=[an,bn],In+1⊂In)
Докажем, что при сделанных предпосылках для любых m,n∈N an≤bn. Предположим, что существуют m,n∈N
такие, что am>bn, тогда an≤bn<am≤bm и, следовательно, отрезки In=[an,bn] и Im=[am,bm] не пересекаются,
а это не возможно, так как по условию вложенности либо In⊂Im, либо Im⊂In.
Таким образом множества левых A:={an|n∈N} и правых B:={bn|n∈N} концов отрезков последовательности {In}
удовлетворяют условию: для любых a∈A и b∈B a<b. Тогда согласно аксиоме полноты:
∃c∈R:∀a∈A,∀b∈B(a≤c≤b)⇒∀n∈N(an≤c≤bn)⇒c∈⋂n∈NIn⇒⋂n∈NIn≠∅
Пусть выполняется дополнительное условие. Докажем от противного, что card⋂n∈NIn=1. Предположим, что существуют
c1≠c2 такие что c1,c2∈⋂n∈NIn, тогда
∀n∈N(c1,c2∈In)⇒∀n∈N(0<|c1−c2|≤|In|)⇒∃ε:=|c1−c2|>0:∀n∈N(|In|≥ε)
Последнее выражение противоречит утверждению дополнительной предпосылки.
Теорема 3.6.1: Теорема Кантора о несчетности множества R.
cardN<cardR
Доказательство: I0:=[0,1]
Докажем, что cardN<cardI0
Для любого n∈N n−1∈I0, следовательно, cardN≤cardI0. Докажем от противного,
что cardN≠cardI0. Предположим, что cardN=cardI0, тогда I0={x1,x2,x3,…,xn,…}
1) Разделим отрезок I0 двумя точками на три отрезка произвольным образом. Среди этих трех частей будет как минимум одна не содержащая точку x1.
Обозначим какой-либо из отрезков не содержащих точку x1 как I1. В результате отрезок I1 не содержит точку x1.
2) Разделим отрезок I1 двумя точками на три отрезка произвольным образом. Среди этих трех частей будет как минимум одна не содержащая точку x2.
Обозначим какой-либо из отрезков не содержащих точку x2 как I2. В результате отрезок I2 не содержит точки x1,x2
...
n) Разделим отрезок In−1 двумя точками на три отрезка произвольным образом. Среди этих трех частей будет как минимум одна не содержащая точку xn.
Обозначим какой-либо из отрезков не содержащих точку xn как In. В результате отрезок In не содержит точки x1,x2,…,xn
...
И так далее. Пункт 3 следствия из принципа Архимеда гарантирует,
что этот алгоритм не остановится на конечном шаге. Таким образом построена последовательность вложенных отрезков In такая что
∀n∈N(∀k≤n(xk∉In))
По принципу Коши - Кантора о вложенных отрезках существует c∈I0 такое что c∈⋂n∈NIn, тогда из
предположения о счетности I0 следует, что существует n0∈N такое что c=xn0. Тогда
xn0∈⋂n∈NIn⇒∀n∈N(xn0∈In)⇒xn0∈In0
а это противоречит способу построения последовательности отрезков {In}.
Определение 3.6.3: Будем говорить, что система множеств S:={Xα|α∈I} покрывает множество Y,
если Y⊂⋃α∈IXα.
Всякое подмножество множеств из системы S будем называть подсистемой.
Лемма 3.6.2: Принцип Бореля - Лебега о конечном подпокрытии.
В любой системе интервалов покрывающей отрезок имеется конечная подсистема покрывающая этот отрезок.
Доказательство: Важно заметить, что
Результат леммы сохраняется если концы интервалов из системы S могут быть бесконечны.
Задача 3.6.1:
Решение:
Определение 3.6.4: Предельная точка числового множества.
Будем говорить, что точка p∈¯R является предельной точкой непустого множества X⊂R если для любой
окрестности U(p) точки p множество U(p)∩X бесконечно. То есть в любой окрестности точки p содержится бесконечно много
элементов множества X.
Множество предельных точек множества X обозначается X˚.
Задача 3.6.2: Доказать, что в условиях определения 3.6.4 точка p будет предельной для множества X если \forall{U}(p)(\mathring{U}(p)\cap{X}\neq\varnothing) То есть любая проколотая окрестность точки p содержит хотя бы одну точку множества X.
Решение:
Докажем от противного. Допустим выполняется \forall{U}(p)(\mathring{U}(p)\cap{X}\neq\varnothing) и при этом существует
окрестность U(p) содержащая конечное число точек \{x_1,x_2,\dots,x_n\} множества X\backslash\{p\}.
Обозначим \delta:=\min\left\{|x_1-p|,|x_2-p|,\dots,|x_n-p|\right\}>0,
тогда окрестность \mathring{U}{}^\delta(p) не содержит точек множества X, а это противоречит предпосылке.
Пример 3.6.1:
Лемма 3.6.3: Принцип Больцано - Вейерштрасса о предельной точке.
Всякое бесконечное ограниченное подмножество вещественных чисел имеет хотя бы одну конечную предельную точку.
Доказательство: Множество X ограничено, следовательно, он ограничено сверху и снизу, значит существуют a,b\in\mathbb{R} такие что
X\subset[a,b]. Покажем, что хотя бы одна из точек отрезка [a,b] будет предельной для множества X. Предположим, что это не так, то есть
для любого x\in[a,b] существует окрестность U(x) такая что множество U(x)\cap{X} конечно. Рассмотрим систему окрестностей
S:=\left\{U(X)\:|\:x\in[a,b]\wedge{U}(x)\cap{X}-конечно\right\}
Данная система интервалов покрывает отрезок [a,b], так что по принципу Бореля - Лебега в системе S есть конечный
набор интервалов \left\{U(x_1),U(x_2),\dots,U(x_k)\right\} покрывающий отрезок [a,b]
X\subset[a,b]\subset\bigcup_{i=1}^kU(x_i)\Rightarrow{X}\subset\bigcup_{i=1}^kU(x_i)\Rightarrow
{X}=\left(\bigcup_{i=1}^kU(x_i)\right)\cap{X}=\bigcup_{i=1}^k\left(U(x_i)\cap{X}\right)
но множество \bigcup_{i=1}^k(U(x_i)\cap{X}) конечно, как конечное объединение конечных множеств, следовательно, конечно и множество X,
а это противоречит условиям леммы.
Задача 3.6.3:
Решение:
Докажем от противного. Пусть +\infty\notin\mathring{X}, тогда по задаче 3.6.2
\exists{U}(+\infty):U(+\infty)\cap{X}=\varnothing\Rightarrow\exists{K}\in\mathbb{R}:\forall{x}\in{X}(x\leq{K})
то есть множество X ограничено сверху, а это противоречит условию задачи.
Пункт 2 доказывается аналогично.
В результате, из леммы Бореля - Лебега и задачи 3.6.3 имеем, что любое бесконечное числовое множество имеет по крайней мере
одну предельную точку на расширенной числовой прямой \overline{\mathbb{R}}.
previous contents next