7. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

7.1 Основные понятия, общие свойства сходящихся рядов.

7.1.1 Определения и примеры.

Если $a,b\in\mathbb{R}$, то $a+b$ - сумма двух действительных чисел.
Если $n\in\mathbb{N}$, и для любого $k\in\overline{1,n}$ $a_k\in\mathbb{R}$, то $\displaystyle\sum_{k=1}^na_k:=a_1+a_2+\dots+a_n$ - сумма $n$ действительных чисел.
Если $\{a_n\}$ последовательность из $\mathbb{R}$ и $n,m\in\mathbb{N}$ такие, что $n\leq{m}$, то $\displaystyle\sum_{k=m}^ma_k:=a_n+a_{n+1}+\dots+a_m$ - сумма $n-m$ последовательных членов числовой последовательности.
Это все конечные суммы. Теория числовых рядов исследует понятие счетной суммы, а есть и несчетные.

Определение 7.1.1: Пусть $\{a_n\}$ последовательность из $\mathbb{R}$. Последовательность $\{S_n\}$ такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $S_n=\sum_{k=1}^na_k$, тогда говорят, что пара последовательностей $\{a_n\}$, $\{S_n\}$ задает числовой ряд обозначаемый $\sum_{n=1}^\infty{a}_n\sim{a}_1+a_2+\dots+a_n+\dots$.
При этом элементы последовательности $\{a_n\}$ называются элементами числового ряда, а элементы последовательности $\{S_n\}$ частичными суммами числового ряда.

Если задана последовательность $\{S_n\}$, то последовательность $\{a_n\}$ восстанавливается однозначно как: $a_1=S_1$ и для любого $k>1$ $a_k=S_k-S_{k-1}$.

Определение 7.1.2: Говорят, что числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, если существует предел последовательности его частичных сумм $\{S_n\}$.
При этом число $S:=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k$ называется суммой числового ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.
Если числовой ряд сходится, то он называется сходящимся, если числовой ряд не сходится, то он называется расходящимся.

При необходимости можно ввести понятие сходимости числового ряда в $\overline{\mathbb{R}}$.
Везде далее символ "$\sum_{n=1}^\infty{a}_n$" может использоваться в двух значениях: как обозначение числового ряда, например, "$\sum_{n=1}^\infty{a}_n=1-1+1-1+\dots$", или как обозначение суммы числового ряда "$\sum_{n=1}^\infty{a}_n=0$". При этом второе выражение имеет смысл только для сходящихся рядов.

Определение 7.1.3: Если числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ задан последовательностью $\{a_n\}$, а ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ задан последовательностью $\{b_n\}$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $b_n:=a_{n+k}$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n=\sum_{n=k+1}^\infty{a}_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\dots$ называют $k$-тым остатком ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.

Пример 7.1.1: Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty(aq^{n-1})=a+aq+aq^2+\dots+aq^{n-1}+\dots$, где $q\neq1$.
Вычислим частичную сумму ряда $$S_n=\sum_{k=1}^n(aq^{k-1})\Rightarrow{S}_n(1-q)=\sum_{k=1}^n(aq^{k-1})-q\sum_{k=1}^n(aq^{k-1})=\sum_{k=1}^n(aq^{k-1})-\sum_{k=2}^{n+1}(aq^{k-1})= a-aq^n\Rightarrow{S}_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$$ Таким образом последовательность частичных сумм $\{S_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится последовательность $\{q^n\}$, то есть при $|q|<1$. При этом $\sum_{n=1}^\infty(aq^{n-1})=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-q^n)}{1-q}=\frac{a}{1-q}$.

Пример 7.1.2: Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty\ln(1+\frac1{n})$.
Вычислим частичную сумму ряда $$a_n=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln{n}\Rightarrow{S}_n=\sum_{k=2}^{n+1}\ln{k}-\sum_{k=1}^n\ln{k}=\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1)$$ Так как последовательность $\{\ln{n}\}$ не имеет предела, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Пример 7.1.3: Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(\alpha+n)(\alpha+n+1)}$, где $\alpha\in\{\mathbb{R}\backslash-\mathbb{N}\}$.
Вычислим частичную сумму ряда $$a_n=\frac1{(\alpha+n)(\alpha+n+1)}=\frac1{\alpha+n}-\frac1{\alpha+n+1}\Rightarrow{S}_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\alpha+k}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{\alpha+k+1}= \frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+n+1}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+n+1}\right)=\frac1{\alpha+1}$$ Таким образом ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится к сумме $\frac1{\alpha+1}$.

Пример 7.1.4: Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n}$ (так называемый "гармонический ряд").
Как было показано ранее последовательность $S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n}$ не имеет предела, следовательно, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n}$ расходится.

Пример 7.1.5: Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(\alpha+n)(\alpha+n+1)(\alpha+n+2)}$, где $\alpha\in\mathbb{N}_0$.
$$a_n=\frac1{(\alpha+n)(\alpha+n+1)(\alpha+n+2)}=\left(\frac1{\alpha+n}-\frac1{\alpha+n+1}\right)\frac1{\alpha+n+2}= \frac1{(\alpha+n)(\alpha+n+2)}-\frac1{(\alpha+n+1)(\alpha+n+2)}=$$ $$=\frac1{2}\left(\frac1{\alpha+n}-\frac1{\alpha+n+2}\right)- \left(\frac1{\alpha+n+1}-\frac1{\alpha+n+2}\right)=\frac1{2}\frac1{\alpha+n}-\frac1{2}\frac1{\alpha+n+1}-\frac1{2}\frac1{\alpha+n+1}+ \frac1{2}\frac1{\alpha+n+2}=$$ $$=\frac1{2}\left(\left(\frac1{\alpha+n}-\frac1{\alpha+n+1}\right)-\left(\frac1{\alpha+n+1}-\frac1{\alpha+n+2}\right)\right) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow{S}_n=\frac1{2}\left(\left(\sum_{k=1}^n\frac1{\alpha+k}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{\alpha+k}\right)- \left(\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{\alpha+k}-\sum_{k=3}^{n+2}\frac1{\alpha+k}\right)\right)=\frac1{2}\left(\frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+n+1}- \frac1{\alpha+2}+\frac1{\alpha+n+3}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{n\to\infty}S_n= \frac1{2}\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+n+1}-\frac1{\alpha+2}+\frac1{\alpha+n+3}\right)= \frac1{2}\left(\frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+2}\right)=\frac1{2}\frac1{(\alpha+1)(\alpha+2)}$$.

7.1.2 Общие свойства сходящихся рядов.

Теорема 7.1.1:

1. Критерий Коши сходимости числового ряда.
   Ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится тогда и только тогда, когда: $$\forall\varepsilon>0\:\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{m}\geq{n}>N\left(|S_m-S_{n-1}|=\left|\sum_{k=n}^ma_k\right|<\varepsilon\right).$$
2. Если числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}{a}_n=0$.
3. Если в числовом ряде $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ изменить конечное число членов, то полученный числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}'_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится исходный ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.
4. Если числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, то для любого $k\in\mathbb{N}$ его $k$-тый остаток $\sum_{n=k+1}^\infty{a}_n$ сходится.
   Если существует $k\in\mathbb{N}$ такое, что $k$-тый остаток ряда сходится, то сам ряд тоже сходится.

Доказательство:

1. По определению сходимости ряд сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел последовательности его частичных сумм $\{S_n\}$. По критерию Коши существования предела последовательности $$\exists\lim_{n\to\infty}S_n\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{N}'\in\mathbb{N}:\forall{m},n>{N}'(|S_m-S_n|<\varepsilon)$$ Положим $N:=N'+1$ и без ограничения общности будем считать, что $m\geq{n}$, тогда $$\forall{m},n\in\mathbb{N}(m\geq{n}>N'\Leftrightarrow{m}>n-1>N)\Rightarrow \left(\exists\lim_{n\to\infty}S_n\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\:\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{m}\geq{n}>N\left(|S_m-S_{n-1}|=\left|\sum_{k=n}^ma_k\right|<\varepsilon\right)\right).$$
2. Утверждение следует из пункта 1 при $n=m$ $$\exists\lim_{n\to\infty}S_n\Rightarrow \forall\varepsilon>0\:\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{n}>N\left(|S_n-S_{n-1}|=\left|\sum_{k=n}^na_k\right|=|a_n|<\varepsilon\right)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=0.$$
3. Пусть в числовом ряде $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ изменено конечное число членов и получен новый ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$. Тогда существует натуральное $n_0:=\max\{k\:|\:a_k\neq{a}'_k\}$ - индекс максимального измененного члена. В критерии Коши (пункт 1) при необходимости можно увеличить число $N$, сделать его больше $n_0$, тогда измененные члены не будут участвовать в условии критерия. То есть, если $$\forall\varepsilon>0\:\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{m}\geq{n}>N\left(\left|\sum_{k=n}^ma_k\right|<\varepsilon\right)$$ то положив $N':=\max\{n_0,N\}$ получим $$\forall{k}>N'(k>N\wedge{a}_k=a'_k)\Rightarrow \forall\varepsilon>0\:\exists{N}'\in\mathbb{N}:\forall{m},n>N'\left(\left|\sum_{k=n}^ma_k\right|<\varepsilon\right)$$ В обратную сторону доказывается аналогично.
4. Фиксируем $k\in\mathbb{N}$. Докажем, что из сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ следует сходимость его $k$-того остатка $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$. обозначим $n$-тую частичную сумму ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ как $S_n^{(a)}$, а $n$-тую частичную сумму ряда $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ как $S_n^{(b)}$, тогда для любого $n>k$ $S_n^{(b)}=S_n^{(a)}-\sum_{i=1}^ka_i$. Следовательно, если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится к сумме $S:=\lim_{n\to\infty}S_n^{(a)}$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n=\sum_{n=k+1}^\infty{a}_n$ сходится к числу $\lim_{n\to\infty}S_n^{(b)}=\lim_{n\to\infty}(S_n^{(a)}-\sum_{i=1}^ka_i)=S-\sum_{i=1}^ka_i$.
   Пусть существует $k\in\mathbb{N}$ такое, что $k$-тый остаток ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, тогда $$\exists\lim_{n\to\infty}\sum_{i=k+1}^na_i\Rightarrow\exists\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^ka_i+\sum_{i=k+1}^na_i\right)\Rightarrow \exists\lim_{n\to\infty}S_n$$

При теоретическом исследовании числовых рядов используется критерий расходимости числового ряда.

Следствие 7.1.1: Ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится тогда и только тогда, когда $$\exists\varepsilon>0:\forall{N}\in\mathbb{N}(\exists{m}\geq{n}>N:|S_m-S_{n-1}|\geq\varepsilon)$$

Доказательство: Утверждение следует из пункта 1 теоремы 7.1.1, так как для любых утверждений $A,B$ $(A\Leftrightarrow{B})\Leftrightarrow(\neg{A}\Leftrightarrow\neg{B})$

Теорема 7.1.2: Простейшие арифметические операции над сходящимися рядами.

1. Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, то для любого $c\in\mathbb{R}$ ряд $\sum_{n=1}^\infty(ca_n)$ сходится и $\sum_{n=1}^\infty(ca_n)=c\sum_{n=1}^\infty{a}_n$


2. Если ряды $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ и $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ сходятся, то ряд $\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)$ сходится и $\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty{a}_n+\sum_{n=1}^\infty{b}_n$

Доказательство: При доказательстве обоих пунктов используются арифметические свойства предела последовательности.

1. Для любого $c\in\mathbb{R}$ и любой числовой последовательности $\{x_n\}$ из существования предела $\lim_{n\to\infty}x_n$ следует существование предела последовательности $\{cx_n\}$ и в случае существования пределов $\lim_{n\to\infty}(cx_n)=c\lim_{n\to\infty}x_n$. Так как константу можно вынести за знак конечной суммы, то для любого $n\in\mathbb{N}$ $\sum_{k=1}^n(ca_n)=c\sum_{k=1}^n{a}_n$, тогда положив для любого $n\in\mathbb{N}$ $x_n:=\sum_{k=1}^n{a}_k$ получим доказываемое утверждение.
2. Так как $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^n{a}_k+\sum_{k=1}^n{b}_n\right)$$ и правая часть имеет предел при $n\to\infty$, значит левая часть тоже имеет предел, то есть $$\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{a}_k+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{b}_k= \sum_{n=1}^\infty{a}_n+\sum_{n=1}^\infty{b}_n$$

Теорема 7.1.3: Сочетательное свойство сходящихся рядов.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, $\{n_k\}$ строго возрастающая последовательность из $\mathbb{N}$, ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ такой, что $\displaystyle{b}_1:=\sum_{i=1}^{n_1}a_i$ и для любого $k>1$ $\displaystyle{b}_k:=\sum_{i=n_{k-1}+1}^{n_k}a_i$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ сходится к той же сумме, что и ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.

Доказательство: Обозначим $k$-тую частичную сумму рядов $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ и $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ как $S_k^{(a)}$ и $S_k^{(b)}$ соответственно. Тогда $$S_k^{(b)}=\sum_{i=1}^k{b}_i=\sum_{j=1}^{n_1}a_j+\sum_{i=2}^k\left(\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k}a_j\right)=\sum_{i=1}^{n_k}a_k=S_{n_k}^{(a)}$$ Таким образом последовательность $\{S_k^{(b)}\}$ является подпоследовательностью $\{S_{n_k}^{(a)}\}$ последовательности $\{S_n^{(a)}\}$. И так как предел любой подпоследовательности сходящиеся последовательности существует и численно равен пределу последовательности, то $$\sum_{n=1}^\infty{b}_n=\lim_{k\to\infty}S_k^{(b)}=\lim_{k\to\infty}S_{n_k}^{(a)}=\lim_{n\to\infty}S_n^{(a)}=\sum_{n=1}^\infty{a}_n.$$

Обратное, вообще говоря, не верно. То есть, существуют расходящиеся ряды, некоторые группировки которых сходятся. Например, ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n=-1+1-1+1-\dots$ расходится, так как для любого $k\in\mathbb{N}$ $S_{2k-1}=-1$, а $S_{2k}=0$. Однако, если для любого $k\in\mathbb{N}$ положить $n_k=2k$, то группировка $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ порождаемая последовательностью $\{n_k\}$ будет сходится, действительно $$\left(b_1=\sum_{i=1}^{n_1}a_i=\sum_{i=1}^2a_i=-1+1=0\wedge\forall{k}>1\left(b_k=\sum_{i=n_{k-1}+1}^{n_k}a_i=\sum_{i=2k-1}^{2k}=-1+1=0\right)\right) \Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}(S_n^{(b)}=0)\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty{b}_n=\lim_{n\to\infty}S_n^{(b)}=0$$ При этом различные группировки расходящегося ряда могут сходится к разным суммам. Например, если положить для любого $k\in\mathbb{N}$ $n_k=2k-1$ то группировка ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ порождаемая последовательностью $\{n_k\}$ будет иметь суммой -1.

previous contents next