Определение 18.1:
Пусть $\{\xi_t\mid{t}\in{T}\}$ - случайный процесс, тогда функция $F(t):T\to\mathbb{R}$ такая,
что для любых $s,t\in{T}$, $s\leq{t}$ $D(\xi_t-\xi_s)=F(t)-F(s)$ назывется структурной функцией дисперсии случайного процесса $\{\xi_t\}$.
Теорема 18.1: Для любого процесса с ортогональными приращениями $\{\xi_t\}$ (определение 16.7) существует структурная функция дисперсии.
Доказательство:
Фиксируем $t_0\in{T}$ и положим для любого $t\in{T}$
$$
F(t):=
\begin{cases}
-E|\xi_t-\xi_{t_0}|^2, & t<t_0 \\
0, & t=t_0 \\
E|\xi_t-\xi_{t_0}|^2, & t>t_0.
\end{cases}
$$
Фиксируем точки $s,t\in{T}$ такие, что $s<t$ и рассмотрим все возможные положения точки $t_0$ относительно концов отрезка $[s,t]$.
Пример 18.1: Согласно п. 1 замечания 16.6 винеровский и пуасоновский процесс являются процессами с некоррелированными приращениями.
Следствие 18.1:
Доказательство:
Определение 18.2:
Пусть $\{\xi_t\mid{t}\in{T}=[a,b]\}$ - случайный процесс с ортогональными приращениями непрерывный в среднем квадратичном слева на $[a,b]$,
$F(t)$ - структурная функция дисперсии процесса $\{\xi_t\}$.
Для любого $t\in[a,b]$ случайная величина $\xi_t$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$.
Обозначим $L_2(dF)$ - множество функций $f(t)$ таких, что
$$\int\limits_a^b|f(t)|^2dF(t)<\infty,$$
где интеграл берется по мере $F(d)-F(c)$, для любого $[c,d)\subset[a,b]$.
Для любой ступенчатой функции $f(t)\in{L}_2(dF)$ такой, что
$$
f(t):=
\begin{cases}
f_0, & a\leq{t}<t_1 \\
f_k, & t_k\leq{t}<t_{k+1} \\
f_{n-1} & t_{n-1}<t\leq{b},
\end{cases}
$$
где $a\leq{t}_0<t_1<\cdots<t_{n-1}<t_n=b$, положим
$$I(f):=\int\limits_a^bf(t)d\xi_t:=\sum_{k=0}^{n-1}f_k(\xi_{t_{k+1}}-\xi_{t_k}).$$
Обозначим $L_2(dP)$ множество случайных величин $\xi$ определенных на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ таких, что $E|\xi|^2<\infty$,
тогда $L_2(dP)$ - это гильбертово пространство со скалярным произведением $(\xi,\eta):=E\xi\overline{\eta}$.
Для любой функции $f(t)\in{L}_2(dF)$ положим
$$I(f):=\int\limits_a^bf(t)d\xi_t:=\sqmlim_{n\to\infty}I(f_n),$$
где $\{f_n(t)\}$ - последовательность ступенчантых функций из $L_2(dF)$ таких, что
$$\lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t),$$
а сходимость последовательности случайных величин $\{I(f_n)\}$ рассматривается в гильбертовом пространстве $L_2(dP)$ по норме $\|\xi\|:=(\xi,\xi)=\sqrt{E|\xi|^2}$.
Тогда отображение
$$I(f):=\int\limits_a^bf(t)d\xi_t$$
называется стохастическим интегралом от функции $f(t)$.
Теорема 18.2: Определение 18.2 корректно.
Доказательство:
Так как случайный процесс $\{\xi_t\}$ непрерывен в среднем квадратичном слева на $[a,b]$, то функция $F(t)$ непрерывна слева на $[a,b]$
(следствие 18.1 ?),
функция $F(t)$ неубывает, $F(-\infty)>-\infty$, $F(\infty)<\infty$, то по мере $F(d)-F(c)$ можно интегрировать (?).
Скалярным произведением на $L_2(dF)$ является отображение
$$(f(t),g(t)):=\int\limits_a^bf(t)\overline{g}(t)dF(t).$$
Пусть $f,g\in{L}_2(dF)$ ступенчатые функции, тогда
\begin{multline*}
(I(f),I(g))=EI(f)\overline{I(g)}=E\sum_{k=1}^{n-1}f_k(\xi_{t_{k+1}}-\xi_{t_k})\sum_{l=0}^{n-1}\overline{g}_l\left(\overline{\xi}_{t_{l+1}}-\overline{\xi}_{l_k}\right)=
\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{n-1}f_k\overline{g}_lE\left((\xi_{t_{l+1}}-\xi_{t_l})(\overline{\xi}_{t_{l+1}}-\overline{\xi}_{t_l})\right)=\\=
\sum_{k=0}^{n-1}f_k\overline{g}_kE|\xi_{t_{k+1}}-\xi_{t_k}|^2=\sum_{k=0}^{n-1}f_k\overline{g}_k(F(t_{k+1})-F(t_k))=\int\limits_a^bf(t)\overline{g}(t)dF(t)=(f(t),g(t)),
\end{multline*}
где четвертое равенство в силу ортогональности приращений процесса $\{\xi_t\}$. Следовательно, для любой ступенчатой функции $f(t)$
$$E|I(f)|^2=EI(f)\overline{I(f)}=(I(f),I(f))=(f,f)=\int\limits_a^b|f(t)|^2dF(t),$$
то есть $f(t)\in{L}_2(dF)$ тогда и только тогда, когда $I(f)\in{L}_2(dP)$.
Фиксируем функцию $f(t)\in{L}_2(dF)$. Так как гильбертово простраство $L_2(dF)$ полное, то существует последовательность ступенчатых функций $\{f_n(t)\}$ такая, что
$$\lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t).$$
Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ $I(f_n)\in{L}_2(dP)$ и для любых $n,m\in\mathbb{N}$
$$
\|I(f_n)-I(f_{n+m})\|^2=(I(f_n)-I(f_{n+m}),I(f_n)-I(f_{n+m}))=(f_n-f_{n+m},f_n-f_{n+m})=\|f_n-f_{n+m}\|^2.
$$
Так как последовательность функций $\{f_n(t)\}$ фундаментальна по критерию Коши (теорема 4.3.1 MA),
то последнее выражение стремится к нулю при $n\to\infty$, следовательно последовательность $\{I(f_n)\}$ так же фундаментальна и по критерию Коши существует предел
$$I(f):=\int\limits_a^bf(t)d\xi_t:=\sqmlim_{n\to\infty}I(f_n).$$
Покажем, что такой предел единственен и не зависит от выбора последовательности $\{f_n(t)\}$.
Пусть существуют две последовательности $\{f_n(t)\}$ и $f'_n(t)$ такие, что
$$\lim_{n\to\infty}f_n(t)=\lim_{n\to\infty}f'_n(t)=f(t).$$
Рассмотрим последовательность
$$g_n(t):=\{f_1(t),f'_1(t),f_2(t),f'_2(t),\ldots,f_k(t),f'_k(t),\ldots\}.$$
Последовательность $\{g_n(t)\}$, очевидно, фундаментальна, и, следовательно, сходящаяся.
Тогда по доказанному сходится и последовательность $\{I(g_n)\}$.
Тогда по утверждению 4.4.3 MA
любая подпоследовательность последовательности $\{I(g_n)\}$ сходится к тому же пределу,
то есть
$$\sqmlim_{n\to\infty}I(f'_n)=\sqmlim_{n\to\infty}I(g_n)=\sqmlim_{n\to\infty}I(f_n).$$
Замечание 18.1:
Более точное и общее доказательство дано в Булинский А. В, Ширяев А. Н "Теория случайных процессов" стр. 182.
Теорема 18.3: Пусть $\{\xi_t\mid{t}\in\mathbb{R}\}$ стационарный в широком смысле процесс такой, что $E\xi_t\equiv0$, ковариационная функция $K(\tau)$ непрерывна в нуле, $F(\lambda)$ - спектральная функция процесса $\{\xi_t\}$. Тогда существует случайный процесс $\{\zeta_{\lambda}\mid\lambda\in\mathbb{R}\}$ с ортогональными приращениями такой, что $$\xi_t=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{it\lambda}d\zeta_{\lambda}.$$ При этом для любых $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ таких, что $\lambda_1\leq\lambda_2$ $$E|\zeta_{\lambda_2}-\zeta_{\lambda_1}|^2=F(\lambda_2)-F(\lambda_1).$$
Доказательство:
Так как спектральная функция процесса определена с точностью до константы, то б. о. о. можно считать, что $F(-\infty)=0$.
Фиксируем $n\in\mathbb{N}$, $t_1,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$, обозначим
$$M:=\{\alpha_1\xi_{t_1}+\alpha_2\xi_{t_2}+\cdots+\alpha_n\xi_{t_n}\mid\alpha_k\in\mathbb{C},k\in\overline{1,n}\}.$$
Обозначим $H_2(\xi_t)$ замыкание множества $M$ относительно операции предела.
Тогда $H_2(\xi_t)$ - это гильбертово пространство со скалярным произведением $(\eta_1,\eta_2):=E\eta_1\overline{\eta}_2$.
Обозначиим $L_2(dF)$ множество функций $f(\lambda)$ таких, что
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(\lambda)|^2dF(\lambda)<\infty.$$
Тогда $L_2(dF)$ - это гильбертово пространство со скалярным произведением
$$(f,g):=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\lambda)\overline{g}(\lambda)dF(\lambda).$$
Так как по теореме Бохнера-Хинчина (теорема 16.5)
спектральная функция ограничена и для любого $x\in\mathbb{R}$ $|e^{ix\lambda}|=1$, то
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|e^{ix\lambda}|^2dF(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dF(\lambda)=F(\infty)<\infty.$$
Следовательно, для любого $x\in\mathbb{R}$ $e^{ix\lambda}\in{L}_2(dF)$.
Тогда каждому элементу множества $M$ $\eta=\alpha_1\xi_{t_1}+\cdots+\alpha_n\xi_{t_n}$ можно поставить в соответствие элемент множества $L_2(dF)$
$\alpha_1e^{it_1\lambda}+\cdots+\alpha_ne^{it_n\lambda}$.
Покажем что такое преобразование сохраняет значение скалярного произведения
\begin{multline*}
(\eta_1,\eta_2)=E\eta_1\overline{\eta}_2=E\left(\sum_{k=1}^{n_1}\alpha_k\xi_{t_k}\overline{\sum_{m=1}^{n_2}\beta_m\xi_{s_m}}\right)=
\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{m=1}^{n_2}\alpha_k\overline{\beta}_m\xi_{t_k}\xi_{s_m}=
\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{m=1}^{n_2}\alpha_k\overline{\beta}_mK(t_k-s_m)=\\=
\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{m=1}^{n_2}\alpha_k\overline{\beta}_m\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\lambda(t_k-s_m)}dF(\lambda)=
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sum_{k=1}^{n_1}\alpha_ke^{it_k\lambda}\sum_{m=1}^{n_2}\overline{\beta}_me^{is_m\lambda}dF(\lambda)=
\left(\sum_{k=1}^{n_1}\alpha_ke^{it_k\lambda},\sum_{m=1}^{n_2}\beta_me^{is_m\lambda}\right),
\end{multline*}
где пятое равенство в силу теоремы 16.5.
Таким образом, построено взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств $M$ и $L_2(dF)$
$$\sum_{k=1}^n\alpha_k\xi_{t_k}\sim{g}(\lambda):=\sum_{k=1}^n\alpha_ke^{it_k\lambda}$$
сохраняющее скалярное произведение, а, следовательно, и норму.
Фиксируем $\eta\in{H}_2(\xi_t)$. Так как пространство $H_2(\xi_t)$ полное,
то существует последовательность $\{\eta_n\}$ {\it (из $M$?)} такая, что $\sqmlim_{n\to\infty}\eta_n=\eta$.
Так как последовательность $\{\eta_n\}$ из $M$ фундаментальна, то соответствующая ей последовательность $\{g_n(\lambda)\}$ из $L_2(dF)$
тоже фундаментальна в силу доказанно сохранения значения нормы.
Тогда можно поставить в соответствие элементу $\eta\in{H}_2(\xi_t)$ элемент $g(\lambda):=\lim_{n\to\infty}g_n(\lambda)$.
При этом значение скалярного произведения сохраняется
$$
(\eta_1,\eta_2)=(\sqmlim_{n\to\infty}\eta_n^{(1)},\sqmlim_{n\to\infty}\eta_n^{(2)})=\lim_{n\to\infty}(\eta_n^{(1)},\eta_n^{(2)})=
\lim_{n\to\infty}(g_n^{(1)},g_n^{(2)})=(\lim_{n\to\infty}g_n^{(1)},\lim_{n\to\infty}g_n^{(2)})=(g_1(\lambda),g_2(\lambda)).
$$
Положим
$$g(\lambda):=\begin{cases}1, & \lambda\leq0 \\ 0, & \lambda>0\end{cases},$$
тогда для любого $\lambda_0\in\mathbb{R}$
$$g(\lambda-\lambda_0)=\begin{cases}1, & \lambda\leq\lambda_0 \\ 0, & \lambda>\lambda_0\end{cases}.$$
Так как спектральная функция $F(-\infty)=0$, то
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|g(\lambda-\lambda_0)|^2dF(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{\lambda_0}dF(\lambda)=F(\lambda_0)<\infty,$$
следовательно, $g(\lambda-\lambda_0)\in{L}_2(dF)$.
Тогда существует случайная величина $\zeta_{\lambda_0}\in{H}_2(\xi_t)$ соответствующая функции $g(\lambda-\lambda_0)\in{L}_2(dF)$ (в смысле построеной выше изометрии). Таким образом, построен случайный процесс $\{\zeta_{\lambda}\mid\lambda\in\mathbb{R}\}$. Докажем, что этот процесс удовлетворяет условию теоремы.
Фиксируем $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\in\mathbb{R}$ такие, что $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\lambda_4$, тогда
\begin{multline*}
(\zeta_{\lambda_2}-\zeta_{\lambda_1},\zeta_{\lambda_4}-\zeta_{\lambda_3})=E\left((\zeta_{\lambda_2}-\zeta_{\lambda_1})(\overline{\zeta}_{\lambda_4}-\overline{\zeta}_{\lambda_3})\right)=
(g(\lambda-\lambda_2)-g(\lambda-\lambda_1),\overline{g(\lambda-\lambda_4)-g(\lambda-\lambda_3)})=\\=
\int\limits_{-\infty}^{\infty}(g(\lambda-\lambda_2)-g(\lambda-\lambda_1))(g(\lambda-\lambda_4)-g(\lambda-\lambda_3))dF(\lambda).
\end{multline*}
Так как интервалы $(\lambda_1,\lambda_2)$ и $(\lambda_3,\lambda_4)$ не пересекаются, то подинтегральное выражение тождественно равно нулю.
Следовательно, $\{\zeta_{\lambda}\}$ - процесс с некоррелированными приращениями.
Так как по условию $E\xi_t\equiv0$, то $E\zeta_{\lambda}\equiv0$, следовательно, $\{\zeta_{\lambda}\}$ процесс с ортогональными приращениями.
При этом для любых $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ таких, что $\lambda_1<\lambda_2$
$$
E|\zeta_{\lambda_2}-\zeta_{\lambda_1}|^2=\|\zeta_{\lambda_2}-\zeta_{\lambda_1}\|^2=\|g(\lambda-\lambda_2)-g(\lambda-\lambda_1)\|^2=
\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(\lambda-\lambda_2)-g(\lambda-\lambda_1)dF(\lambda)=\int\limits_{\lambda_1}^{\lambda_2}dF(\lambda)=F(\lambda_2)-F(\lambda_1)
$$
Фиксируем полуинтервал $[-T,T)$ и точки $\lambda_0<\lambda_1<\cdots<\lambda_n\in\mathbb{R}$ такие,
что $-T=\lambda_0<\lambda_1<\cdots<\lambda_{n-1}<\lambda_n=T$. Определим функцию $\varphi(\lambda)$ так, что для каждого
$k\in\overline{0,n-1}$
$$\lambda\in[\lambda_k,\lambda_{k+1})\Rightarrow\varphi(\lambda)=e^{it\lambda_k}.$$
Так как $|e^{it\lambda_k}|=1$, то $\varphi(\lambda)\in{L}_2(dF)$. При этом, если $P$ - это диаметр разбиения $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)$,
то $\varphi(\lambda)\to{e}^{it\lambda}$ при $P\to0$, $T\to\infty$.
Следовательно, образ функции $\varphi(\lambda)$ в $H_2(\xi_t)$ стремиться к образу функции $e^{it\lambda}$ в $H_2(\xi_t)$ при $P\to0$, $T\to\infty$.
Образ $e^{it\lambda}$ в $H_2(\xi_t)$ - это случайная величина $\xi_t$, а образ $\varphi(\lambda)$ можно получить, представив функцию $\varphi(\lambda)$ в виде
$$\varphi(\lambda)=\sum_{k=0}^{n-1}e^{it\lambda_k}(g(\lambda-\lambda_{k+1})-g(\lambda-\lambda_k)).$$
Тогда искомый образ есть случайная величина
$$
\sum_{k=0}^{n-1}e^{it\lambda_k}(\zeta_{\lambda_{k+1}}-\zeta_{\lambda_k})=
\int\limits_{-T}^T\varphi(\lambda)d\zeta_{\lambda}\to\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{it\lambda}d\zeta_{\lambda},P\to0,T\to\infty.
$$
Тогда в силу взаимнооднозначности изометрии $H_2(\xi_t)$ и $L_2(dF)$
$$\xi_t=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{it\lambda}d\zeta_{\lambda}.$$