Определение 3.15:
Пусть $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ вероятностное пространство, $\mathcal{E}_1,\ldots,\mathcal{E}_n$ подмножества из $\mathfrak{A}$.
Будем говорить, что $\mathcal{E}_1,\ldots,\mathcal{E}_n$ независимые классы событий, если для любого
$m\in\overline{2,n}$
$$\forall{i}_1,\ldots,i_m\in\overline{1,n}\,\forall{A}_{i_1}\in\mathcal{E}_{i_1},\ldots,\forall{A}_{i_m}\in\mathcal{E}_{i_m}\left(P(A_{i_1}\cdots{A}_{i_m})=\prod_{k=1}^mP(A_{i_k})\right).$$
Теорема 3.10: Теорема о пополнении независимых классов.
Пусть $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ вероятностное пространство, $\mathcal{E}_1,\ldots,\mathcal{E}_n$ классы независимых событий из $\mathfrak{A}$.
Если каждый из классов пополнить
Доказательство:
Фиксируем множества $A_{i_1},\ldots,A_{i_m}$ из $\mathcal{E}_{i_1},\ldots,\mathcal{E}_{i_m}$ соответственно.
Теорема 3.11: Теорема о независимости $\sigma$-алгебр порожденных независимыми классами событий.
Пусть $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ независимые классы событий замкнутые относительно конечных пересечений.
Тогда классы $\sigma(\mathcal{E}_1)$, $\sigma(\mathcal{E}_2)$ также независимы.
Доказательство:
Докажем, что классы $\sigma(\mathcal{E}_1)$ и $\mathcal{E}_2$ независимы.
Обозначим $\Phi$ класс всех событий из $\sigma(\mathcal{E}_1)$ независимых с $\mathcal{E}_2$. Тогда по теореме 3.10
Следствие 3.3:
Если алгебры $\mathfrak{A}_1$ и $\mathfrak{A}_2$ независимы, то $\sigma$-алгебры $\sigma(\mathfrak{A}_1)$, $\sigma(\mathfrak{A}_2)$ так же независимы.
Доказательство:
Так как алгебра множеств замкнута относительно конечных пересечений, то утверждение следует из теоремы 3.11.
Определение 3.16:
Случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n,\ldots$ определенные на вероятностном пространстве $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ называются независимыми,
если для любого $m\in\mathbb{N}$ любых $B_1,\ldots,B_m\in\mathcal{B}$,
$k_1,\ldots,k_m\in\mathbb{N}$
$$P(\xi_{k_1}\in{B}_1,\ldots,\xi_{k_m}\in{B}_n)=\prod_{i=1}^mP(\xi_{k_i}\in{B}_i).$$
Теорема 3.12: Случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы тогда и только тогда, когда независимы порожденные ими $\sigma$-алгебры $\mathfrak{A}_{\xi_1},\ldots,\mathfrak{A}_{\xi_n}$.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы.
Фиксируем $A_1,\ldots,A_n$ из $\mathfrak{A}_{\xi_1},\ldots,\mathfrak{A}_{\xi_n}$ соответственно. Тогда для любого $k\in\overline{1,n}$ существует
$B_k\in\mathcal{B}$ такое, что $A_k=\xi_k^{-1}(B_k)$. Тогда
$$
P(A_1\cdots{A}_n)=P(\xi_1^{-1}(B_1)\cdots\xi_n^{-1}(B_n))=P(\xi_1\in{B}_1,\ldots,\xi_n\in{B}_n)=
\prod_{k=1}^nP(\xi_k\in{B}_k)=\prod_{k=1}^n(\xi_k^{-1}(B_k))=\prod_{k=1}^nP(A_k).
$$
$\Leftarrow)$ Пусть алгебры $\mathfrak{A}_{\xi_1},\ldots,\mathfrak{A}_{\xi_n}$ независимы. Фиксируем $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}$.
Для любого $k\in\overline{1,n}$ $\xi_k^{-1}(B_k)\in\mathfrak{A}_{\xi_k}$, следовательно
$$
P(\xi_1\in{B}_1,\ldots,\xi_n\in{B}_n)=P(\xi_1^{-1}(B_1)\cdots\xi_n^{-1}(B_n))=\prod_{k=1}^nP(\xi_k^{-1}(B_k))=\prod_{k=1}^nP(\xi_k\in{B}_k).
$$
Теорема 3.13: Случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы тогда и только тогда, когда $$F_{(\xi_1,\ldots,\xi_n)}(x_1,\ldots,x_n)\equiv\prod_{k=1}^nF_{\xi_k}(x_k)$$
Доказательство:
Обозначим $\overline\xi:=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$
$\Rightarrow)$ Пусть случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы.
Фиксируем действительные числа $x_1,\ldots,x_n$, для любого $k\in\overline{1,n}$ положим $B_k:=(-\infty,x_k)\in\mathcal{B}$. Тогда по теореме 3.12
$$
F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)=P(\xi_1<x_1,\ldots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1\in{B}_1,\ldots,\xi_n\in{B}_n)=\prod_{k=1}^nP(\xi_k<x_k)=\prod_{k=1}^nF_k(x_k)
$$
$\Leftarrow)$ Докажем для случая $n=2$, для случая произвольного $n\in\mathbb{N}$ доказывается аналогично.
Пусть $F_{\overline\xi}(x,y)\equiv{F}_{\xi_1}(x)F_{\xi_2}(y)$, фиксируем полуинтервалы $\Delta_1:=[x_1,x_2)$ и
$\Delta_1':=[y_1,y_2)$. Тогда
\begin{multline*}
P(\xi_1\in\Delta_1,\xi_2\in\Delta_1')=P(\xi_1\leq\xi_1<x_2,y_1\leq\xi_2<y_2)=\Delta_{[x_1,x_2]}^{(1)}\Delta_{[y_1,y_2]}^{(2)}F_{\overline\xi}(x,y)=\\=
F_{\overline\xi}(x_2,y_2)-F_{\overline\xi}(x_1,y_2)-F_{\overline\xi}(x_2,y_1)+F_{\overline\xi}(x_1,y_1)=(F_{\xi_1}(x_2)-F_{\xi_1}(x_1))(F_{\xi_2}(y_2)-F_{\xi_2}(y_1))=P(\xi_1\in\Delta_1)P(\xi_2\in\Delta_1').
\end{multline*}
Пусть $m,n\in\mathbb{N}$ $\Delta_1,\ldots,\Delta_n$ попарно не пересекающиеся полуинтервалы,
$\Delta_1',\ldots,\Delta_m'$ также попарно не пересекающиеся полуинтервалы, тогда
\begin{multline*}
P\left(\xi_1\in\bigcup_{i=1}^n\Delta_i,\xi_2\in\bigcup_{j=1}^m\Delta_j'\right)=\sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}P(\xi_1\in\Delta_i,\xi_2\in\Delta_j')=
\sum_{(i,j)=(1,1)}^{(n,m)}(P(\xi_1\in\Delta_i)P(\xi_2\in\Delta_j'))=\\=
\sum_{i=1}^nP(\xi_1\in\Delta_i)\sum_{j=1}^mP(\xi_2\in\Delta_j')=P\left(\xi_1\in\bigcup_{i=1}^n\Delta_i\right)P\left(\xi_2\in\bigcup_{j=1}^m\Delta_j'\right).
\end{multline*}
Множество всех объединений попарно не пересекающихся полуинтервалов из $\overline{\mathbb{R}}$ является алгеброй множеств обозначим её $\mathcal{A}$,
причем $\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}$. Таким образом, было показано, что
для любых $B_1,B_2\in\mathcal{A}$
$$
P(\xi_1^{-1}(B_1)\xi_2^{-1}(B_2))=P(\xi_1\in{B}_1,\xi_2\in{B}_2)=P(\xi_1\in{B}_1)P(\xi_2\in{B}_2)=P(\xi_1^{-1}(B_1))P(\xi_2^{-1}(B_2)),
$$
Так как для любых $A_1\in\xi_1^{-1}(\mathcal{A})$, $A_2\in\xi_2^{-1}(\mathcal{A})$ найдутся такие $B_1,B_2\in\mathcal{A}$,
что $A_1=\xi_1^{-1}(B_1)$, $A_2=\xi_2^{-1}(B_2)$, то алгебры $\xi_1^{-1}(\mathcal{A})$ и
$\xi_2^{-1}(\mathcal{A})$ независимы.
Так как
$$
\mathfrak{A}_{\xi_1}=\xi_1^{-1}(\mathcal{B})=\xi_1^{-1}(\sigma(\mathcal{A}))=\sigma(\xi_1^{-1}(\mathcal{A})),
$$
$$
\mathfrak{A}_{\xi_2}=\xi_2^{-1}(\mathcal{B})=\xi_2^{-1}(\sigma(\mathcal{A}))=\sigma(\xi_2^{-1}(\mathcal{A})),
$$
то $\sigma$-алгебры $\mathfrak{A}_{\xi_1}$ и $\mathfrak{A}_{\xi_2}$ независимы по следствию 3.3.
Тогда случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы по теореме 3.12.
Теорема 3.14: Пусть $\overline\xi:=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ - многомерная случайная величина с плотностью распределения $p_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)$, для любого $k\in\overline{1,n}$ $p_{\xi_k}(x)$ - плотность распределения $\xi_k$. Тогда случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы тогда и только тогда, когда $p_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{k=1}^np_{\xi_k}(x_k)$ для всех точек непрерывности функций $p_{\xi_1}(x_1),\ldots,p_{\xi_n}(x_n)$.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы,
$x_1,\ldots,x_n$ точки непрерывности функций $p_{\xi_1}(x),\ldots,p_{\xi_n}(x)$ соответственно, тогда
$$
F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{k=1}^nF_{\xi_k}(x_k)=\prod_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{x_k}p_{x_k}(u_k)du_k=
\int\limits_{-\infty}^{x_1}\cdots\int\limits_{-\infty}^{x_n}\prod_{k=1}^np_{\xi_k}(u_k)du_1\cdots{d}u_n.
$$
Так как функция $\prod_{k=1}^np_{\xi_k}(u_k)$ неотрицательна, то она удовлетворяет определению для плотности распределения многомерной
случайной величины $\overline\xi$.
$\Leftarrow)$ Пусть $p_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{k=1}^np_{\xi_k}(x_k)$ для всех точек непрерывности функций
$p_{\xi_1}(x),\ldots,p_{\xi_n}(x)$, тогда
$$
F_{\overline\xi}(x_1,\ldots,x_n)=\int\limits_{-\infty}^{x_1}\cdots\int\limits_{-\infty}^{x_n}p_{\overline\xi}(u_1,\ldots,u_n)du_1\cdots{d}u_n=
\int\limits_{-\infty}^{x_1}\cdots\int\limits_{-\infty}^{x_n}\prod_{k=1}^np_{\xi_k}(u_k)du_1\cdots{d}u_n=
\prod_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^{x_k}p_{\xi_k}(u_k)du_k=\prod_{k=1}^nF_{\xi_k}(x_k).
$$
Следовательно, случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы по теореме 3.13.
Теорема 3.15: Если $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимые случайные величины, то для любых борелевских функции $g_1(x),\ldots,g_n(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ случайные величины $\eta_1:=g(\xi_1),\ldots,\eta_n:=g(\xi_n)$ также являются независимыми.
Доказательство:
Для любых $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}$
$$
P(\eta_1\in{B}_1,\ldots,\eta_n\in{B}_n)=P(\xi_1\in{g}^{-1}(B_1),\ldots,\xi_n\in{g}^{-1}(B_n))=
P(\xi_1\in{g}^{-1}(B_1))\cdots{P}(\xi_n\in{g}^{-1}(B_n))=P(\eta_1\in{B}_1)\cdots{P}(\eta_n\in{B}_n).
$$
previous contents next