previous contents next

3.6 Основные леммы связанные с полнотой множества $\mathbb{R}$.

3.6.1 Принцип Коши - Кантора о вложенных отрезках.

Ниже будут приведены три результата, каждый из которых эквивалентен аксиоме полноты (непрерывности).
Кроме первого, для того чтобы из принципа Коши - Кантора следовала аксиома полноты надо потребовать выполнение принципа Архимеда.

Определение 3.6.1: Последовательность.
Если $X$ не пустое множество и задано отображение $f(x):\mathbb{N}\to{X}$, то говорят, что отображение $f(x)$ задает последовательность элементов из множества $X$. Значения $x_n:=f(n)$ будем называть элементами последовательности. Отображение $f(x)$ обычно обозначают как $\{x_n\}$.

Определение 3.6.2: Последовательность ${X_n}:\mathbb{N}\to\mathcal{P}(\mathbb{R})$ множеств будем называть вложенной, если для любого $n\in\mathbb{N}$ $X_{n+1}\subset{X_n}$.

Из данного определения в частности следует, что если последовательность $\{X_n\}$ вложенная, то для любых $n,m\in\mathbb{N}$ таких, что $m<n$ $X_m\subset{X_n}$

Лемма 3.6.1: Принцип Коши - Кантора о вложенных отрезках.
Всякая вложенная последовательность числовых отрезков $\{I_n\}$ имеет не пустое пересечение. То есть $$\forall{n}\in\mathbb{N}(a_n,b_n\in\mathbb{R}\wedge{a}_n\leq{b}_n\wedge{I}_n:=[a_n,b_n]\wedge{I}_{n+1}\subset{I}_n)\Rightarrow\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\neq\varnothing$$ Если дополнительно известно, что длина отрезка стремится к нулю при $n$ стремящимся к нулю, то это пересечение состоит из одной точки, то есть $$(\forall\varepsilon>0\:\exists{n}=n(\varepsilon):|I_n|=b_n-a_n<\varepsilon)\Rightarrow{c}ard\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n=1$$

Доказательство: $\forall{n}\in\mathbb{N}(a_n,b_n\in\mathbb{R},a_n\leq{b}_n,I_n:=[a_n,b_n], I_{n+1}\subset{I}_n)$ Докажем, что при сделанных предпосылках для любых $m,n\in\mathbb{N}$ $a_n\leq{b}_n$. Предположим, что существуют $m,n\in\mathbb{N}$ такие, что $a_m>b_n$, тогда $a_n\leq{b}_n<a_m\leq{b}_m$ и, следовательно, отрезки $I_n=[a_n,b_n]$ и $I_m=[a_m,b_m]$ не пересекаются, а это не возможно, так как по условию вложенности либо $I_n\subset{I_m}$, либо $I_m\subset{I}_n$.
Таким образом множества левых $A:=\{a_n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$ и правых $B:=\{b_n\:|\:n\in\mathbb{N}\}$ концов отрезков последовательности $\{I_n\}$ удовлетворяют условию: для любых $a\in{A}$ и $b\in{B}$ $a<b$. Тогда согласно аксиоме полноты: $$\exists{c}\in\mathbb{R}:\forall{a}\in{A},\forall{b}\in{B}(a\leq{c}\leq{b})\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(a_n\leq{c}\leq{b_n})\Rightarrow c\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\Rightarrow\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\neq\varnothing$$ Пусть выполняется дополнительное условие. Докажем от противного, что $card\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n=1$. Предположим, что существуют $c_1\neq{c}_2$ такие что $c_1,c_2\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n$, тогда $$\forall{n}\in\mathbb{N}(c_1,c_2\in{I}_n)\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(0<|c_1-c_2|\leq|I_n|)\Rightarrow \exists\varepsilon:=|c_1-c_2|>0:\forall{n}\in\mathbb{N}(|I_n|\geq\varepsilon)$$ Последнее выражение противоречит утверждению дополнительной предпосылки.

Теорема 3.6.1: Теорема Кантора о несчетности множества $\mathbb{R}$.
$$card\mathbb{N}<card\mathbb{R}$$

Доказательство: $I_0:=[0,1]$
Докажем, что $card\mathbb{N}<cardI_0$
Для любого $n\in\mathbb{N}$ $n^{-1}\in{I}_0$, следовательно, $card\mathbb{N}\leq{c}ardI_0$. Докажем от противного, что $card\mathbb{N}\neq{c}ardI_0$. Предположим, что $card\mathbb{N}=cardI_0$, тогда $I_0=\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_n,\dots\}$
1) Разделим отрезок $I_0$ двумя точками на три отрезка произвольным образом. Среди этих трех частей будет как минимум одна не содержащая точку $x_1$. Обозначим какой-либо из отрезков не содержащих точку $x_1$ как $I_1$. В результате отрезок $I_1$ не содержит точку $x_1$.
2) Разделим отрезок $I_1$ двумя точками на три отрезка произвольным образом. Среди этих трех частей будет как минимум одна не содержащая точку $x_2$. Обозначим какой-либо из отрезков не содержащих точку $x_2$ как $I_2$. В результате отрезок $I_2$ не содержит точки $x_1, x_2$
...
n) Разделим отрезок $I_{n-1}$ двумя точками на три отрезка произвольным образом. Среди этих трех частей будет как минимум одна не содержащая точку $x_n$. Обозначим какой-либо из отрезков не содержащих точку $x_n$ как $I_n$. В результате отрезок $I_n$ не содержит точки $x_1,x_2,\dots,x_n$
...
И так далее. Пункт 3 следствия из принципа Архимеда гарантирует, что этот алгоритм не остановится на конечном шаге. Таким образом построена последовательность вложенных отрезков ${I_n}$ такая что $$\forall{n}\in\mathbb{N}(\forall{k}\leq{n}(x_k\notin{I}_n))$$ По принципу Коши - Кантора о вложенных отрезках существует $c\in{I}_0$ такое что $c\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n$, тогда из предположения о счетности $I_0$ следует, что существует $n_0\in\mathbb{N}$ такое что $c=x_{n_0}$. Тогда $$x_{n_0}\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(x_{n_0}\in{I_n})\Rightarrow{x}_{n_0}\in{I}_{n_0}$$ а это противоречит способу построения последовательности отрезков $\{I_n\}$.

3.6.2 Принцип Бореля - Лебега о конечном подпокрытии.

Определение 3.6.3: Будем говорить, что система множеств $S:=\{X_\alpha\:|\:\alpha\in{I}\}$ покрывает множество $Y$, если $Y\subset\bigcup_{\alpha\in{I}}X_\alpha$.
Всякое подмножество множеств из системы $S$ будем называть подсистемой.

Лемма 3.6.2: Принцип Бореля - Лебега о конечном подпокрытии.
В любой системе интервалов покрывающей отрезок имеется конечная подсистема покрывающая этот отрезок.

Доказательство: Важно заметить, что

  1. Покрываемое множество - отрезок.
  2. Множества, которыми покрывают, - интервалы.
Если система $S$ конечна, то лемма доказана, так как в качестве подсистемы выступает сама система. Предположим, что система $S$ бесконечна, покрывает отрезок $[a,b]$ и из нее нельзя выделить конечное подпокрытие. Рассмотрим последовательность отрезков.

1) $I_1:=[a,b],c_1:=(a+b)/2,I'_1:=[a,c_1],I'_2:=[c_1,b]$ Поскольку весь отрезок $I_1$ не допускает выделения конечного подпокрытия, то по крайней мере одна из его половин не допускает выделения конечного подпокрытия, иначе можно было бы объединить подпокрытие обоих половин и получить конечное подпокрытие для всего отрезка $I_1$.
Положим в качестве $I_2$ ту половину отрезка $I_1$, которая не допускает выделения конечного подпокрытия. Тогда: $I_2\subset{I}_1$ и $|I_2|=\frac{|I_1|}{2}$

2) Отрезок $I_2$ покрывается системой $S$ и не допускает выделения конечного подпокрытия. Делим $I_2$ пополам и обозначим $I_3$ ту половину, отрезка $I_2$, которая не допускает выделения конечного подпокрытия. Тогда: $I_3\subset{I_2}$ и $|I_3|=\frac{|I_2|}{2}$.
...
n) $I_{n+1}\subset{I}_n$ и $|I_{n+1}|=\frac{|I_{n+1}|}{2}$ ... И так далее. Таким образом получена последовательность вложенных отрезков $\{I_n\}$ таких что $|I_n|=\frac{|I_1|}{2^n}=\frac{b-a}{2^n}$. Согласно принципу Коши - Кантора о вложенных отрезках существует точка $c\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}$. Поскольку система интервалов $S$ покрываем отрезок $[a,b]$, то существует интервал $(\alpha,\beta)\in{S}$ такой что $c\in(\alpha,\beta)$. Методом математической индукции проверяется, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $\left(\frac1{2^{n-1}}\leq\frac1{n}\right)$, следовательно $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(|I_n|=\frac{b-a}{2^{n-1}}\leq\frac{b-a}{n}\right)$$ Пусть $\varepsilon=\min\{c-\alpha,\beta-c\}$ - наименьшее расстояние от $c$ до одного из концов интервала. Так как интервал не включает свои концы, то $\varepsilon>0$. Тогда согласно пункту 1 следствия из принципа Архимеда $$\exists{k}\in\mathbb{N}:0<\frac1{k}<\frac{\varepsilon}{b-a}\Rightarrow|I_k|\leq\frac{b-a}{k}<\frac{(b-a)\varepsilon}{b-a}=\varepsilon \Rightarrow(|I_k|<\min\{c-\alpha,\beta-c\}\wedge{c}\in{I}_k)\Rightarrow{I}_k\subset(\alpha,\beta).$$ Таким образом в последовательности $\{I_n\}$ существует отрезок, который покрывается конечной подсистемой интервалов системы $S$. В качестве такой подсистемы выступает подсистема состоящая из одного интервала $(\alpha,\beta)$. A это противоречит способу построения последовательности отрезков $\{I_n\}$.

Результат леммы сохраняется если концы интервалов из системы $S$ могут быть бесконечны.

Задача 3.6.1:

  1. Привести пример, когда из некоторого покрытия отрезка отрезками нельзя выделить конечное подпокрытие.
  2. Привести пример, когда из некоторого покрытия интервала интервалами нельзя выделить конечное подпокрытие.
  3. Привести пример, когда из некоторого покрытия интервала отрезками нельзя выделить конечное подпокрытие.
  4. Привести контрпример для утверждения аналогичного принципу Коши - Кантора, в котором вместо системы вложенных отрезков используестя система вложенных интервалов и их пересечение пусто.

Решение:

    В лемме Бореля - Лебега отрезок покрывается интервалами, потому что, система вложенных интервалов может быть пуста, а точка принадлежащая отрезку может лежать на его границе.
  1. $\displaystyle[a,b]:=[0,1], S:=\left\{\left[\frac{2^n-1}{2^n},\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\right]\:|\:n\in\mathbb{N}_0\right\}\cup[1,2]$
    Если для этой системы применить метод описанный в доказательстве леммы Бореля - Лебега, то при любом $n\in\mathbb{N}$ правая половина не будет допускать выделения конечного подпокрытия и $c=1, c\in[1,2]$ но отрезок $[1,2]$ не будет содержать в себе ни один из вложенных отрезков так как их длина больше нуля, а отрезок $[1,2]$ пересекается с отрезком $[0,1]$ только в одной точке.
  2. $\displaystyle(a,b):=(0,1), S:=\left\{\left(\frac{2^n-1}{2^n},\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\right)\:|\:n\in\mathbb{N}_0\right\}$
    Если для этой системы интервалов применить метод описанный в доказательстве леммы Бореля - Лебега, то при любом $n\in\mathbb{N}$ правая половина не будет допускать выделения конечного подпокрытия и получится система вложенных интервалов $\displaystyle{I}_n=\left(\frac{2^n-1}{2^n},1\right)$ пересечение, которой пусто.
  3. $\displaystyle(a,b):=(0,1), S:=\left\{\left[\frac{2^n-1}{2^n},\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\right]\:|\:n\in\mathbb{N}_0\right\}$
    Аналогично пункту 2.
  4. Система интервалов $I_n=\left(0,\frac1{n}\right)$ имеет пустое пересечение по пункту 1 следствия из принципа Архимеда.
3.6.3 Принцип Больцано - Вейерштрасса о предельной точке.

Определение 3.6.4: Предельная точка числового множества.
Будем говорить, что точка $p\in\overline{\mathbb{R}}$ является предельной точкой непустого множества $X\subset\mathbb{R}$ если для любой окрестности $U(p)$ точки $p$ множество $U(p)\cap{X}$ бесконечно. То есть в любой окрестности точки $p$ содержится бесконечно много элементов множества $X$.

Множество предельных точек множества $X$ обозначается $\mathring{X}$.

Задача 3.6.2: Доказать, что в условиях определения 3.6.4 точка $p$ будет предельной для множества $X$ если $$\forall{U}(p)(\mathring{U}(p)\cap{X}\neq\varnothing)$$ То есть любая проколотая окрестность точки $p$ содержит хотя бы одну точку множества $X$.

Решение: Докажем от противного. Допустим выполняется $$\forall{U}(p)(\mathring{U}(p)\cap{X}\neq\varnothing)$$ и при этом существует окрестность $U(p)$ содержащая конечное число точек $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ множества $X\backslash\{p\}$. Обозначим $\delta:=\min\left\{|x_1-p|,|x_2-p|,\dots,|x_n-p|\right\}>0$, тогда окрестность $\mathring{U}{}^\delta(p)$ не содержит точек множества $X$, а это противоречит предпосылке.

Пример 3.6.1:

  1. $\mathring{\mathbb{N}}=\{+\infty\}$
  2. $X=\left\{\frac1{n}|n\in\mathbb{N}\right\}\Rightarrow\mathring{X}=\{0\}$
  3. $X=(a,b)\Rightarrow\mathring{X}=[a,b]$
  4. $\mathring{\mathbb{Q}}=\overline{\mathbb{R}}$ (по пункту 3 следствия из принципа Архимеда)


Лемма 3.6.3: Принцип Больцано - Вейерштрасса о предельной точке.
Всякое бесконечное ограниченное подмножество вещественных чисел имеет хотя бы одну конечную предельную точку.

Доказательство: Множество $X$ ограничено, следовательно, он ограничено сверху и снизу, значит существуют $a,b\in\mathbb{R}$ такие что $X\subset[a,b]$. Покажем, что хотя бы одна из точек отрезка $[a,b]$ будет предельной для множества $X$. Предположим, что это не так, то есть для любого $x\in[a,b]$ существует окрестность $U(x)$ такая что множество $U(x)\cap{X}$ конечно. Рассмотрим систему окрестностей $$S:=\left\{U(X)\:|\:x\in[a,b]\wedge{U}(x)\cap{X}-конечно\right\}$$ Данная система интервалов покрывает отрезок $[a,b]$, так что по принципу Бореля - Лебега в системе $S$ есть конечный набор интервалов $\left\{U(x_1),U(x_2),\dots,U(x_k)\right\}$ покрывающий отрезок $[a,b]$ $$X\subset[a,b]\subset\bigcup_{i=1}^kU(x_i)\Rightarrow{X}\subset\bigcup_{i=1}^kU(x_i)\Rightarrow {X}=\left(\bigcup_{i=1}^kU(x_i)\right)\cap{X}=\bigcup_{i=1}^k\left(U(x_i)\cap{X}\right)$$ но множество $\bigcup_{i=1}^k(U(x_i)\cap{X})$ конечно, как конечное объединение конечных множеств, следовательно, конечно и множество $X$, а это противоречит условиям леммы.

Задача 3.6.3:

  1. Если множество $X$ бесконечно и не ограничено сверху, тогда $+\infty\in\mathring{X}$
  2. Если множество $X$ бесконечно и не ограничено снизу, тогда $-\infty\in\mathring{X}$

Решение: Докажем от противного. Пусть $+\infty\notin\mathring{X}$, тогда по задаче 3.6.2 $$\exists{U}(+\infty):U(+\infty)\cap{X}=\varnothing\Rightarrow\exists{K}\in\mathbb{R}:\forall{x}\in{X}(x\leq{K})$$ то есть множество $X$ ограничено сверху, а это противоречит условию задачи.
Пункт 2 доказывается аналогично.

В результате, из леммы Бореля - Лебега и задачи 3.6.3 имеем, что любое бесконечное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку на расширенной числовой прямой $\overline{\mathbb{R}}$.

previous contents next