Определение 9.18: Случайный процесс $\{\xi_t\}$ называется Пуассоновским с интенсивностью $\lambda>0$, если
Теорема 9.22: Пуассоновский процесс является цепью Маркова с непрерывным временем и матрицей переходных вероятносей $\{p_{i,j}(t)\}$, где для любых $j\geq{i}$ $$p_{i,j}(t)=\frac{(\lambda{t})^{j-i}}{(j-i)!}e^{-\lambda{t}}.$$
Доказательство:
Пусть $t_0,\ldots,t_n\in[0,\infty)$ такие, что $t_0<t_1,\ldots,t_n$. Б. о. о. будем считать, что $t_0\neq0$ и положим $t_{-1}=0$, тогда
\begin{multline*}
P\{\xi_{t_n}=k_n/\xi_{t_0}=k_0,\ldots,\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1}\}=\frac{P\{\xi_{t_0}-\xi_0=k_0,\ldots,\xi_{t_n}=k_n\}}{P\{\xi_{t_0}-\xi_0=k_0,\ldots,\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1}\}}=\\=
\frac{P\{\xi_{t_0}-\xi_0=k_0,\xi_{t_1}-\xi_{t_0}=k_1-k_0,\ldots,\xi_{t_n}-\xi_{t_{n-1}}=k_n-k_{n-1}\}}{P\{\xi_{t_0}-\xi_0=k_0,\xi_{t_1}-\xi_{t_0}=
k_1-k_0,\ldots,\xi_{t_{n-1}}-\xi_{t_{n-2}}=k_{n-1}-k_{n-2}\}}=
\frac{\prod_{i=0}^nP\{\xi_{t_i}-\xi_{t_{i-1}}=k_i-k_{i-1}\}}{\prod_{i=0}^{n-1}P\{\xi_{t_i}-\xi_{t_{i-1}}=k_i-k_{i-1}\}}=P\{\xi_{t_n}-\xi_{t_{n-1}}=k_n-k_{n-1}\}.
\end{multline*}
С другой стороны
$$
P\{\xi_{t_n}=k_n/\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1}\}=\frac{P\{\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1},\xi_{t_n}=k_n\}}{P\{\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1}\}}=
\frac{P\{\xi_{t_{n-1}}-\xi_0=k_{n-1},\xi_{t_n}-\xi_{t_{n-1}}=k_n-k_{n-1}\}}{P\{\xi_{t_{n-1}}-\xi_0=k_{n-1}\}}=P\{\xi_{t_n}-\xi_{t_{n-1}}=k_n-k_{n-1}\}.
$$
Таким образом,
$$P\{\xi_{t_n}=k_n/\xi_{t_0}=k_0,\ldots,\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1}\}=P\{\xi_{t_n}=k_n/\xi_{t_{n-1}}=k_{n-1}\},$$
то есть Пуассоновский процесс является цепью Маркова, при этом
$$
p_{j,i}(t)=P\{\xi_{s+t}=j/\xi_s=i\}=P\{\xi_{s+t}-\xi_s=j-i\}=\frac{(\lambda{t})^{j-i}}{(j-i)!}e^{-\lambda{t}}.
$$
Замечание 9.5:
При $j<i$ $p_{i,j}(t)$ можно положить тождественно равным некоторой константе $c\geq0$.
Задача 9.3:
Найти матрицу $\Lambda$ для Пуассоновского процесса.
Для любого $i\in\mathbb{N}$
$$\lambda_{i,i}=\lim_{t\to0}\frac{p_{i,i}(t)-1}{t}=\lim_{t\to0}\frac{e^{-\lambda{t}}-1}{t}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{-x/\lambda}=-\lambda,$$
где $x:=-\lambda{t}$ и последнее равенство следует из примера 5.4.15 MA.
Для любых $i,j\in\mathbb{N}$ таких, что $j>i$
$$
\lambda_{i,j}=\lim_{t-\to0}\frac{p_{i,j}(t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{(\lambda{t})^{j-i}e^{-\lambda{t}}}{(j-i)!t}=
\lim_{t\to0}\frac{\lambda^{j-i}t^{j-i-1}e^{-\lambda{t}}}{(j-i)!}.
$$
Таким образом,
$$
\begin{cases}
0, & j-i<0,j-i>1 \\
-\lambda, & j-i=0 \\
\lambda, & j-i=1
\end{cases}
$$
Определение 9.19:
Потоком событий будем называть последовательность моментов времени, в которые происходят некоторые события.
Определение 9.20: Поток событий называется Пуассоновским, если
Утверждение 9.5: Существует $\lambda\geq0$ такое, что $$P_n(t)=\frac{(\lambda{t})^n}{n!}e^{-\lambda{t}}.$$
Доказательство:
Обозначим $\xi_t$ - число событий на промежутке $[0,t]$, тогда для любого $P_{n}(t)=P\{\xi_t=n\}$. По свойствам 1, 2 для любых $s,t\in[0,\infty]$
$$P_0(s+t)=P\{\xi_s=0,\xi_t=0\}=P\{\xi_s=0\}P\{\xi_t=0\}=P_0(s)P_0(t).$$
Следовательно, функция $P_0(t)$ (непрерывность?) является показательной
(см. например Г. М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления." 1962 г. стр. 158), то есть сущетсвует $\lambda\geq0$ такое, что
$P_0(t)=e^{-\lambda{t}}$. Тогда при $t\to0$
$$P_1(t)=1-P_0(t)-\sum_{n=2}^{\infty}P_n(t)=1-e^{\lambda{t}}+o(t).$$
Следовательно,
$$
P_n(t+\Delta{t})=P_n(t)P_0(\Delta{t})+P_{n-1}(t)P_1(\Delta{t})+o(\Delta{t}),\Delta{t}\to0
$$
Раскладывая $e^{-\lambda\Delta{t}}$ в ряд Тэйлора при $\Delta{t}\to0$ имеем
$$P_0(\Delta{t})=e^{-\lambda\Delta{t}}=1-\lambda\Delta{t}+o(\Delta{t}),$$
$$P_1(\Delta{t})=1-e^{-\lambda\Delta{t}}+o(\Delta{t})=\lambda\Delta{t}+o(\Delta{t}).$$
Тогда
$$
\frac{P_n(t+\Delta{t})-P_n(t)}{\Delta{t}}=\frac{P_n(t)(1-\lambda\Delta{t})+P_{n-1}(t)\lambda\Delta{t}-P_n(t)+o(\Delta{t})}{\Delta{t}}=
-\lambda{P}_n(t)+\lambda{P}_{n-1}(t)+\frac{o(\Delta{t})}{\Delta{t}}.
$$
Переходя к пределу при $\Delta{t}\to0$ имеем
$$P'_n(t)=-\lambda{P}_n(t)+\lambda{P}_{n-1}(t).$$
Обозначим $Q_n(t):=e^{-\lambda{t}}P_n(t)$, тогда $Q_0(t)\equiv1$ и
$$
Q'_n(t)=\lambda{e}^{-\lambda{t}}P_n(t)+e^{-\lambda{t}}P'_n(t)=\lambda{Q}_{n-1}(t)\Rightarrow
{Q}'_1(t)=\lambda{Q}_0(t)=\lambda\Rightarrow\exists{c}\in\mathbb{R}:Q_1(t)=\lambda{t}+c.
$$
Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $Q_n(0)=P_n(0)=0$, то $c=0$ и $Q_1(t)=\lambda{t}$, тогда аналогично
$$
Q'_2(t)=\lambda^2t\Rightarrow{Q}_2(t)=\frac{(\lambda{t})^2}{2}\Rightarrow{Q}_3(t)=\frac{(\lambda{t})^3}{3!}\Rightarrow\ldots
\Rightarrow{Q}_n(t)=\frac{(\lambda{t})^n}{n!}\Rightarrow{P}_n(t)=\frac{(\lambda{t})^n}{n!}e^{-\lambda{t}}.
$$
Марковское свойство показательного распределения.
Теорема 9.23: Если случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение ($F_{\xi}(x)=1-e^{-\lambda{x}}$ при $x>0$), то для любого $\tau>0$ $$P\{\xi-\tau<t/\xi>\tau\}=1-e^{-\lambda{t}}.$$
Доказательство:
$$
P\{\xi-\tau<t/\xi>\tau\}=\frac{P\{\tau<\xi<t+\tau\}}{P\{\xi>\tau\}}=\frac{F_{\xi}(t+\tau)-F_{\xi}(\tau)}{1-F_{\xi}(\tau)}=
\frac{1-e^{-\lambda(t+\tau)}-1+e^{-\lambda\tau}}{e^{-\lambda\tau}}=1-e^{-\lambda\tau}
$$
Теорема 9.24: Если случайная величина $\xi$ такая, что для любого $\tau>0$ $$P\{\xi-\tau<t/\xi>\tau\}=1-e^{-\lambda{t}},$$ то $\xi$ имеет показательное распределение.
Доказательство:
Обозначим $\overline{F}(t):=1-F_{\xi}(t)$, тогда
$$
P\{\xi-\tau<t/\xi>\tau\}=\frac{F_{\xi}(\tau+t)-F_{\xi}(\tau)}{1-F_{\xi}(\tau)}=\frac{\overline{F}(\tau)-\overline{F}(\tau+t)}{\overline{F}(\tau)}\Rightarrow
\frac{\overline{F}(\tau+t)-\overline{F}(\tau)}{t}=\overline{F}(\tau)\frac{e^{-\lambda{t}}-1}{t}.
$$
Переходя к пределу при $t\to0$ имеем (по примеру 5.4.15 MA)
$$\overline{F}'(\tau)=-\lambda\overline{F}(\tau)\Rightarrow\overline{F}(t)=e^{-\lambda{t}}\Rightarrow{F}_{\xi}(t)=1-e^{-\lambda{t}}.$$
Теорема 9.25: Пусть $\{\xi_t\}$ стохастическая (?) цепь Маркова с непрерывным временем, $\xi_0=i$, $\eta$ - время первого выхода из $i$-того состояния, тогда $$P\{\eta>s/\xi_0=i\}=e^{\lambda_{i,i}s},$$ если $-\infty<\lambda_{i,i}<0$ и $p_{i,i}(t)\equiv1$, если $\lambda_{i,i}=0$.
Доказательство:
Обозначим
$$T_0:=\left\{t_{n,k}=\frac{ks}{2^n}\mid{n}\in\mathbb{N},k\in\overline{1,2^n}\right\},\Lambda_n:=\{t_{n,k}\mid{k}\in\overline{1,2^n}\}$$
тогда $\Lambda_n\subset\Lambda_{n+1}$ и по теореме 1.4
$$T_0=\varlimsup_{n\to\infty}\Lambda_n=\bigcup\Lambda_n.$$
Тогда из стохастичности (?) цепи Маркова и непрерывности вероятностной меры (теорема 1.5) следует
\begin{multline*}
P\{\eta>s/\xi_0=i\}=P\{\xi_t=i\mid0\leq{t}\leq{s}\}=P\{\xi_{t_{n,k}}=i\mid{t}_{n,k}\in{T}_0\}=\lim_{n\to\infty}P\{\xi_{t_{n,k}}=i\mid{t}_{n,k}\in\Lambda_n\}=\\=
\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{2^n}p_{i,i}(t_{n,k}-t_{n,k-1})=\lim_{n\to\infty}\prod_{n=1}^{2^n}p_{i,i}\left(\frac{s}{2^n}\right)=
\lim_{n\to\infty}p_{i,i}^{2^n}\left(\frac{s}{2^n}\right).
\end{multline*}
Прологорифмировав последнее выражение и воспользововашись оценкой $\ln(1+x)\sim\ln{x},x\to0$ (обоснование?) имеем
$$
\ln\left(P\{\eta>s/\xi_0=i\}\right)=\lim_{n\to\infty}2^n\ln{p}_{i,i}\left(\frac{s}{2^n}\right)=
\lim_{n\to\infty}2^n\ln\left(1+p_{i,i}\left(\frac{s}{2^n}\right)-1\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{p_{i,i}(s/2^n)-1}{s/2^n}s=\lambda_{i,i}s.
$$
Проэкспоненциировав последнее выражение получим доказываемый результат.
Теорема 9.26: Теорема о первом разрыве траектории.
Если у консервативной, стохастической (?) цепи Маркова $-\infty<\lambda_{i,i}<0$, $\xi_0=i$, то траектория с вероятностью 1 претерпевает разрыв,
при этом с вероятностью $-\lambda_{i,j}/\lambda_{i,i}$ следующим после состояния $i$ будет состояние $j$.
Доказательство:
Для любых $n\in\mathbb{N}$, $u\in\mathbb{R}^+$ обозначим
$$A_{n,u}^{(j)}:=\left\{\omega\mid\exists{k}\in\overline{2,n}:\xi_s(\omega)=\begin{cases}i,0\leq{s}\leq(k-1)t/n \\ j,0\leq{k}t/n\leq{s}<kt/n+u\end{cases}\right\}.$$
Тогда
$$
P\left(A_{n,u}^{(j)}\right)=\sum_{k=2}^ne^{\lambda_{i,i}(k-1)t/n}p_{i,j}\left(\frac{t}{n}\right)e^{\lambda_{j,j}u}=
e^{\lambda_{j,j}u}p_{i,j}\left(\frac{t}{n}\right)\sum_{k=1}^{n-1}e^{\lambda_{i,i}kt/n}=
p_{i,j}\left(\frac{t}{n}\right)e^{\lambda_{j,j}u}\frac{-e^{\lambda_{i,i}t}+e^{\lambda_{i,i}t/n}}{1-e^{\lambda_{i,i}t/n}}
$$
Так как $e^x+1\sim{x}$, $e^x\sim1$ при $x\to0$, то при $n\to\infty$
$$
P(A_{n,u}^{(j)})\sim\frac{p_{i,j}(t/n)}{t/n}e^{\lambda_{j,j}u}\frac{1-e^{\lambda_{i,i}t}}{-\lambda_{i,i}}\sim-\frac{\lambda_{i,j}}{\lambda_{i,i}}e^{\lambda_{j,j}u}(1-e^{\lambda_{i,i}t}).
$$
Обозначим
$$A_u^{(j)}=\varlimsup_{n\to\infty}A_{n,u}^{(j)}=\bigcap_{k=2}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}A_{n,u}^{(j)},$$
тогда, так как
$$\bigcup_{n=k+1}^{\infty}A_{n,u}^{(j)}\subset\bigcup_{n=k}^{\infty}A_{n,u}^{(j)},$$
то
$$
P\left(A_u^{(j)}\right)=\lim_{k\to\infty}P\left(\bigcup_{n=k}^{\infty}A_{n,u}^{(j)}\right)\geq\lim_{k\to\infty}P\left(A_{k,u}^{(j)}\right)=
-\frac{\lambda_{i,j}}{\lambda_{i,i}}e^{\lambda_{j,j}u}(1-e^{\lambda_{i,i}t})
$$
Обратное неравество
$$P(A_u^{(j)})\leq-\frac{\lambda_{i,j}}{\lambda_{i,i}}e^{\lambda_{j,j}u}(1-e^{\lambda_{i,i}t}),$$
предлагается доказать в качестве упражнения, тогда
$$P(A_u^{(j)})=-\frac{\lambda_{i,j}}{\lambda_{i,i}}e^{\lambda_{j,j}u}(1-e^{\lambda_{i,i}t}).$$
Так как функция стоящая справа возрастает, то для $A_u^{(j)}\subset{A}_v^{(j)}$ при $u<v$. Тогда обозначив $A^{(j)}:=\bigcap_u{A}_u^{(j)}$ имеем
$$P(A^{(j)})=P\left(\bigcap_{u}A_u^{(j)}\right)=P\left(\lim_u{A}_u^{(j)}\right)=\lim_{u\to0}P\left(A_u^{(j)}\right).$$
Обозначим $B$ множестов элементарных исходов при которых на отрезке $[0,t]$ происходит скачок. Тогда по теореме 9.25
$$P\left\{B/\xi_0=i\right\}=1-e^{\lambda_{i,i}t},$$
следовательно, искомая вероятность равна
\begin{multline*}
P\left\{A^{(j)}/(\xi_0=i)\cap{B}\right\}=\frac{P\{A^{(j)}\cap(\xi_0=i)\cap{B}\}}{P\{(\xi_0=i)\cap{B}\}}=
\frac{P\{\xi_0=i\}P\left\{A^{(j)}\cap{B}/\xi_0=i\right\}}{P\{\xi_0=i\}P\left\{B/\xi_0=i\right\}}=\frac{P\left\{A^{(j)}/\xi_0=i\right\}}{P\left\{B/\xi_0=i\right\}}=\frac{\lim_{u\to0}P\left(A_u^{(j)}\right)}{1-e^{\lambda_{i,i}t}}=\\=
-\frac{\lambda_{i,j}}{\lambda_{j,j}}\frac{(1-e^{\lambda_{i,i}})\lim_{u\to0}e^{\lambda_{j,j}u}}{1-e^{\lambda_{i,i}t}}=-\frac{\lambda_{i,j}}{\lambda_{i,i}}
\end{multline*}
Определение 9.21: Цепь Маркова с непрерывным временем называется процессом гибели и размножения если
Замечание 9.6:
Из определения следует, что числа $\lambda_n$, $\mu_n$ это интенсивности перехода из состояния $n$ в $n+1$ и из состояния $n$ в $n-1$ соответственно.
То есть процесс гибели и размножения это цепь Маркова с непрерывным временем, у которой не равны нулю только интенсивности перехода между соседними состояниями.
Определение 9.22:
Последовательность $\{P_n\}$ из $[0,1]$ называется стационарным распределением процесса гибели и
размножения если для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $P_n(t):=P\{\xi_t=n\}\equiv{P}_n$.
Теорема 9.27: Если процесс гибели и размножения имеет стационарное распределение, то $$P_0\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\cdots\mu_n}\right)=1.$$
Доказательство:
Из определения 9.21 следует, что для любого $n\in\mathbb{N}$ при $\Delta{t}\to0$
$$
P_n(t+\Delta{t})=P_{n-1}(t)(\lambda_{n-1}\Delta{t}+o(\Delta{t}))+P_n(t)(1-(\lambda_n+\mu_n)\Delta{t}+o(\Delta{t}))+
P_{n+1}(t)(\mu_{n+1}\Delta{t}+o(\Delta{t}))+o(\Delta{t}),
$$
тогда
$$\frac{P_n(t+\Delta{t})-P_n(t)}{\Delta{t}}=\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)-(\lambda_n+\mu_n)P_n(t)+\mu_{n+1}P_{n+1}(t)+\frac{o(\Delta{t})}{\Delta{t}}.$$
Переходя к пределу при $\Delta{t}\to0$ имеем
$$P_n'(t)=\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)-(\lambda_n+\mu_n)P_n(t)+\mu_{n+1}P_{n+1}(t).$$
Так как $P_n(t)\equiv{P}_n$ для любого $n\in\mathbb{N}_0$, то
$$\lambda_{n-1}P_{n-1}-(\lambda_n+\mu_n)P_n+\mu_{n+1}P_{n+1}=0$$
Аналогично при $n=0$ можно получить $-\lambda_0P_0+\mu_1P_1=0$ отсюда следует, что $P_1=P_0\lambda_0/\mu_1$ и
$$
\lambda_0P_0-(\lambda_1+\mu_1)P_1+\mu_2P_2=0\Rightarrow\lambda_0P_0-(\lambda_1+\mu_1)P_0\frac{\lambda_0}{\mu_1}+\mu_2P_2=0\Rightarrow
\lambda_0P_0-\frac{\lambda_0\lambda_1}{\mu_1}P_0-{\lambda_0}P_0+\mu_2P_2=0\Rightarrow{P}_2=\frac{\lambda_0\lambda_1}{\mu_1\mu_2}P_0
$$
Таким образом доказана база индукции, предположим далее, что
$$P_{n-1}=\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-2}}{\mu_1\cdots_{n-1}}P_0,P_n=\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\cdots\mu_n}P_0,$$
тогда
\begin{multline*}
\lambda_{n-1}\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-2}}{\mu_1\cdots\mu_{n-1}}P_0-(\lambda_n+\mu_n)\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\cdots\mu_{n}}P_0+\mu_{n+1}P_{n+1}=0\Rightarrow\\\Rightarrow
\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\cdots\mu_{n-1}}P_0-\frac{\lambda_0\cdots\lambda_n}{\mu_1\cdots\mu_n}P_0-\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\cdots\mu_{n-1}}P_0+\mu_{n+1}P_{n+1}=0\Rightarrow
P_{n+1}=\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n}}{\mu_1\cdots\mu_{n+1}}P_0
\end{multline*}
Таким обрзом, для любого $n\in\mathbb{N}$
$$P_n=\frac{\lambda_0\cdots\lambda_{n-1}}{\mu_1\cdots\mu_n}P_0.$$
Так как $P_n:=P\{\xi_t=n\}$, и в любой момент времени цепь Маркова находится в некором состоянии, то $\sum_{n=0}^{\infty}P_n=1$, отсюда следует доказываемое равенство.
Определение 9.23:
Процесс размножения и гибели у которого для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $\mu_n=0$ называется процессом чистого размножения.
Замечание 9.7:
Если у процесса чистого размножения для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $\lambda_n=\lambda$, то этот процесс является пуассоновским процессом с интенсивность $\lambda$.
Задача 9.4:
Выписать прямую и обратную систему ДУК для процесса размножения и гибели.
$$
\Lambda=
\begin{pmatrix}
-\lambda_0 & \lambda_0 & 0 & 0 & \cdots \\
\mu_1 & -(\lambda_1+\mu_1) & \lambda_1 & 0 & \cdots \\
0 & \mu_2 & -(\lambda_2+\mu_2) & \lambda_2 & \\
0 & 0 & \mu_3 & -(\lambda_3+\mu_3) & \ddots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{pmatrix},
$$
$$
\Pi(t)=
\begin{pmatrix}
p_{0,0}(t) & p_{0,1}(t) & 0 & 0 & \cdots \\
p_{1,0}(t) & p_{1,1}(t) & p_{1,2}(t) & 0 & \cdots \\
0 & p_{2,1}(t) & p_{2,2}(t) & p_{2,3}(t) & \\
0 & 0 & p_{3,2}(t) & p_{3,3}(t) & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{pmatrix},
$$
Прямая система ДУК $\Pi'(t)=\Pi(t)\Lambda$.
Обратная система ДУК $\Pi'(t)=\Lambda\Pi(t)$.
С начальным условием $\Pi(0)=0$.
previous contents next