16.3 Теорема Бохнера-Хинчина.

Определение 16.11: Пусть $T\subset\mathbb{R}$, тогда комплекснозначная функция $K(t,s):T^2\to\mathbb{C}$ называется неотрицательно определенной, если для любого $n\in\mathbb{N}$ для любых последовательных $t_1,\ldots,t_n\in{T}$, для любых $z_1,\ldots,x_n\in\mathbb{C}$ сумма $$\sum_{i,j=1}^nK(t_i,t_j)z_i\overline{z}_j$$ является вещественным неотрицательным числом.

Теорема 16.4: Функция $K(t,s)$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса тогда и только тогда, когда она неотрицательно определена.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть $K(t,s)$ ковариационная функция некоторого случайного процесса $\{\xi_t\mid{t}\in{T}\subset\mathbb{R}\}$, тогда для любых $t,s\in{T}$ $$K(t,s):=E((\xi_t-E\xi_t)\overline{(\xi_s-E\xi_s)}).$$ Следовательно, \begin{multline*} \sum_{i,j=1}^nK(t_i,t_j)z_i\overline{z}_j=\sum_{i,j=1}^nE((\xi_{t_i}-E\xi_{t_i})\overline{(\xi_{t_j}-E\xi_{t_j})})= E\left(\sum_{i,j=1}^n(\xi_{t_i}-E\xi_{t_i})z_i\overline{(\xi_{t_j}-E\xi_{t_j})z_j}\right)=\\= E\left(\sum_{i=1}^n(\xi_{t_i}-E\xi_{t_i})z_i\sum_{j=1}^n\overline{(\xi_{t_j}-E\xi_{t_j})z_j}\right)=E\left|\sum_{i=1}^n(\xi_{t_i}-E\xi_{t_i})z_i\right|^2\geq0 \end{multline*} $\Leftarrow)$ Пусть $K(t,s):=K_1(t,s)+iK_2(t,s)$ неотрицательно определена. Тогда для любого $t\in{T}$ при $n=1$, $z_1=1$ имеем $K(t,t)\geq0$. При $n=2$, $z_1=z_2=1$ для любых $t_1,t_2\in{T}$ таких, что $t_1\neq{t}_2$ $$ \sum_{i,j=1}^n=K(t_i,t_j)z_i\overline{z}_j=K(t_1,t_1)+K(t_1,t_2)+K(t_2,t_1)+K(t_2,t_2)=K(t_1,t_1)+K_1(t_1,t_2)+iK(t_1,t_2)+K_1(t_2,t_1)+iK(t_2,t_1)+K(t_2,t_2) $$ вещественное число, следовательно, $K_2(t_1,t_2)=-K_2(t_2,t_1)$. При $n=2$, $z_1=1$, $z_2=i$ для любых $t_1,t_2\in{T}$ таких, что $t_1\neq{t}_2$ $$ \sum_{i,j=1}^nK(t_i,t_j)z_i\overline{z}_j=K(t_1,t_1)+K(t_1,t_2)\overline{i}+K(t_2,t_1)i+K(t_2,t_2)i\overline{i}= K(t_1,t_1)-iK_1(t_1,t_2)+K_2(t_1,t_2)+iK_1(t_2,t_1)-K_2(t_2,t_1)+K(t_2,t_2) $$ вещественное число, следовательно, $K_2(t_1,t_2)=K_2(t_2,t_1)$. Таким образом, при перестановке переменных действительная часть $K(t,s)$ не меняется, а мнимая меняет знак, то есть для любых $t,s\in{T}$ $K(t,s)=\overline{K(s,t)}$. Если $K(t,s)$ вещественнозначная функция, то $K(t,s)=K(s,t)$, то есть $$Q(z_1,\ldots,z_n):=\sum_{i,j=1}^nK(t_i,t_j)z_1z_2$$ неотрицательно определенная квадратичная форма, тогда $$\varphi(z_1,\ldots,z_n):=\exp\left(-\frac12{Q}(z_1,\ldots,z_n)\right)$$ характерестическая функция нормального распределения $N(\overline{0},\|K(t_i,t_j)\|)$. Таким образом, построено семейство распределений $$ \{F_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n)\mid{n}\in\mathbb{N};t_1,\ldots,t_n\in{T}\}:=\{N(\overline{0},\|K(t_i,t_j)\|)\mid{n}\in\mathbb{N};t_1,\ldots,t_n\in{T}\}. $$ Докажем, что данное семейство удовлетворяет условиям согласованности (Булинский А. В., Ширяев А. Н. "Теория случайных процессов". 2003 г. стр 26)

1. Пусть вектор $(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ имеет распределение $F_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n)$, тогда для любой перестановки $(i_1,\ldots,i_n)$, вектор $(\xi_{t_1},\ldots,\xi_{t_n})$ имеет распределение $F_{t_{i_1},\ldots,t_{i_n}}(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})$, то есть $$F_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n)=F_{t_{i_1},\ldots,t_{i_n}}(x_{i_1},\ldots,x_{i_n}).$$
2. Второе условие согласованности $$F_{t_1,\ldots,t_{n-1}}(x_1,\ldots,x_{n-1})=F_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_{n-1},\infty)$$ следует из теоремы 8.4 (?).

Следствие 16.2: Класс ковариационных функций замкнут относительно сложения, умножения на положительную константу и предельного перехода.

Доказательство:

1. Пусть $K_1(t,s)$, $K_2(t,s)$ ковариационные функции, тогда $$\sum_{i,j}^n(K_1(t,s)+K_2(t,s))z_1\overline{z}_2=\sum_{i,j=1}^nK_1(t,s)z_1\overline{z}_2+\sum_{i,j=1}^nK_2(t,s)z_1\overline{z}_2\geq0.$$ Следовательно, $K_1(t,s)+K_2(t,s)$ так же является ковариционной функцией.
2. Если $K(t,s)$ ковариционная функция и $c>0$, то $$\sum_{i,j=1}^ncK(t,s)z_1\overline{z}_2=c\sum_{i,j=1}^nK(t,s)z_1\overline{z}_2\geq0.$$ Следовательно, $cK(t,s)$ так же является ковариационной функцией.
3. Пусть $\{K_n(t,s)\}$ последовательность ковариационных функций, тогда $$\sum_{i,j=1}^n\lim_{n\to\infty}K_n(t,s)z_1\overline{z}_2=\lim_{n\to\infty}\sum_{i,j=1}^nK_n(t,s)z_1\overline{z}_2\geq0.$$ Следовательно, $\lim_{n\to\infty}K_n(t,s)$ так же является ковариационной функцией.

Лемма 16.1: Пусть функция $\varphi(x)$ интегрируема на $[-A,A]$ и $$f(x):=\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}\varphi(\tau)d\tau,$$ тогда функция $f(x)$ интегрируема на $\mathbb{R}$.

Доказательство:
См. доказательство теоремы 6.8.

Теорема 16.5: Теорема Бохнера-Хинчина. Непрерывная функция $K(\tau)$ неотрицательно определена тогда и только тогда, когда существует вещественнозначная, ограниченная, неубывющая функция $F(\lambda)$ такая, что $$K(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\lambda\tau}dF(\lambda).$$

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Для любого $m\in\mathbb{N}$, для любых, $u_1,\ldots,u_m\in{T}$; $z_1,\ldots,z_m\in\mathbb{C}$ $$\sum_{i,l=1}^mK(u_j-u_l)z_j\overline{z}_l\geq0,$$ тогда для любого $A>0$ $$\tilde{p}_A(x):=\iint_0^AK(u-v)e^{-iux}e^{-ivx}dudv\geq0.$$ Сделаем замену $\theta:=u$, $\tau:=u-v$, тогда \begin{multline*} \tilde{p}_A=\int_{-A}^0d\tau\int_0^{\tau+A}K(\tau)e^{-i\theta{x}}e^{i(\theta-\tau)x}d\theta+\int\limits_0^Ad\tau\int\limits_{\tau}^AK(\tau)e^{-i\theta{x}}e^{i(\theta-\tau)x}d\theta= \int\limits_{-A}^0K(\tau)e^{-i\tau{x}}(A+\tau)d\tau+\int\limits_0^AK(\tau)e^{-i\tau{x}}(A-\tau)d\tau=\\= A\left(\int\limits_{-A}^0K(\tau)e^{-i\tau{x}}d\tau+\int\limits_0^AK(\tau)e^{-i\tau{x}}d\tau\right)+\int\limits_{-A}^0K(\tau)e^{-i\tau{x}}\tau{d}\tau-\int\limits_0^AK(\tau)e^{-i\tau{x}}\tau{d}\tau= A\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}d\tau-\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}|\tau|d\tau. \end{multline*} Положим \begin{multline*} p_A(x):=\frac1{2\pi{A}}\tilde{p}_A(x)=\frac1{2\pi}\left(\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}K(\tau)d\tau-\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}K(\tau)\frac{|\tau|}{A}d\tau\right)= \frac1{2\pi}\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}K(\tau)\left(1-\frac{|\tau|}{A}d\tau\right), \end{multline*} положим $$\mu(t):=\begin{cases}1-|t|, & |t|<1 \\ 0, & |t|\geq1\end{cases},$$ тогда $$p_A(x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-A}^Ae^{-i\tau{x}}K(\tau)\mu\left(\frac{\tau}{A}\right)d\tau=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-i\tau{x}}K(\tau)\mu\left(\frac{\tau}{A}\right)d\tau,$$ где последнее равенство в силу того, что $$|\tau|\geq{A}\Rightarrow\left|\frac{\tau}{A}\right|\geq1\Rightarrow\mu\left(\frac{\tau}{A}\right)=0.$$ Таким образом, функция $p_A(x)$ является преобразованием Фурье для функции $K(\tau)\mu(\tau/A)$, тогда по лемме 16.1 $$K(\tau)\mu\left(\frac{\tau}{A}\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau{x}}p_{A}(x)dx,$$ так как по теореме 16.4 $K(\tau)$ является ковариационной функцией некоторого стохастического в широком смысле случайного процесса $\{\xi_t\mid{t}\in{T}\}$ и $K(0)=D\xi_t>0$, то $$\frac{K(\tau)}{K(0)}\mu\left(\frac{\tau}{A}\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\frac{p_A(x)}{K(0)}dx.$$ При $\tau=0$ имеем $\int\limits_{-\infty}^{\infty}(p_A(x)/K(0))dx=1$ и $p_A(x)/K(0)\geq0$, следовательно, по теореме 3.7 для любого $A>0$ функция $p_A(x)/K(0)$ является плотностью распределения некоторой случайной величины, а функция $\mu(\tau/A)K(\tau)/K(0)$ характеристической функцией этой случайной величины. Так как по определению функции $\mu(t)$ $\mu(\tau/A)\to1$ при $A\to\infty$, то $$\frac{K(\tau)}{K(0)}\mu\left(\frac{\tau}{A}\right)\xrightarrow[A\to\infty]{}\frac{K(\tau)}{K(0)},$$ и $K(\tau)/K(0)$ непрерывна, следовательно, по теореме 6.14 функция $K(\tau)/K(0)$ является характеристической функцией некоторого распределения $\tilde{F}(x)$ и $$\frac{K(\tau)}{K(0)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau{x}}d\tilde{F}(x).$$ Положим $F(x):=K(0)\tilde{F}(x)$, тогда $$K(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau{x}}dF(x).$$ где $F(x)$ неубывает и принимает значения на отрезке $[0,K(0)]$.
$\Leftarrow)$ Для любого $m\in\mathbb{N}$ \begin{multline*} \sum_{j,l=1}^mK(u_j-u_l)z_j\overline{z}_l=\sum_{j,l=1}^m\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i(u_j-u_l)\lambda}dF(\lambda)\right)z_j\overline{z}_l= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\sum_{j,l=1}^me^{iu_j\lambda}z_j\overline{e^{iu_l\lambda}z_l}\right)dF(\lambda)=\\= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^me^{iu_j\lambda}z_j\overline{\sum_{l=1}^me^{iu_l\lambda}z_l}\right)dF(\lambda)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left|\sum_{j=1}^me^{iu_j\lambda}z_j\right|^2dF(\lambda)\geq0 \end{multline*}

Определение 16.12: Пусть $K(\tau)$ ковариационная функция случайного процесса $\{\xi_t\mid{t}\in{T}\}$, тогда

1. Функция $F(\lambda)$ такая, что $$K(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau\lambda}dF(\lambda)$$ называется спектральной функцией процесса $\xi_t$.
2. Функция $$\frac{K(\tau)}{K(0)}=\frac1{K(0)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau\lambda}dF(\lambda)$$ называется характеристической функцией процесса $\xi_t$.
3. Если спектральная плотность процесса $F(\lambda)$ абсолютно непрерывна, то есть существует функция $f(\lambda)$ такая, что $$F(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{\lambda}f(u)du,$$ то функция $f(\lambda)$ называется спектральной плотностью процесса $\xi_t$. В радиотехнике функцию $f(\lambda)$ называют так же плотностью распределения мощности по частотам, а значение $D\xi_t=K(0)$ мощностью сигнала.

Замечание 16.9: Из теорем 16.4, 16.5 следует, что функция $K(\tau)$ является характеристической для некоторого случайного процесса тогда и только тогда, когда она положительно (неотрицательно ?) определена.

Замечание 16.10: Если функция $f(\lambda)$ спектральная плотность процесса $\xi_t$, то $$K(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\tau\lambda}f(\lambda)d\lambda,$$ откуда мощность сигнала $$D\xi_t=K(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\lambda)d\lambda.$$ Если $K(\tau)$ интегрируема на прямой, то $$f(\lambda)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-i\tau\lambda}K(\tau)d\tau$$

previous contents next