Теорема 6.6: Пусть $\xi$ случайная величина с функцией распределения $F(x)$ и характеристической функцией $\varphi(t)$. Точки $a,b\in\mathbb{R}$ такие, что $a<b$ и функция $F(x)$ непрерывна в $a$ и $b$. Тогда $$F(b)-F(a)=\frac1{2\pi}\lim_{c\to\infty}\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\varphi(t)dt.$$
Доказательство:
Так как
$$
\left|\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}e^{itx}\right|=\left|\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\right|=\left|\int\limits_a^be^{-itx}dx\right|\leq
\int\limits_a^b|e^{-itx}|dx=\left|\int\limits_a^bdx\right|=|b-a|
$$
то по теореме 14.3.2 MA двойной интеграл
$$
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\varphi(t)dt=
\frac1{2\pi}\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF(x)dt
$$
сходится, тогда по теореме Фубини (теорема 14.3.4 MA) можно поменять порядок интегрирования,
тогда последнее выражение равно
$$
\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}e^{itx}dt\right)dF(x)=
\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_c(x)dF(x),
$$
где
$$
I_c(x):=\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-it(a-x)}-e^{-it(b-x)}}{it}dt=
\int\limits_{-c}^c\frac{\cos{(t(a-x))}-i\sin{(t(a-x))}-\cos{(t(b-x))}+i\sin{(t(b-x))}}{it}.
$$
Так как функция $\cos{(t(a-x))}/t$ от $t$ четная, то интегралы от первого и третьего слагаемого равны 0, следовательно,
$$
I_c(x)=\int\limits_{-c}^c\frac{\sin{(t(x-a))}}{t}dt-\int\limits_{-c}^c\frac{\sin{(t(x-b))}}{t}dt=
\int\limits_{-c(x-a)}^{c(x-a)}\frac{\sin{u}}{u}du-\int\limits_{-c(x-b)}^{c(x-b)}\frac{\sin{v}}{v}dv.
$$
Так как интеграл Дирихле $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx$ сходится и
равен $\pi$ (пример 13.2.8 MA),
то можем перейти к пределу при $c\to\infty$, тогда
$$
\lim_{c\to\infty}\int\limits_{-c(x-a)}^{c(x-a)}\frac{\sin{u}}{u}du=\begin{cases}-\pi, & x<a \\ 0, & x=a \\ \pi, & x>a\end{cases},
$$
следовательно,
$$
\lim_{c\to\infty}I_c(x)=\begin{cases}0, & (x<a\vee{x}>b) \\ \pi, & (x=a\vee{x}=b) \\ 2\pi, & a<x<b\end{cases}.
$$
Пусть $g(s,t):=\int_s^t\frac{\sin{u}}{u}du$, тогда $g(s,t)$ равномерно непрерывна (?) и сходится к $\pi$ при $s\to\infty$, $t\to\infty$,
следовательно, существует $M>0$ такое, что $|g(s,t)|<M$ для любого $(s,t)\in\mathbb{R}^2$.
Тогда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 4.7),
можно перейти к пределу при $c\to\infty$ под знаком интеграла $\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_c(x)dF(x)$, то есть
\begin{multline*}
\lim_{c\to\infty}\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_c(x)dF(x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\lim_{c\to\infty}I_c(x)dF(x)
\frac1{2\pi}\left(\int\limits_{\{a\}}\pi{d}F(x)+\int\limits_{a+0}^{b-0}2\pi{d}F(x)+\int\limits_{\{b\}}\pi{d}F(x)\right)=\\=
\frac{F(a)-F(a-0)}{2}+F(b-0)-F(a+0)+\frac{F(b)-F(b-0)}{2}=F(b)-F(a),
\end{multline*}
где последнее равенство в силу непрерывности функции $F(x)$ в точках $a$ и $b$.
Теорема 6.7: Теорема об единственности характеристической функции.
Если функция $\varphi(t)$ является характеристической функцией для некоторых случайных величин, то у всех этих случайных величин одна и таже функция распределения.
Доказательство:
Пусть $F(x)$ функция распределения случайной величины, характеристической функцией для которой является функция $\varphi(t)$.
Обозначим $G$ множество точек непрерывности функции $F(x)$, $a,b\in{G}$, $a<b$. Тогда по теореме 6.6
$$F(b)-F(a)=\frac1{2\pi}\lim_{c\to\infty}\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\varphi(t)dt.$$
По определению функции распределения случайной величины существует предел $\lim_{a\to-\infty}F(a)=0$, следовательно,
существует предел выражения стоящего в левой части равенства при $a\to-\infty$, следовательно,
существует аналогичный предел выражения стоящего в правой части равенства. То есть для любого $b\in{G}$
$$F(b)=\frac1{2\pi}\lim_{a\to-\infty}\lim_{c\to\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\varphi(t)dt.$$
Так как по определению функции распределения она непрерывна слева в любой точке, то для любого $x\in\mathbb{R}$
$$F(x)=\frac1{2\pi}\lim_{G\ni{b}\to{x}-0}\lim_{a\to-\infty}\lim_{c\to\infty}\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\varphi(t)dt.$$
Таким образом, значение функции $F(x)$ однозначно определяется функцией $\varphi(t)$ и не зависит от вида случайной велечины.
Пример 6.4: Применение теоремы единственности х. ф.
Теорема 6.8: Пусть $\varphi(t)$ характеристическая функция случайной величины $\xi$, $\varphi(t)$ абсолютно интегрируема, то есть $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(t)|dt<\infty$. Тогда случайная величина $\xi$ абсолютно непрерывна и ее плотность распределения равна $$p(x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\varphi(t)dt.$$
Доказательство:
Так как $\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(t)|dt<\infty$ и для любого $x\in\mathbb{R}$ $|e^{-itx}|=1$,
то для любого $x\in\mathbb{R}$ $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\varphi(t)dt<\infty$. Для любого $x\in\mathbb{R}$ обозначим
$$p(x):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\varphi(t)dt.$$
Докажем, что функция $p(x)$ является плотностью распределения случайной величины $\xi$.
Для любого $h\in\mathbb{R}$
$$|p(x+h)-p(x)|=\frac1{2\pi}\left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{-it(x+h)}-e^{-itx})\varphi(t)dt\right|\leq
\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}|e^{-ith}-1|\varphi(t)dt.$$
Переходим к пределу при $h\to0$ (это возможно по теореме 13.2.1 MA
так как $e^{-ith}$ сходится к 1 равномерно при $h\to0$)
$$\lim_{h\to0}|p(x+h)-p(x)|\leq\int\limits_{-\infty}^{\infty}\lim_{h\to0}|e^{-ith}-1|\varphi(t)dt=0.$$
Тогда по утверждению 5.5.3 MA функция $p(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}$, следовательно,
по утверждению 8.2.4 MA она интегрируема на $\mathbb{R}$.
То есть для любых $a,b\in\mathbb{R}$ существует интеграл
$$
\int\limits_a^bp(x)dx=\frac1{2\pi}\int\limits_a^b\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\varphi(t)dt\right)dx.
$$
Так как функция $|e^{-itx}\varphi(t)|=|e^{-itx}||\varphi(t)|=|\varphi(t)|$ ограничена и непрерывна почти всюду на $\mathbb{R}$ в силу сходимости интеграла
$\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(t)|dt$, то двойной интеграл по $[a,b]\times(-\infty,\infty)$ существует, следовательно,
по теореме Фубини (теорема 14.3.4 MA) можно поменять порядок интегрирования
$$
\int\limits_a^bp(x)dx=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)\left(\int\limits_a^be^{-itx}dx\right)dt=
\frac1{2\ pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)\frac{e^{-itb}-e^{-ita}}{-it}dt=
\frac1{2\pi}\lim_{c\to\infty}\int\limits_{-c}^c\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\varphi(t)dt=F_{\xi}(b)-F_{\xi}(a),
$$
где последнее равенство по теореме 6.6. Таким образом, получено $$\int_a^bp(x)dx=F_{\xi}(b)-F_{\xi}(a).$$
Переходя к пределу при $b\to-\infty$, получим для любого $b\in\mathbb{R}$
$$F_{\xi}(b)=\int\limits_{-\infty}^bp(x)dx.$$
Докажем от противного, что функция $p(x)$ неотрицательна. Предположим, что существует точка $x_0\in\mathbb{R}$ такая, что $p(x_0)<0$,
тогда по п. 2 теоремы 5.5.1 MA существует окрестность $U(x_0)$ такая,
что для любого $x\in{U}(x_0)$ $p(x)<0$. Выберем из этой окрестности точки
$a,b\in{U}(x_0)$, $a<b$, тогда для любого $x\in[a,b]$ $p(x)<0$ и $F_{\xi}(b)-F_{\xi}(a)=\int_a^bp(x)dx<0$.
Последнее неравенство противоречит неубыванию функции распределения $F_{\xi}(x)$.
Таким образом, функция $p(x)$ удовлетворяет определению плотности распределения случайной величины $\xi$.
Определение 6.2:
Будем говорить, что последовательность неубывающих ограниченных в совокупности функций $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к неубывающей (?) функции $F(x)$,
если для любой точки непрерывности функции $F(x)$
$$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x).$$
Теорема 6.9: Пусть $M$ всюду плотное множество в $\mathbb{R}$ (определение 15.1.1.1 MA). Последовательность неубывающих функций $\{F_n(x)\}$ ограничена в совокупности. Для любого $x\in{M}$ существует предел $\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$. Тогда последовательность $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к функции $F(x)$.
Доказательство:
Фиксируем $x\in\mathbb{R}$ точку непрерывности функции $F(x)$. Так как $\overline{M}=\mathbb{R}$, то существуют точки $x',x''\in{M}$ такие, что $x'<x<x''$.
Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ $F_n(x')\leq{F}_n(x)\leq{F}_n(x'')$, переходя к пределу при $n\to\infty$ получим
$$F(x')\leq\varliminf_{n\to\infty}F_n(x)\leq\varlimsup_{n\to\infty}F_n(x)\leq{F}(x'').$$
Так как множество $M$ всюду плотное, то любая точка из $\mathbb{R}$ является предельной для него.
Следовательно, можем переходить к пределу по множеству $M$ при $x'\to{x}-0$, $x''\to{x}+0$,
причем по п. 3 утверждения 5.1.3 MA
значения этих пределов будут равны значениям аналогичных пределов по $\mathbb{R}$. Таким образом,
$$F(x-0)\leq\varliminf_{n\to\infty}F_n(x)\leq\varlimsup_{n\to\infty}F_n(x)\leq{F}(x+0).$$
Так как $x$ - точка непрерывности функции $F(x)$, то
$$F(x-0)=F(x+0)=F(x),$$
что означает равенство верхнего и нижнего пределов последовательности $F_n(x)$ при $n\to\infty$, то есть
$$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x).$$
Теорема 6.10: Первая теорема Хелли.
Всякая последовательность неубвающих, ограниченных в совокупности функций допускает выделение подпоследовательности
сходящейся в основном к некоторой непрерывной слева функции.
Доказательство:
Пусть $\{F_n(x)\}$ последовательность неубывающих ограниченных в совокупности функций.
Пусть $M:=\{r_1,\ldots,r_n,\ldots\}$ некоторое счетное всюду плотное в $\mathbb{R}$ множество (как минимум одно такое существует, например,
множество $\mathbb{Q}$). Тогда числовая последовательность $\{F_n(r_1)\}$ ограничена, следовательно,
по лемме Больцано-Вейерштрасса (лемма 4.4.1 MA)
она допускает выделение сходящейся подпоследовательности
$$F_{1,1}(r_1),\ldots,F_{1,n}(r_1),\ldots$$
Далее рассмотрим последовательность
$$F_{1,1}(r_2),\ldots,F_{1,n}(r_2),\ldots$$
она ограничена, следовательно, допускает выделение сходящейся подпоследовательности
$$F_{2,1}(r_2),\ldots,F_{2,n}(r_2),\ldots.$$
Таким же образом индуктивно для любого $k\in\mathbb{N}$ построим последовательность $\{F_{k,n}(x)\}$.
Определим функцию $F(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такую, что для любого $k\in\mathbb{N}$
$$F(r_k):=\lim_{n\to\infty}F_{k,n}(r_k).$$
Так как $\overline{M}=\mathbb{R}$, то для любого $x\in\mathbb{R}\backslash{M}$ найдется убывающая последовательность $\{r'_k\}$ из $M$ такая,
что $\lim_{k\to\infty}r'_k=x$. Тогда определим функцию $F(x)$ в точке $x$ как
$$F(x):=\lim_{k\to\infty}F(r'_k),$$
тогда функция $F(x)$ будет непрерывна слева на $\mathbb{R}$ и, очевидно, неубывающей.
Так как по утверждению 4.4.3 MA
подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, то
$$\forall{k}\in\mathbb{N}(\forall{s}\in\overline{1,k}(\lim_{n\to\infty}F_{s,n}(r_s)=F(r_s))).$$
Тогда для любого $k\in\mathbb{N}$
$$\lim_{n\to\infty}F_{n,n}(r_k)=F(r_k).$$
Это верно просто потому, что для любого $k\in\mathbb{N}$ начиная с $k$-того элемента последовательность $\{F_{n,n}(r_k)\}$
является подпоследовательностью последовательности $\{F_{k,n}(r_k)\}$}.
Таким образом, для любого $x\in{M}$
$$\lim_{n\to\infty}F_{n,n}(x)=F(x),$$
следовательно, по теореме 6.9 последовательность функций $\{F_{n,n}(x)\}$ сходится в основном к функции $F(x)$.
Теорема 6.11: Вторая теорема Хелли.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$.
Последовательность неубывающих ограниченных в совокупности функций $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к функции $F(x)$ на отрезке $[a,b]$.
Функция $F(x)$ непрерывна в точках $a$ и $b$. Тогда
$$\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^bf(x)dF_n(x)=\int\limits_a^bf(x)dF(x).$$
Доказательство:
Так как функции последовательности $\{F_n(x)\}$ ограничены в совокупности, то существует $C\in\mathbb{R}$ такое,
что для любых $x\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$ $|F_n(x)|\leq{C}$.
Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как $f(x)\in{C}[a,b]$, то существует разбиение
$$x_0:=a<x_1<\ldots<x_{N-1},x_N:=b$$
такое, что
$$\forall{k}\in\overline{1,N-1}\left(\forall{x}\in[x_k,x_{k+1}]\left(|f(x)-f(x_k)|<\frac{\varepsilon}{8C}\right)\right).$$
Введем функцию
$$f_{\varepsilon}(x):=\begin{cases}f(x_k), & x\in[x_k,x_{k+1}) \\ f(x_N), & x=x_N\end{cases},$$
тогда для любого $x\in[a,b]$ $|f(x)-f_{\varepsilon}(x)|<\varepsilon/8C$.
Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$
\begin{multline*}
\left|\int\limits_a^bf(x)dF(x)-\int\limits_a^bf(x)dF_n(x)\right|\leq\left|\int\limits_a^bf(x)dF(x)-\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF(x)\right|+
\left|\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF(x)-\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF_n(x)\right|+\left|\int\limits_a^bf(x)dF_n(x)-\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF_n(x)\right|\leq\\\leq
\int\limits_a^b|f(x)-f_{\varepsilon}(x)|dF(x)+\left|\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF(x)-\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF_n(x)\right|+
\int\limits_a^b|f(x)-f_{\varepsilon}(x)|dF_n(x)\leq\\\leq
\frac{\varepsilon}{8C}(F(b)-F(a))+\left|\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF(x)-\int\limits_a^bf_{\varepsilon}(x)dF_n(x)\right|+\frac{\varepsilon}{8C}(F_n(b)-F_n(a)).
\end{multline*}
Обозначим второе слагаемое через $I$.Так как функция $F(x)$ непрерывна в точках $a$ и $b$, то $F(a)=\lim_{n\to\infty}F_n(a)\leq{C}$,
$F(b)=\lim_{n\to\infty}F_n(b)\leq{C}$, следовательно, $F(b)-F(a)\leq2C$ и
$$\left|\int\limits_a^bf(x)dF(x)-\int\limits_a^bf(x)dF_n(x)\right|\leq\frac{\varepsilon}{2}+I.$$
Так как $f(x)\in{C}[a,b]$, то по п.1 теоремы 5.5.3 MA существует $M\in\mathbb{R}$ такое,
что для любого $x\in[a,b]$ $|f(x)|\leq{M}$, тогда
$$
I=\left|\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)(F(x_k)-F(x_{k+1}))-\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)(F_n(x_k)-F_n(x_{k+1}))\right|\leq
|M(F(a)-F(b))-M(F_n(b)-F_n(b))|\leq{M}|F(a)-F_n(a)|+M|F(b)-F_n(b)|
$$
Так как функция $F(x)$ непрерывна в точках $a$ и $b$ и $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к $F(x)$,
то $F_n(a)\to{F}(a)$, $F_n(b)\to{F}(b)$ при $n\to\infty$, следовательно,
$$\exists{n_0}\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(|F(a)-F_n(a)|<\frac{\varepsilon}{4M}\,\wedge|F(b)-F_n(b)|<\frac{\varepsilon}{4M}\right).$$
Тогда для любого $n>n_0$ $I<\varepsilon/2$ и
$$\left|\int\limits_a^bf(x)dF(x)-\int\limits_a^bf(x)dF_n(x)\right|<\varepsilon.$$
В лекциях приведено неточное доказательство, в котором требуется непрерывность функции $F(x)$ в точках $x_0,\ldots,x_N$.
Теорема 6.12: Вторая обобщенная теорема Хелли.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна и ограничена на $\mathbb{R}$.
Последовательность функций распределения $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к функции распределения $F(x)$, тогда
$$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dF_n(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dF(x).$$
Доказательство:
Так как по п. 9 утверждения 2.1 число точек разрыва функции $F(x)$ не более чем счетно,
то множетсво $C(F)$ точек непрерывности функции $F(x)$ всюду плотно,
так что можно перходить к пределу по множеству $C(F)$ при $x\to{a}$ для любого $a\in\mathbb{R}$.
Для любого $n\in\mathbb{N}$ и любых $A,B\in{C}(F)$
$$
\left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dF(x)-\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dF_n(x)\right|\leq
\left|\int\limits_{-\infty}^Af(x)dF(x)-\int\limits_{-\infty}^Af(x)dF_n(x)\right|+
\left|\int\limits_A^Bf(x)dF(x)-\int\limits_A^Bf(x)dF_n(x)\right|+\left|\int\limits_B^{\infty}f(x)dF(x)-\int\limits_B^{\infty}f(x)dF_n(x)\right|
$$
Обозначим слагаемые в последнем выражении как $I_1(A,n)$, $I_2(A,B,n)$ и $I_3(B,n)$ соответственно. Фиксируем $\varepsilon>0$.
Обозначим $M:=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)|$, тогда
$$
I_1(A,n)\leq\int\limits_{-\infty}^A|f(x)|dF(x)-\int\limits_{-\infty}^A|f(x)|dF_n(x)\leq
{M}(F(A)-F(-\infty)+F_n(A)-F_n(-\infty))=M(F(A)+F_n(A))
$$
Так как $F(-\infty)=0$,
$$\exists{A'}\in{C}(F):F(A')<\frac{\varepsilon}{9M}.$$
так как $F_n(A')\to{F}(A')$ при $n\to\infty$, то
$$\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1\left(|F_n(A')-F(A')|<\frac{\varepsilon}{9M}\right)\Rightarrow\forall{n}>n_2\left(F_n(A')<\frac{2\varepsilon}{9M}\right).$$
Таким образом,
$$\forall{n}>n_1\left(I_1(A',n)<M\left(\frac{\varepsilon}{9M}+\frac{2\varepsilon}{9M}\right)=\frac{\varepsilon}{3}\right).$$
Аналогично имеем
$$I_3(B,n)\leq{M}(F(\infty)-F(B)+F_n(\infty)-F_n(B)).$$
Так как $F(B)\to{F}(\infty)$ при $B\to\infty$ то
$$\exists{B'}\in{C}(F):|F(\infty)-F(B)|<\frac{\varepsilon}{9M}$$
Так как $F_n(B')\to{F}(B')$ при $n\to\infty$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $F(\infty)=F_n(\infty)=1$, то
$$
\exists{n}_2\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_2\left(|F(B')-F_n(B')|\leq\frac{\varepsilon}{9M}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_2\left(|F_n(\infty)-F_n(B')|\leq|1-F(B')|+|F(B')-F_n(B')|<\frac{2\varepsilon}{9M}\right).
$$
Таким образом,
$$\forall{n}>n_2\left(I_3(B',n)<M\left(\frac{\varepsilon}{9M}+\frac{2\varepsilon}{9M}\right)=\frac{\varepsilon}{3}\right).$$
По теореме 6.11
$$\exists{n}_3\in\mathbb{N}:\forall{n}\geq{n_1}\left(I_2(A',B',n)<\frac{\varepsilon}{3}\right).$$
Таким образом, для любого $n>\max{(n_1,n_2,n_3)}$
$$\left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dF(x)-\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dF_n(x)\right|\leq{I}_1(A',n)+I(A',B',n)+I(B',n)<\varepsilon.$$
Теорема 6.13: Прямая теорема непрерывности для х. ф.
Пусть последовательность функций распределения $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к функции распределения $F(x)$.
Тогда последовательность характерестических функций $\{\varphi_n(t)\}$ соответствующих распределениям последовательности $\{F_n(x)\}$
сходится равномерно на любом отрезке к характеристической функции $\varphi(t)$ соответствующей распределению $F(x)$.
Доказательство:
Для любого $n\in\mathbb{N}$
$$\varphi_n(t):=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_n(x).$$
Так как функция $e^{itx}$ непрерывна и ограничена на $\mathbb{R}$, то поточечная сходимость $\varphi_n(t)\to\varphi(t)$ при $n\to\infty$ следует из теоремы 6.12.
Равномерная сходимость следует из доказательства теорем 6.11, 6.12 так как оценки интегралов не зависят от $t$.
Теорема 6.14: Обратная теорема непрерывности для х. ф.
Пусть последовательность характеристических функций $\{\varphi_n(t)\}$ сходится к характеристической функции $\varphi(t)$.
Тогда соответствующая последовательность функций распределения $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к функции распределения $F(x)$ такой,
что $\varphi(t)$ является характеристической функцией для $F(x)$.
Доказательство:
Так как $\{F_n(x)\}$ последовательность неубывающих, ограниченных в совокупности функций,
то по первой теореме Хелли (теорема 6.10) существует последовательность $\{n_k\}$ из $\mathbb{N}$ такая,
что $\{F_{n_k}\}$ сходится в основном к $F(x)$ при $k\to\infty$. Для того чтобы доказать,
что $F(x)$ является функцией распределения (по теореме 2.1) достаточно доказать,
что $F(-\infty)=0$ и $F(\infty)=1$. Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $F_n(-\infty)=0$,
$F_n(\infty)=1$ и $F(x)$ неубывает (то есть непрерывна почти всюду, см. п.п. 1,2 задачи 5.5.6 MA),
то можно утверждать, что $0\leq{F}(-\infty)\leq{F}(\infty)\leq1$. Таким образом, $0\leq{F}(\infty)-F(-\infty)\leq1$ и
$$F(\infty)-F(-\infty)=1\Leftrightarrow(F(-\infty)=0\,\wedge{F}(\infty)=1).$$
Докажем от противного, что $\delta:=F(\infty)-F(-\infty)=1$. Предположим, что $0\leq\delta<1$ и зафиксируем $\varepsilon<1-\delta$.
Так как по п. 3 теоремы 6.1 $\varphi(t)$ непрерывна,
то по п. 1 теоремы 6.1
$\varphi(t)\to\varphi(0)=1$ при $t\to0$. Следовательно,
$$\exists\tau>0:\forall{t}\in[-\tau,\tau]\left(|\varphi(t)-1|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow
\forall{t}\in[-\tau,\tau]\left(1-\frac{\varepsilon}{2}<\varphi(t)<1+\frac{\varepsilon}{2}\right).$$
По следствию 8.3.2 MA
$$\exists{t}_0\in[-\tau,\tau]:\int\limits_{-\tau}^{\tau}\varphi(t)dt=\varphi(t_0)2\tau>2\tau\left(1-\frac{\varepsilon}{2}\right).$$
То есть
$$\left|\frac1{2\tau}\int\limits_{-\tau}^{\tau}\varphi(t)dt\right|>1-\frac{\varepsilon}{2}>\delta+\frac{\varepsilon}{2}.\quad(*)$$
Так как множество точек разрыва функции $F(x)$ не более чем счетно, то существует точка непрерывности $A$ функции $F(x)$ такая,
что $A>4/(\varepsilon\tau)$ и $-A$ тоже точка непрерывности функции $F(x)$.
Так как для любого $k\in\mathbb{N}$ $\varphi_{n_k}(t)$ является характерестической функцией для $F_{n_k}$, то для любого $k\in\mathbb{N}$
$$
\int\limits_{-\tau}^{\tau}\varphi_{n_k}(t)dt=\int\limits_{-\tau}^{\tau}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_{n_k}(x)\right)dt=
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\int\limits_{-\tau}^{\tau}e^{itx}dt\right)dF_{n_k}(x)=
\int\limits_{|x|\leq{A}}\left(\int\limits_{-\tau}^{\tau}e^{itx}dt\right)dF_{n_k}(x)+\int\limits_{|x|>A}\left(\int\limits_{-\tau}^{\tau}e^{itx}dt\right)dF_{n_k}(x).
$$
Обозначим слагаемые в последнем выважении $I_1(k)$ и $I_2(k)$ соответственно. Тогда
\begin{multline*}
|I_1(k)|\leq\int\limits_{|x|\leq{A}}\left|\int\limits_{-\tau}^{\tau}e^{itx}dt\right|dF_{n_k}(x)\leq
\int\limits_{|x|\leq{A}}\left(\int\limits_{-\tau}^{\tau}|e^{itx}|dt\right)dF_{n_k}(x)=
2\tau\int\limits_{|x|\leq{A}}dF_{n_k}(x)=2\tau|F_{n_k}(A)-F_{n_k}(-A)|\leq\\\leq
2\tau\bigl(|F_{n_k}(A)-F(A)|+|F(A)-F(-A)|+|F(-A)-F_{n_k}(-A)|\bigr)
\end{multline*}
Здесь по неубыванию $F(x)$ $|F(A)-F(-A)|\leq|F(\infty)-F(-\infty)|=\delta$. Так как $A$ и $-A$ точки непрерывности $F(x)$,
то $F_{n_k}(\pm{A})\to{F}(\pm{A})$ при $k\to\infty$, то есть
$$\exists{k}_1\in\mathbb{N}:\forall{k}>k_1\left(|F_{n_k}(A)-F(A)|<\frac{\varepsilon}{8}\right),$$
$$\exists{k}_2\in\mathbb{N}:\forall{k}>k_2\left(|F_{n_k}(-A)-F(-A)|<\frac{\varepsilon}{8}\right).$$
Тогда для любого $k>k_3:=\max{(k_1,k_2)}$
$$
|I_1(k)|\leq2\tau\left(\delta+\frac{\varepsilon}{4}\right).
$$
Так как
$$\left|\int\limits_{-\tau}^{\tau}e^{itx}dt\right|=\left|\frac{e^{i\tau{x}}-e^{-i\tau{x}}}{ix}\right|=\left|\frac{2i\sin{(\tau{x})}}{ix}\right|\leq\frac2{|x|},$$
то по выбору $A$
$$
|I_2(k)|\leq\int\limits_{|x|>A}\frac2{|x|}dF_{n_k}(x)\leq\frac2{A}\int\limits_{|x|>A}dF_{n_k}(x)\leq\frac2{A}<\frac{2\varepsilon\tau}{4}=\frac{\varepsilon\tau}{2}.
$$
Таким образом, для любого $k>k_3$
$$
\left|\frac1{2\tau}\int\limits_{-\tau}^{\tau}\varphi_{n_k}(t)dt\right|=\frac1{2\tau}|I_1(k)+I_2(k)|<
\frac1{2\tau}\left(2\tau\left(\delta+\frac{\varepsilon}{4}\right)+2\tau\frac{\varepsilon}{4}\right)=\delta+\frac{\varepsilon}{2},
$$
тогда переходя к пределу при $k\to\infty$ имеем
$$
\left|\frac1{2\tau}\int\limits_{-\tau}^{\tau}\varphi(t)dt\right|\leq\delta+\frac{\varepsilon}{2},
$$
что противоречит неравенству $(*)$. Следовательно, $\delta=1$, то есть $F(\infty)=1$, $F(-\infty)=0$ и $F(x)$ является функцией распределения.
Пусть $\{n'_k\}$ последовательность из $\mathbb{N}$ такая, что $F_{n'_k}(x)$ сходится в основном к $F_1(x)$ при $k\to\infty$.
Тогда по доказанному $F_1(x)$ - функция распределения. Так как у сходящейся последовательности все подпоследовательности сходятся к тому же пределу, то
$$\varphi_{n'_k}(t)\xrightarrow[k\to\infty]{}\varphi(t),\,\varphi_{n_k}(t)\xrightarrow[k\to\infty]{}\varphi(t).$$
Тогда по теореме 6.13 $\varphi(t)$ является характеристической функцией для распределений $F(x)$, $F_1(x)$, следовательно,
по теореме 6.7 $F(x)=F_1(x)$.
Таким образом, любая подпоследовательность последовательности $\{F_n(x)\}$ сходится в основном к одной и той же функции,
которую мы обозначили $F(x)$. Предположим, что $\{F_n(x)\}$ не сходится к $F(x)$.
Тогда существуют $\varepsilon>0$, $x_0\in\mathbb{R}$ точка непрерывности функции $F(x)$ и последовательность $\{m_k\}$ из $\mathbb{N}$ такие, что
$$\forall{k}\in\mathbb{N}(|F_{m_k}(x_0)-F(x_0)|\geq\varepsilon).$$
Однако, по теореме 6.10 из последовательности $\{m_k\}$ можно выделить подпоследовательность $\{m'_k\}$ такую,
что последовательность $\{F_{m'_k}(x)\}$ сходится в основном к $F(x)$. То есть
$$\exists{k_0}\in\mathbb{N}:\forall{k}>k_0(|F_{m'_k}(x_0)-F(x)|<\varepsilon).$$
И так как $\{m'_k\}$ подпоследовательность из $\{m_k\}$, то получено противоречие, то есть $F_n(x)$ сходится в основном к $F(x)$.
Задача 6.1:
Пусть для любого $n\in\mathbb{N}$ случайная величина $\xi_n$ распределена равномерно, на $[-n,n]$, доказать,
что для последовательности функций распределения $\{F_{\xi_n}(x)\}$ теорема 6.13 не выполняется.
Действительно, для любого $n\in\mathbb{N}$ $F_{\xi_n}(x)=\frac1{2}+\frac{x}{2n}$,
$p_{\xi_n}(x)=\frac1{2n}$ для $x\in[-n,n]$ и $p_{\xi_n}=0$ для $x\not\in[-n,n]$, тогда
$$
\varphi_{\xi_n}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}p_{\xi_n}(x)dx=\frac1{2n}\int\limits_{-n}^ne^{itx}dt=
\frac{e^{itn}-e^{-itn}}{2itn}=\frac{\sin{(tn)}}{tn}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
$$
Функция $\varphi(t)\equiv0$ не является характеристической по п. 1 теоремы 6.1 ($\varphi(0)\neq1$).
Теорема 6.13 не работает так как не выполнены её условия,
а именно последовательность $\{F_n(x)\}$ сходится к функции $F(x)\equiv\frac12$, которая,
очевидно, не является функцией распределения.
previous contents next