3. Случайные величины.

3.1 Основные свойства случайной величины.

Определение 3.1: Пусть $(\Omega,\mathfrak{A})$ - измеримое пространство, тогда функция $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ называется $\mathfrak{A}$-измеримой, если для любого $B\in\mathcal{B}$ $\xi^{-1}(B)\in\mathfrak{A}$.

Определение 3.2: Пусть $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ - вероятностное пространство, тогда $\mathfrak{A}$-измеримая функция $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ называется случайной величиной заданной на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$.

Пример 3.1: Индикаторная случайная величина.
Для любого $A\in\mathfrak{A}$ можно определить случайную величину $$ \xi(\omega):= \begin{cases} 1,&\omega\in{A}\\ 0,&\omega\notin{A}. \end{cases} $$ Действительно, так как для любого $B\in\mathcal{B}$ $$ \xi^{-1}(B)= \begin{cases} A, &1\in{B}\wedge0\notin{B} \\ \overline{A}, &1\notin{B}\wedge0\in{B} \\ \varnothing, &1\notin{B}\wedge0\notin{B} \\ \Omega, &1\in{B}\wedge0\in{B} \end{cases} $$ и $A,\overline{A},\varnothing,\Omega\in\mathfrak{A}$, то $\xi$ - случайная величина.

Определение 3.3: Случайная величина $\xi$ называется простой, если существует $n\in\mathbb{N}$, $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$, $A_1,\ldots,A_n\in\mathfrak{A}$ такие, что для любого $\omega\in\Omega$ $$\xi(\omega)=\sum_{k=1}^nx_kI_{A_k}(\omega).$$

Определение 3.4: Случайная величина $\xi$ называется дискретной, если она принимает не более чем счетное число значений.

Простая величина является дискретной, она не может принимать более чем $2^n$ значений.
Если $\xi$ - дискретная случайная величина, то существуют последовательности $\{x_k\}$ из $\mathbb{R}$, $\{A_k\}$ из $\mathfrak{A}$ такие, что для любых неравных $i,j\in\mathbb{N}$ $A_iA_j=\varnothing$, $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=\Omega$ и для любого $\omega\in\Omega$ $$\xi(\omega)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kI_{A_k}(\omega).$$ Понятно, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $A_k=\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)=x_k\}$.

Теорема 3.1: Пусть $\mathcal{E}$ класс множеств порождающий $\mathcal{B}$ (т. е. $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}$), тогда функция $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ $\mathfrak{A}$-измерима тогда и только тогда, когда для любого $E\in\mathcal{E}$ $\xi^{-1}(E)\in\mathfrak{A}$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Следует из определения 3.1, так как $\mathcal{E}\subset\mathcal{B}$.
$\Leftarrow)$ Обозначим $\tilde{\mathcal{B}}:=\{B\in\mathcal{B}\mid\xi^{-1}(B)\in\mathfrak{A}\}$ и докажем, что $\tilde{\mathcal{B}}$ - $\sigma$-алгебра. Для этого реализуем определение 1.4.

1. Так как $\xi^{-1}(\mathbb{R})=\Omega\in\mathfrak{A}$, то $\mathbb{R}\in\tilde{\mathcal{B}}$.
2. Пусть $\{B_k\}$ последовательность из $\tilde{\mathcal{B}}$, тогда $$ \omega\in\xi^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right)\Leftrightarrow\exists{n}\in\mathbb{N}:\xi(\omega)\in{B}_n\Leftrightarrow \exists{n}\in\mathbb{N}:\omega\in\xi^{-1}(B_n)\Leftrightarrow\omega\in\bigcup_{k=1}^{\infty}\xi^{-1}(B_k), $$ Таким образом, $$\xi^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}\xi^{-1}(B_k)\in\mathfrak{A}.$$
3. Пусть $B\in\tilde{\mathcal{B}}$, тогда $$ \omega\in\xi^{-1}(\overline{B})\Rightarrow\xi(\omega)\in\overline{B}\Rightarrow\xi(\omega)\notin{B}\Rightarrow\omega\notin\xi^{-1}(B)\Rightarrow\omega\in\overline{\xi^{-1}(B)}, $$ $$ \omega\in\overline{\xi^{-1}(B)}\Rightarrow\omega\notin\xi^{-1}(B)\Rightarrow\omega\in\xi^{-1}(\overline{B}). $$ Таким образом, $$\xi^{-1}(\overline{B})=\overline{\xi^{-1}(B)}\in\mathfrak{A}.$$

Следствие 3.1: Функция $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ является случайной величиной на пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ тогда и только тогда, когда для любого $x\in\mathbb{R}$ $\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)<x\}\in\mathfrak{A}$.

Доказательство: Так как для любых $a,b\in\mathbb{R}$ $[a,b)=(-\infty,b)\backslash(-\infty,a)$, то утверждение следует из теоремы 3.1 при $E:=\{(-\infty,x)\mid{x}\in\mathbb{R}\}$.

Определение 3.5: Пусть $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ - вероятностное пространство, функция $\xi(\omega):\Omega\to\overline{\mathbb{R}}$ такая, что для любого $B\in\mathcal{B}$ $\xi^{-1}(B)\in\mathfrak{A}$. Тогда функция $\xi(\omega)$ называется расширенной случайной величиной заданной на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$.

Определение 3.6: Функция $\varphi(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ называется борелевской, если для любого $B\in\mathcal{B}$ $\varphi^{-1}(B)\in\mathcal{B}$.

Теорема 3.2: Пусть $\varphi(x)$ - борелевская функция, $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ - случайная величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, тогда $\eta(\omega):=\varphi(\xi(\omega))$ тоже случайная величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$.

Доказательство: Пусть $B\in\mathcal{B}$, тогда $$\varphi^{-1}(B)\in\mathcal{B}\Rightarrow\eta^{-1}(B)=\xi^{-1}(\varphi^{-1}(B))\in\mathcal{B}.$$

Теорема 3.3: Пусть $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ неотрицательная случайная величина, тогда существует неубывающая последовательность простых случайных величин $\{\xi_n\}$ такая, что $$\forall\omega\in\Omega(\lim_{n\to\infty}\xi_n(\omega)=\xi(\omega)).$$

Доказательство: Для любого $n\in\mathbb{N}$ определим случайную величину $\xi_n$. Обозначим для любого $k\in\overline{0,n2^n}$ $x_k:=k/2^n$, а для любого $k\in\overline{1,n2^n}$ $A_k:=\{\omega\in\Omega\mid{x}_{i-1}\leq\xi(\omega)<x_i\}$. Положим для любых $n\in\mathbb{N}$ и $\omega\in\Omega$ $$\xi_n(\omega):=\sum_{k=1}^{n2^n}x_{k-1}I_{A_k}(\omega)+nI_{\{\omega\mid\xi(\omega)\geq{n}\}}(\omega).$$ Так как $\xi$ неотрицательна и $\bigsqcup_{k=1}^{n2^n}A_k=[0,n)$, то для любого $\omega\in\Omega$ $$ \xi(\omega)<n\Rightarrow\exists{s}\in\overline{1,n2^n}:\omega\in{A}_s\Rightarrow \left(\xi_n(\omega)=x_{s-1}=\frac{s-1}{2^n}\wedge\xi_{n+1}(\omega)\in\left\{\frac{s-1}{2^n},\frac{2s-1}{2^{n+1}}\right\}\right)\Rightarrow \xi_n(\omega)\leq\xi_{n+1}(\omega). $$ $$\xi(\omega)\geq{n}\Rightarrow(\xi_n(\omega)=n\wedge\xi_{n+1}(\omega)\geq{n}).$$ Таким образом, для любого $\omega\in\Omega$ $\xi_n(\omega)\leq\xi_{n+1}(\omega)$.
Фиксируем $\omega\in\Omega$ и $\varepsilon>0$, тогда существуют $s,t\in\mathbb{N}$ такие, что $\varepsilon>1/2^s$ и $\xi(\omega)<t$. Обозначим $N:=\max(s,t)$, тогда $$ \forall{n}\geq{N}:(\xi(\omega)<n)\Rightarrow\exists{k}\in\overline{1,n}:\omega\in{A}_k\Rightarrow \left(\xi_n(\omega)=\frac{k-1}{2^n}\wedge\frac{k-1}{2^n}\leq\xi(\omega)<\frac{k}{2^n}\right)\Rightarrow \xi(\omega)-\xi_n(\omega)|\leq\frac1{2^n}<\varepsilon\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\xi_n(\omega)=\xi(\omega). $$

Следствие 3.2: Для любой случайной величины $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$, существует последовательность простых случайных величин $\{\xi_n\}$ такая, что $$\forall\omega\in\Omega(\forall{n}\in\mathbb{N}(|\xi_n(\omega)|\leq|\xi(\omega)|)\wedge\lim_{n\to\infty}\xi_n(\omega)=\xi(\omega)).$$

Доказательство: Введем случайные величины $\xi^+,\xi^-$ такие, что $$ \xi^+(\omega):=\max(\xi(\omega,0))= \begin{cases} \xi(\omega), &\xi(\omega)\geq0\\ 0, &\xi(\omega)<0 \end{cases} $$ $$ \xi^-(\omega)=:-\min(\xi(\omega),0)= \begin{cases} -\xi(\omega), &\xi(\omega)<0\\ 0, &\xi(\omega)\geq0 \end{cases} $$ тогда для любого $\omega\in\Omega$ $\xi(\omega)=\xi^+(\omega)-\xi^-(\omega)$. Так как случайные величины $\xi^+,\xi^-$ неубывают, то по теореме 3.3 существуют неубывающие последовательности $\{\xi_n^+\},\{\xi_n^-\}$ такие, что для любого $\omega\in\Omega$ $$\lim_{n\to\infty}\xi_n^+(\omega)=\xi^+(\omega),\lim_{n\to\infty}\xi^-(\omega)=\xi^-(\omega).$$ Следовательно для любого $\omega\in\Omega$ $$\lim_{n\to\infty}(\xi_n^+(\omega)-\xi_n^-(\omega))=\xi_n(\omega).$$

Теорема 3.4: Если $\{\xi_n\}$ - последовательность случайных величин на пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, то $\sup\limits_n\xi_n(\omega)$, $\inf\limits_n\xi_n(\omega)$, $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\xi_n(\omega)$, $\varliminf\limits_{n\to\infty}\xi_n(\omega)$, $\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n(\omega)$ тоже случайные величины на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$

Доказательство: Так как для любого $\omega\in\Omega$ и для любого $k\in\mathbb{N}$ выполняется $\sup\limits_n\xi_n(\omega)\geq\xi_k(\omega)$, то для любого $x\in\mathbb{R}$ $$\bigcup_{n=1}^{\infty}\{\omega\in\Omega\mid\xi_n(\omega)>x\}\subset\{\omega\in\Omega\mid\sup\limits_n\xi_n(\omega)>x\}.$$ С другой стороны, по определению верхней грани (определение 3.1.7 MA) $$ \omega\in\{\omega\in\Omega\mid\sup\limits_n\xi_n(\omega)>x\}\Rightarrow\exists{s}\in\mathbb{N}:(\xi_s(\omega)>x)\Rightarrow \omega\in\bigcup_{n=1}^{\infty}\{\omega\in\Omega\mid\xi_n(\omega)>x\}. $$ Таким обрзаом, $$\{\omega\in\Omega\mid\sup\limits_n\xi_n(\omega)>x\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{\omega\in\Omega\mid\xi_n(\omega)>x\}\in\mathfrak{A},$$ то есть $\sup\limits_n\xi_n(\omega)$ - случайная величина. Это следует из теоремы 3.1 если взять в качестве системы образующих $\mathcal{E}:=\{(x,\infty)\mid{x}\in\mathbb{R}\}$.
Аналогично при $\mathcal{E}:=\{(-\infty,x)\mid{x}\in\mathbb{R}\}$ из теоремы 3.1 следует, что $\inf\limits_n\xi_n(\omega)$ - случайная величина.
Верхний и нижний пределы являются случайными величинами так как $$\varlimsup_{n\to\infty}\xi_n(\omega)=\inf_n\sup_{n\geq{m}}\xi_m(\omega)$$ $$\varliminf_{n\to\infty}\xi_n(\omega)=\sup_n\inf_{n\geq{m}}\xi_m(\omega)$$ Если предел последовательности существует, то он равен нижниму и верхнему пределу, следовательно $\lim_{n\to\infty}\xi_n(\omega)$ - случайная величина.

Теорема 3.5: Если $\xi,\eta$ случайные величины на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, то $\xi\eta$, $\xi+\eta$, $\xi-\eta$ тоже случайные величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$. Если для любого $\omega\in\Omega$ $\eta(\omega)\neq0$, то $\frac{\xi}{\eta}$ - случайная величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$.

Доказательство: Так как $\xi,\eta$ - случайные величины, то по следствию 3.2 существуют последовательности простых случайных величин $\{\xi_n\}$, $\{\eta_n\}$ такие, что $\lim_{n\to\infty}\xi_n(\omega)=\xi(\omega)$, $\lim_{n\to\infty}\eta_n(\omega)=\eta(\omega)$. Так как произведение, сумма, разность и частное простых случайных величин тоже случайная величина и по свойствам предела последовательности $$\lim_{n\to\infty}(\xi_n\eta_n)(\omega)=(\xi\eta)(\omega).$$ $$\lim_{n\to\infty}(\xi_n+\eta_n)(\omega)=(\xi+\eta)(\omega).$$ $$\lim_{n\to\infty}(\xi_n-\eta_n)(\omega)=(\xi-\eta)(\omega).$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{\xi_n}{\eta_n}(\omega)=\frac{\xi}{\eta}(\omega),$$ то по теореме 3.4 $\xi\eta$, $\xi+\eta$, $\xi-\eta$, $\frac{\xi}{\eta}$ - случайные величины.

3.2 Функция распределения случайной величины.

Определение 3.7: Пусть $\xi(\omega)$ - случайная величина на пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, тогда функция распределения $F_{\xi}(x)$ вероятностной меры $P_{\xi}$ называется функцией распределения случайной величины $\xi(\omega)$.

Из определения следует, что для любого $x\in\mathbb{R}$ $$F_{\xi}(x):=P_{\xi}(-\infty,x):=P(\xi^{-1}(-\infty,x))=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)<x\}).$$

Определение 3.8: Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция $p_{\xi}(u):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x\in\mathbb{R}$ $$F_{\xi}(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}p_{\xi}(u)du.$$ При этом функция $p_{\xi}(u)$ называется плотностью распределения случайной величины $\xi$.

Из определения функции распределения случайной величины следует
$P_{\xi}([a,b))=P(\{\omega\in\Omega\mid{a}\leq\xi(\omega)<b\})=F_{\xi}(b)-F_{\xi}(a),$
$P_{\xi}((a,b))=P(\{\omega\in\Omega\mid{a}<\xi(\omega)<b\})=F_{\xi}(b)-F_{\xi}(a+0),$
$P_{\xi}([a,b])=P(\{\omega\in\Omega\mid{a}\leq\xi(\omega)\leq{b}\})=F_{\xi}(b+0)-F_{\xi}(a),$
$P_{\xi}((a,b])=P(\{\omega\in\Omega\mid{a}<\xi(\omega)\leq{b}\})=F_{\xi}(b+0)-F_{\xi}(a+0),$
$P_{\xi}(a)=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)=a\})=F_{\xi}(a+0)-F_{\xi}(a).$
Если функция $F_{\xi}(x)$ непрерывана в $a$ и $b$, то первые четыре вероятности равны между собой $$P_{\xi}(\langle{a},b\rangle)=P\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in\langle{a},b\rangle\}=F_{\xi}(b)-F_{\xi}(a)=\int\limits_{a}^{b}p_{\xi}(u)du,$$ а $P_{\xi}(a)=0$

Теорема 3.6: Пусть $\xi$ - случаяная величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ с плотностью распределения $p_{\xi}(x)$, тогда для любого $B\in\mathcal{B}$ $$P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in{B}\})=\int\limits_Bp_{\xi}(u)du.$$

Доказательство: Обозначим $$\tilde{\mathcal{B}}:=\{B\in\mathcal{B}\mid{P}(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in{B})\}=\int\limits_Bp_{\xi}(u)du\}.$$ Любой полуинтервал содержится в $\tilde{\mathcal{B}}$. Докажем, что $\tilde{\mathcal{B}}$ - $\sigma$-алгебра.

1. Так как $$P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in\mathbb{R}\})=1=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(u)du,$$ то $\mathbb{R}\in\tilde{\mathcal{B}}$.
2. Для любого $B\in\tilde{\mathcal{B}}$ $$ P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in{\overline{B}}\})=1-P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in{B}\})= 1-\int\limits_Bp_{\xi}(u)du=\int\limits_{\overline{B}}p_{\xi}(u)du $$
3. Пусть $\{B_k\}$ последовательность множеств из $\tilde{\mathcal{B}}$. $$ \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k=B_1\cup{B}_2\overline{B}_1\cup{B}_3\overline{B}_2\overline{B}_1\cup\ldots=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\overline{B}_{k-1}\cdots\overline{B}_1 $$ В последнем объединении множества попарно не пересекаются и принадлежат $\tilde{\mathcal{B}}$, так как из п. 2 следует замкнутость $\tilde{\mathcal{B}}$ относительно разности, а следовательно и пересечения ($AB=A\backslash(A\backslash{B})$). Следовательно, $$ P_{\xi}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right)=P_{\xi}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\overline{B}_{k-1}\cdots\overline{B}_1\right)= \sum_{k=1}^{\infty}P_{\xi}(B_k\overline{B}_{k-1}\cdots\overline{B}_1)= \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{B_k\overline{B}_{k-1}\cdots\overline{B}_1}p_{\xi}(u)du=\int\limits_{\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k}p_{\xi}(u)du $$ Таким образом, $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\in\tilde{\mathcal{B}}$ и $\tilde{\mathcal{B}}$ - $\sigma$-алгебра.

Теорема 3.7: Пусть функция $F(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $\forall{x}\in\mathbb{R}(0\leq{F}(x)\leq0)$,
2. $F(x)$ - непрерывана слева,
3. $F(x)$ - неубывает,
4. $\lim\limits_{x\to\infty}F(x)=1$, $\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$,

Доказательство: Положим $\Omega:=\mathbb{R}$, $\mathfrak{A}:=\mathcal{B}$, тогда по теореме 2.1 на пространстве $(\Omega,\mathfrak{A})$ существует вероятностная мера $P$ такая, что для любого $x\in\mathbb{R}$ $P(-\infty,x)=F(x)$. Положим для любого $\omega\in\mathbb{R}$ $\xi(\omega)=\omega$, тогда для любого $x\in\mathbb{R}$ $$ F_{\xi}(x)=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)<x\})=P(\{\omega\in\mathbb{R}\mid\omega<x\})=P(-\infty,x)=F(x). $$
Из доказательства теоремы следует, что по заданной функции распределени случайная величина определяется не однозначно.

Пример 3.2: Пусть $\Omega:=\{0,1\}$, $\mathfrak{A}:=\mathcal{P}(\Omega)$, для любого $A\in\mathfrak{A}$ $P(A):=\frac{|A|}{|\Omega|}$. Случайная величина $\xi$ на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ такая, что $$ \xi(\omega)= \begin{cases} -1, &\omega=0\\ 1, &\omega=1 \end{cases} $$ и положим $\eta(\omega):\equiv-\xi(\omega)$. Тогда
Для любого $x<-1$ $F_{\xi}(x)=F_{\eta}(x)=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)<-1\})=P(\varnothing)=0$.
Для любого $x\in[-1,1)$ $F_{\xi}(x)=F_{\eta}(x)=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in[-1,1)\})=\frac12$.
Для любого $x\geq1$ $F_{\xi}(x)=F_{\eta}(x)=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\leq1\})=P(\Omega)=1$.
Таким образом, $F_{\xi}(x)\equiv{F}_{\eta}(x)$.

Определение 3.9: Случайные величины $\xi_1,\xi_2$ заданные на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ называются эквивалентными, если $$P(\{\omega\in\Omega\mid\xi_1(\omega)\neq\xi_2(\omega)\})=0.$$ При этом говорят, что $\xi_1$ равна $\xi_2$ почти наверное и обозначают $\xi_1=\xi_2(P_{\text{пн}})$.

previous contents next