4 МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ.

4.1 Ранг матриц.

Определение 4.1:
Рангом ненулевой матрицы называется наибольший порядок ее ненулевых миноров.
Рангом нулевой матрицы называется целое число 0.
Ранг матрицы $A$ обозначается как $\rang{A}$.

Замечание 4.1:

1. $A\in(P_{n,n})^*\Leftrightarrow\rang{A}=n$.
2. $A\in{P}_{n,n}\Rightarrow\rang{A}^T=\rang{A}$.
3. Если матрице $A$ добавить (удалить) нулевую строку, то ее ранг не изменится.

Определение 4.2:
Матрица $A\in{P}_{n,n}$ называется не вырожденной, если она обратима.

Определение 4.3:
Ранговой подматрицей матрицы $A$ называется невырожденная подматрица наибольшего порядка.

Теорема 4.1:
$$\forall{A},B\in{R}_{m,n}(A\sim{B}\Rightarrow\rang{A}=\rang{B}).$$

Доказательство:
Следует из следствия 3.6.

Следствие 4.1:
Пусть $A\in{P}_{m,n}$, $B\in{P}_{n,k}$, тогда $\rang{AB}\leq\min\{\rang{A},\rang{B}\}$.

Доказательство:
Обозначим $C:=AB$, тогда $$ C:=AB= \begin{pmatrix} a_{1,1}\vec{B}_1+a_{1,2}\vec{B}_2+\cdots+a_{1,n}\vec{B}_n\\ a_{2,1}\vec{B}_1+a_{2,2}\vec{B}_2+\cdots+a_{2,n}\vec{B}_n\\ \vdots\\ a_{n,1}\vec{B}_1+a_{n,2}\vec{B}_2+\cdots+a_{n,n}\vec{B}_n \end{pmatrix}\Rightarrow \binom{B}C\rsim\binom{B}0\Rightarrow\rang{C}\leq\rang\binom{B}C=\rang\binom{B}0=\rang{B}. $$ Таким оброзом для любых матриц $A$, $B$ подходящих размеров $\rang{AB}\leq\rang{B}$, тогда $$\rang{C}=\rang{C^T}=\rang{B^TA^T}\leq\rang{A^T}=\rang{A}$$

Следствие 4.2:
Пусть $A\in(P_{n,n})^*$, $B,C\in{P}_{n,m}$, тогда $\rang{AB}=\rang{B}$ и $\rang{CA}=\rang{C}$.

Доказательство:
Применив два раза следствие 4.1 получим $$\rang{AB}\leq\rang{B}=\rang(A^{-1}(AB))\leq\rang{AB}.$$

$\rang{A+B}\leq\rang{A}+\rang{B}$. Действительно $$ \left(\rang(A+B)\leq\rang\binom{A+B}B\wedge\binom{A+B}B\rsim\binom{A}B\right)\Rightarrow \rang(A+B)\leq\rang\binom{A}B\leq^?\rang{A}+\rang{B}. $$ Полное доказательство дано в конце главы в утверждении 4.5.

Определение 4.4:
Пусть $S=(s_{i,j})_{m\times{n}}$ ненулевая матрица над полем $P$, $r\in\overline{1,\min{\{m,n\}}}$, $1\leq{i}_1<i_2<\cdots<i_r\leq{n}$, тогда матрица $S$ называется ступенчатой типа $(i_1,\ldots,i_r)$, если

1. $\forall{j}\in\overline{1,r}(s_{j,i_j}\neq0)$,
2. $(k>r\vee(k\in\overline{1,r}\wedge{t}<i_k))\Rightarrow{s}_{k,t}=0$.

Теорема 4.2:
Любая матрица над полем строчно эквивалентна некоторой ступенчатой.

Доказательство:
Пусть $A\in{P}_{m,n}$, докажем утверждение индукцией по $m$.

1. Так как любая матрица состоящая из одной ненулевой строки ступенчатая типа $(1)$, то при $m=1$ утверждение выполняется.
2. Фиксируем $k>1$ и предположим, что любая матрица над полем состоящая не более чем из $k$ строк строчно эквивалентна ступенчатой.
   Пусть $A\in{P}_{(k+1),n}$, $A_1^{\downarrow}=A_2^{\downarrow}=\cdots=A_j^{\downarrow}=\cdots=0^{\downarrow}$, $A_j^{\downarrow}\neq0^{\downarrow}$, тогда $$A\rsim{B}=(b_{i,j})_{k+1\times{n}}= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & b_{1,j_1} & * & \cdots & * \\ 0 & \cdots & 0 & b_{2,j_2} & * & \cdots & * \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{k+1,j_{k+1}} & * & \cdots & * \\ \end{pmatrix},$$ где $b_{1,j_1}\neq0$. Для любого $s\in\overline{2,k+1}$, если $b_{s,j_s}\neq0$, то прибавим к $s$-той строке первую умноженную на $-b_{s,j_s}b_{1,j_1}^{-1}$. Получим матрицу $B'\rsim{B}$ у, которой в $j$-том столбце все элементы кроме первого равны 0. По предположению индукции подматрица $B'\begin{pmatrix}2, & \ldots, & k+1 \\ j+1, & \ldots, & n\end{pmatrix}$ строчно эквивалентна некоторой ступенчатой матрице $S=(s_{i,j})_{k\times(n-j)}$, следовательно, и матрица $B'$ строчно эквивалентна некоторой ступенчатой матрице, то есть $$B\,\rsim{B}'\,\rsim \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & b_{1,j_1} & * & \cdots & * \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & s_{1,1} & \cdots & s_{1,n-j} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & s_{k,1} & \cdots & s_{k,n-j} \\ \end{pmatrix} $$

4.2 Каноническая форма матрицы.

Ступенчатая типа $(i_1,\ldots,i_r)$ матрица $S\in{P}_{m,n}$ называется специально ступенчатой типа $(i_1,\ldots,i_k)$ , если

1. $s_{1,i_1}=\cdots=s_{r,i_r}=e$,
2. $(k\in\overline{1,r}\wedge{t}<k)\Rightarrow{s}_{t,i_k=0}$.

Теорема 4.3:
Любая матрица над полем строчно эквивалентна некоторой специально ступенчатой.

Доказательство:
Пусть $A\in{P}_{m,n}$ ненулевая матрица, тогда по теореме 4.2 $A\rsim{S}$, где $S=(s_{i,j})_{m\times{n}}$ - ступенчатая матрица типа $(i_1,\ldots,i_r)$. Докажем индукцией по $r$, что матрица $S$ строчно эквивалентна некоторой специально ступенчатой матрице.

1. Если $r=1$, то матрица $S$ приводится к специально ступенчатому виду умножением первой строки на $s_{1,i_1}^{-1}$.
2. Фиксируем $k>1$ и предположим, что для любого $r\in\overline{1,k-1}$ матрица $S$ строчно эквивалентна некоторой специально ступенчатой матрице. Докажем, что матрица $S$ строчно эквивалентна специально ступенчатой матрице при $r=k$.
   Проведем с матрицей $S$ следующие элементарные преобразования строк.
   
   • Приведем ступенчатую матрицу $S\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k-1 \\ 1, & \ldots, & n\end{pmatrix}$ к специально ступенчатому виду. Мы можем это сделать по предположению индукции. Обозначим получившуюся матрицу $U=(u_{i,j})_{m\times{n}}$.
   • Умножим $k$-тую строку на $u_{k,i_k}^{-1}=s_{k,i_k}^{-1}$. Обозначим получившуюся матрицу $V=(v_{i,j})_{m\times{n}}$, тогда $v_{k,i_k}=e$. Так как данное преобразование не затрагивает элементы матрицы $$U\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k-1 \\ 1, & \ldots, & i_k-1 \end{pmatrix}=V\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k \\ 1, & \ldots, & i_k-1\end{pmatrix},$$ то она останется специально ступенчатой.
   • Для любого $t\in\overline{1,k-1}$ прибавим к $t$-той строке $k$-тую строку умноженную на $-u_{t,i_k}$. Так как данное преобразование не затрагивает элементы матрицы $V\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k-1 \\ 1, & \ldots, & i_k-1 \end{pmatrix}$, то она останется специально ступенчатой.
   Таким образом получившаяся в результате указанных элементарных строчных преобразований матрица будет специально ступенчатой.

Следствие 4.3:
$$A\in(P_{n,n})^*\Leftrightarrow{A}\rsim{E}.$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Так как $A\in(P_{n,n})^*$, то матрица $A$ строчно эквивалентна некоторой специально ступенчатой матрице $S\in{P}_{n,n}$ ранга $n$. Единственной специально ступенчатой матрицей ранга $n$ в $P_{n,n}$ является единичная матрица.
$\Leftarrow)$ $$A\rsim{E}\Rightarrow\rang{A}=\rang{E}=n\Rightarrow|A|\neq0\Rightarrow|A|\in{P}^*\Rightarrow{A}\in(P_{n,n})^*.$$

Определение 4.6:
Канонической матрицей называются нулевая матрица и все матрицы вида $K_{m\times{n}}=\left(\begin{array}{ll}E_{r\times{r}} & \Theta_{r\times(n-r)} \\ \Theta_{(m-r)\times{r}} & \Theta_{(m-r)\times(n-r)}\end{array}\right).$ Где $\Theta_{s\times{t}}$ - это нулевая матрица соответствующего размера.

Теорема 4.4:
Для любой матрицы $A\in{P}_{m,n}$ существует единственная каноническая матрица $K\in{P}_{m,n}$ такая, что $A\rsim{K}$.

Доказательство:

Так как матрица $\Theta$ каноническая по опеределению, то при $A=\Theta$ доказано.
Пусть $A\neq\Theta$, тогда матрица $A$ строчно эквивалентна некоторой специально ступенчатой матрице $S$ типа $(i_1,\ldots,i_r)$, тогда переставляя столбцы $i_1,\ldots,i_r$ на первые места и обнуляя с их помощью все остальные столбцы получим $$S\,\csim\left(\begin{array}{ll}E_{r\times{r}} & B_{r\times(n-r)} \\ \Theta_{(m-r)\times{r}} & \Theta_{(m-r)\times(n-r)}\end{array}\right)\csim \left(\begin{array}{ll}E_{r\times{r}} & \Theta_{r\times(n-r)} \\ \Theta_{(m-r)\times{r}} & \Theta_{(m-r)\times(n-r)}\end{array}\right).$$ Докажем единственность от противного. Пусть существуют две канонические матрицы $K_1$, $K_2$ такие, что ${K}_1\neq{K}_2$ и $A\sim{K}_1$, $A\sim{K}$, тогда по теореме 4.1 $$(A\sim{K}_1\wedge{A}\sim{K}_2)\Rightarrow{K}_1\sim{K}_2\Rightarrow\rang{K}_1=\rang{K}_2\Rightarrow{K}_1=K_2.$$

Определение 4.7:
Каноническая матрица эквивалентная матрице $A\in{P}_{m,n}$ называется канонической формой матрицы $A$.
Каноническую матрицу матрицы $A$ обозначают как $K(A)$.

Теорема 4.5:
Пусть $A,B\in{P}_{m,n}$, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $A\sim{B}$.
2. $\exists{U}\in(P_{m,m})^*\,\exists{V}\in(P_{n,n})^*:UAV=B$.
3. $\rang{A}=\rang{B}$.
4. $K(A)=K(B)$.

Доказтельство:

• $1)\Rightarrow2)$ Доказано для матриц над кольцом в п. 3 утверждения 3.10.
• $2)\Rightarrow3)$ Так как матрицы $U$ и $V$ обратимы, то по следствию 4.2 имеем $\rang{B}=\rang{UAV}=\rang{A}$.
• $3)\Rightarrow4)$ Верно так как ранг матрицы равен числу единиц в канонической форме.
• $4)\Rightarrow1)$ $A\sim{K}(A)=K(B)\sim{B}$.

Замечание 4.3:
Если $A,B\in{P}_{m,n}$ и $A\sim{B}$, то по п. 2 теоремы 4.5 существуют матрицы $U\in(P_{m,m})^*$, $V\in(P_{n,n})^*$ такие, что $UAV=B$. При этом матрицы $U$, $V$ можно найти следующим образом. $$\begin{pmatrix}A & E \\ E & \Theta\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}K(A) & U_1 \\ V_1 & \Theta\end{pmatrix}\Rightarrow{K}(A)=U_1AV_1.$$ $$\begin{pmatrix}B & E \\ E & \Theta\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}K(B) & U_2 \\ V_2 & \Theta\end{pmatrix}\Rightarrow{K}(B)=U_2BV_1.$$ Где импликации справедливы по теореме 3.9. Тогда, так как из эквивалентности матриц следует равенство их канонических форм, то $$K(A)=K(B)\Rightarrow{U}_1AV_1=U_2BV_2\Rightarrow{B}=U_2^{-1}U_1AV_1V_2^{-1}.$$

previous contents next