3.3 Случайные векторы и их распределения.

Определение 3.10: Пусть $\xi_1,\ldots,\xi_n$ - случайные величины заданные на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$. Тогда отображение $\overline\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}^n$ такое, что для любого $\omega\in\Omega$ $$\overline\xi(\omega):=(\xi_1(\omega),\ldots,\xi_n(\omega))$$ называется $n$-мерным случайным вектором или $n$-мерной случайной величиной.

Случайный вектор $\overline\xi:\Omega\to\mathbb{R}^n$ заданный на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ индуцирует на $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)$ вероятностную меру $P_{\overline\xi}$ такую, что для любого $B\in\mathcal{B}^n$ $$P_{\overline\xi}(B):=P(\{\omega\in\Omega\mid\xi(\omega)\in{B}\}).$$

Определение 3.11: Пусть $\overline\xi$ случайный вектор заданный на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, тогда функция $F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$ $$F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n):=P_{\overline\xi}(\{\omega\in\Omega\mid\xi_1(\omega)<x_1,\ldots,\xi_n(\omega)<x_n\})$$ называется функцией распределения случайного вектора $\overline\xi$.

Определение 3.12: Будем говорить, что многомерная случайная величина $\overline\xi$ абсолютно непрерывна, если существует неотрицательная функция $p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)$ такая, что для любых $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^n$ $$F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)=\int\limits_{-\infty}^{x_1}\cdots\int\limits_{-\infty}^{x_n}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_1\cdots{d}u_n.$$ При этом функция $p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)$ назывется плотностью распределения многомерной случайной величины $\overline\xi$.

Определение 3.13: Пусть $\overline\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ - многомерная случайная величина, $m\in\overline{1,n}$, $i_1,\ldots,i_m\in\overline{1,n}$, тогда многомерная случайная величина $\overline\xi_1:=(\xi_{i_1},\ldots,\xi_{i_m})$ называется подвектором вектора $\overline\xi$. Распределение многомерной случайной величины $\overline\xi_1$ называется частным или маргинальным распределением многомерной случайной величины $\overline\xi$.

Теорема 3.8: Пусть случайный вектор $\overline\xi_1=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$ является подвектором вектора $\overline\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_m,\xi_{m+1},\ldots,\xi_n)$, тогда

1. $$ F_{\overline\xi_1}(x_1,\ldots,x_m)=F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_m,\infty,\ldots,\infty):= \lim_{x_{m+1}\to\infty}\ldots\lim_{x_n\to\infty}F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n). $$
2. Если $\overline\xi$ абсолютно непрерывна и $p_{\overline\xi}$ её плотность распределения, то $\overline\xi_1$ тоже абсолютно непрерывна и её плотность распределения равна $$p_{\overline\xi_1}(u_1,\ldots,u_m):=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cdots\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_{m+1}\cdots{d}u_n.$$

Доказательство:

1. $$ F_{\overline\xi_1}(x_1,\ldots,x_m)=P\{\xi_1<x_1,\ldots,x_m<x_m\}= P\{\xi_1<x_1,\ldots,\xi_m<x_m,\xi_{m+1}<\infty,\ldots,\xi_n<\infty\}= F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_m,\infty,\ldots,\infty). $$
2. Покажем, что функция $$p_{\overline\xi_1}(x_1,\ldots,x_m):=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cdots\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_{m+1}\cdots{d}u_n.$$ является плотностью распределения вектора $\overline\xi_1$. Действительно
   1. $$ F_{\overline\xi_1}(x_1,\ldots,x_m)=F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_m,\infty,\ldots,\infty)= \int\limits_{-\infty}^{x_1}\cdots\int\limits_{-\infty}^{x_m}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cdots\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_1\cdots{d}u_n= \int\limits_{-\infty}^{x_1}\cdots\int\limits_{-\infty}^{x_m}p_{\overline\xi_1}(u_1,\ldots,u_m)du_1\cdots{d}u_m $$
   2. Так как для любого $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ $p_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)\geq0$, то для любого $(x_1,\ldots,x_m)\in\mathbb{R}^m$ $$ p_{\overline\xi_1}(x_1,\ldots,x_m)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cdots\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_{m+1}\cdots{d}u_n\geq0 $$
   3. $$ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cdots\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi_1}(u_1,\ldots,u_m)du_1\cdots{d}u_m= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cdots\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_1\cdots{d}u_n=1 $$

Пример 3.3: Пусть $\overline\xi=(\xi_1,\xi_2)$ случайный вектор с плотностью распределения $p_{\overline\xi}(x_1,x_2)=\frac1{2\pi}e^{-(x_1+x_2)/2}$ тогда, так как (13.3.1 MA) $\int\limits_0^{\infty}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2},$ то $$ p_{\overline\xi_1}(x_1)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_{\overline\xi}(x_1,x_2)dx_2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-(x_1^2+x_2^2)/2}dx_2= \frac{e^{-x_1^2/2}}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x_2^2/2}dx_2=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{x_1^2/2}\sim{N}(0,1). $$ Аналогично $$ p_{\overline\xi_2}(x_2)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x_1^2/2}dx_1\sim{N}(0,1) $$ Проверим, что функция $$ F_{\overline\eta}(x_1,x_2):=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\min(x_1,x_2)}e^{-u^2/2}du $$ является функцией распределения некоторой двумерной случайной величины. Действительно

1. Функция $F_{\overline\eta}(x_1,x_2)$ неубывает по каждой из переменных, так как функция $e^{-u^2/2}$ неотрицательна.
2. Функция $F_{\overline\eta}(x_1,x_2)$ непрерывна слева по каждой из переменных.
3. $$\lim_{x_1,x_2\to\infty}F_{\overline\eta}(x_1,x_2)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=1.$$
4. $$\lim_{x_1\to-\infty}F_{\overline\eta}(x_1,x_2)=\lim_{x_2\to-\infty}F_{\overline\eta}(x_1,x_2)=0.$$
5. Пусть $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$ такие, что $a_1\leq{b}_1$, $a_2\leq{b}_2$ докажем, что $$\Delta_{[a_1,b_1]}^{(1)}\Delta_{[a_2,b_2]}^{(2)}F_{\overline\eta}(x_1,x_2)\geq0.$$ Рассмотрим случай $a_1\leq{a}_2\leq{b}_1\leq{b}_2$ (остальные случаи взаимного расположения концов отрезков рассматриваются аналогично). \begin{multline*} \Delta_{[a_1,b_1]}^{(1)}\Delta_{[a_2,b_2]}^{(2)}F_{\overline\eta}(x_1,x_2)=\Delta_{[a_1,b_1]}^{(1)}(F_{\overline\eta}(x_1,b_2)-F_{\overline\eta}(x_1,a_2))= F_{\overline\eta}(b_1,b_2)-F_{\overline\eta}(a_1,b_2)-F_{\overline\eta}(b_1,a_2)+F_{\overline\eta}(a_1,a_2)=\\= \frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\int\limits_{-\infty}^{b_1}e^{-u^2/2}du-\int\limits_{-\infty}^{a_1}e^{-u^2/2}du-\int\limits_{-\infty}^{a_2}e^{-u^2/2}du+\int\limits_{-\infty}^{a_1}e^{-u^2/2}du\right)= \frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\int\limits_{-\infty}^{b_1}e^{-u^2/2}du-\int\limits_{-\infty}^{a_2}e^{-u^2/2}du\right)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{a_2}^{b_1}e^{-u^2/2}du\geq0, \end{multline*} где последнее равенство в силу того, что $a_2\leq{b}_2$ и функция $e^{-u^2/2}$ неотрицательна.

3.4 Алгебра порождаемая случайной величиной.

Определение 3.14: Пусть $\xi$ - случайная величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, тогда $\sigma$-алгебра $\mathfrak{A}_{\xi}:=\xi^{-1}(\mathcal{B})$ называется $\sigma$-алгеброй порожденной случайной величиной $\xi$.

Пример 3.4:

1. Для любого $A\in\mathfrak{A}$, если $\xi(\omega)\equiv{I}_A(\omega)$, то $\xi^{-1}(\mathcal{B})=\{\varnothing,\Omega,A,\overline{A}\}.$
2. Пусть $\Omega=[-1,1]$, $\mathfrak{A}=\{B\in\mathcal{B}\mid{B}\in[-1,1]\}$, $P(A):=\lambda(A)/2$, где $\lambda(A)$ мера Лебега множества $A\in\mathfrak{A}$. Функция $\xi(\omega):\Omega\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $\omega\in[-1,1]$ $\xi(\omega)=\omega^2$. Так как для любого $\omega\in[-1,1]$ $\xi(\omega)=\xi(-\omega)$, то в множество $\xi^{-1}(\mathcal{B})$ входят только симметричные множества. Таким образом, $\mathfrak{A}_{\xi}\neq\mathfrak{A}$.

Теорема 3.9: Пусть $\xi$ случайная величина на $(\Omega,\mathfrak{A},P)$, тогда случайная величина $\eta(\omega)$ $\mathfrak{A}_{\xi}$-измерима тогда и только тогда, когда существует борелевская функция $\varphi(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такая, что $\eta(\omega)\equiv\varphi(\xi(\omega))$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$

1. Пусть $\eta$ индикаторная случайная величина, то есть существует множество $A\in\mathfrak{A}_{\xi}$, такое $\eta(\omega)\equiv{I}_A(\omega)$. Тогда существует $B\in\mathcal{B}$ такое, что $A=\xi^{-1}(B)$. Положим $$ \varphi(x)\equiv{I}_B(x)\equiv\begin{cases}1,&x\in{B}\\0,&x\notin{B}\end{cases}, $$ тогда $$ \varphi(\xi(\omega))\equiv{I}_{B}(\xi(\omega))\equiv\begin{cases}1,&\xi(\omega)\in{B}\\0,&\xi(\omega)\notin{B}\end{cases}\equiv \begin{cases}1,&\omega\in\xi^{-1}(B)=A\\0,&\omega\notin\xi^{-1}(B)=A\end{cases}\equiv{I}_A(\omega)\equiv\eta(\omega) $$
2. Пусть $\eta$ простая случайная величина, тогда существуют множества $A_1,\ldots,A_n\in\mathfrak{A}_{\xi}$ и числа $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$ такие, что для любых неравных $k,s\in\overline{1,n}$ $A_kA_s=\varnothing$, $\bigcup_{k=1}^nA_k=\Omega$ и $$\eta(\omega)\equiv\sum_{k=1}^nx_kI_{A_k}(\omega).$$ Для любого $k\in\overline{1,n}$ существует $B_k\in\mathcal{B}$ такое, что $A_k=\xi^{-1}(B_k)$. Положим $$\varphi(x)\equiv\sum_{k=1}^nx_kI_{B_k}(x).$$ Фиксируем $\omega\in\Omega$, тогда $$ \exists{k}_0\in\overline{1,n}:\omega\in{A}_{k_0}\Rightarrow\begin{cases}\eta(\omega)=x_{k_0} \\ \xi(\omega)\in\xi(A_{k_0})=B_{k_0}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\eta(\omega)=x_{k_0} \\ \varphi(\xi(\omega))=x_{k_0}\end{cases}. $$
3. Пусть $\eta$ неотрицательная случайная величина. Тогда по теореме 3.3 существует последовательность простых случайных величин $\{\eta_n\}$ таких, что $\eta(\omega)\equiv\lim_{n\to\infty}\eta_n(\omega)$. По п. 2 для любого $n\in\mathbb{N}$ существует функция $\varphi_n(x)$ такая, что $\eta_n(\omega)\equiv\varphi_n(\xi(\omega))$. Положим $\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x),$ если предел существует при данном $x$ и $\varphi(x)=0$, если предела не существует, тогда для любого $\omega\in\Omega$ $$ \varphi(\xi(\omega))=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(\xi(\omega))=\lim_{n\to\infty}\eta_n(\omega)=\eta(\omega) $$
4. Пусть $\eta$ произвольная случайная величина. Обозначим $$\eta^+(\omega)\equiv\max{(\eta(\omega),0)},\,\eta^-(\omega)\equiv-\min{(0,\eta(\omega))},$$ тогда случайные величины $\eta^+$, $\eta^-$ неорицательны и $\eta(\omega)\equiv\eta^+(\omega)-\eta^-(\omega)$. По п. 3 существуют функции $\varphi^+(x),\varphi^-(x)$ такие, что $\eta^+(\omega)\equiv\varphi^+(\xi(\omega))$, $\eta^-(\omega)\equiv\varphi^-(\xi(\omega))$. Следовательно, искомая борелевская функция есть $\varphi(x)\equiv\varphi^+(x)-\varphi^-(x)$.

Задача 3.1: Доказать, что функция $\varphi(x)$ введенная в п. 3 доказательства необходимости является борелевской.

previous contents next