previous contents next
14.3 Матрица Грамма.
Определение 14.7:
Пусть $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ система векторов евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$,
тогда матрицей Грамма системы $\vec{\beta}$ относительно скалярного произведения $S$ называется матрица
$\Gamma_S(\vec{\beta})=\Gamma(\vec{\beta}):=(S(\beta_i,\beta_j))_{k,k}$.
Определение 14.8:
Матрица $A\in\mathbb{R}_{n,n}$ называется
- симметричной если $A=A^T$,
- ортогональной если $A^{-1}=A^T$.
Матрица $A\in\mathbb{C}_{n,n}$ называется
- эрмитовой если $\overline{A}=A^{T}$,
- унитарной если $\overline{A}^{-1}=A^T$.
Замечание 14.4:
Пусть $A\in\mathbb{C}_{n,n}$. Индукцией по $n$ легко показывается, что $|\overline{A}|=\overline{|A|}$, следовательно,
$$
\forall\beta_i,\beta_j\in(L_{\mathbb{P}},S)(S(\beta_i,\beta_j)=\overline{S(\beta_j,\beta_i)})\Rightarrow
\Gamma_{S}(\vec{\beta})=\overline{\Gamma_S(\vec{\beta})}^T\Rightarrow
|\Gamma_S(\vec{\beta})|=\Bigl|\overline{\Gamma_S(\vec{\beta})}^T\Bigr|=\left|\overline{\Gamma_S(\vec{\beta})}\right|=
\overline{|\Gamma_S(\vec{\beta})|}\Rightarrow|\Gamma_S(\vec{\beta})|\in\mathbb{R}
$$
Лемма 14.1:
Пусть $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ система векторов евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, $a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k\in\mathbb{P}$,
тогда
-
$$
\Gamma_S(\vec{\beta})\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
S\Bigl(\beta_1,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\Bigr) \\
S\Bigl(\beta_2,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\Bigr) \\
\cdots \\
S\Bigl(\beta_k,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\Bigr)
\end{pmatrix}.
$$
-
$$
(a_1,\ldots,a_k)\Gamma_S(\vec{\beta})\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_k\end{pmatrix}=
S\biggl(\sum_{j=1}^k\beta_ja_j,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\biggr).
$$
Доказательство:
-
Обозначим
$$c^{\downarrow}:=\begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_k\end{pmatrix}:=\Gamma_S(\vec{\beta})\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_k\end{pmatrix}.$$
Тогда по пп. 1, 2 утверждения 14.1
$$c_j=\sum_{i=1}^kS(\beta_j,\beta_i)b_i=\sum_{i=1}^kS(\beta_j,\beta_i\overline{b}_i)=S\biggl(\beta_j,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\biggr).$$
-
По пункту 1
$$
(a_1,\ldots,a_k)\Gamma_S(\vec{\beta})\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_k\end{pmatrix} =
(a_1,\dots,a_k)
\begin{pmatrix}
S\Bigl(\beta_1,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\Bigr) \\
S\Bigl(\beta_2,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\Bigr) \\
\cdots \\
S\Bigl(\beta_k,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\Bigr)
\end{pmatrix}=
S\biggl(\sum_{i=1}^k\beta_ja_j,\sum_{i=1}^k\beta_i\overline{b}_i\biggr)
$$
Замечание 14.5:
Из леммы 14.1 следует, что если на векторном пространстве $L_{\mathbb{P}}$ задано скалярное произведение $S$, $\vec{\alpha}$ - базис $L_{\mathbb{P}}$,
то для любых $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$
$$
S(\beta,\gamma)=S\left(\vec{\alpha}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\vec{\alpha}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)=
\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^T\Gamma_S(\vec{\alpha})\overline{\left(\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)}.
$$
Далее мы решим обратную задачу, то есть выясним какие условия надо наложить на матрицу $A\in\mathbb{P}_{n,n}$,
чтобы функция $F:L_{\mathbb{P}}\times{L}_{\mathbb{P}}\to\mathbb{P}$ такая, что для любых
$\beta,\gamma\in{L_{\mathbb{P}}}$ $F(\beta,\gamma):=
\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\left(\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)}$ являлась скалярным произведением.
Утверждение 14.4:
Пусть $\dim{L_{\mathbb{P}}}=n$, $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$, $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ -
базисы $(L_{\mathbb{P}},S)$, $C\in{P}_{n,n}$, $\vec{\beta}=\vec{\alpha}C$, тогда $\Gamma_S(\vec{\beta})=C^T\Gamma_S(\vec{\alpha})\overline{C}$.
Доказательство:
Обозначим $C^T\Gamma_S(\vec{\alpha})\overline{C}:=(b_{i,j})_{k,k}$, тогда
$$
\forall{i},j\in\overline{1,k}\left(b_{i,j}=\left(c_i^{\downarrow}\right)^T\Gamma_S(\vec{\alpha})\overline{\left(c_j^{\downarrow}\right)}=
\left(\beta_{i\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^T\Gamma_S(\vec{\alpha})\overline{\left(\beta_{j\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)}=
S(\beta_i,\beta_j)\right)\Rightarrow{C}^T\Gamma_S(\vec{\alpha})\overline{C}=\Gamma_S(\vec{\beta}).
$$
Утверждение 14.5:
Пусть $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$ - система векторов из $(L_{\mathbb{P}},S)$, тогда $\vec{\beta}$ линейно независима тогда и только тогда,
когда $|\Gamma_S(\vec{\beta})|>0$.
$\Rightarrow)$ Предположим, что система $\vec{\beta}$ - ЛЗ, тогда
$$
\exists{b}^{\downarrow}\in{P}^{(k)}\backslash\{0^{\downarrow}\}:\vec{\beta}b^{\downarrow}=\theta\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,k}\left(S(\beta_i,\vec{\beta}b^{\downarrow}\right)=0)\Rightarrow
\begin{pmatrix}
S(\beta_1,\vec{\beta}b^{\downarrow}) \\
S(\beta_2,\vec{\beta}b^{\downarrow}) \\
\cdots \\
S(\beta_k,\vec{\beta}b^{\downarrow})
\end{pmatrix}=0^{\downarrow}\Rightarrow\Gamma_S(\vec{\beta})\overline{b^{\downarrow}}=0^{\downarrow}
$$
Таким образом, столбцы матрицы $\Gamma_S(\vec{\beta})$ ЛЗ, тогда $|\Gamma_S(\vec{\beta})|=0$, получено противоречие.
$\Leftarrow)$ Обозначим $K_{\mathbb{P}}:=(\vec{\beta})_{\mathbb{P}}$, $S':=S|_{K_{\mathbb{P}}\times{K}_{\mathbb{P}}}$,
тогда $(K_{\mathbb{P}},S')$ евклидово пространство. По следствию 14.3 в пространстве
$(L_{\mathbb{P}},S)$ существует ортонормированный базис $\vec{\delta}$, то есть $\Gamma_{S'}(\vec{\delta})=E$.
Так как по следствию 11.1 $\vec{\beta}$ базис $K_{\mathbb{P}}$,
то существует матрица $D\in(\mathbb{P}_{k,k})^*$ такая, что $\vec{\beta}=\vec{\delta}D$, тогда по утверждению 14.4
$$
\Gamma_S(\vec{\beta})=\Gamma_{S'}(\vec{\beta})=D^T\Gamma_{S'}(\vec{\delta})\overline{D}=D^T\overline{D}\Rightarrow
|\Gamma_S(\vec{\beta})|=|D^T||\overline{D}|=|D|\overline{|D|}=\Bigl||D|\Bigr|^2>0,
$$
где последнее неравенство в силу того, что $D\in(\mathbb{P}_{k,k})^*$, то есть $|D|\neq0$.
Определение 14.9:
Пусть $A\in{P}_{n,n}$, $k\in\overline{1,n}$ тогда, минор $M_A\left(\begin{smallmatrix}1, & \ldots, & k \\ 1, & \ldots, & k\end{smallmatrix}\right)$
называется главным угловым минором порядка $k$ матрицы $A$.
Теорема 14.3: Теорема Сильвестра.
Пусть система $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, $A:=(a_{i,j})\in\mathbb{P}_{n,n}$,
функция $\Phi:L_{\mathbb{P}}\times{L}_{\mathbb{P}}\to\mathbb{P}$ такая, что для любых
$\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$ $\Phi(\beta,\gamma)=\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}$,
тогда функция $\Phi$ является скалярным произведением тогда и только тогда, когда матрица $A$ эрмитова и все ее главные угловые миноры
действительные положительные числа.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Так как для любого $i\in\overline{1,n}$ в строке $\left(\alpha_{i\vec{\alpha}}\right)^T$ на $i$-том месте стоит единица,
а на остальных нули, то
$$
\forall{i},j\in\overline{1,n}\left(\Phi(\alpha_i,\alpha_j)=
\left(\alpha_{i\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\alpha_{j\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=a_{i,j}\right)\Rightarrow{A}=\Gamma_{\Phi}(\vec{\alpha}).
$$
Тогда для любого $k\in\overline{1,n}$ по утверждению 14.5
$$
M_A\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ 1, & \ldots, & k\end{pmatrix}=\left|A\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ 1, & \ldots, & k\end{pmatrix}\right|=
|\Gamma_{\Phi}(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)|<0.
$$
$\Leftarrow)$ Докажем, что функция $\Phi$ удовлетворяет свойствам скалярного произведения
- По п. 2 утверждения 11.4, теореме 3.5
для любых $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$
$$
\Phi(\beta,\gamma)=\left((\beta{b})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=
b\left(\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}\right)=b\Phi(\beta,\gamma).
$$
- По п. 1 утверждения 11.4, п. 2 теоремы 3.4,
п. 5 теоремы 3.1 для любых $\alpha,\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$
$$
\Phi(\beta+\gamma,\delta)=\left((\beta+\gamma)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=
\left(\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^T+
\left(\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^T\right)A\overline{\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=
\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}+
\left(\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=\Phi(\beta,\delta)+\Phi(\gamma,\delta).
$$
- Так как $\overline{A}=A^T$, то по пп. 1, 2 задачи 6.1, пп. 1, 3
теоремы 3.4 для любых $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$
$$
\overline{\Phi(\beta,\gamma)}=\overline{\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}}=
\left(\overline{\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}\right)^T\overline{A}\overline{\overline{\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}}=
\left(\overline{\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}\right)^TA^T\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=
\left(A\overline{\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}\right)^T\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=
\left(\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=\Phi(\gamma,\beta)
$$
- Докажем индукцией по $n:=\dim{L_{\mathbb{P}}}$, что для любого $\delta\in{L}_{\mathbb{P}}\backslash\{\theta\}$ $\Phi(\delta,\delta)>0$.
- При $n=1$ $\vec{\alpha}=\alpha_1$, $A=(a_{1,1})$, где $a_{1,1}>0$, тогда
$$
\forall\delta\in{L}_{\mathbb{P}}\backslash\{\theta\}\,\exists{c}\in\mathbb{P}\backslash\{0\}:\delta=\alpha_1c\Rightarrow\Phi(\delta,\delta)=
ca_{1,1}\overline{c}=a_{1,1}|c|^2>0.
$$
-
Для любого $m\geq1$ докажем, что из справедливости утверждения при $n\in\overline{1,m}$ следует его справедливость при $n=m+1$.
Обозначим $\vec{\alpha'}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1})$, $K_{\mathbb{P}}:=(\vec{\alpha'})_{\mathbb{P}}$, тогда $\vec{\alpha'}$ - базис $K_{\mathbb{P}}$ и
$\dim{K_{\mathbb{P}}}=n-1$.
Обозначим $A':=A\left(\begin{smallmatrix}1, & \ldots, & n-1 \\ 1, & \ldots, & n-1\end{smallmatrix}\right)$, тогда $\overline{A'}=(A')^T$ и
все главные угловые миноры матрицы $A'$ действительные положительные числа.
Обозначим $\Phi':=\Phi|_{K_{\mathbb{P}}\times{K}_{\mathbb{P}}}$, тогда для любых $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$
$$
\Phi'(\beta,\gamma)=\Phi(\beta,\gamma)=\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=
\begin{pmatrix}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow} \\ 0 \end{pmatrix}^TA\overline{\begin{pmatrix}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow} \\ 0\end{pmatrix}}=
\left(\beta_{\vec{\alpha'}}^{\downarrow}\right)^TA'\overline{\gamma_{\vec{\alpha'}}^{\downarrow}},
$$
следовательно, по предположению индукции $\Phi'$ - скалярное произведение на пространстве $K_{\mathbb{P}}$.
Тогда по следствию 14.3 в евклидовом пространстве $(K_{\mathbb{P}},\Phi')$
существует ортонормированный базис $\vec{\beta'}:=(\beta_1,\ldots,\beta_{n-1})$. Положим $\beta_n:=\alpha_n-\sum_{i=1}^{n-1}\beta_i\Phi(\alpha_n,\beta_i)$,
тогда для любого $j\in\overline{1,n-1}$
$$
\Phi(\beta_n,\beta_j)=\Phi\biggl(\alpha_n-\sum_{i=1}^{n-1}\beta_i\Phi(\alpha_n,\beta_i),\beta_j\biggr)=
\Phi(\alpha_n,\beta_j)-\sum_{i=1}^{n-1}(\Phi(\beta_i,\beta_j)\Phi(\alpha_n,\beta_i))=\Phi(\alpha_n,\beta_j)-\Phi(\alpha_n,\beta_j)=0
$$
и по пункту 3 $\Phi(\beta_j,\beta_n)=\overline{\Phi(\beta_n,\beta_j)}=0$. Таким образом,
$$
\Phi(\beta_i,\beta_j)=
\begin{cases}
0, & i\neq{j} \\
1, & i=j\in\overline{1,n-1} \\
\Phi(\beta_n,\beta_n), & i=j=n
\end{cases}\Rightarrow\\
\Rightarrow(\Phi(\beta_i,\beta_j))_{n,n}=\diag{(1,\ldots,1,\Phi(\beta_n,\beta_n))}.
$$
Докажем от противного, что система $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_{n-1},\beta_n)$ ЛНЗ.
Предположим, что существуют $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{P}$ такие, что
$$\beta_1c_1+\cdots+\beta_{n-1}c_{n-1}+\beta_nc_n=\theta.$$
Так как система $\vec{\beta'}$ ЛНЗ, то либо $\beta_n=\theta$, либо $c_n\neq0$. В первом случае $\alpha_n$ ЛВЧ
$\beta_1,\ldots,\beta_{n-1}$, следовательно, $\alpha_n$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}$. Во втором случае $\beta_n$ ЛВЧ $\beta_1,\ldots,\beta_{n-1}$,
следовательно, $\alpha_n$ ЛВЧ $\beta_1,\ldots,\beta_{n-1}$ и ЛВЧ
$\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}$. Таким образом, в обоих случаях приходим к противоричию с линейной независимостью системы $\vec{\alpha}$.
Следовательно, $\vec{\beta}$ ЛНЗ система из $n$ векторов, то есть $\vec{\beta}$ - базис
$L_{\mathbb{P}}$. Тогда существует матрица $D\in(\mathbb{P}_{n,n})^*$ такая, что $\vec{\beta}=\vec{\alpha}D$, следовательно,
$$
\forall{i},j\in\overline{1,n}\left(\Phi(\beta_i,\beta_j)=\left(\beta_{i\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)^TA\overline{\beta_{j\vec{\alpha}}^{\downarrow}}=
\left(D_i^{\downarrow}\right)^TA\overline{D_j^{\downarrow}}\right)\Rightarrow
\diag{(1,\ldots,1,\Phi(\beta_n,\beta_n))}=(\Phi(\beta_i,\beta_j))_{n,n}=D^TA\overline{D}\Rightarrow\\
\Rightarrow\Phi(\beta_n,\beta_n)=|D^TA\overline{D}|=|D||A||\overline{D}|=|A|\Bigl||D|\Bigr|^2>0,
$$
где последнее неравенство в силу того, что $|A|$ главный угловой минор порядка $n$ матрицы $A$. Пусть $\delta\in{L}_{\mathbb{P}}\backslash\{\theta\}$, тогда существуют $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{P}$ не все равные нулю такие, что
$\delta=\sum_{i=1}^n\beta_ic_i$, тогда
$$
\Phi(\delta,\delta)=\Phi\biggl(\sum_{i=1}^n\beta_ic_i,\sum_{j=1}^n\beta_jc_j\biggl)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_i\overline{c}_j\Phi(\beta_i,\beta_j)=
\sum_{i=1}^{n-1}|c_i|^2+|c_n|^2\Phi(\beta_n,\beta_n)>0.
$$
previous contents next