7.4 Не абсолютно сходящиеся ряды.

7.4.1 Преобразование Абеля.

Утверждение 7.4.1: Преобразование Абеля.
Пусть $n\in\mathbb{N}$ и для любого $k\in\overline{1,n}$ $a_k,b_k\in\mathbb{N}$, $B_k:=\sum_{i=1}^kb_i$, тогда $$\sum_{k=1}^n(a_kb_k)=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})B_k)$$

Доказательство: $$\sum_{k=1}^n(a_kb_k)=a_1b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}(B_{k+1}-B_k))=a_1B_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}B_{k+1})-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}B_k)= \sum_{k=1}^n(a_kB_k)-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}B_k)=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}(a_kB_k)-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}B_k)=$$ $$=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})B_k)$$

Утверждение 7.4.2: Неравенство Абеля.
Пусть $n\in\mathbb{N}$, для любого $k\in\overline{1,n}$ $a_k,b_k\in\mathbb{N}$, $B_k:=\sum_{i=1}^kb_i$ и

1. $\forall{k}\in\overline{1,n-1}(a_{k+1}\geq{a}_k)$,


2. $\exists{B}\in\mathbb{R}:\forall{k}\in\overline{1,n}(|B_k|\leq{B})$,

Доказательство: Так как для любого $k\in\overline{1,n}$ $a_{k+1}\geq{a}_k$, то $|a_{k+1}-a_k|=a_{k+1}-a_k$, тогда $$\left|\sum_{k=1}^n(a_kb_k)\right|=\left|a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})B_k)\right|\leq|a_n||B_n|+\sum_{k=1}^{n-1}(|a_k-a_{k+1}||B_k|)= |a_n||B_n|+\sum_{k=1}^{n-1}((a_{k+1}-a_k)|B_k|)\leq$$ $$\leq|a_n|B+B(a_n-a_1)\leq|a_n|B+B(|a_n|+|a_1|)=B(|a_1|+2|a_n|)$$

Если в условии 1 заменить знак больше или равно на знак меньше или равно, то утверждение доказывается аналогично. То есть для доказательства утверждения достаточно монотонности последовательности $\{a_n\}$.

Следствие 7.4.1: Пусть $n\in\mathbb{N}$, для любого $k\in\overline{1,n}$ $a_k,b_k\in\mathbb{N}$, $B_k:=\sum_{i=1}^kb_i$ и

1. $\forall{k}\in\overline{1,n-1}(0\leq{a}_{k+1}\leq{a}_k)$,


2. $\exists{m},M\in\mathbb{R}:\forall{k}\in\overline{1,n}(m\leq{B}_k\leq{M})$,

Доказательство: Так как $$\forall{k}\in\overline{1,n-1}(0\leq{a}_{k+1}\leq{a}_k)\Rightarrow\forall{k}\in\overline{1,n-1}(a_k-a_{k+1}\geq0)$$ то $$\sum_{k=1}^n(a_kb_k)=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})B_k)\leq{a}_nM+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})M)=a_nM+M\sum_{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})= a_nM+a_1M-a_nM=a_1M$$ и аналогично $$\sum_{k=1}^n(a_kb_k)=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})B_k)\geq{a}_nm+\sum_{k=1}^{n-1}((a_k-a_{k+1})m)=a_1m$$

7.4.2 Основные признаки не абсолютной сходимости рядов.

Теорема 7.4.1: Признак Дирихле не абсолютной сходимости рядов.
Если $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ последовательности из $\mathbb{R}$ такие, что

1. последовательность $\{a_n\}$ монотонна,


2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$


3. $\exists{B}>0:\forall{n}\in\mathbb{N}(|\sum_{k=1}^nb_k|\leq{B})$,

Доказательство: Реализуем критерий Коши сходимости рядов. $$\forall{m}\geq{n}>1\left(\left|\sum_{k=n}^mb_k\right|=\left|\sum_{k=1}^mb_k-\sum_{k=1}^{n-1}b_k\right|\leq \left|\sum_{k=1}^mb_k\right|+\left|\sum_{k=1}^{n-1}b_k\right|\leq2B\right)$$ Последовательность $\{a_n\}$ монотонна, следовательно, для любых $m\geq{n}$ можно применить неравенство Абеля, тогда $$\forall{m}\geq{n}>1\left(\left|\sum_{k=n}^m(a_kb_k)\right|\leq2B(|a_n|+2|a_m|)\right)$$ Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по определению предела последовательности $$\lim_{n\to\infty}a_n=0\Rightarrow\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\left(n_0>1\wedge\forall{n}>n_0\left(|a_n|<\frac{\varepsilon}{6B}\right)\right)\Rightarrow \forall{m}\geq{n}>n_0\left(\left|\sum_{k=n}^m(a_kb_k)\right|\leq2B(|a_n|+2|a_m|)<2B\left(\frac{\varepsilon}{6B}+2\frac{\varepsilon}{6B}\right)= \varepsilon\right)$$

Теорема 7.4.2: Признак Лейбница не абсолютной сходимости рядов.
Если $\{a_n\}$ последовательность из $\mathbb{R}$ такая, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(a_{n+1}\leq{a}_n)$,


2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$,

Доказательство: В условиях теоремы 7.4.1 положим для любого $n\in\mathbb{N}$ $b_n:=(-1)^n$, тогда $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(|B_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|=\left|\sum_{k=1}^n(-1)^{n-1}\right|\leq1\right)$$ Поэтому утверждение теоремы следует из теоремы 7.4.1.

Теорема 7.4.3: Признак Абеля не абсолютной сходимости рядов.
Если $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ последовательности из $\mathbb{R}$ такие, что

1. последовательность $\{a_n\}$ монотонна,


2. последовательность $\{a_n\}$ ограничена,


3. ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ сходится,

Доказательство: Реализуем критерий Коши сходимости рядов. Так как последовательность $\{a_n\}$ ограничена, то существует $M>0$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $|a_n|\leq{M}$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по критерию Коши сходимости рядов для ряда $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{m}\geq{n}>n_0\left(\left|\sum_{k=n}^mb_k\right|<\frac{\varepsilon}{3M}\right)$$ Последовательность $\{a_n\}$ монотонна и $|\sum_{k=n}^mb_k|$ ограничено для любых $m\geq{n}>n_0$, значит можно применить неравенство Абеля $$\forall{m}\geq{n}>n_0\left(\left|\sum_{k=n}^m(a_kb_k)\right|<\frac{\varepsilon}{3M}(|a_n|+2|a_m|)\leq \frac{\varepsilon}{3M}(M+2M)=\varepsilon\right)$$

Пример 7.4.1: Рассмотрим ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n\alpha)}{n^p}$
Ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится не абсолютно по признаку Дирихле при $\alpha\notin\{2\pi{k\:|\:k\in\mathbb{Z}}\}$ и $p>0$. Действительно, для любого $n\in\mathbb{N}$ $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^n\sin(k\alpha)\right|\leq\frac1{\sin\frac{\alpha}{2}}$ (см. Фихтенгольц т. 2, стр. 308) и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^p}=0$.

Пример 7.4.2: Рассмотрим ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\sin{n}}{\ln{\ln{n}}}\cos\frac{\pi}{n}\right)$
Ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{n}}{\ln\ln{n}}$ сходится не абсолютно, по признаку Дирихле, так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $|\sin{n}|\leq1$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln\ln{n}}=0$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится не абсолютно по признаку Абеля при $a_n:=\cos\frac{\pi}{n}$ и $b_n:=\frac{\sin{n}}{\ln\ln{n}}$, так как последовательность $\{\cos\frac{\pi}{n}\}$ возрастает и ограничена сверху единицей.

previous contents next