Определение 10.1:
Распределение случайной величины $\xi$ называется бесконечно делимым,
если для любого $n\in\mathbb{N}$ существуют независимые одинаково распределенные случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ такие, что
$$\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n.$$
Пример 10.1:
Пусть $\xi\sim{N}(\mu,\sigma)$, тогда по п. 8 примера 6.2 характеристическая функция $\xi$
$$\varphi(t)=\exp\left(it\mu-\frac{\sigma^2t^2}{2}\right).$$
Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ $\varphi(t)=\varphi_n(t)^n$, где
$$\varphi_n(t):=\exp\left(it\frac{\mu}{n}-\frac{\sigma^2t^2}{2n}\right).$$
В силу единственности характеристической функции $\varphi_n(t)$ является характеристической функцией распределения $N(\mu/n,\sigma^2/n)$.
Тогда по п. 4 теоремы 6.1
$$\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n,$$
где $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы и для любого $k\in\overline{1,n}$ $\xi_k\sim{N}(\mu/n,\sigma^2/n)$
Определение 10.2:
Говорят, что случайная величина $\xi$ имеет обобщенное пуассоновское распределение с параметрами $a,b,\lambda\in\mathbb{R}$ если для любого $k\in\mathbb{N}_0$
$$P\{\xi=ak+b\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}.$$
Пример 10.2:
Пусть случайная величина $\xi$ имеет обобщенное пуассоновское распределение с параметрами $a$, $b$, $\lambda$,
тогда существует случайная величина $\eta\sim\Pi(\lambda)$ такая, что $\xi=a\eta+b$. По п. 4 примера 6.2
$$\varphi_{\eta}(t)=\exp\left(\lambda(e^{it}-1)\right),$$
тогда по п. 5 теоремы 6.1 для любого $n\in\mathbb{N}$
$$\varphi_{\xi}(t)=e^{itb}\varphi_{\eta}(at)=\exp\left(itb+\lambda(e^{ita}-1)\right)=\varphi_n(t)^n,$$
где
$$\varphi_n(t):=\exp\left(it\frac{b}{n}+\frac{\lambda}{n}(e^{ita}-1)\right)$$
характерестическая функция обобщенного распределения пуассона с параметрами $a$, $b/n$, $\lambda/n$. Следовательно,
по п. 4 теоремы 6.1 существуют независимые одинаково распределенные случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ такие,
что
$$\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n.$$
Теорема 10.1: Вещественнозначная характеристическая функция случайной величины не обращается в ноль.
Доказательство:
Пусть $f(t)$ характеристическая функция распределения $F(x)$, тогда
$$f(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(\cos{(tx)}+i\sin{(tx)})dF(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos{(tx)}dF(x)$$
$$
1-f(2t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(1-\cos{(2tx)})dF(x)=2\int\limits_{-\infty}^{\infty}(1-\cos^2{(tx)})dF(x)=
2\int\limits_{-\infty}^{\infty}(1-\cos{(tx)})(1+\cos{(tx)})dF(x)\leq4\int\limits_{-\infty}^{\infty}(1-\cos{(tx)})dF(x)=4(1-f(t))
$$
Пусть $\varphi(t)$ характеристическая функция случайной величины $\xi$, а $\overline{\varphi(t)}$ характерестическая функция случайной величины $\eta$,
тогда $|\varphi(t)|^2=\varphi(t)\overline{\varphi(t)}$ также является характерестической функцией (для случайной величины $\xi+\eta$). Фиксируем $\varepsilon>0$,
тогда, в силу непрерывности $\varphi(t)$ в нуле (п. п. 1, 3 теоремы 6.1),
существует $a\in\mathbb{R}$ такое, что
$$|t|\leq{a}\Rightarrow|\varphi(0)-\varphi(t)|=|1-\varphi(t)|<\varepsilon.$$
Тогда по доказанному и в силу неравенства $|\varphi(t)|\leq1$ (п. 1 теоремы 6.1) для любого $t\in[-a,a]$
$$
1-|\varphi(2t)|\leq1-|\varphi(t)|^2\leq4(1-|\varphi(t)|^2)=4(1-|\varphi(t)|)(1+|\varphi(t)|)\leq8(1-|\varphi(t)|)<8\varepsilon.
$$
Следовательно,
$$\forall{t}\in[-2a,2a](1-|\varphi(t)|<8\varepsilon).$$
Повторив эти рассуждения $n$ раз получим, что
$$\forall{t}\in[-2^na,2^na](1-|\varphi(t)|<8^n\varepsilon).$$
Из этого делается вывод, что $\varphi(t)>0$ для любого $t\in\mathbb{R}$. Однако, расширять отрезок, в котором лежит точка $t$ до бесконечности не получится,
так как при некотором $n\in\mathbb{N}$ $8^n\varepsilon>1$ и так как $\varepsilon$ фиксированно, а $a=a(\varepsilon)$ зависит от $\varepsilon$,
то доказательство видится незаконченным.
Теорема 10.2: Распределение суммы случайных величин с бесконечно делимыми распределениями являтется бесконечно делимым.
Доказательство:
Пусть $\xi$, $\eta$ независимые случайные величины с бесконечно делимыми распределениями. Фиксируем $n\in\mathbb{N}$,
тогда существуют независимые одинаково распределенные случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$;
$\eta_1,\ldots,\eta_n$ такие, что
$$\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n;\,\eta=\eta_1+\cdots+\eta_n.$$
Следовательно, по п. 4 теоремы 6.1
$$\varphi_{\xi+\eta}(t)=\varphi_{\xi}(t)\varphi_{\eta}(t)=\left(\varphi_{\xi_1}(t)\right)^n\left(\varphi_{\eta_1}(t)\right)^n=
(\varphi_{\xi_1}(t)\varphi_{\eta_1}(t))^n,$$
где последнее выражение есть характеристическая функция случайной величины
$$\xi+\eta=\xi_1\eta_1+\cdots+\xi_n\eta_n.$$
Таким образом, распределение случайной величины $\xi+\eta$ бесконечно делимо.
Теорема 10.3: Пусть $\{F^{(k)}(x)\}$ последовательность функций распределения бесконечно делимых распределений, такая что существует предел в основном $F(x):=\lim_{k\to\infty}F^{(k)}(x)$, тогда функция $F(x)$ является функцией распределения бесконечно делимого распределения.
Доказательство:
Пусть $\varphi(t)$ - характеристическая функция для $F(x)$, для любого $k\in\mathbb{N}$ $\varphi^{(k)}(t)$ - характеристическая функция для $F^{(k)}(x)$.
По теореме о непрерывности характеристической функции (теорема 6.13)
$$\varphi^{(k)}(t)\UniformConv\varphi(t).$$
Фиксируем $n\in\mathbb{N}$, тогда для любого $k\in\mathbb{N}$ существует характеристическая функция $\sqrt[n]{\varphi^{(k)}(t)}$ такая, что
$$\varphi^{(k)}(t)=\left(\sqrt[n]{\varphi^{(k)}(t)}\right)^n.$$
Так как функция извлечения корня непрерывна, то для любого $k\in\overline{N}$ существует функция $\sqrt[n]{\varphi(t)}$ такая, что
$$\sqrt[n]{\varphi^{(k)}(t)}\UniformConv\sqrt[n]{\varphi(t)}.$$
Так как фукнция $\sqrt[n]{\varphi^{(k)}(t)}$ непрерывна в нуле (п. 3 теоремы 6.1) и сходимость равномерна,
то по утверждению 10.2.6 MA фукнция $\sqrt[n]{\varphi(t)}$ непрерывна в нуле.
Тогда функция $\sqrt[n]{\varphi(t)}$ является характеристической функцией (доказательство см. например Боровков А. А. 1999 г. "Теория вероятностей" стр. 137) такая,
что
$$\varphi(t)=\left(\sqrt[n]{\varphi( t)}\right)^n.$$
То есть предельное распределение является бесконечно делилмым.
Теорема 10.4: Распределение с характеристической функцией $\varphi(t)$ (и конечной дисперсией ?) является бесконечно делимым тогда и только тогда, когда существуют $\gamma,c\in\mathbb{R}$ и непрерывная функция $G(x)$ такие, что $G(\infty)=c$ и $$\ln{\varphi(t)}=i\gamma{t}+\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{itx}-1-itx}{x^2}dG(x)$$
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть $\varphi(t)$ характеристическая функция бесконечно делимого распределения, тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ существует характеристическая функция $\varphi_n(t):=\sqrt[n]{\varphi(t)}$ такая, что $\varphi(t)=\varphi_n(t)^n$. Обозначим $F(x)$ и $F_n(x)$ функции распределения соответствующие характеристическим функциям $\varphi(x)$ и $\varphi_n(x)$ соответственно.
Для любого $a\in\mathbb{R}$
$$\sqrt[n]{\varphi(t)}\UniformConv1,\,|t|\leq{a}.$$
Следовательно,
$$\ln{\varphi(t)}=n\ln{\varphi_n(t)}=n\ln(1+(\varphi_n(t)-1))=n(\varphi_n(t)-1)(1+o(1)),\,n\to\infty$$
или
$$\ln{\varphi(t)}=\lim_{n\to\infty}(n(\varphi_n(t)-1))=\lim_{n\to\infty}\left(n\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx}-1)dF_n(x)\right).$$
Обозначим
$$\gamma:=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF(x).$$
Пусть $\xi\sim{F}(x)$, тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ существуют независимые $\xi_1,\ldots,\xi_n$ такие,
что для любого $k\in\overline{1,n}$ $\xi_k\sim{F}_n(x)$ и $\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Следовательно,
$$\gamma=E\xi=E\xi_1+\cdots+E\xi_n=n\int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF_n(x),$$
тогда
$$\ln{\varphi(t)}=i\gamma{t}+\lim_{n\to\infty}\left(n\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx}-1-itx)dF_n(x)\right).$$
Для любого $n\in\mathbb{N}$ положим
$$G_n(x):=n\int\limits_{-\infty}^xu^2dF_n(u).$$
По первой теореме Хелли (теорема 6.10)
существует непрерывная слева функция $G(x)$ и возрастающая последовательность $\{n_k\}$ из $\mathbb{N}$ такие, что имеет место сходимость в основном
$$G_{n_k}(x)\to{G(x)},\,k\to\infty.$$
Тогда
$$
G(\infty)=\lim_{k\to\infty}\left(n_k\int\limits_{-\infty}^{\infty}u^2dG_{n_k}(u)\right)=\lim_{k\to\infty}\left(n_kE\xi_{n_k}^2\right)=
\lim_{k\to\infty}\left(n_kD\xi_{n_k}+n_k(E\xi_{n_k})^2\right)=\lim_{k\to\infty}\left(D\xi+\frac{(E\xi)^2}{n_k}\right)=c:=D\xi
$$
и, так как $dG_n(x)=nx^2dF_n(x)$, то
$$
\ln{\varphi(t)}=i\gamma{t}+\lim_{k\to\infty}\left(n\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{itx}-1-itx}{nx^2}dG_{n_k}(x)\right)=
i\gamma{t}+\lim_{k\to\infty}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{itx}-1-itx}{x^2}dG_{n_k}(x)\right).
$$
Фиксируем $A,B\in\mathbb{R}$ и обозначим $H(x):=(e^{itx}-1-itx)/x^2$, тогда
$$
\ln{\varphi(t)}=i\gamma{t}+\lim_{k\to\infty}\left[\int\limits_A^BH(x)dG_{n_k}(x)+\int\limits_{-\infty}^AH(x)dG_{n_k}(x)+\int\limits_B^{\infty}H(x)dG_{n_k}(x)\right].
$$
По второй теореме Хелли (теорема 6.11) первое слагаемое под знаком предела равно $\int_A^BH(x)dG(x)$.
Докажем, что второе и третье слагаемые стремятся к нулю при $A\to-\infty$ и $B\to\infty$ соответственно. Действительно
$$|e^{itx}-1-itx|\leq|e^{itx}-1|+|tx|\leq|tx|+|tx|=2|tx|,$$
тогда, положив $M:=\min(|A|,B)$ получим
\begin{multline*}
\int\limits_{-\infty}^A|H(x)|dG_{n_k}(x)+\int\limits_B^{\infty}|H(x)|dG_{n_k}(x)\leq
2|t|\int\limits_{-\infty}^A\frac1{|x|}dG_{n_k}(x)+2|t|\int\limits_B^{\infty}\frac1{|x|}dG_{n_k}(x)\leq
\frac{2|t|}{M}\int\limits_{-\infty}^AdG_{n_k}(x)+\frac{2|t|}{M}\int\limits_B^{\infty}dG_{n_k}(x)\leq\\\leq
\frac{2|t|}{M}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dG_{n_k}(x)=\frac{2|t|}{M}(G(\infty)-G(-\infty))\leq\frac{2|T|c}{M}\leq\frac{2Tc}{M},\,|t|\leq{T}.
\end{multline*}
Последнее выражение может быть сколько угодно мало при достаточно больших $|A|$ и $B$.
$\Leftarrow)$ см. например Боровков А. А. 1999 г. "Теория вероятностей" стр. 368.
previous contents next