Определение 17.1:
Непустое подмножество $S$ кольца $(R;+,\cdot)$ называется его подкольцом, если оно замкнуто относительно операций $+$ и $\cdot$ и
является кольцом относительно них.
Если $S$ подкольцо кольца $R$, то обозначают $S<R$.
Замечание 17.1:
Утверждение 17.1:
Пусть $R$ - кольцо, $S\subset{R}$, $S\neq\varnothing$, тогда
$$S<R\Leftrightarrow\forall{s}_1,s_2\in{S}(s_1-s_2\in{S}\,\wedge\,s_1s_2\in{S}).$$
$\Rightarrow)$ Следует из определения 17.1.
$\Leftarrow)$ По утверждению 9.3
$$\forall{s}_1,s_2\in{S}(s_1-s_2\in{S})\Rightarrow(S;+)<(R;+).$$
При этом так как группа $(R;+)$ абелева, то группа $(S;+)$ тоже абелева.
Так как для любых $s_1,s_2\in{S}$ $s_1s_2\in{S}$, то $(S;\cdot)$ - полугруппа.
Дистрибутивность операции $\cdot$ относительно операции $+$ в $(S;+,\cdot)$ следует из аналогичной дистрибутивности в кольце $(R;+,\cdot)$.
Таким образом, $(S;+,\cdot)$ - кольцо, и, следовательно, $(S;+,\cdot)<(R;+,\cdot)$.
Следствие 17.1:
Пусть $R$ - кольцо, $S\subset{R}$, $S\neq\varnothing$, $|R|<\infty$, тогда
$$S<R\Leftrightarrow\forall{s}_1,s_2\in{S}(s_1+s_2\in{S}\,\wedge\,s_1s_2\in{S}).$$
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Следует из определения 17.1.
$\Leftarrow)$ Фиксируем $s_1,s_2\in{S}$ и рассмотрим последовательность элементов из $S$: $0s_2,1s_2,2s_2,\ldots,ks_2,\ldots$.
Так как $S$ конечно, то в этой последовательности есть два одинаковых элемента. Пусть $u,v\in\mathbb{N}_0$ такие, что $u<v$ и
$us_2=vs_2$, тогда
$$
(v-u-1)s_2+s_2=(v-u)s_2=0\Rightarrow(v-u-1)s_2=-s_2\Rightarrow{s}_1-s_2=s_1+(v-u-1)s_2\in{S}.
$$
Таким образом, утверждение следует из утверждения 17.1.
Замечание 17.2:
Утверждение 17.2:
Пусть $S,R$ - кольца с единицей такие, что $S<R$, $R$ не содержит делителей нуля, $e_S\neq0$, тогда $e_R=e_S$.
Доказательство:
В кольце $R$ справедливо равенство $e_Se_R=e_S$, а в кольце $S$ $e_Se_S=e_S$, тогда
$$(e_S-e_R)e_S=e_Se_S-e_Re_S=0$$
Так как $e_S\neq0$ и в кольце $R$ не делителей нуля, то из последнего равенства следует, что $e_S-e_R=0$.
Утверждение 17.3:
Пусть $R$ - конечное кольцо, существует $a\in{R}\backslash\{0\}$ такое, что $a$ не является делителем нуля, тогда
Доказательство:
Следствие 17.2:
Пусть $R$ - коммутативное кольцо, $1<|R|<\infty$, тогда $R$ - поле тогда и только тогда, когда $R$ не содержит делителей нуля.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Если $R$ - поле, то $R^*=R\backslash\{0\}$, тогда по утверждению 2.3
в $R$ нет делителей нуля.
$\Leftarrow)$ Так как $R$ не содержит делителей нуля и $|R|>1$, то по утверждению 17.3 $R$ - кольцо с единицей и $R\backslash\{0\}=R^*$,
то есть $R$ - поле.
Утверждение 17.4:
$$\forall\alpha\in{A}(S_{\alpha}<R)\Rightarrow\bigcap_{\alpha\in{A}}S_{\alpha}<R.$$
Доказательство:
$$
s_1,s_2\in\bigcap_{\alpha\in{A}}S_{\alpha}\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(s_1,s_2\in{S}_{\alpha})\Rightarrow
\forall\alpha\in{A}(s_1s_2\in{S}_{\alpha})\Rightarrow{s}_1s_2\in\bigcap_{\alpha\in{A}}S_{\alpha}
$$
Аналогично показывается, что
$$\forall{s}_1,s_2\in\bigcap_{\alpha\in{A}}S_{\alpha}\left(s_1-s_2\in\bigcap_{\alpha\in{A}}S_{\alpha}\right),$$
тогда по утверждению 17.1 $\bigcap_{\alpha\in{A}}S_{\alpha}<R$.
Определение 17.2:
Подкольцом кольца $R$ порожденным множеством $S$ называется кольцо
$$[S]_R:=\bigcap_{S\subset{T}<R}T.$$
Утверждение 17.5:
Пусть $R$ - кольцо, $S\subset{R}$, $S\neq\varnothing$, тогда
$$[S]_R:=\biggl\{\sum_{j=1}^nc_js_{1,j}\cdots{s}_{k_j,j}\Bigl|{n}\in\mathbb{N},k_j\in\mathbb{N},c_j\in\mathbb{Z},s_{i,j}\in{S}\biggr\}$$
Доказательство:
Обозначим
$$T:=\biggl\{\sum_{j=1}^nc_js_{1,j}\cdots{s}_{k_j,j}\Bigl|{n}\in\mathbb{N},k_j\in\mathbb{N},c_j\in\mathbb{Z},s_{i,j}\in{S}\biggr\},$$
тогда, очевидно, что для любых $t_1,t_2\in{T}$, $t_1t_2\in{T}$, и $t_1-t_2\in{T}$, следовательно,
по утверждению 7.1 $T<R$ и тогда $[S]_R\subset{T}$.
С другой стороны, так как $[S]_R$ кольцо, то оно замкнуто относительно операций $+$ и $\cdot$, при этом $S\subset[S]_R$, следовательно,
для любого $t\in{T}$ $t\in[S]_R$, то есть $T\in[S]_R$.
Таким образом, $T=[S]_R$.
Задача 17.1:
Привести пример когда $S_1,S_2<R$, но $S_1+S_2$ не является подкольцом кольца $R$.
Решение:
Пусть $R:=\mathbb{R}_{n,n}$,
$$
S_1:=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & 0\end{pmatrix}\Bigl|a,b\in\mathbb{R}\right\},
S_2:=\left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\ b & 0\end{pmatrix}\Bigl|a,b\in\mathbb{R}\right\}.
$$
Тогда $S_1,S_2<R$, но
$$S_1+S_2=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\ c & 0\end{pmatrix}\Bigl|a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$$
не является подкольцом кольца $R$, так как например,
$$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$
Определение 17.3:
Характеристикой кольца $R$ называется минимальное $t\in{N}$ такое, что для любого $r\in{R}$ $tr=0$. Если такого числа не существует,
то характеристикой кольца является число 0.
Харастеристику кольца $R$ обозначают как $\Char{R}$.
Пример 17.1:
Замечание 17.3:
Пусть $R$ - кольцо.
Утверждение 17.6:
Доказательство:
Следствие 17.3:
Если $P$ - поле, то $\Char{P}$ либо 0 либо простое число.
Доказательство:
Так как поле содержит единицу и не содержит делителей нуля, то утверждение следует из утверждения 17.6.
Следствие 17.4:
Пусть $S,R$ - кольца c единицей такие, что $S<R$, $e_S\neq0$, $R$ не содержит делителей нуля, тогда $\Char{R}=\Char{S}$.
Доказательство:
По утверждению 17.2 $e_R=e_S$, тогда по утверждению 17.6 $\Char{R}=\ord{e}_R=\ord{e}_S=\Char{S}$.
Утверждение 17.7:
Пусть $R$ коммутативное кольцо $\Char{R}=p$ - простое число, тогда для любых $a,b\in{R}$, $t\in\mathbb{N}$
$$(a+b)^{p^t}=a^{p^t}+b^{p^t}.$$
Доказательство:
Докажем утверждение индукцией по $t$.