16.3 Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел.

Теорема 16.2:

1. Пусть $f(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ квадратичная форма ранга $r$, тогда $f(\vec{x})\sim{h}(\vec{z}):=z_1^2+\cdots+z_r^2$.
2. Пусть $f(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ квадратичная форма ранга $r$, тогда существует $p\in\mathbb{N}_0$ такое, что $$f(\vec{x})\sim{h}(\vec{z}):=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.$$

Доказательство:

По теореме 16.1 в обоих случаях существуют коэффициенты $d_1,\ldots,d_n\in\mathbb{P}$ такие, что $f(\vec{x})\sim{g}(\vec{y}):=d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2$. По утверждению 16.4 $\rang{B}_g=\rang{g}=\rang{f}=r$. Будем считать б. о. о., что для любых $i\in\overline{1,r}$ $d_i\neq0$, тогда для любых $j\in\overline{r+1,n}$ $d_j=0$.

1. Для любого $i\in\overline{1,r}$ $d_i\in\mathbb{C}$, следовательно, для любого $i\in\overline{1,r}$ существует $c_i\in\mathbb{C}$ такое, что $c_i^2=d_i$. Осуществим замену для любого $i\in\overline{1,r}$ $y_i:=c_i^{-1}z_1$, для любого $j\in\overline{r+1,n}$ $y_i:=z_i$, то есть $$y^{\downarrow}= \begin{pmatrix} c_1^{-1} & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & & c_r^{-1} & & \Theta & \vdots \\ \vdots & \Theta & & 1 & & \vdots \\ \vdots & & & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}z^{\downarrow}.$$ Так как матрица перехода обратима, то замена не вырождена, то есть $g(\vec{y})\sim{h}(\vec{z})=z_1^2+\cdots+z_r^2$.
2. Пусть $p$ - это число положительных коэффициентов в квадратичной форме $g(\vec{y})$. Так как перестановка переменных, очевидно, является невырожденной заменой б. о. о. будем считать, что для любого $i\in\overline{1,p}$ $d_i>0$ и для любого $j\in\overline{p+1,r}$ $d_j<0$. Для любого $i\in\overline{1,r}$ положим $c_i:=\sqrt{|d_i|}$ и сделаем замену такую же как в пункте 1. Тогда так как $$ \forall{i}\in\overline{1,r}\;\frac{d_i}{c_i^2}=\frac{d_i}{|d_i|}=\begin{cases}1,&d_i<0 \\ -1,&d_i<0\end{cases}= \begin{cases}1,&1\leq{i}\leq{p} \\ -1,&p<i\leq{r}\end{cases}, $$ то $g(\vec{y})\sim{h}(\vec{z})=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.$

Определение 16.10:

1. Квадратичная форма вида $f(\vec{x})=x_1^2+\cdots+x_r^2$ называется нормальной над полем $\mathbb{C}$.
2. Квадратичная форма вида $f(\vec{x})=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2$ называется нормальной над полем $\mathbb{R}$.

Следствие 16.1
Квадратичные формы над полем $\mathbb{C}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Следует из утверждения 16.4.
$\Leftarrow)$ Из теоремы 16.2 следует, что любая квадратичная форма над $\mathbb{C}$ ранга $r$ эквивалентна квадратичной форме $h(\vec{z})=z_1^2+\cdots+z_r^2$.

Теоремы 16.3:
Квадратичная форма над полем $\mathbb{R}$ эквивалентна единственной нормальной квадратичной форме над полем $\mathbb{R}$.

Доказательство:

Существование нормальной квадратичной формы эквивалентной данной следует из п. 2 теоремы 16.2. Докажем ее единственность.
Пусть $f(\vec{x})$, $g(\vec{y})$, $h(\vec{z})$ квадратичные формы над $\mathbb{R}$ такие, что $B_f\in\mathbb{R}_{n,n}$, $\rang{f}=r$, $g(\vec{y})$, $h(\vec{z})$ - нормальные над $\mathbb{R}$, $f(\vec{x})\sim{g}(\vec{y})$ и ${f}(\vec{x})\sim{h}(\vec{z})$. Тогда по утверждению 16.4 $\rang{g}=\rang{h}=r$, следовательно, существуют $p,u\in\mathbb{N}_0$ такие, что $$g(\vec{y})=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2,$$ $$h(\vec{z})=z_1^2+\cdots+z_u^2-z_{u+1}^2-\cdots-z_r^2.$$ Таким образом, $g(\vec{y})\neq{h}(\vec{z})$ тогда и только тогда, когда $p\neq{u}$. Предположим, что $p\neq{u}$ и будем б. о. о. считать, что $p<u$. Пусть замена $z^{\downarrow}=Cx^{\downarrow}$ переводит $h(\vec{z})$ в $f(\vec{x})$, а замена $y^{\downarrow}=Dx^{\downarrow}$ переводит $g(\vec{y})$ в $f(\vec{x})$. Рассмотрим систему уравнений $$ \begin{cases} \forall{i}\in\overline{1,p}&(\vec{C}_ix^{\downarrow}=0) \\ \forall{j}\in\overline{u+1,r}&(\vec{D}_jx^{\downarrow}=0) \end{cases}\quad(*)$$ СОЛУ c $n$ переменными содержит $p+(r-u)=r-(u-p)<r\leq{n}$ уравнений, следовательно, она имеет ненулевое решение $x_0^{\downarrow}$, тогда $$ f(x_0^{\downarrow})=h\left(\vec{C}_1x_0^{\downarrow},\ldots,\vec{C}_nx_0^{\downarrow}\right)= (\vec{C}_1x_0^{\downarrow})^2+\cdots+(\vec{C}_px_0^{\downarrow})^2-(\vec{C}_{p+1}x_0^{\downarrow})^2-\cdots-(\vec{C_r}x_0^{\downarrow})^2\leq0 $$ Последнее неравенство в силу того, что $x_0^{\downarrow}$ решение СОЛУ $(*)$, то есть первые $p$ слагаемых нулевые. С другой стороны, из СОЛУ $(*)$ аналогичным образом следует $$ f(x_0^{\downarrow})=g(\vec{D}_1x_0^{\downarrow},\ldots,\vec{D}_nx_0^{\downarrow})= (\vec{D}_1x_0^{\downarrow})^2+\cdots+(\vec{D}_ux_0^{\downarrow})^2-(\vec{D}_{u+1}x_0^{\downarrow})^2-\cdots-(\vec{D}_rx_0^{\downarrow})^2\geq0. $$ Тогда из СОЛУ $(*)$ следует $$ f(x_0^{\downarrow})=0\Rightarrow(\vec{D}_1x_0^{\downarrow})^2+\cdots+(\vec{D}_ux_0^{\downarrow})^2=0\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,u}(\vec{D}_ix_0^{\downarrow}=0)\Rightarrow{D}x_0^{\downarrow}=0 $$ Следовательно, столбцы матрицы $D$ ЛЗ, то есть она необратима, что противоречит невырожденности замены $y^{\downarrow}=Dx^{\downarrow}$.

Определение 16.11:
Пусть квадратичная форма $f(\vec{x})\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ эквивалентна нормальной квадратичной форме $y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2$, тогда

1. число $p$ называют положительным индексом инерции $f(\vec{x})$,
2. число $q:=r-p$ называют отрицательным индексом инерции $f(\vec{x})$.

Определение 16.12:
Квадратичная форма $f(\vec{x})$ называется положительно определенной, если для любого $\vec{a}\in\mathbb{R}\backslash\{\vec{0}\}$ $f(\vec{a})>0$. Если квадратичная форма $f(\vec{x})$ положиетльно определена, то обозначают $f>0$.

Утверждение 16.5:
Пусть квадратичные формы $f(\vec{x}),g(\vec{y})\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ такие, что $f(\vec{x})\sim{g}(\vec{y})$, $f>0$, тогда $g>0$.

Доказательство:

Так как $g(\vec{y})\sim{f}(\vec{x})$, то существует $C\in(\mathbb{R}_{n,n})^*$ такая, что $$\forall\vec{y}\in\mathbb{R}^n\left(g(\vec{y})=f\left(\vec{C}_1y^{\downarrow},\ldots,\vec{C}_ny^{\downarrow}\right)\right).$$ Так как $C\in(\mathbb{R}_{n,n})^*$, то СОЛУ $Cx^{\downarrow}=0^{\downarrow}$ не имеет ненулевых решений, следовательно $$ \forall\vec{a}\in\mathbb{R}^n\backslash\{\vec{0}\}\left(\left(\vec{C}_1a^{\downarrow},\ldots,\vec{C}_na^{\downarrow}\right)\neq\vec{0}\right)\Rightarrow \forall\vec{a}\in\mathbb{R}^n\backslash\{\vec{0}\}\left(g(\vec{a})=f\left(\vec{C}_1a^{\downarrow},\ldots,\vec{C}_na^{\downarrow}\right)>0\right) $$

Теорема 16.4:
Пусть $f(\vec{x})\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ квадратичная форма, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $f>0$,
2. все главные угловые миноры матрицы $B_f$ положительны,
3. положительный индекс инерции $f(\vec{x})$ равен $n$.

Доказательство:

$1)\Leftrightarrow2)$ Пусть $L_{\mathbb{R}}$ векторное пространство размерности $n$, $\vec{\alpha}$ - базис $L_{\mathbb{R}}$. Рассмотрим функцию $\Phi:L_{\mathbb{R}}\times{L}_{\mathbb{R}}\to\mathbb{R}$ такую, что для любых $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{R}}$ $\Phi(\beta,\gamma)=\vec{\beta}_{\vec{\alpha}}B_f\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}$.

1. $$\Phi(\beta+\gamma,\delta)=(\vec{\beta}_{\vec{\alpha}}+\vec{\gamma}_{\vec{\alpha}})B_f\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \vec{\beta}_{\vec{\alpha}}B_f\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\vec{\gamma}_{\vec{\alpha}}B_f\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \Phi(\beta,\delta)+\Phi(\gamma,\delta). $$
2. $$\Phi(\beta{c},\gamma)=\vec{\beta}_{\vec{\alpha}}cB_f\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= c\left(\vec{\beta}_{\vec{\alpha}}B_f\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)=c\Phi(\beta,\gamma). $$
3. Так как $B_f^T=B_f$, то $$\Phi(\beta,\gamma)=\vec{\beta}_{\vec{\alpha}}B_f\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \left(\vec{\beta}_{\vec{\alpha}}B_f\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^T= \vec{\gamma}_{\vec{\alpha}}B_f\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\Phi(\gamma,\beta). $$